2021-2022学年上海市徐汇区高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

2021-2022学 年 上 海 市 徐 汇 区 高 二 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、填 空 题 1.甲 校 有 3600名 学 生，乙 校 有 5400名 学 生，丙 校 有 1800名 学 生.为 统 计 三 校 学 生 某 方 面 的 情 况，计 划 采 用 分 层 抽 样 法,抽 取 一 个 样 本 容 量 为 90人 的 样 本,则 应 在 甲 校 抽 取 的 学 生 数 是.【答 案】30【分 析】根 据 分 层 抽 样 时 样 本 容 量 与 总 体 容 量 成 正 比，可 以 求 出 甲 校 抽 取 的 学 生 数.【详 解】因 为 甲 校 有 3600名 学 生，乙 校 有 5400名 学 生，丙 校 有 1800名 学 生，计 划 采 用 分 层 抽 样 法.所 以 3600:5400:1800=2:3:1,因 此 抽 取 一 个 样 本 容 量 为 90人 的 样 本,甲 校 抽 取 的 学 生 数 是 故 答 案 为 30【点 睛】本 题 考 查 了 分 层 抽 样 定 义，考 查 了 数 学 运 算 能 力,属 于 基 础 题.2.现 有 高 一 学 生 9 人，高 二 学 生 12人，高 三 学 生 7 人，自 发 组 织 参 加 数 学 课 外 活 动 小 组，从 中 推 选 两 名 来 自 不 同 年 级 的 学 生 做 一 次 活 动 的 主 持 人，则 不 同 的 选 法 有 种.【答 案】255【分 析】可 以 从 所 有 学 生 中 抽 取 2 人，减 去 从 每 个 年 级 中 各 抽 取 2 人 的 组 合 数，从 而 得 出 结 果.【详 解】所 有 的 选 法 共 有 父 8=378种，这 2 名 学 生 属 于 同 一 个 年 级 的 选 法 有 C；+C：2+C；=123种，故 此 2 名 学 生 不 属 于 同 一 个 年 级 的 选 出 方 法 有 378-123=255种.故 答 案 为：255.1+3+5+(2-1)=110+5(eN*)3.若 L1,2 2-3-(+1)，贝|j”=【答 案】10【分 析】利 用 等 差 数 列 的 求 和 公 式 和 裂 项 相 消 即 可 求 出 答 案.(1+2/?-1)-=110(1-)【详 解】由 题 意 得 2+1,2 UOnn=-即+1,所 以(+1)=110,所 以=10.故 答 案 为：10.4.如 图 所 示，绕 直 角 边 所 在 直 线 旋 转 一 周 形 成 一 个 圆 锥，已 知 在 空 间 直 角 坐 标 系。一 小 中，点（2。）和 点（2，T）均 在 圆 锥 的 母 线 上，则 圆 锥 的 体 积 为.16 7 1【答 案】3【分 析】根 据 坐 标 确 定 圆 锥 的 高 与 底 面 半 径，再 根 据 圆 锥 体 积 公 式 得 结 果.J O A-2【详 解】由 题 意 得 圆 锥 的 高 为 1川,底 面 半 径 为 2 1 万 0A,l-x 22 x 4=16万 所 以 圆 锥 体 积 为 3 3,16 7 1故 答 案 为：3【点 睛】本 题 考 查 圆 锥 体 积 公 式，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.5.已 知 直 线/的 方 向 向 量 为 1=点 2，T）在/上，则 点 P G）到/的 距 离 为【答 案】1【分 析】求 出 万 与 直 线/的 方 向 向 量 的 夹 角 的 余 弦，转 化 为 正 弦 后 可 得 点 到 直 线 的 距 离.【详 解】=（2,T,2）,CQS=a AP 2+0+2 _ 2V2点 尸（3）到，的 距 离 产 碎 I,万 山 广 故 答 案 为：1.6.图 1 中 的 机 械 设 备 叫 做“转 子 发 动 机”，其 核 心 零 部 件 之 一 的 转 子 形 状 是“曲 侧 面 三 棱 柱”，图 2是 一 个 曲 侧 面 三 棱 柱，它 的 侧 棱 垂 直 于 底 面，底 面 是“莱 洛 三 角 形“，莱 洛 三 角 形 是 以 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 为 圆 心，正 三 角 形 的 边 长 为 半 径 画 圆 弧 得 到 的，如 图 3.