初中中考总复习数学《一次方程及方程组》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

中考总复习：一次方程及方程组一巩固练习【巩固练习】一、选择题1.小明在解关于X、y的二元一次方程组X44-07 V =3,时得到了正确结果1 x=,后来发现3x-y=1 y=1.“”“”处被墨水污损了，请你帮他找出、处的值分别是()A.0 二 1,=1 B.因 二 2,二 1 C.二 1,二 2 D.二 2,二 22.方程组2+3y =4的 解 是().-3y =-1A.=T B.f =1 c.卜=).x=-2y =-1 y =1 y =-2 y =-13.已知方程组卜x-b y =4 的解为f =2,则 22_ 3b 的 值 为().ax+b y =2(y =1A.4 B.-4 C.6 D.-64.(2014春昆山市期末)方程x+2y=5 的正整数解有()A.一组 B.二组 C.三组 D.四组5 .小 明买书需用4 8 元，付款时恰好用了 1 元和5元的纸币共12张，设所用的1 元纸币为x 张，根题意，下 列 所 列 方 程 正 确 的 是()A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48 C.*+12(矛-5)=48 D.5 x+(12-x)=486 .九(3)班的5 0名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4 人，则这两种实验都做对的有()A.17 人 B.21 人 C.25 人 I).37 人二、填空题7 .已知x、y满足方程组2 1 尸 5 则 x-y的值为一j H-2y=48 .已知|X 1|+(2y+l)J。，且 2xk y=4,贝 ij k=.9.(2014春故城县期末)如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住了 27 c m z 的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为3c m2,且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是10.已知关于x、y的二元一次方程(al)x+(a+2)y+5 2 a=0,当 a 每取一个值时，就有一个方程,而这些方程有一个公共解，这个公共解是11.已知关于x 的方程a(2x-l)=3x2 无解，则 a 的值为.12.已知下面两个方程3(x+2)=5x；4x3(ax)=6 x 7(ax)；有相同的解,则a 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _三、解答题13.某校的一间阶梯教室，第 1排的座位数为a,从第2 排开始，每一排都比前一排增加b个座位。请你在下表的空格里填写一个适当的代数式:第 1排的座位数第 2 排的座位数第 3 排的座位数第 4 排的座位数.aa+ba+2b.已知第4 排 有 18 个座位，第 15 排座位数是第5 排座位数的2 倍，求第21排有多少个座位？14.(2014春文登市校级期中)(1)工(一二二 33 L(2)万x+1 为Qm2-手 132(x+1)y=ll.1 5 .某体育彩票经销商计划用4 5 0 0 0 元从省体彩中心购进彩票2 0 扎，每 扎 1 0 0 0 张，已知体彩中心有A,B,C 三种不同价格的彩费，进价分别是A 种彩票每张1.5 元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元.(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票2 0 扎，用去4 5 0 0 0 元，请你设计进票方案；(2)若销售A型彩票一张获手续费0.2 元，B型彩票一张获手续费0.3 元，C 型彩票一张获手续费0.5 元.在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？(3)若经销商准备用4 5 0 0 0 元同时购进A,B,C 三种彩票2 0 扎，请你设计进票方案.1 6 .某玩具厂工人的工作时间规定：每 月 2 5 天，每 天 8 h,待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利工 资 1 0 0 元，按月结算。该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品，可得到报酬0.7 5 元，每生产一件B 种产品，可得报酬1.4 0 元，下表记录了工人小李的工作情况：生产A 种产品件数(件)生产B种产品件数(件)总 时 间(m i n)113 5328 5根据上表提供的信息，请回答下列问题：(1)小李每生产一件A 种产品、每生产一件B 种产品，分别需要多少分钟？(2)如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？【答案与解析】一、选择题1 .【答案】B；X=.【解析】把+=3,3x-=1+0=3-0=1=2(8)=1代入解得2 .【答案】B；【解析】+,得 3 x=3,；.x=l.把 x=l 代入，得 l+3 y=4,y=l.3 .【答案】C；【解 析】由 题 意 可 知 上 方,解得_ 3a =万，.2 a-3 b=6.b =-14.【答 案】B；【解析】由已知，得x=5-2 y,要 使x,y都是正整数，则y=l,2时，相 应x=3,1.X i=3 f x?=l所 以 有2组，分别|(J .故 选B.丫1=1 M=25.【答 案】A；【解 析】1元 纸 币x张，则5元 纸 币(1 2 x)张，共 值4 8元，则1 x+5(1 2 x)=4 8.6【答 案】C；【解 析】设这两种实验都做对的有x人，(4 0-x)+(3 1 -x)+x+4=5 0,x=2 5.故 都 做 对 的 有2 5人.故 选C.二、填空题7.