高考复习-不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（基础版）（解析版）.pdf

2.1不等式的性质及一元二次不等式(精讲)(基础版)思傩身囹不等式的性质对称性：a b0bb+c6)可乘性：ab,a b,o 0be G)同向可加性：*b,同向同正可乘性：心方 0,O&A。ajcbd 同正可乘方性：加 力 二 0，Q为”(N,nl)_ 元 次 移项，系数变1,丕黑或二在不等式的两边同乘以一个正数,不等号方向不变;I同乘以一个负数，不等号方向改变.因式分解、公式法、配方法、直接开方法二 元 二 次 不 笑 式 f若有两根，开口向上,大于号取两边,小于号取中间7 开口前卞.大于号取中间,小于号取两边不等式不等式的类型 k(v k)o k 左移，通分变成 k(k)o k 左移.通分变成绝对值不等式|f(x)|a(a 0)f(x)a或f(x)a o 解不等式|f(x)|0)a f(x)代入计算x e RV(恒 成 立):开 口、A3(存 在):分 离 参 数 与 无 参 函 数 的 最 值a#0 x e R：分离参数法参 数 与 无参函数的最值问题V:大 于 最 大，小于最小3:大 于 最 小，小于最大一一元二次成立问题ax2+bx+c不等式0 不,久 ”M常效不等式一元一次不等式a/O n 因式分解求两极=后 j,Gi)a），则（）A.a D.|a|b|a b【答案】A【解析】由 于 所 以 一 av-b,人选项正确.。=1,。=-1,/=/叫 4=网，B D选项错误.t z =2,Z?=l,历2 B.若 一 ,则人C CC.若 /?,ab/,ab0,则，a b a b【答案】C【解析】A .若ab,当c =0 时，ac2=be2所以A不成立；B.若当c 0 时，则所以B 不成立：C CC.因为H?v 0,将 两 边 同 除 以 他，则所以C成立a b a o,当 时，则。人 所以一：,则D不成立.故选：C.U?b,则 B.若ab,则a bC.若则+D.若a b c 0,则 一竺 。b b+c a-b a-c【答案】D【解析】对于A,若。=1力=-2,则=1?=一!，所以B错误，a h 2对于C,若4=31=2,c=l,则:a =3 a+c 4所以c错误，b 2 b+c 3对于D,因为a /?c 0,所以。一。一8 0,所以Y一 0,所以一v ，一，所以D正确,a-b a-c a-b a-c故选：D2.（2022重庆市育才中学高三阶段练习）已 知 则 下 列 不 等 式 中 一 定 成 立 的 是（）A.b2 C.lnaln/?D.2ah 1a b【答案】D【解析】A.当 =时，-1故错误；a bB.当H=-l时,a2=b 故错误;C.当。=1,力=一1时，In In/?,不成立，故错误；D.由则。一/?0,则2一”1 故正确；故选：D3.（2022北京房山一 模）若 0,且a v b,则下列不等式一定成立的是（）9C 1 1A.cT b B.a+b rrC.2 D.-vaba b 2【答案】C【解析】取。=-3涉=-2满足。0,且a v力，此时2 /,A错误；取。二 一3/=一2满足 0 ,且a v，此时B错误；a hb 八。八-r 目b a b a 八 一 女0,70可得I 2.-=2,C 止确；a b a b a b取。=-3/=-2满足 0,H a b,此 时 也 而，D错误.故选：C.2考点二代数式的范围【例 2】（2022全国高三专题练习）设实数x、y满足3Vx4,1 J 2,则M=2x-y的取值范围是（）A.4 A/6 B.4M 7C.5M6 D.5VM 7【答案】B【解析】由已知得，6 2%8-2-y -,故4 2 x-y 7,故选：B.【一隅三反】1.（2021黑龙江哈尔滨市呼兰区第一中学校）已知2 4 a+*5,-2 4。-641,则3a的取值范围是（）A.-1,4 B.-2,7C.-7,2 D.2,7【答案】B【解析】设3a-b=x（+b）+y（a-b）,则1解得x=l,y=2：.3a-b=（a+b）+2（a-b）,又2Wa+bW5,-4 W2（。一 ）K2,一24 2（。一/?）+（。+/?）7即3。一/?2,7.故选：B.2.（2022全国高三专题练习）已知-1 /?4,则0-必 的取值范 围 是（）A.-7a-2b4 B.-6a-2b9C.6a-2b9 D.-2a-2bS【答案】A【解析】因为一 1W6W4,所以一84一力W 2,由得一7。一2&的取值范围是（）A.4,128 B.8,256 C.4,256 D.32,1024【答案】C【解析】设 3x-2y=2(x+y)-(x-y)=(加一卜+(/%+),，所以m-n=3C，解得：/n 4-n=-21m=25n=23x-2y=g(x+y)一|(x-y),因为 T V x +yW l,l x-y 4,256.