2022年上海市松江区高考数学二模试卷.pdf

2022年 上 海 市 松 江 区 高 考 数 学 二 模 试 卷 试 题 数：2 1,总 分：01.（填 空 题，0 分）已 知 集 合 人=（-3,3）,集 合 B=0,1,2,3,4,5,则 A n B=_.2.（填 空 题，0 分）若 复 数 z=岂，其 中 i 为 虚 数 单 位，则|z|=_.3.（填 空 题，0 分）在 AABC 中,若 cosZ=4，则 s i n A=_.4.（填 空 题，0 分）若 函 数 f（x）=ax（a 0,a l）的 反 函 数 的 图 像 经 过 点（4,2）,则 a=5.（填 空 题，0 分）在 G+的 展 开 式 中，含 x3的 系 数 为 x+y 16.（填 空 题，0 分）若 实 数 x、y 满 足 约 束 条 件-y W 4,则 z=3 x+y的 最 小 值 是 一.y-1 0）上 任 意 一 点,M 是 线 段 P F上 的 点，且 丽=4而，则 直 线 O M斜 率 的 最 大 值 为 12.（填 空 题，0 分）已 知 函 数/（%）=看，g（x）是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且 满 足 g（2+x）=g（2-x）,当 x60,2时，g（x）=log2（x+1）.则 当 xE0,2022时，方 程 f（x）=g（x）实 根 的 个 数 为 13.（单 选 题，。分）下 列 函 数 中，与 函 数 y=x3的 奇 偶 性 和 单 调 性 都 一 致 的 函 数 是（）A.y=x2B.y=x+sinxC.y=2ND.y=tanx14.（单 选 题，0 分）在 2022北 京 冬 奥 会 单 板 滑 雪 U 型 场 地 技 巧 比 赛 中，6 名 评 委 给 A 选 手 打 出 了 6 个 各 不 相 同 的 原 始 分，经 过“去 掉 其 中 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分”处 理 后，得 到 4 个 有 效 分.则 经 处 理 后 的 4 个 有 效 分 与 6 个 原 始 分 相 比，一 定 会 变 小 的 数 字 特 征 是（）A.平 均 数 B.中 位 数 C.众 数 D.方 差 15.（单 选 题，0 分）设 函 数/（x）=sin（3x+9（0 3 5）图 像 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x若 Xi、X2是 函 数 f（X）的 两 个 不 同 的 零 点，则|X1-X2|的 最 小 值 为（）D.TT16.（单 选 题，0 分）已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 4,点 M、N 分 别 在 边 AD、BC上，且 AM=1,BN=2,若 点 P 在 正 方 形 ABCD的 边 上，则 丽 丽 的 取 值 范 围 是（）A.-6,6B.-6,2C.-2,6D.-2,217.（问 答 题，0 分）如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD中，底 面 ABCD是 矩 形，PAL平 面 ABCD,PA=AD=1,AB=3,F 是 P D 的 中 点，点 E 在 棱 C D 上.（1）求 四 棱 锥 P-ABCD的 全 面 积；（2）求 证：PE1AF.EB18.(问 答 题，。分)在 等 差 数 列 an 中，已 知 ai+a2=10,a3+a4+as=30.(1)求 数 列 a j的 通 项 公 式；(2)若 数 列 an+bn 是 首 项 为 1,公 比 为 3 的 等 比 数 列，求 数 列 bn 的 前 n 项 和 Sn.19.(问 答 题，0 分)如 图，农 户 在 A B=100米、BC=80米 的 长 方 形 地 块 ABCD上 种 植 向 日 葵,并 在 A 处 安 装 监 控 摄 像 头 及 时 了 解 向 日 葵 的 生 长 情 况.监 控 摄 像 头 可 捕 捉 到 图 像 的 角 度 范 围 为/PAQ=45。，其 中 点 P、Q分 别 在 长 方 形 的 边 BC、CD上，监 控 的 区 域 为 四 边 形 A PC Q.记 ZBAP=0(0 0 b 0)的 右 顶 点 坐 标 为 A(2,0),左、右 焦 点 分 别 为 Fi、F 2,且|F1F 2|=2,直 线 1交 椭 圆 于 不 同 的 两 点 M和 N.