若 曲 侧 面 三 棱 柱 的 高 为 5,底 面 任 意 两 顶 点 之 间 的 距 离 为 2 0,则 其 侧 面 积 为.图 1图 2 图 3【答 案】10 左【分 析】由 曲 侧 面 三 棱 柱 的 定 义，其 侧 面 为 矩 形，即 可 根 据 几 何 关 系 求 侧 面 积.【详 解】由 题 意 得“8 C 为 等 边 三 角 形，且 边 长 为 20,如 图 所 示，/=-20=所 以 弧 4 C 的 长 度 为 3 3,20 曲 侧 面 三 棱 柱 的 三 个 侧 面 展 开 后，均 是 长 为 亍，宽 为 5 的 矩 形，31 x-2-0-4x 5 _=1.0A0A%所 以 曲 侧 面 三 棱 柱 的 侧 面 积 为 3故 答 案 为：10 万 7.4 8 两 人 下 棋，每 局 两 人 获 胜 的 可 能 性 一 样.某 一 天 两 人 要 进 行 一 场 三 局 两 胜 的 比 赛，最 终 胜 利 者 赢 得 100元 奖 金.第 一 局 比 赛 A 胜，后 因 为 有 其 他 要 事 而 中 止 比 赛，则 将 100元 奖 金 公 平 分 给 4 8 两 人，则 A 应 该 得 到 的 奖 金 数 为 元.【答 案】乃【分 析】A 赢 得 这 场 比 赛 的 情 况 为 第 二 局 A 胜；第 二 局 A 输，第 三 局 A 胜，求 出 A 赢 得 这 场 比 赛 的 概 率，即 可 求 出 A 应 该 得 到 的 奖 金 数.【详 解】A 赢 得 这 场 比 赛 的 情 况 为 第 二 局 A 胜；第 二 局 A 输，第 三 局 A 胜，1 1 1 3p-_|_ x-=一 故 A 赢 得 这 场 比 赛 的 概 率 2 2 2 4,3100 x-=75所 以 A 应 该 得 到 的 奖 金 数 为 4 元.故 答 案 为：75.8.复 印 纸 幅 面 规 格 只 采 用 A 系 列 和 5 系 列，其 中 A 系 列 的 幅 面 规 格 为：4,4,4，一、4 所 有 规 格 的 纸 张 的 幅 宽（以 x 表 示）和 长 度（以 V 表 示）的 比 例 关 系 都 为 沙=1：应；将 4 纸 张 沿 长 度方 向 对 开 成 两 等 分，便 成 为 4 规 格：4 纸 张 沿 长 度 方 向 对 开 成 两 等 分，便 成 为&规 格；如 此 对 开 至 4 规 格.现 有，4 纸 各 一 张.若 4 纸 的 幅 宽 为 2dm,则 这 9 张 纸 的 面 积 之 和 等 于 dm2511 511【答 案】4#4【分 析】根 据 题 意 先 逐 一 得 出 4,4,4,4,4 纸 张 的 长 和 宽，进 而 求 得 4 的 面 积，再 由 4,4,4,4纸 张 的 面 积 是 以 640 为 首 项，公 比 为 5 的 等 比 数 列，再 根 据 等 比 数 列 的 求 和 公 式 即 可 求 得 这 9 张 纸 的 面 积 之 和.【详 解】依 题 意 可 得，4 的 长、宽 分 别 为 是 2J5dm,2dm.4 的 长、宽 分 别 为 4dm,2拒 dm；4 的 长、宽 分 别 为 4亚 dm,4dm.4 的 长、宽 分 别 为 8dm,4 0 d m；。的 长、宽 分 别 为 8&dm,8dm,所 以 4 纸 的 面 积 为 8及 x8=64及 dm)则 4,4,4,4纸 张 的 面 积 是 以 64a 为 首 项，以 5 为 公 比 的 等 比 数 列，则 这 9 张 纸 的 面 积 和 为 25 1 1 0故 答 案 为：4.9.已 知 球。的 半 径 为 1，4 8 是 球 面 上 的 两 点，且 48=百，若 点 P 是 球 面 上 任 意 一 点，则 苏 丽 的 取 值 范 围 是.3-【答 案】L 22_【分 析】以 球 心 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 点 48,尸 的 坐 标，用 来 表 示 沙 方，进 而 求 出 答 案.