故 选:C考点三比较大小【例 3-1 (2022全国高三专题练习)设则()A.aa ab ba B.aa ba abC.ab aa b;,D.ab b;,aa【答案】C【解析】1,.0 a b 1./.ab ail.,，0 乌 0,V l.aaVba.abVaaVba.故答案为Cba b)b h J3 1 Q【例 32】(2022.山东 滕州市第一中学新校高三开学考试)已知。=5,。=而 不 已=,则()2万 2 4乃 A.c b a B.a b c C.acb D.cab【答案】D【/解析】c =T =x =a c -x71 6 2J k 07 7 1 I 0,Isin-,即c a 0 故选：D.2 I 6 J 2 2万【一隅三反】1.(2022江苏江苏高三期末)已知。=左，=3 ln4,C=Q,则下列选项正确的是()A.a b c B.a c b C.cba D.ca C 2,即。c,4从=(3-m4)2=1.62?=2.6244b,3 1 e3 1 19Z?=3-ln4-1.5=21n2=In In 0,b c ,a b c,故选：C2 2 16 2 162.(2022 湖南 长沙一中高三阶段练习)已知“b=log 桓,则()A.a b 0 a+b B.a b a+b 0C.a+b 0 a b D.a+b a b 0,所以必v O,又因为“+6=1。8。I2+1 0&0 =壁 +段 也=_怆2+里=怛2（1 一馆25）0,所以。+力g）2.5 1,所以空 出 1 且a 6 V o，ab a b -ab所以。+。4，所以a+b 4 0,则下列结论正确的序号是（）0.2v0.2,I72 ln+Qlna+Z?,若z 0,则/+na b b b+mA.B.C.D.【答案】B【解析】因为2021 log“2021 0,即 1 2 1 0,贝lJln a ln b 0,ab.nb na对于，因为指数函数y=0.2,为R上的减函数，则0.2 0.2,对；对于，与一二=七 父=也 二 吗 0,贝I 与 1,则尸（刈=1 _：=三0,所 以,函 数/（x）在（1,M O）上为增函数,则。）/（匕），a-nab-lnb,故ln6+a ln a+6,对；对于，m 0,则7=V J 一二 三一f 产，错.故选：B.b+m b byb-m）byb+m）h h+m考点四已知一元二次不等式的解求参【例4-1（2022.全国高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2 0的解集为j x|-x|l,则不等式2 x2+bx+a0 的解集为 x|-g v x v g ,（是 依2+反+2=0 的元二次方程的两个实数根,1 1 b-1-=-2 3 a.1 1 2.X -=,2 3。0解得 a=-1 2,b=-2.则不等式 2 x2+bx+a0 化为 2/-2 x-1 2 0,B|J x2-x -6 0,解 得-2 x 3.不等式2/+法+V0 的解集为(-2,3).故答案为：(-2,3).【例 4-2（2022全国高三专题练习（理）若关于x的 不 等 式 丹 1 的解集为门 次 2 ,则实数。X 1的 值 为（）A.B.C.-2 D.222【答案】A 解析】根据原不等式可以推出 号-1 0 n ax-x+l 0=（x-l）（l-）x-l 0,因 为 不 等 式 的 解 集 为 x|x 2 ,所以1,2 是方程（*-1）（1-。）-1 =0 的两根，且 1-4 0,X 1所以（l-a）x 2-l=0=a =g.故选:A【例 4-3】（2022上海高三专题练习）已知a e Z,关于x的一元二次不等式f-6 x+a 4 0 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的。的值之和是（）A.1 3 B.1 8 C.2 1 D.2 6【答案】C【解析】设F（x）=x2-6x+a,其图象为开口向上，对称轴为x=3 的抛物线,根据题意可得，A =3 6-4 0,解得a 9,因为f（x）04-1 2 +a 0解得5 0的解集为（F,-2）D（3,田），则)A.a0B.不等式乐+c0的解集是x|x0D.不等式c f-b x+a c O的解集为(Y o,-；)u(g,+oo)【答案】A B D【解析】关于x的不等 式 加+f e c+c 0的解集为（,-2）5 3,也）,;.4 0队选项正确；且一2和3是关于x的方 程 2 +6%+，=0的两根,-2 +3 =-由韦达定理得 a则b =-a,c =-6。，则a+c =-6a 0即为一or-6。0,解得x -6,B选项正确;不等式e x?版+。0 解得工 一：或犬 D选项正确.故选：A B D.2.