(1)求 椭 圆 r 的 方 程；(2)若 直 线 1的 斜 率 为 1,且 以 MN为 直 径 的 圆 经 过 点 A,求 直 线 1的 方 程;(3)若 直 线 1与 椭 圆 相 切，求 证：点 Fi、F2到 直 线 1的 距 离 之 积 为 定 值.21.(问 答 题，0 分)对 于 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x),若 存 在 正 数 m 与 集 合 A,使 得 对 任 意 的 X1，X26 R,当 X 1 X 2，且 X2 X i S m 时,都 有|f(X2)f(X1)|G A,则 称 函 数 f(X)具 有 性 质(m,A).(1)若 f(x)=|2 x-l|,判 断 f(x)是 否 具 有 性 质(1,0,2),并 说 明 理 由;(2)若 f(x)=s in x,且 f(x)具 有 性 质(m,0,1),求 m 的 最 大 值;(3)若 函 数 f(x)的 图 像 是 连 续 曲 线，且 当 集 合 八 二(0,a)(a 为 正 常 数)时，f(x)具 有 性 质(1,A),证 明：f(x)是 R 上 的 单 调 函 数.2022年 上 海 市 松 江 区 高 考 数 学 二 模 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 试 题 数：21,总 分：（）1.（填 空 题，0 分）已 知 集 合 人=（-3,3）,集 合 B=0,1,2,3,4,5,则 AnB=_.【正 确 答 案】：口 0,1,2【解 析】：利 用 交 集 定 义 直 接 求 解.【解 答】：解：.集 合 A=（-3,3）,集 合 B=0,1,2,3,4,5,.AnB=0 1,2.故 答 案 为：0,1,2.【点 评】：本 题 考 查 集 合 的 运 算，考 查 交 集 定 义 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.2.（填 空 题，0 分）若 复 数 z=手，其 中 i为 虚 数 单 位，则|z|=_.1 21【正 确 答 案】：1 而【解 析】：根 据 已 知 条 件，结 合 复 数 模 公 式，即 可 求 解.【解 答】：解：*二 手，l-2l“团 一|1-24 一 9+（_2,-V、故 答 案 为：V5.【点 评】：本 题 主 要 考 查 复 数 模 公 式，考 查 计 算 能 力，属 于 基 础 题.3.（填 空 题，0 分）在 AABC中，若 cos4=-日，则 sinA=_.【正 确 答 案】：1代【解 析】：由 已 知 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 即 可 求 解.【解 答】：解：在 4ABC中，若 COS4=-T 0，所 以 A W（，n）,贝！J sinA=V1 cos2A=|.故 答 案 为：|.【点 评】：本 题 考 查 了 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 的 应 用，属 于 基 础 题.4.（填 空 题，0 分）若 函 数 f（x）=ax（a 0,a H l）的 反 函 数 的 图 像 经 过 点（4,2）,则 a=.【正 确 答 案】：口 2【解 析】：由 反 函 数 的 性 质 可 得 函 数 f（x）=ax经 过 点（2,4）,代 入 函 数 解 析 式 即 可 求 解.【解 答】：解：由 反 函 数 的 性 质 可 得 函 数 f（x）=ax经 过 点（2,4）,所 以 a 2=4,解 得 a=2或-2（舍 去），故 答 案 为：2.【点 评】：本 题 考 查 了 反 函 数 的 定 义，考 查 了 学 生 的 运 算 能 力，属 于 基 础 题.5.（填 空 题，0 分）在（x+）s 的 展 开 式 中，含 X3的 系 数 为【正 确 答 案】：1 5【解 析】：根 据 二 项 式 定 理 求 出 展 开 式 中 含 X3的 项，由 此 即 可 求 解.【解 答】：解：展 开 式 中 含 X3的 项 为 Cg X 4 Q=5 X3,所 以 X3的 系 数 为 5,故 答 案 为：5.【点 评】：本 题 考 查 了 二 项 式 定 理 的 应 用，考 查 了 学 生 的 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.x+y 16.