2022年高考数学一轮复习平面向量的数量积精讲（解析版）.pdf
10.2平面向量的数量积（精讲）思维导图加法 a=C*i,H)，。=(应，刀)，则 a+。=&+*,刃+-*-减 法-a=(*1,必)，1=(*2,/)，则a-X 乂-刃)-坐标运算若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.向量坐 f _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _标的求法 设 d（xi,.ri）,8（内,户），则 通=8*1中-1）,|AB|=yl（xi xi）2+（n j i）2.-己知两个非零向量；和A,作 近=；,O B=b,则N/10B就是向量：与S的夹夹角 角，向量夹角的范围是：0,n.定义设两个非零向量；，的夹角为仇则数量|；|向cosG叫做；与0的数量枳，记作；小投影|；|C O 5 6叫做向量；在，方向上的投影，Blcos 6叫做向量b在；方向上的投影几何意义数量枳；上等于；的长度|；|与，在；的方向上的投影|E|COS夕的乘枳交换律：a-b=b-a数乘结合律：(za)b=x(i b)=i(zb)运算律 分配律：a,(S+c)=a A +a,c性质及其坐标表示设非零向量a=(n,ji),b=(,j-2),0=.结论几何表示坐标表示模|a|=a日 尸 祝+旧数量枳a-=|a|b|cos夹角嚅xixiyiyi5 一 际.麻a _L ba b=0XJX2+*V*2=O1;由与 R i的关系1；小日;B亩xw2+j 出i+?i/ia=Xb常见考法考 点 一 坐标运算【例 1】例）（20 21 四川射洪中学高三月考（理）已知。=（3,1）/=（2,团，若则实数4 的值为（）2 3 八 2 3A.一 一 B.一 一 C.-D.-3 2 3 2（2）（20 21 深圳市第七高级中学高三月考）已知向量。=（2,6），=（2,4）,若。则（）A.石 B.5 C.2x/5 D.4班【答案】（1）C （2）B2【解析】因为/，所以3之-2=0,解得义=故选：C（2）由向量&=（2,机），6 =（2,4）,a Lb/.2x2+4x/n=0 ,所以zw =1,a =（2,-1）,；.a-6 =（0,-5）,即卜-.=5.故选：B【一隅三反】1.（20 21 海南昌茂花园学校高三月考）已知向量a =（x+2,3）,1=（x,l）,且。力，则x 的 值 是（）A.-1 B.0 C.2 D.1【答案】1）【解析】由题意x+2-3x=0 x=.故选：D.2.（20 21 全国高三专题练习）已知向量。=（2/=（3,2）,则|4=（）A.近 B.2C.5 后 D.5 0【答案】A【解析】由已知，a-6 =（2,3）-（3,2）=（-1,1）,所以|-6=斤 茄 丁 =血，故选：A.3.(20 21 全国高三专题练习(文)若向量A B =(1,2),B C =(3,4),则AC=()A.(4,6)B.(-4,-6)C.(-2,-2)D.(2,2)【答案】A【解析】AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6).故选：A4.(20 21 全 国高三月考(理)若向量。=(1,-3),f t =(-2,6),贝 IJ()A.a V b B.&与 b同向 C.d与 反 向 D.|a|=2|/?|【答案】C【解析】Q,=1 x(2)+(3)x6 =20 w0 ,故 A 错误；=(_ 2,6)=-2(1,-3)=-2，.A 与反向，故 B 错误，C 正确；|a|=7 1+9 =7 1 0,|=7 4+36=2/1 0 ,b=2a,故 D 错误；故选：C.5.(20 21 全国高三专题练习(理)已知a =(x,1),6 =(-2,4),若(a +6)，6,贝 U r 等 于()A.8 B.1 0 C.1 1 D.1 2【答案】D【解析】V a=(x,1),b=(-2,4),：.a+b=(x-2,5),又(a +6)_ L ；.(x-2)x(-2)+20 =0,可得产 1 2.故选：I)考 法 二 数 量 积【例 2】(l)(20 21 江苏姑苏苏州中学高三月考)已知非零向量”，的夹角为60，且忖=1,|2。-陷=1,则卜|=()A.1 B.1 C.y/2 D.2(2)(20 21 河南高三月考(文)已知向量a,b的夹角为1 2 0,且同=1,忖=2,贝今(2a +b)=()A.-8 B.-5 C.2 D.1 9【答案】(1)A (2)B【解析】因为非零向量a，的夹角为60,且恸=1,所以a 问 用 4 8 s6 0=；卜|，又因为|2 0 =1,所以（2 耳=1,即江+d一 4a/=1，所以4卜+时-4 3 卜卜1 整理可得：4卜 -2忖=0,因为,卜 0,解得：卜卜J，故选：A.（2）a 力=l x2x（-；）=-l.（a-36）-（2a +6）=2闷2 _ 5 a/_ 3 W=2xl-5 x（-l）_ 3x4=-5.故选：B.【一隅三反】1.（20 21 全 国（文）设非零向量a，满足卜+可=日一可，则（）A.ab B.H=WC.a/lb D.【答案】A【解析】由题意，非零向量a，力满足k +b|=|a-q,平方可得7+/+32=?