【详 解】由 题 意，可 得=C0Ss=liiiz(=.l则 2x1x1 2 又 由/A C R乙 m 所 1 以 Z.AO B-.3.,以 球 心 为 坐 标 原 点，以 为 x轴 正 方 向，平 面 0/8的 垂 线 为 z轴 建 立 空 间 坐 标 系,则/(1,0,0),8(2 2,0)设 DP,(,z、),1 J3PA=(-x,-y,-z),PB=(-x,-y,-z)则 2 2PA-PB=(1 x)(_-x)+-y)+z2=x2+y2+z2-(x+y/iy)所 以 2 2 2 2因 为 尸(x,y,z)在 球 面 上，则/+/+z 2=l,所 以-+4 1,7.p 5=-(x+/3y)所 以 2 2、”，设 机=x+岛，当 岛 一”?=0与 圆/+丁=1相 切 时，加 取 得 最 值.|0+0+加|又 由+(招 2,解 得 网=2,4-P 5=-(x+V3v)所 以-2 M m 4 2,所 以 2 2 2 2故 答 案 为：2 2 1【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 空 间 向 量 的 应 用，向 量 的 数 量 积 的 运 算，以 及 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 综 合 应 用，其 中 解 答 中 建 立 适 当 的 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 的 数 量 积 的 运 算 公 式，结 合 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 求 解 是 解 答 的 关 键，着 重 考 查 了 分 析 问 题 和 解 答 问 题 的 能 力，属 于 中 档 试 题.1 0.如 图，现 将 一 张 正 方 形 纸 片 进 行 如 下 操 作：第 一 步，将 纸 片 以。为 顶 点，任 意 向 上 翻 折，折 痕 与 8 c 交 于 点 片,然 后 复 原，记 8&二%；第 二 步，将 纸 片 以。为 顶 点 向 下 翻 折，使/。与 用。重 合，得 到 折 痕 然 后 复 原，记 4。刍=%；第 三 步，将 纸 片 以。为 顶 点 向 上 翻 折，使 8 与 心。重 合，得 到 折 痕 然 后 复 原，记 按 此 折 法 从 第 二 步 起 重 复 以 上 步 骤 得 到%，*，贝 吧=.71【答 案】6【分 析】先 分 析 出 递 推 式，再 求 出 4 的 通 项，最 后 算 出 极 限 即 可.1 4 1,71a?=一(a,)%=T%)【详 解】由 第 二 步 得 2 2;由 第 三 步 得 J 2 2 2,e x.=-(-a.)(7:2)a-乡=(aM,1-5)依 此 类 推 2%J 八，所 以 6 2 M,6,71 71.7 1a.=a=hm a=若 6,贝 i j 6,此 时-6.71,几、兀 1a,-a”-a、-若 6,则 数 列 6 是 以 6 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列,所 以/兀 XZ 1 1 兀+-，即 6 2 6一+6 6lima=im(a-所 以 lim an=综 上，e 671故 答 案 为：611.取 棱 长 为。的 正 方 体 的 一 个 顶 点，过 从 此 顶 点 出 发 的 三 条 棱 的 中 点 作 截 面，依 次 进 行 下 去，对 正 方 体 的 所 有 顶 点 都 如 此 操 作，所 得 的 各 截 面 与 正 方 体 各 面 共 同 围 成 一 个 多 面 体，如 图 所 示.则 此 多 面 体：有 12个 顶 点；有 24条 棱：有 12个 面；九 3 表 面 积 为 3屋；体 积 为 6.以 上 结 论 正 确 的 是.(填 上 所 有 正 确 的 序 号)【答 案】【分 析】根 据 题 意 结 合 图 形 可 知，原 来 的 六 个 面 还 在，只 是 变 成 了 六 个 小 正 方 形，再 添 加 了 八 个 三 角 形 面，计 算 或 者 数 数 可 得 到 顶 点、棱 和 面 的 个 数，再 利 用 割 补 法 求 出 多 面 体 的 表 面 积 和 体 积 即 可.