（填 空 题，0 分）若 实 数 x、y 满 足 约 束 条 件 x-y W 4,则 z=3 x+y的 最 小 值 是 一.y-1 0【正 确 答 案】：口 1【解 析】：由 约 束 条 件 作 出 可 行 域，化 目 标 函 数 为 直 线 方 程 的 斜 截 式，数 形 结 合 得 到 最 优 解,把 最 优 解 的 坐 标 代 入 目 标 函 数 得 答 案.由 图 可 知 A（0,1）,由 z=3 x+y,得 y=-3x+z,由 图 可 知，当 直 线 y=-3 x+z过 A 时，直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 小，z 有 最 小 值 为 1.故 答 案 为：L【点 评】：本 题 考 查 简 单 的 线 性 规 划，考 查 数 形 结 合 思 想，是 基 础 题.7.（填 空 题，0 分）从 1,2,3,4,5 这 五 个 数 字 中 任 意 选 取 两 个 不 同 的 数 字 组 成 一 个 两 位 数,则 这 个 两 位 数 是 偶 数 的 概 率 为 _.【正 确 答 案】：1|【解 析】：由 列 举 法 可 得 所 有 基 本 情 况 数 及 满 足 要 求 的 情 况 数，再 由 古 典 概 型 概 率 公 式 即 可 得 解.【解 答】：解：由 题 意 任 取 两 个 不 同 的 数 字 组 成 1 个 两 位 数，共 有：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,5 4共 2 0个；其 中 偶 数 有：12,14,24,32,34,42,52,54 共 8 个；故 所 求 概 率 P=4=|.故 答 案 为:2-5【点 评】：本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 的 问 题，熟 记 概 率 的 计 算 公 式 即 可，属 于 常 考 题 型.8.（填 空 题，0 分）如 图 所 示，在 正 方 体 ABCD-AiBiCiDi中，若 E 是 D iC i的 中 点，则 异 面 直 线 A iC i与 D E所 成 角 的 大 小 为（结 果 用 反 三 角 函 数 表 示）【正 确 答 案】：larcco s詈【解 析】：由 异 面 直 线 所 成 角 的 求 法，结 合 空 间 向 量 的 应 用 求 解 即 可.【解 答】：解：设 AB=2,则 41cl 而=(反 一 万 彳)(00+1DC)=DC+DC2-DADD-DADC2,又|不 耳|=2或，|DF|=V5,设 异 面 直 线 A iC i与 D E所 成 角 的 大 小 为 0,(f|a _ 4 1.广.2 V 10|C i|D E|-2 7 2 x 7 5-1 0，即 异 面 直 线 A iC i与 D E所 成 角 的 大 小 为 arccos,故 答 案 为：arccos粤.10【点 评】：本 题 考 查 了 异 面 直 线 所 成 角 的 求 法，重 点 考 查 了 空 间 向 量 的 应 用，属 基 础 题.9.(填 空 题，0 分)己 知 正 实 数 a、b 满 足 a+b+4=2 a b,则 a+b的 最 小 值 为【正 确 答 案】：14【解 析】：直 接 利 用 基 本 不 等 式 转 化 求 解 即 可.【解 答】：解：a 0,b 0,且 a+b+4=2ab,可 得 4=2ab-(a+b)0,当 且 仅 当 a=b=2时 取 等 号，解 得 a+b 4,当 且 仅 当 a=b=2时 取 等 号，即 a+b的 最 小 值 为 4.故 答 案 为:4.【点 评】：本 题 考 查 基 本 不 等 式 以 及 应 用，考 查 计 算 能 力，属 于 基 础 题.10.(填 空 题，0 分)已 知 数 列 的 首 项 a i=2,且 对 任 意 的 n e N*,都 有 与+i=今；，则 吁+8。兀 一-,【正 确 答 案】：10【解 析】：由 已 知 数 列 递 推 式 可 得 数 列 是 以 3为 首 项，以(为 公 差 的 等 差 数 列，求 其 通 项 公 式，再 由 数 列 的 极 限 得 答 案.【解 答】：解：由*】=*，得 亳 与+?乂 的 2，数 列 2 是 以 为 首 项，以:为 公 差 的 等 差 数 列,则 上=：+：(九 一 1)=5，an 2 2 22-an=lim-=0.7 1+8 n-oo n故 答 案 为：o.【点 评】：本 题 考 查 数 列 递 推 式，考 查 数 列 极 限 的 求 法，是 基 础 题.1 1.