_ 2：工+，可得”力=0,则a,。故选：A.2.（2 0 2 1 河北武强中学高三月考）已知非零向量a,满足|a|=2|A|,且（a-b）力=0,则。与b的夹角为.【答案】y【解析】由题意，设|=2|b|=2 f（f 0）,又（a-b b=Q =a-b=b2=t2,设。与b的夹角为氏所以M品所以。号 故 答 案为：三考点三取值范围【例 3】（1）（2 0 2 1 全国高三专题练习）设向量O A =（1,-2）,OB=3,1）,=（一。，0）,其 中 0为坐标原点，a 0,6 0.若 4 B,C 三点共线，则 a 6 的最大值为（）1-6民1-81-A.41-9D.（2）（2 0 2 1 上海局三）已知边长为1 的正方形A 8 C。中，点尸是对角线AC上的动点，点。在以为圆心以 1 为半径的圆上运动，则4PAQ的取值范围为（）A.0,2 B.fl-V 2,2 C.0,V 2 +l l D.|l-/2,l +7 2【答案】(1)C (2)D【解析】(1)因为O A =(1,-2),O B =(a,-1),O C =(。，。)，所以 A B =O B O A =(a 1,1),A C =O C OA=b,2).因为4 B,，三点共线，所以A 3 =4 AC，即(a 1,1)=4(一。一1，2),u =4(b 1)所以,；“可得2 d+6=1.1 =2 X因为a 0,b 0,所以所以a/W J.当且仅当2 a=6=J时取等号.因此劭的最大值8N为Q.故选：C.8(2)如图以A B,A D为x,y轴，建立平面直角坐标系，设尸”,如,Q(c o s 6,l+s i n。)，AP=(t,t),A Q=(c o s e,l+s i n。)，t G 0,1J,0 e O,2)A P-AQ=tc o s0+t+tsn0=+,4APAQ&-y2,+41,二 A P A。的取值范围为 1-夜,1+夜 .【一隅三反】1.（2 0 2 1 江苏扬州高三月考）已知向量a，b满足卜-。|=2,且b =（l,G）,则口的取值范围是（）A.0,2 B.2,4 C.2,4 D.1,4【答案】B【解析】由*4 =2 可得（a-4=4 即J+24力=4,设向量3,夹角 为 氏 则。目0,司,由数量积的定义可得：|才+用-2忖.忖.cos 6=4,因为b=（l,6）,所以忖=布 b=2,所以M-4p/|cos0=0,当 卜|=0 时，显然成立;当 中。时，可得CS”L4 1因为6 e0,可，所以c o s 0 e -l,l,因为此 0,+1所以。监,+1即,4 4忖，可得0忖4 4,所以0 4 H 4 4,所以，的取值范围是：0,4,故选：B.2.（2021 浙江高三月考）边长为2 的正三角形A8C内一点M（包括边界）满足：CM=1 C4+e/?）,则 C 4 8M 的取值范围是（）4 21 2 2 r 4 4A.B.C.-D.-2,21 3 3 L 3 3j L.3 3【答案】B2【解析】因为点“在，ABC内 部（包括边界），所以由。=G 4（BC+CM）=C 48C +gcA+/lC8C 4 2 cl 2 2一=-2 H F 2A=F 22 G ,一3 3 L 3 3_,故选：B.3.（2021 福建南平市）已知单位向量q，心 的夹角为与，则e-Ae2的最小值为（）A.B.7 C.222【答案】C【解析】T T f T 2 7 r 1因为 0 4 l i e 2 1c o s =一 万,34D.2 T -T T所以,一%/=，；+丸 4-2 4。2 =+2+1=f A 4-j+厚,1 4 4i 茂 e A e2 N.故选：C.4.（2 0 2 1 重庆北硝西南大学附中高三月考）在 A B C 中，BC CA=CA AB,BA+BC=2,则B A-B C 的取值范围是（）A.(一 8,1B.0,1 C.0,1D.-223【答案】C【解析】在册4 M C 中，8 c.e 4 =C 4.A 8,即 C A(8 C+3 A)=0,取 A C 中点即 C A-2 B O =0，则 G 4 _LA”又劭是中线，所 以 A 8 C 是等腰三角形,BA=BC.由忸 +8 4 =2 囱=2,即,4=1,网小牛吃,c o s 2BA.BC=|B4 M-COSB=-c o s 21 n 2 c o s 8 c 2-c o s B=-=2-cMoes 8 1 +c o s B 1 +c o s B t2由/吟，则O M 8 S B ,所以班 衣=2-三e 畤.故选：C.5.（2 0 2 1 全国高三月考（理）已知在一A B C 中，AB=AC=2,B C =3,点E是边8 C 上的动点，则当E 4.所取得最小值时，回 卜()A 历 R/37 r V io n V 1 44 2 2 2【答案】A4+9-4 3【解析】在 A B C 中，A B =A C =2,BC=3,c o s Z A B C =-=2 x 2 x 3 4EA EB=EB（E B+B A）=EB：+EB BA=EB+|EB|BA|COS（-Z A B C）=B：-|EB|916则 当 阿=（时，VEB取得最小值-2，此时IEAI2=4+-2X2X-XCOSZ A B C =,|EA|=I I 16 4 16 I I 4故选：A .