【答 案】【解 析】8.【答 案】【解 析】1;2 x+y =5 ,_ 一 ，得 x y=l.x+2 y =4 k=4；由 已知得 x 1=0,2 y+l=0,x=l,y=,t E-2E11 代入方程 2 x k y=4 中，2+k=4,A k=4.y =229.【答 案】【解 析】1 1 c m2；设 正 方 形A的 面 积 为x c n?,正 方 形B的 面 积 为y e n?,由题意，得x+y -3=2 7y-3=2 (x -3)解得:x=l ly=1 9故答案为：l l c m?.-f x =3i o.【答 案】4 y =-1【解 析】解 法 一：取 a=l,得 3 y+3 =0,尸 一1,取 a=-2,得-3 x+9=0,x=3,.卜=3 二 Vy =-l解 法 二：整理，得(x+y 2)a=x 2 y 5,.方程有一个公共解，尤+y _ 2 =0 人 /x=3解得x-2 y-5 =0=-131 1 .【答案】a=；2【解析】将原方程变形为2 a x a=3 x-2,即(2 a-3)x=a-2.由已知该方程无解，所以|=。一2刈3 3解 得a=二，所以a=即为所求.2 291 2.【答案】-；2【解析】由方程可得3万 一5犬=-6,所以x=3.由已知，x=3也是方程的解，根据方程解的定义,把 x=3 代入方程，有 4 X 3 3(a 3)=6 X 3 7(a 3),7(a-3)-3(a-3)=1 8-1 2,、1 8 94 (a-3)=6,4 a 1 2=6,4 a=1 8,a.4 2三、解答题1 3.【答案与解析】(1)a+3h(2)依题意得a+3b-ISa+1 48 =2(。+4b)1 4.解:解得4a-VIb=2.,.12+20X2=52答：第21排有5 2个座位.【答案与解析】(1)亨 甫:3 1 3 Ct 0 x 24,x l 2得:8 m-6 n=72 9 m-6 n=23 4 -得：m=1 6 2,代入得：n=204,方程组的解为：而1 6 2l n=204(2).号=2y02(x+1)-y=ll由得：y=2x-9,12(2x-9),3解得：x=5,代入 y=2x-9 得：y=l,方程组的解为:x=5y=l15.【答案与解析】设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，B种彩票y张，C种彩票z张,则可分以下三种情况考虑：x+y=1000 x20,1.5+2y=45000(1)只购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组解得x0,所以无解.只购进A种彩票和C种彩票,依题意可列方程组4M黑。解得x=5000z=15000,v 华只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组上y +z=1000 x 20,，解.得 1 y-10000,2y+2.5z=4500 1z=10000综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A种彩票5扎,C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎.(2)若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎,销售完后获手续费为0.2X5000+0.5*15000=8500(元);若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3X 10000+0.5X 10000=8000(元),为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎.(3)若经销商准备用45000元同时购进A,B,C三种彩票共20扎.设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎，则 x+y+z=20,y=-2x+10 1.5x1000 x+2x 1000y+2.5x 1 OOOz=45000 z=x+10，lWx5,又：x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎,C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎,B种2扎,C种14扎.16.【答案与解析】(1)设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，据题意,得4x+y=353x+2y=85解之,得x=15”20（2）方法一：设小李每月生产A种产品x 件，B种产品y 件（x、y 均为非负整数）,月工资数目为w元，根据题意，15x+20y=25 x 8 x 60得 0,y0y-600-0.75JC即 卬=-0.3x+940,由于一0.30,因此当x=0时,0 x800W 最 大=-0.3 0+9 4 0,当 x=8 00 时，W E 小=-0.3 8 00+9 40=700,因为生产各种产品的数目没有限制，所以700 w W 9 40,即小李每月的工资数目不低于700元而不高于9 40元.方法二：由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利0.05 元，生产B 种产品每分钟可获利0.07元,若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为700元，若小李全部生产B 种产品，每月的工资数目为9 40元，小李每月的工资数目不低于700元而不高于9 40元.中考总复习：一次方程及方程组一知识讲解责编：常春芳【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组;3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.