(填 空 题，0 分)设 0 为 坐 标 原 点，P 是 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 y2=2px(p 0)上 任 意 一 点,M 是 线 段 P F上 的 点，且 丽=4而，则 直 线 O M斜 率 的 最 大 值 为【正 确 答 案】：口【解 析】：设 出 M 点 坐 标，利 用 向 量 法 求 得 P 点 坐 标 并 代 入 抛 物 线 的 方 程，求 得 直 线 O M斜 率 平 方 的 表 达 式，结 合 二 次 函 数 的 性 质 求 得 最 大 值.【解 答】：解：设 M(xo y),P(x,y),依 题 意 OP=OF+5FM=OF+5(OM-O f)=SOM-4OF,所 以(x,y)=5(w y0)-4 g，0)=(5%o-2p,5y0),所 以 P(5x0-2p,5 y 0),将 P 点 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 方 程 得：(5y0)2=2P-(5x0-2 p),整 理 得 光=,P g。?设 直 线 O M的 斜 率 为 k,则 卜 2=吗=殁 学=华(三)2+.三,XQ 25XQ 25 XQ/5 XQ2P根 据 二 次 函 数 的 性 质 可 知，当 二=-f=2 时，x0 _8P_ 4P25k2取 得 最 大 值 为 一 冬.(力 225 4 p 7 5 4p 4所 以 k 的 最 大 值 为=iy 4 2故 答 案 为：!.【点 评】：本 题 考 查 了 抛 物 线 的 性 质，属 于 中 档 题.12.(填 空 题，0 分)已 知 函 数/a)=占，g(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且 满 足 g(2+x)=g(2-x),当 xeO,2时,g(x)=log2(x+1).则 当 xGO,2022时，方 程 f(x)=g(x)实 根 的 个 数 为 一.【正 确 答 案】：11011【解 析】：根 据 函 数 的 解 析 式 可 得/(%)=看 的 图 象 关 于 x=2对 称，由 g(2+x)=g(2-x),y=g(x)图 象 关 于 x=2对 称，又 可 得 g(x+4)=g(x),所 以 函 数 y=g(x)的 周 期 为 4 的 周 期 函 数，易 得 方 程 f(x)=g(x)实 根 的 个 数【解 答】：解：函 数 f(x)=卷 的 图 象 关 于 x=2对 称，且/(%)=高 0,可 得 f(x)在(2,+00)单 调 递 减，由 g(2+x)=g(2-x),y=g(x)图 象 关 于 x=2 对 称，又 可 得 g(x+4)=g(x),所 以 函 数 y=g(x)的 周 期 为 4 的 周 期 函 数，当 x60,2时，g(x)=log2(x+l).可 知 函 数 在 0,2上 单 调 递 增，且 f(x)G0,ln3,所 以 当 x60,2时，f(x)=g(x)有 1 个 实 根，当 xe2,6时，f(x)=g(x)有 2 个 实 根，由 函 数 周 期 性 可 知 在 X N 2的 每 个 周 期 内 有 2 个 实 根，故 xe0,2022时，方 程 f(x)=g(x)实 根 的 个 数 为 1011个.故 答 案 为:1011.【点 评】：本 题 考 查 方 程 的 根 的 个 数，可 转 化 为 函 数 图 象 交 点 的 个 数，属 中 档 题.13.(单 选 题，0 分)下 列 函 数 中，与 函 数 y=x3的 奇 偶 性 和 单 调 性 都 一 致 的 函 数 是()A.y=x2B.y=x+sinxC.y=2WlD.y=tanx【正 确 答 案】：B【解 析】：结 合 基 本 初 等 函 数 的 单 调 性 及 奇 偶 性 分 别 检 验 各 选 项 即 可 判 断.【解 答】：解：因 为 函 数 y=x3为 奇 函 数，在 R 上 单 调 递 增，y=x2为 偶 函 数，不 符 合 题 意；y=x+sin x为 奇 函 数，且 y=l+co sx 2 0恒 成 立，即 在 R 上 单 调 递 增，符 合 题 意；y=2冈 为 偶 函 数，不 符 合 题 意；y=tanx在 定 义 域 上 不 单 调，不 符 合 题 意.故 选：B.【点 评】：本 题 主 要 考 查 了 函 数 奇 偶 性 及 单 调 性 的 判 断，属 于 基 础 题.14.