【详 解】由 图 可 知，原 来 的 六 个 面 还 在，只 是 变 成 了 六 个 小 正 方 形，再 添 加 了 八 个 三 角 形 面，总 计 有 6+8=14个 面，则 错 误；-(4x6+3x8)=24每 个 正 方 形 有 4 条 边，每 个 三 角 形 3 条 边，而 每 条 边 对 应 两 个 面，所 以 共 有 2 条 棱，则 正 确；每 个 顶 点 对 应 4 条 棱，每 条 棱 对 应 两 个 顶 点，所 以 顶 点 数 是 棱 数 的 一 半，即 12个，则 正 确：a6 x a2=3a2三 角 形 和 小 正 方 形 的 边 长 都 是 2,所 以 小 正 方 形 的 总 面 积 为 2,三 角 形 的 总 面 积 为8x x-a2 xsin60=V3a2 fs+x/sV22 2,即 多 面 体 的 表 面 积 为 I 7 尸,则 错 误;8多 面 体 的 体 积 为 原 正 方 体 的 体 积 减 去 8 个 三 棱 锥 的 体 积，8 个 三 棱 锥 的 体 积 为-于 是 多 面 体 的 体 积 为 0 6a 6a,则 正 确.故 答 案 为：12,设 数 列 也 的 前“项 和 为 S，4=1,a2=a（al）,|。“+2-4川|=h 向 一?|+（/0,“eNj且%“、他 t 均 为 等 差 数 列，则 S2=.答 案 S2n=(1+。)【解 析】根 据 已 知 条 件 知 数 列 是 首 项 为 a T,公 差 为 d 的 等 差 数 列，可 求 出|%-a,|=a T+（T W,再 根 据 已 知 条 件 转 化 求 出 等 差 数 列 包，、包，的 通 项 公 式，再 利 用 分 组 求 和 即 可 得 解.详 解 _ 闻=,_=又|%+2-4+11=卜”+1-a”|+d,即 凡+2-J一|4用 一%|，数 列”一 是 首 项 为 公 差 为 的 等 差 数 列，出+|=a T+（T）d,又%,，%”7 分 别 构 成 等 差 数 列，根 据 式 可 得=a-1+(2-2)刈(2),%+i-a2=a-1+(2-1)(2 1),*-。2“+1=J-1+2”町(21),由+，得-=a-1+(2-1)1)又%T 是 等 差 数 列，所 以%必 为 常 数，所 以 叫-a2n-i=a-l+(2n-Y)d-a-l+(2n-2)d=d(N 2),或 2n+i-*=T 1+(2+-l)d+。-1+(2M-2)d=-d(n 2)由 得|%一|=4_+,即=(。-1+4),/ci2=a.=(Q-l+d)+a 又 q=l:.a?-%=a-1(a-1+d)即-1=-d 或 4-=2(。-1)+d(舍 去)g+1-a2n-=7,J 是 首 项 为 1,公 差 为 一”的 等 差 数 列，=1-(-1W,同 理，由+得，。2+2 一。2”=口 一 1+2 町。一 1+(2-1)町(21),所 以 出“+2-a2n=d 或 a2n+2-a2n=-d,%。2=-a+1 4 4-/=(。1+2d)%=a+1 d(a-1+2d)即%一 4=或-。2=-2。+2-3”(舍 去)，。2+2 a2n=d,%，是 首 项 为 0,公 差 为 的 等 差 数 列，,%=a+(TW,从 而 2*-!+a2k=a2M+%*+2=a+l(kwN*),所 以$2=4+&+。2”=(l+a)+(l+a)=(l+a).故 答 案 为：S2,=(l+a)【点 睛】方 法 点 睛：本 题 考 查 递 推 关 系 求 等 差 数 列 求 通 项 公 式，分 组 求 数 列 和，求 数 列 的 和 常 用 的 方 法 有：(1)分 组 求 和 法；(2)倒 序 相 加 法；(3)”用(数 列“为 等 差 数 列)：裂 项 相 消 法；(4)等 差 x等 比 数 列：错 位 相 减 法，考 查 学 生 的 逻 辑 推 理 能 力 与 运 算 求 解 能 力，属 于 难 题.二、单 选 题 13.若 尸 为 两 条 异 面 直 线/，加 外 的 任 意 一 点，则()A.过 点 P 有 且 仅 有 一 条 直 线 与/，切 都 平 行 B.过 点 P 有 且 仅 有 一 条 直 线 与/，机 都 垂 直 C.过 点 尸 有 且 仅 有 一 条 直 线 与/，机 都 相 交 D.