（2 0 2 2全国高三专题练习）关于x的 不 等 式 生 的 解 集 为 -t，”，则实数。的 值 为（X-1 L 2 ；7 3A.6 B.C.-D.422)【答案】D【解析】由 姜（4 1。卓筌4 0 =（2 x+a +l）（x-l）40且x 不等于1,由题意得，一 等=一?，解得a =4.故选：D.3.（2 0 2 2.浙江高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式加+云+c 0 的解集为知。0 的解集为x l x 3,所以。0的解集为R,贝口的取值范围是（）A.T 4 B.（T4）C.（-c o,-4 4,+oo）D.（-,-4）,4,+oo）【答案】B【解析】由A =4-1 6 O 解得-4 。4 故选：B【例 5-2 （2 0 2 2 全国高三专题练习）已知a e R,“M+ZcaTv o 对恒成立，的一个充要条件是（）A.-1 2 0 B.1 a 0 C.1 n 0 D.1 a 0【答案】B【解 析 当 a =0 时，cve+2 a r-l=-l 对V x e R 恒成立；当a w O 时，若加+2 公-1 0,对V x e R 恒成立，a 0则必须有10、2 ,，、八，解之得一 1 。0,综上，。的取值范围为-1 。4 0.（2 a）-4 x（-1）“0故“a x2+2 a r-l 0 对V x e R 恒成立”的一个充要条件是-1 。40,故选：B【一隅三反】1.(2022.全国高三专题练习)已知“土e R,使得不等式工2一 4 _ 1 0”不感主，则下列。的取值范围(A.(-oo,-5 B.(-oo,-2 C.(-5,+oo)D.-5,+8)【答案】A【解析】因 为 使 得 不 等 式/一 4 一。一 1 0的解集为R,则实数加的范围是()A ,26 R 2百A.tn-33c 八 c 23 千 2-J3C./720 D/%-5X i m 0,解 集 为 不 成 立；1 7 1 00当冲。时，由不等式的解集为R,得 L /川2 /八，解得相 会 ，故选：B.=(m+2)4m(6+1)0 时，原不等式化为 卜-：)(x+1巨0,解得它(或 g 一I.当 0 时，原 不 等 式 化 为(x+l)一 I,即 V 2 时，解得一10烂24；a a当2=-1,即=一 2 时，解得=-1 满足题意；a2,2当一VI,即一2V V 0,解得一SW1.a a综上所述，当=0 时，不等式的解集为“1 烂一 1；当 0 时，不等式的解集为卜或1；当一2 。0时，不等式的解集为 川：4芯 4-1卜当。=一 2 时，不等式的解集为 I ；当“一2 时，不等式的解集为卜1-14 x1 .【一隅三反】1.(2022全国高三专题练习)解关于x的不等式：x2-(a+l)x+l 0(a0).a【答案】当。=1或。=-1时，不等式的解集为0:当0。1或-1。0 时，不等式的解集为d,a).a【解析】原不等式化为(x-a)(x-3 0,a。=1或。=-1时，不等式为(X-1)2 0,所以不等式的解集为0；当0 1或时，a 1或 1。,不等式的解集为(La).a a综上所述：当a=l或a=-1时，不等式的解集为0；当0 l或一l a 0(ae R).【答案】答案见解析.【解析】当a=0 时，不等式-2 x+4 0 的解为x 0(/?)即(ar 2)(x+2)0的解集为1,2)；当0。0的 解 集 为(-8,2)。(|,+8)；当。=1时，不等式(x+2 0 的 解 集 为(F,2)5 2,+)；当。1时，不等式3-2)(x-2)0 的解集为1-8,、5 2,+8).综上所述，当。=0 时，不等式解集为(9,2)；当。0 时，不 等 式 的 解 集 为 2)：当0 a 1时，不等式的解集为(-8,，)U(2,+8).3.(2022全国高三专题练 习)解下列关于x的不等式:(1)x2-ax-1 2 a2 0(0)；x2+x+a 0(awR);(3)ax2+(6 i2-l)x-t z 0(a w R)【答案】(1)x6 ax-5a;(2)见详解；(3)见详解.【解析】(1)由 d-公-12。2 V o 可 得:(x 6 a)(x+5a)0,又因为 0,解得：6 x -5 a,所以原不等式的解集为 x|6 a x -5。；(2)A =l-4,当a 时，/。,炉+”。无实数解,当 代 时，A=O+x+a 。的无实数解,当时，2。，入、+。的解 为 土0匚尹综 上,当.弓 时，原不等式的解集为0，当时，原不等式的解集为“|T-x T+9不(3)由以2 +(。2 1)不 一。6 0 可得(冰一D(X+。)W 0,当 a=0 时，ax2+(a2-l)x-a 0,当a 0 时，ax2+(2 一 1)工 一。0 的解为一。,a综 上,当以=0 时,原不等式的解集为%1%20,当。0 时，原不等式的解集为 x|-ax 4