（单 选 题，0 分）在 2022北 京 冬 奥 会 单 板 滑 雪 U 型 场 地 技 巧 比 赛 中，6 名 评 委 给 A 选 手 打 出 了 6 个 各 不 相 同 的 原 始 分，经 过“去 掉 其 中 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分”处 理 后，得 到 4 个 有 效 分.则 经 处 理 后 的 4 个 有 效 分 与 6 个 原 始 分 相 比，一 定 会 变 小 的 数 字 特 征 是（）A.平 均 数 B.中 位 数 C.众 数 D.方 差【正 确 答 案】：D【解 析】：根 据 平 均 值、中 位 数、众 数、方 差 的 定 义 即 可 得 解.【解 答】：解：去 掉 最 大 值 与 最 小 值 这 组 数 的 平 均 值 大 小 不 确 定，中 位 数 不 变，众 数 大 小 不 确 定，根 据 方 差 的 定 义，去 掉 最 高 分，最 低 分 后，剩 余 四 个 数 据 的 波 动 性 小 于 原 来 六 个 数 据 的 波 动 性，故 方 差 一 定 会 变 小.故 选：D.【点 评】：本 题 考 查 了 平 均 数、众 数、中 位 数 与 方 差 的 概 念，是 基 础 题.15.（单 选 题，0 分）设 函 数/（x）=sin（3%+勺（0 3 5）图 像 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 久=看,若 Xi、X2是 函 数 f（x）的 两 个 不 同 的 零 点，则 1X1*1的 最 小 值 为（）D.7T【正 确 答 案】：B【解 析】：根 据 对 称 轴 求 出 3=2,求 出 最 小 正 周 期，根 据 f（X1）=f（x2）=0,则 IX1-X2I的 最 小 值 为 半 个 周 期 即 可 求 出.【解 答】：解：.函 数 f（%）=s讥（3%+（0 3 5）图 像 的 一 条 对 称 轴 方 程 为=?I=Fkir,kZ,3=4+12k,kGZ,12 6 2 f(x)=sin(4x4-)，6 最 小 正 周 期 为,1 X l X2是 函 数 f(x)的 两 个 不 同 的 零 点,的 最 小 值 为 半 个 周 期，；.|X1-X2|的 最 小 值 为:.故 选：B.【点 评】：本 题 考 查 了 y=A sin(3 x+p)的 图 象 与 性 质，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 中 档 题.1 6.(单 选 题，0 分)已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 4,点 M、N 分 别 在 边 AD、BC上，且 AM=1,B N=2,若 点 P 在 正 方 形 ABCD的 边 上，则 丽 丽 的 取 值 范 围 是()A.-6,6B.-6,2C.-2,6D.-2,2【正 确 答 案】：C【解 析】：由 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 结 合 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 方 法 分 类 讨 论 当 点 P 在 AB线 段 上 运 动 时，当 点 P 在 BC线 段 上 运 动 时，当 点 P 在 CD线 段 上 运 动 时，当 点 P在 DA线 段 上 运 动 时，即 可 得 解.【解 答】：解：建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系,则 A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),M(0,1),N(4,2),设 P(x,y),则 后 府 丽=(-x,1-y)(4-x,2-y)=x24-y2-4x-3y+2,当 点 P 在 AB线 段 上 运 动 时，xeo,4,y=0,则 PM.pV=x2-4x4-2e-2,2,当 点 P 在 B C线 段 上 运 动 时，y60,4,x=4,丽 丽=y2-3y+2e，6,当 点 P 在 C D线 段 上 运 动 时，xeO,4,y=4,丽 丽=x2-4x+6C2,6,当 点 P 在 DA 线 段 上 运 动 时，yeO,4,x=0,PM-P N=y-3y+2,6,综 合 得：当 点 P 在 正 方 形 的 四 条 边 上 运 动 时，丽 西 的 取 值 范 围 是 卜 2,6,故 选：C.