过 点 户 有 且 仅 有 一 条 直 线 与/，机 都 异 面【答 案】B【详 解】解：因 为 若 点 尸 是 两 条 异 面 直 线/，机 外 的 任 意 一 点，则 过 点 尸 有 且 仅 有 一 条 直 线 与/，机 都 垂 直，选 B14.已 知 数 列 J 满 足”+%+4=%+|+“”+3,那 么（）.A.也 是 等 差 数 列 B.是 等 差 数 列 C.%是 等 差 数 列 D.“3，是 等 差 数 列【答 案】D【分 析】通 过%+%“=%|+/+3（2）可 知*4-%“=%3-4,进 而 可 得%6-%3=4+3-4,从 而 数 列%“是 等 差 数 列.【详 解】由%+4=。+1+3 得 a-4+1=%+3-a”,+5 an+2=.4,。+6-+3=勺”一%+2,故 4+6 一。”+3=%+3-。”,即 有&（/2）一 3（+1）=3（”+1）一 砥 故 数 列%“是 等 差 数 列，故 选：D15.空 间 直 角 坐 标 系。一 k2中，经 过 点 尸（X。，%*。），且 法 向 量 为=（4 8，C）的 平 面 方 程 为/（x-x0）+8（y-y）+C（z z0）=0,经 过 点（x。,比/。）且 一 个 方 向 向 量 为 行=二 0）的 X-X。_ Z-Z。直 线/的 方 程 为,阅 读 上 面 的 材 料 并 解 决 下 面 问 题：现 给 出 平 面 a 的 方 程 为 x _ y _ z3x-5y+z-7=O,经 过（儿）的 直 线/的 方 程 为 3-5 一-1,则 直 线/与 平 面。所 成 角 的 正 弦 值 为（）叵 V w 叵 好 A.io-B.5 c.-D.亍【答 案】B【解 析】根 据 题 设 给 出 的 材 料 可 得 平 面 的 法 向 量 和 直 线 的 方 向 向 量，利 用 公 式 可 求 直 线/与 平 面。所 成 角 的 正 弦 值.【详 解】因 为 平 面 a 的 方 程 为 京-5了+2-7=0,故 其 法 向 量 为=（二 一%）,x _ y _ z 一 因 为 直 线/的 方 程 为 3 一 万 一 口，故 其 方 向 向 量 为 拉=（3,2，T）,9-10-0 _ 2 _ V10故 直 线,与 平 面。所 成 角 的 正 弦 值 为 E x A l3 5,故 选：B.【点 睛】关 键 点 点 睛：此 题 为 材 料 题，需 从 给 定 的 材 料 中 提 炼 出 平 面 的 法 向 量 和 直 线 的 方 向 向 量 的 求 法，这 是 解 决 此 题 的 关 键.16.北 京 大 兴 国 际 机 场 的 显 著 特 点 之 一 是 各 种 弯 曲 空 间 的 运 用.刻 画 空 间 的 弯 曲 性 是 几 何 研 究 的 重 要 内 容.用 曲 率 刻 画 空 间 弯 曲 性，规 定：多 面 体 顶 点 的 曲 率 等 于 21 与 多 面 体 在 该 点 的 面 角 之 和 的 差（多 面 体 的 面 的 内 角 叫 像 多 面 体 的 面 角，角 度 用 弧 度 制），多 面 体 面 上 非 顶 点 的 曲 率 均 为 零，多 面 体 71的 总 曲 率 等 于 该 多 面 体 各 顶 点 的 曲 率 之 和.例 如：正 四 面 体 在 每 个 顶 点 有 3 个 面 角，每 个 面 角 是 不，2i-3x=乃 n 正 方 体 各 顶 点 的 曲 率 为 2；任 意 三 棱 锥 的 总 曲 率 均 为 4万；将 棱 长 为 3 的 正 方 体 正 中 心 去 掉 一 个 棱 长 为 1的 正 方 体 所 形 成 的 几 何 体 的 总 曲 率 为 8万.其 中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是（）A.B.C.D.【答 案】D【分 析】根 据 几 何 体 顶 点 的 曲 率 和 几 何 体 总 曲 率 的 定 义 求 解.71【详 解】因 为 正 方 体 的 每 个 顶 点 有 3个 面 角，每 个 面 角 是 5,所 以 正 方 体 在 各 顶 点 的 曲 率 为 24 一 3x=一 2 2,故 正 确;如 图 所 示:A 点 的 曲 率 为：2万-N B 4C-ND AC-NBAD,8 点 的 曲 率 为：2兀-Z A B C-乙 4BD-N C BD,C 点 的 曲 率 为：27T-ZA C B-ZA C D-ZBCD,D 点 的 曲 率 为：-/.ADC-Z.ADB-Z.BDC,则 三 棱 锥 的 总 曲 率 均 为 肺-(N43C+4 C 3+/3 月。)