应用概念二元(三元二次方程组【考点梳理】考点一、一元一次方程1.等式性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解（一元方程的解也叫做根）.（3）求方程的解的过程，叫做解方程.3 .一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式：办+6 =0（。0）.（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1；检验（检验步骤可以不写出来）.要点诠释：解一元一次方程的丁雄步骤步骤名 称方法依 据注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边等式性质1移项一定要改变符号（右边）4合并同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加1、整式的加减；2、有理数的加法法则单独的一个未知数的系数为 1 ”5系数化为在方程两边同时除以未知数的 系 数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）等式性质2不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数分母）*6检根x=a方法：把 x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果.若 左 边=右边，则 x=a 是方程的解；若 左 边 W右边，贝！|*=2 不是方程的解.注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组1 .二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1 次，这样的方程组都叫做二元一次方程组.2 .二元一次方程组的一般形式ax+by=qa2x+b2y=c2要点诠释：a i x a?不同时为0,b i、b 2 不同时为0,a 1、b i 不同时为0,a 2、b z 不同时为0.3 .二元一次方程组的解法（1）代入消元法：（2）加减消元法.要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解.教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透.（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y=0 时，求 x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程（组）解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2 .设:选择恰当的未知数（直接或间接设元），注意单位的统一和语言完整；3 .歹 U：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程（组）；4 .解:解所列的方程（组）；5 .验：（有三次检验是否是所列方程（组）的解；是否使代数式有意义；是否满足实际意义）；6 .答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用C 1.如果方程|x 2 i -；=1是关于x的一元一次方程，则 n的值为（）.A.2 B.4 C.3 D.1【思路点拨】未知数x的指数是1 即可.【答案】B；【解析】由题意可知2 n-7=l,.，.n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解.举一反三：【变 式 1己知关于x的方程4 x-3 m=2 的解是x=5,则 m的值为.【答案】由题意可知4 X 5-3 m=2,：.m=6.【高清课程名称：一次方程及方程组高清I D 号-：4 0 4 19 1关联的位置名称（播放点名称）：例 4】【变式2】若 a,6 为定值，关于x的一元一次方程注匕一土二竺=2无论A 为何值时，它的解总是1,3 6求 a,6的值.【答案】a=0,b=l l.C2.（2 0 15 顺德区校级三模）一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的2 5%,下午收割了剩下麦田的2 0%,结果还剩下6公顷麦田未收割.这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x公顷，根据上午收割了麦田的2 5%,则剩余x （1-2 5%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的2 0%,则剩余x （1-2 5%）（1-2 0%）公顷，进而求出即可.【答案与解析】解：设这块麦田一共有x公顷，根据题意得出：x （I-2 5%）（1 -2 0%）=6,解 得:x=10,答：这块麦田一共有10 公顷.【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键.举一反三:【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高3 0%后标价，再 打8折(标 价 的8 0%)销售，售价为2 0 8 0元.设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是()A.x(l +3 0%)x 8 0%=2 0 8 0 B.x-3 0%-8 0%=2 0 8 0C.2 0 8 0 x 3 0%x 8 0%=x D.x-3 0%=2 0 8 0 x 8 0%【答案】成本价提高3 0%后标价为x(l +3 0%),打8折后的售价为x(l +3 0%)x 8 0%.根据题意，歹U方程得x(l +3 0%)x 8 0%=2 0 8 0,故选A.类型二、二元一次方程组及其应用3.