【点 评】：本 题 考 查 了 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 及 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 方 法，属 中 档 题.1 7.(问 答 题，0 分)如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD中，底 面 ABCD是 矩 形，PA1平 面 ABCD,PA=AD=1,AB=遮,F 是 P D的 中 点，点 E 在 棱 C D上.(1)求 四 棱 锥 P-ABCD的 全 面 积；(2)求 证：PE1AF.【正 确 答 案】：【解 析】：(1)根 据 题 意 可 证 明 侧 面 为 直 角 三 角 形，直 接 计 算 侧 面 底 面 面 积 求 和 能 求 出 四 棱 锥 P-ABCD的 全 面 积；(2)先 证 明 出 CD1平 面 P A D,再 证 明 AF1平 面 P D C,由 此 能 证 明 PE1AF.【解 答】：解：(1)-.-BC|AD,AD_L平 面 ABP,4(:！平 面 ABP,B P u平 面 ABP,.-.BC1BP,.zPBC=90,同 理 可 证 明 NPDC=90,四 棱 锥 P-ABCD的 全 面 积 为：S 全=5 JR4-SAPAB+S APBC+S APDC+S APAD=1 X V 3+1(1 X V3+1 X 2+V 2 X V3+1 X 1)3,3A/3,V6=-H-.2 2 2(2)证 明：:PA J 平 面 ABCD,CDu平 面 ABCD,.-CDIPA,vABCD 是 矩 形，.-.CD1AD,vPAnAD=A,.-.C D lffi PAD,AFu平 面 PAD,.AF1CD,PA=A D,点 F 是 P D的 中 点，.加 二。，又 P A=A D,点 F 是 PD 的 中 点，AFJLPD,CDCPD=D,.AF1 平 面 PDC,PEu平 面 PDC,.-.PE1AF.【点 评】：本 题 考 查 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质、四 棱 锥 的 全 面 积 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力,是 中 档 题.1 8.(问 答 题，0 分)在 等 差 数 列 an 中,已 知 ai+a2=10,a3+a44-a5=3 0.(1)求 数 列 a 的 通 项 公 式；(2)若 数 列 an+bn 是 首 项 为 1,公 比 为 3 的 等 比 数 列，求 数 列 bn 的 前 n 项 和 Sn.【正 确 答 案】：【解 析】：设 等 差 数 列 的 公 差 为 d,由 得 产 它 1，从 而 求 出 a1与 d 的 值 即 可 求 出 a j 的 通 项 公 式；(2)由(1)可 知(2 n+2)+b n=3 i,则 bn=3n l-(2 n+2),从 而 利 用 分 组 求 和 即 可 求 出 Sn.【解 答】：解：(1)设 等 差 数 列 aQ的 公 差 为 d,由%+a2=10(a3+%+=30得 解 得 建 2、所 以 an=4+2(n-1)=2 n+2(n G N*)；(2)由(1)可 知(2 n+2)+。=3 1,贝 I j bn=3i-(2 n+2)，所 以 Sn=3o+3i+3 4 i-(4+6+8+2 n+2)-(4+2 n+2)=-n2-3n.1 3 2 2【点 评】：本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式，分 组 求 和 法，考 查 学 生 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 的 能 力,属 于 基 础 题.1 9.（问 答 题，0 分）如 图，农 户 在 A B=100米、B C=8 0米 的 长 方 形 地 块 ABCD上 种 植 向 日 葵,并 在 A 处 安 装 监 控 摄 像 头 及 时 了 解 向 日 葵 的 生 长 情 况.监 控 摄 像 头 可 捕 捉 到 图 像 的 角 度 范 围 为 ZPAQ=45。，其 中 点 P、Q 分 别 在 长 方 形 的 边 BC、C D上，监 控 的 区 域 为 四 边 形 A P C Q.