-(NZM8+NABD+ZBDA),-Z.ADC+Z.ACD-NDAC)-(/BCD+NBDC+CBD)=4乃 故 正 确.7 T T T 7 T2%-3 x-=1 6 x-=8 万 此 几 何 体 有 1 6个 顶 点，每 个 顶 点 的 曲 率 为 2 2,所 以 该 儿 何 体 的 总 曲 率 为 2故 正 确.故 选：D三、解 答 题 1 7.如 图，在 直 三 棱 柱 8 C-4 4 G 中，BAA.BC.(1)若 助=期,求 证：期,平 面 4 8 C；Q)若 B4=BC=BB 2,是 棱 8 c 上 的 一 动 点.试 确 定 点 的 位 置，使 点/到 平 面 4 3 c 的 距 离 等 于 2.【答 案】证 明 见 解 析(2)当 点”为 棱 8 c 的 中 点 时，使 点 到 平 面 4 3 c 的 距 离 等 于 2【分 析】(1)先 证 明 8 c 用 和 与 1 田，再 根 据 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 证/4,平 面 48c.(2)以 8 为 原 点，8 4 8 耳,8 c 分 别 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系：设 M(0,0,/)(0 W 2),利 用 点 面 距 的 向 量 公 式 列 式 可 求 出 结 果.【详 解】在 直 三 棱 柱 C-4 8 1 G 中，明,平 面/8 C,所 以 明，8 0,BB 1 BA,c g又 因 为 A4_L8C,BAcBB=B,所 以 8 c l 平 面 5 4 4 4,所 以 8 c,/与,因 为 阴 _ L,BA=BB,所 以 四 边 形 町 4 为 正 方 形，所 以 1 N R,因 为 4 8 n B e=8,所 以 盟,平 面 4 8 c(2)由(1)知，A4 与。两 两 垂 直，以 8 为 原 点，8 4 叫 B C 分 别 为 x,%z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系：因 为 8/=8。=8 4=2,则 8(0,0,0),4(2,2,0),5,(0,2,0),C(0,0,2)设 M(0,0,f)(0W W 2),则=(0,0,2 f),4。=(-2,0,0),BXC=(0,2,2)设 平 面 4B,C的 一 个 法 向 量 为 万=(x,y,z),-45i=-2 x=0.=0则 万 4 C=-2 y+2z=0,则 y=z,取 V=l,则 z=,万=(0,1,1),版 向 1 2 T l 1 2 T l所 以 点 到 平 面 4 4 C 的 距 离 等 于 团|JO+1+l&,V2 1 2 T l M又 已 知 点 用 到 平 面 4 B C的 距 离 等 于 2,所 以 应 2,解 得 1,t=3（舍）,V 2所 以 点 加 为 棱 8 c 的 中 点 时，使 点 M 到 平 面 W 的 距 离 等 于 T.18.现 有 31行 67列 表 格 一 个，每 个 小 格 都 只 填 1个 数，从 左 上 角 开 始，第 一 行 依 次 为 1 2，67；第 二 行 依 次 为 6879,134；依 次 把 表 格 填 满 现 将 此 表 格 的 数 按 另 一 方 式 填 写，从 左 上 角 开 始,第 一 列 从 上 到 下 依 次 为 1，2，“，31；第 二 列 从 上 到 下 依 次 为 32,33,62；依 次 把 表 格 填 满 若 他 也(1 2/31,1;67)分 别 表 示 第 一 次 和 第 二 次 填 法 中 第 i行 第 j 列 的 数.求 旬 的 表 达 式(用 V 表 示);(2)若 两 次 填 写 中，在 同 一 小 格 里 两 次 填 写 的 数 相 同 的 个 数 为 N,求 N 的 值.【答 案】(1产=67(1)+)(2)7【分 析】(1)第 i行 的 第 一 个 数 为 67(7)+1,第 i行 的 第/个 数 为 67(T)+,得 到 答 案.计 算 4=31(4-D+i,根 据 浊 得 到 1 1-6,验 证 得 到 答 案.