(2 0 15春宁波期中)解下列方程组.2 x+3尸7(x=-2 j H-3/0 f 2 n r t-3 n=1 3 3 m-4n=-6【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可.【答案与解析】解一、f 2 x+3产7 解：(1)V 尸 x=-2/3 将代入得：2 (-2 y+3)+3 y=7,去括号得：-4y+6+3 y=7,解 得:y=-1 将y=-1代 入 得:x=2+3=5,则 方 程 组 的 解;y=-l/2/3甲1 3 3 m-4n=-6 x4+x3 得：1 7 m=3 4,解 得:m=2,将m=2代入得：4+3 n=1 3,解得：n=3,则方程组的解为 2.l n=3【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三:x+4=14,4 3 12【变 式 1 解方程组x=3 三方程化为3%一 4y=-2 ,再用加减法解，答案？尸.卫【高清课程名称：一次方程及方程组 高 清 I D 号：4 0 4 1 9 1 关联的位置名称(播放点名称)：例 3】.a:b:c=3 4;5,【变式2】解方程组,【答案】a=9,b=1 2,c=1 5.C4.小 王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示.根据图中的数据(单位：m ),解答下列问题：(1)写出用含x、y 的代数式表示的地面总面积；(2)已知客厅面积比卫生间面积多2 1 m 2,且地面总面积是卫生间面积的1 5倍，铺 I n?地砖的平均费用为8 0元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题.【答案与解析】(1)地面总面积为:(6%+2 y+1 8)m2；(2)由题意，得火o 6 x+2 y+1 8 =1 5x 2 y.x=4,解之，得 3k=2-a.地面总面积为：6 x+2 y+1 8=6 X 4+2 X -+1 8=45(m2).2 铺 I m 2 地砖的平均费用为8 0元，铺地砖的总费用为：45X 8 0=3 6 00(元).【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图 方 式 放 置.测 量 的 数 据 如 图，则 桌 子 的 高 度 是()A.7 3 cm B.7 4cm C.7 5cm D.7 6 cm【答 案】设 桌 子 高 度 为acm,木 块 竖 放 为b cm,木 块 横 放 为ccm.则a+h-c=80a+c-b=70，解得a=7 5 故 选C.类型三、一 次 方 程(组)的 综 合 运 用C5.某县为鼓励失地农民自主创业，在2 01 2年 对6 0位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励1 0万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1 000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再 给 予2 000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人 以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予10 0 0元奖励：自主创业 且 解 决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再 给 予2 0 0 0元奖励列方程求解.【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 10 0 0 x+(60 -x)(10 0 0+2 0 0 0)=10 0 0 0 0,解 得：x=4 0,/.60-x =60-4 0=2 0答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有4 0人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就 业一年以上的农民有2 0人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上 的 农 民 有 分 别 有x,y人，根据题意列出方程组:x+y=601000%+(1000+2000)y=100000解 得：y=20 x=40答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有4 0,自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一 年 以 上 的 农 民 有2 0人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变 式】某公园的门票价格如下表所示:购票人数1 5 0 人5 1 10 0 人10 0人以上票价10元/人8元/人5元/人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人.如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元.问：甲、乙两班分别有多少人？【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得：8x+10y,=920 解得：x=555(x+y)=515 y=48答：甲班有55人，乙班有4 8人.Cb.在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时、辆，根据题意得：-Z =2xl0000 解 得 卜=11000y =x+2000 y =13000答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.