记 ZBAP=O（00所 以 S&ABP=-BP=SOOOtanO,S&ADQ=-DQ=3200t(zn 居 一，所 以 S=8000-SM B P-SADQ=8000-5OOOtan0-3200tan Q-0)=200(40-(25tanO+16-),1+tanOJl令 x=l+t a n 8,贝 i j tan0=x-l,l-tan0=2-x,o c 25tan0+1d(6-1-t-a-n-O-=25(x-1i)、+i 1d 工 6-2-X=-2-5-x-2-2-5-X-+-3-2-1-6-x-=2n5 cx H-.-3-2-441、l+tanQ、x x x2V25-32-4 1=40V2-41,S=200(40-(25tan0+16 200 x 40-(40夜-41)4886,此 时 25%=三，x=,tanO=1,即 0=arctan-1）时.故 当。=arctan-1)时，监 控 区 域 四 边 形 APCQ的 面 积 S 最 大 约 为 4886.【点 评】：本 题 考 查 解 三 角 形，考 查 学 生 的 运 算 能 力，属 于 中 档 题.2 0.(问 答 题，0 分)已 知 椭 圆 八|+，=l(a 匕 0)的 右 顶 点 坐 标 为 A(2,0),左、右 焦 点 分 别 为 Fi、F2,且|FI0|=2,直 线 1交 椭 圆 于 不 同 的 两 点 M和 N.(1)求 椭 圆 的 方 程；(2)若 直 线 1的 斜 率 为 1,且 以 MN为 直 径 的 圆 经 过 点 A,求 直 线 1的 方 程；(3)若 直 线 1与 椭 圆 相 切，求 证：点 Fi、F2到 直 线 1的 距 离 之 积 为 定 值.【正 确 答 案】：【解 析】：(1)根 据 2c=2,a=2,b?=a2-c2=3,即 可 求 得 椭 圆 方 程；(2)设 直 线 1的 方 程，代 入 椭 圆 方 程，利 用 韦 达 定 理 及 彳 耘.而=0,即 可 求 得 直 线 1的 方 程；(3)分 类 讨 论，当 直 线 1的 斜 率 存 在 时，设 直 线 1的 方 程 y=k x+b,与 椭 圆 方 程 联 立，由 A=0,可 得 b2=3+4k2,结 合 点 到 直 线 的 距 离 公 式，即 可 求 得 点 Fi、F2到 直 线 1的 距 离 之 积 为 定 值.【解 答】：解：(1)因 为|FIF2|=2C=2,则 C=1,因 为 a=2,b2=a2-c2=3,所 以 椭 圆 的 方 程 1+4=1;(2)因 为 直 线 1的 斜 率 为 1,故 设 直 线 1的 方 程 为 丫=*+111,设 M(x i，yi),N(X 2,y2),ry=x+m由 2 y2 消 去 y,整 理，得 7x2+8mx+4m2 12=0,I-=13mii.8m 4 m2-1 2则+%2=一 彳，=-，因 为 以 MN为 直 径 的 圆 经 过 右 顶 点 A,所 以 宿 前=0,所 以(Xi-2)(X 22)+yiy2=0,所 以 xrx2-2(%i+%2)+4+(%1+m)(%2+m)=2xrx2 4-(m-2)(/+x2)+4+m2=2 x 4、12 8-2)x 等+4+m2=0,整 理 得，7m2+16m+4=0,所 以 m=-2 或 m=-,，因 为 A=64m2-4x7x(4m2-12)=16(21-3m2),显 然 当 m=-2或 m=-1时，成 立 所 以 直 线 1的 方 程 为 y=x-2或 y=%-彳；(3)证 明：椭 圆 的 左、右 焦 点 分 别 为 Fi(-1,0),F2(1,0),当 直 线 1平 行 于 y 轴 时，因 为 直 线 1与 椭 圆 相 切，所 以 直 线 1的 方 程 为*=2,此 时 点 Fi、F2到 直 线 1的 距 离 分 别 为 di=l,d2=3,所 以 didz=3,(2)当 直 线 1不 平 行 与 v 轴 时，设 直 线 1的 方 程 为 y=kx+b,联 立+b 消 去 y,整 理 得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,(3xz+4yz-12=0所 以，A=64k2x2-4(3+4k2)(4b2-12)=16(9+12k2-3b2),因 为 直 线 1与 椭 圆 r 相 切，A=0,所 以，b2=3+4k2,因 为 Fi(-1,0)到 直 线 1的 距 离 为 刈=4/，F2(-1,0)到 直 线 1的 距 离 为 d2=震 胃,听 以，一 _ 以-3 _ 以-(3+如)|_|3+3e_所 以 点 Fi、F2到 直 线 1的 距 离 之 积 为 定 值，且 定 值 为 3.