【详 解】(1)第 一 种 填 法 中：第 i行 的 第 一 个 数 为 67(,7)+1,第 i行 的 第 7 个 数 为 67(1)+1+厂 1=67(-)+乙 即 为=67(1)+)(2)第 二 种 填 法 中：第/列 的 第 一 个 数 为 第 7 列 的 第 i个 数 为 T H】=31(/7)+，故%=31(/-D+i当 67(i-l)+J=31(/-l)+i时，在 同 一 小 格 里 两 次 填 的 数 相 同，整 理 得 1上-5/=6当 i=l,，=1 时,%。当/=6,./=12时，%=347；当=11,/=23 时，附=693；当 16,_/=34 时，%=1039；当，=21,J=45 时，ai j=1385；当 i=26,J=56 时，%=1731：当 i=31,=67 时，%=2077,故 N=7.19.已 知 数 列%和 也 的 通 项 公 式 分 别 为%=3+6,=2+7(6 叱)，将 集 合 x|x=a“,eN*u x|x=b,eN.中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列，构 成 数 列。勺 此，求。，。2，。3，4；求 证：在 数 列%中、但 不 在 数 列 也 中 的 项 恰 为 02M4,，“2”；求 数 列%的 通 项 公 式.【答 案】(1)G=9,。2=11,，3=12,4=13；(2)证 明 见 解 析;(3)6左+3(”=4左-3)6 E()工.C.,fr A6 A 6(=4fr-l)6i+7(n=4)【详 解】(1)。=9,&=11=12勺=13；(2)任 意 eN*,设。2,i=3(2-1)+6=6+3=4=2k+7,则 k=3-2,即 2”-i=4-2.嫉 设%“=6n+6=bk=2k+=k_3n_ j N(矛 盾)，.任 也 在 数 列 也 中、但 不 在 数 列 也 中 的 项 恰 为 生，4,(3)怎-2=2(34-2)+7=6左+3=。2 _,砥 一 1=6%+5 a2k=6左+6 b3k=6k+7 5.6左+3 6左+5 6左+6 3=。4,6Jt+3(n=4 k-3)_*+5(”=4 h 2)产 6k+6(=4 fr-l),.1 6+(，:=4 f)20.为 了 求 一 个 棱 长 为 友 的 正 四 面 体 的 体 积，某 同 学 设 计 如 下 解 法.构 造 一 个 棱 长 为 1的 正 方 体,如 图 1：则 四 面 体 片 为 棱 长 是 正 的 正 四 面 体，且 有 片 面 体 附 陶 防 一 B-ACBy-阳 一 七-四 8-D-ACDi=1=3图 1(1)类 似 此 解 法，如 图 2,一 个 相 对 棱 长 都 相 等 的 四 面 体，其 三 组 棱 长 分 别 为 石，内，J历，求 此 四 面 体 的 体 积；(2)对 棱 分 别 相 等 的 四 面 体 月 8。中，AB=CD,AC=BD,/O=8C.求 证：这 个 四 面 体 的 四 个 面 都 是 锐 角 三 角 形；(3)有 4 条 长 为 2 的 线 段 和 2 条 长 为“，的 线 段，用 这 6 条 线 段 作 为 棱 且 长 度 为 机 的 线 段 不 相 邻，构 成 一 个 三 棱 锥，问 机 为 何 值 时，构 成 三 棱 锥 体 积 最 大，最 大 值 为 多 少？【答 案】2(2)证 明 见 解 析 473 16Gm=-(3)3 时，构 成 的 三 棱 锥 体 积 最 大，最 大 值 为 27【分 析】(1)类 比 已 知 条 件 中 的 解 法，构 造 一 个 长 方 体，求 出 长 方 体 的 棱 长，在 由 长 方 体 的 体 积 减 去 四 个 三 棱 锥 体 积 即 可 得 到 答 案；(2)在 四 面 体 中，由 已 知 可 得 四 面 体/8C。的 四 个 面 为 全 等 三 角 形，设 长 方 体 的 长、宽、高 分 别 为 6、c,证 明 NBC为 锐 角 三 角 形，即 可 证 明 这 个 四 面 体 的 四 个 面 都 是 锐 角 三 角 形；(3)当 2 条 长 为 机 的 线 段 不 在 同 一 个 三 角 形 中，写 出 三 棱 锥 体 积 的 表 达 式，利 用 基 本 不 等 式 求 最 值.