【点 评】：本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程，直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，考 查 韦 达 定 理，向 量 的 坐 标 运 算，点 到 直 线 的 距 离 公 式，考 查 转 化 思 想，分 类 讨 论 思 想，计 算 能 力，属 于 难 题.21.(问 答 题，0 分)对 于 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x),若 存 在 正 数 m 与 集 合 A,使 得 对 任 意 的 X1，X26R,当 X1X2，且 X2-XiWm 时，都 有|f(X2)-f(Xi)|CA,则 称 函 数 f(x)具 有 性 质(m,A).(1)若 f(x)=|2x-l|,判 断 f(x)是 否 具 有 性 质(1,0,2),并 说 明 理 由；(2)若 f(x)=sinx,且 f(x)具 有 性 质(m,0,1),求 m 的 最 大 值；(3)若 函 数 f(x)的 图 像 是 连 续 曲 线，且 当 集 合 庆=(0,a)(a为 正 常 数)时，f(x)具 有 性 质(1,A),证 明：f(x)是 R 上 的 单 调 函 数.【正 确 答 案】：【解 析】：(1)由|f(x2)-f(x i)|=|2 X2-1|-|2 XI-1|2(X2-X I)2 可 得 结 论；(2)xi=x,X2=x+t,tG(0,m),则|f(x+t)-f(x)|7(1-c o st)2+s in2t=2|sin 1 1 1,可 求 得 m 的 最 大 值；(3)由 题 可 得 恒 有 0 V|f(x z)f(x i)|0 或 恒 有 f(x?)f(x i)0 成 立，再 由 反 证 法 证 明 即 可.【解 答】：解：(1)具 有，理 由 如 下：对 一 切 X1，X2G R,当 X1VX2，且 X2-X1W1,由 于|f(X2)-f(x i)|=|2 X2-1|-|2XI-1|2(X2-X1)2.所 以 f(x)具 有 性 质(1,0,2)；(2)令 xi=x,X2=x+t,tG(0,m),贝 U|f(x+t)-f(x)|=|sin(x+t)-sinx|=|(cost-1)sinx+sintcosx|,.,.|f(x+t)-f(x)I 7(1 c o st)2+s in2t=2|sin 11,vf(x)具 有 性 质(m,0,1),当(0,m)时，恒 有 2|s i n 区 1,即|s i n q|4：,*,tE(0,3 J所 以 mmax=g;(3)证 明：.函 数 f(x)具 有 性 质(1,A),对 任 意 的 区 间 xo,Xo+1,当 x i，X26XO，X O+1,X1VX2 时，都 有 0 0 或 恒 有 f(X2)f(Xi)0,若 存 在 X1，X2，X3GXo，Xo+1,X1X2 f(X2)且 f(X2)f(X1)，当 或 式 中 有 等 号 成 立 时，与 0 V|f(X2)-f(X1)|矛 盾；当 两 式 中 等 号 均 不 成 立 时，f(X)的 函 数 值 从 f(X1)连 续 增 大 到 f(X3)时，必 存 在 SW X2,X3使 得 f(S)=f(Xl),也 与 0 V|f(X2)-f(X1)I矛 盾，同 理 可 证 f(X1)f(X3)也 不 可 能.对 任 意 的 区 间 Xo，X o+1,当 X 1，X2eXo，Xo+1,X1VX2 时,恒 有 f(X2)-f(Xl)0 或 恒 有 f(X2)-f(Xl)0,对 任 意 的 x i，X2GR,xiX 2，总 存 在 k N,使 得：k X 2-x i 0 时，f(X1)f(X 1+1)f(X 1+2).f(Xi+k)f(X2),此 时 f(x)在 R 单 调 递 增，当 f(X2)-f(Xi)f(xi+1)f(xi+2).f(xi+k)f(X2)成 立，此 时 f(x)在 R 上 单 调 递 减，综 上 可 知 f(x)是 R 上 的 单 调 函 数.【点 评】：本 题 属 于 新 定 义 问 题，考 查 了 学 生 的 逻 辑 推 理 能 力 和 理 解 能 力，关 键 在 于 理 解 所 给 定 义，一 般 就 是 需 要 具 体 化 新 定 义 的 内 容，研 究 所 给 特 例 问 题，一 般 需 要 化 抽 象 为 具 体，具 有 很 强 的 类 比 性，对 类 比 推 理 要 求 较 高，属 于 难 题.