【详 解】(1)设 四 面 体 4 8 C O 所 在 长 方 体 的 棱 长 分 别 为a2+b2=5 a2=4,+c2=13 4。2,A B2+A C2 B C2 AC2+BC2 A C 所 以“8 C 为 锐 角 三 角 形，则 这 个 四 面 体 的 四 个 面 都 是 锐 角 三 角 形;(3)当 2 条 长 为 切 的 线 段 不 在 同 一 个 三 角 形 中，如 图，不 妨 设“D=BC=机，BD=CD=AC=2,取 8 c 的 中 点 E,连 接/E、DE,贝 lJ4E_L8C,DE 工 BC,而 NriOE=,所 以 8 c l 平 面/E。，则 三 棱 锥 的 体 积 3 曲,AE=DE=J4-在 A A E D 中，4,AD=m,16G4 G16/327tn=-一 故 3 时，构 成 的 三 棱 锥 体 积 最 大，最 大 值 为 27.21.己 知 J 是 无 穷 数 列.给 出 两 个 性 质：对 于 应 中 任 意 两 项 在 g 中 都 存 在 一 项 m,使 得 2 4 一 勺=%；对 于%中 任 意 项 氏（磋 3）,在 也 中 都 存 在 两 项 管，巧 3/）,使 得 q=2%_ q（1）若 4=2（=1，2,），判 断 数 列 也，是 否 满 足 性 质，说 明 理 由；（2）若 为=（=1，2,），判 断 数 列%是 否 同 时 满 足 性 质 和 性 质，说 明 理 由；（3）若%是 递 增 数 列，4=,且 同 时 满 足 性 质 和 性 质，证 明：见 为 等 差 数 列.【答 案】（1）不 满 足 性 质，理 由 见 解 析；（2）满 足 性 质 和 性 质，理 由 见 解 析：（3）证 明 见 解 析.【分 析】（1）由 勺=2，根 据 题 意，得 到 2%，=2*-1,由 2”为 偶 数，2刈-1为 奇 数，即 可 得 出 结 论；（2）由=（=1 2），验 证 性 质，即 可 求 解；（3）由 包 是 递 增 数 列 且 4=,得 到 当 壮 2,e N*时，0,根 据 题 意，得 出 为+为=2%，结 合 数 学 归 纳，即 可 求 解.【详 解】（1）由%=2,性 质 是 任 意 吗（力，存 在 2 4 一%=%,令/+。，则 a要 满 足 2=2，+/+2（P。），可 得 2m=2，（2*-1）,可 得 2=2p+,-l,其 中 2一，为 偶 数，2刈-1为 奇 数，所 以 不 成 立，如：当=4，/=3时，2M=25-23=2 4,不 存 在 这 样 的 优.（2）当 q=（=1，2,）时，2%一%=2一 刀 兀 所 以 2，一/0,所 以 存 在 机=2，-/使 得 数 列“，满 足 性 质：对 性 质，取 左=-1,/=-2,23,则%=2%T-a.?=2(-1)-(-2)=成 立,所 以 满 足 性 质.综 上 可 得，数 列 血 同 时 满 足 性 质.(3)由 见 是 递 增 数 列，4=,所 以，当 22,N*时，0,因 为 满 足 性 质 和 性 质，所 以%=2 a,即 4+%=2%,当=3时，生+q=2ak,己 知/,所 以/%S+1),使 得 物-%=在%成 立，因 为 2&-1=2q+(s-l)d-q+(s-2)町=q+sd,所 以 必 有 q+S T)=&4M=4+sd成 立,又 由 性 质 知，&+I=2%-q=a+(2k-Y)d,则 2攵-/-1 w(s-1,s)与 2左-/-1 e M 矛 盾，所 以。加=2凡-4 T 成 立，所 以 数 列%的 前 s+1项 也 成 等 差 数 列，所 以 数 列“”为 等 差 数 列.【点 睛】与 数 列 的 新 定 义 有 关 的 问 题 的 求 解 策 略：1、通 过 给 出 一 个 新 的 数 列 的 定 义，或 约 定 一 种 新 的 运 算，或 给 出 几 个 新 模 型 来 创 设 新 问 题 的 情 景,要 求 在 阅 读 理 解 的 基 础 上，依 据 题 目 提 供 的 信 息，联 系 所 学 的 知 识 和 方 法，实 心 信 息 的 迁 移，达 到 灵 活 解 题 的 目 的；2、遇 到 新 定 义 问 题，应 耐 心 读 题，分 析 新 定 义 的 特 点，弄 清 新 定 义 的 性 质，按 新 定 义 的 要 求，“照 章 办 事”，逐 条 分 析、运 算、验 证，使 得 问 题 得 以 解 决.