高考数学（理）二轮讲义（二）函数与导数.pdf

基 础 回 扣(二)函 数 与 导 数 要 点 回 扣 1.函 数 的 定 义 域 求 函 数 的 定 义 域，关 键 是 依 据 含 自 变 量 的 代 数 式 有 意 义 来 列 出 相 应 的 不 等 式(组)求 解，如 开 偶 次 方 根、被 开 方 数 一 定 是 非 负 数；对 数 式 中 的 真 数 是 正 数；列 不 等 式 时，应 列 出 所 有 的 不 等 式，不 应 遗 漏.对 抽 象 函 数，只 要 对 应 关 系 相 同，括 号 里 整 体 的 取 值 范 围 就 完 全 相 同.对 点 专 练 1 函 数 尸 y i o g p 2的 定 义 域 是.答 案 o,12.换 元 法 注 意 问 题 用 换 元 法 求 解 析 式 时，要 注 意 新 元 的 取 值 范 围，即 函 数 的 定 义 域 问 题.对 点 专 练 2 已 知/(cosx)=sin2x,则 x)=.答 案 1-1,1)3.分 段 函 数 分 段 函 数 是 在 其 定 义 域 的 不 同 子 集 上，分 别 用 不 同 的 式 子 来 表 示 对 应 关 系 的 函 数，它 是 一 个 函 数，而 不 是 几 个 函 数.停，10,对 点 专 练 3 已 知 函 数 八%)=4 八 则 阳=-I答 案 I;4.函 数 的 奇 偶 性 判 断 函 数 的 奇 偶 性，要 注 意 定 义 域 必 须 关 于 原 点 对 称，有 时 还 要 对 函 数 式 化 简 整 理，但 必 须 注 意 使 定 义 域 不 受 影 响.对 点 专 练 4 於 甘 是 _ 函 数(填“奇”“偶”或“非 奇 非 偶”).答 案 奇 5.函 数 奇 偶 性 的 性 质(1)奇 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 区 间 上 若 有 单 调 性，则 其 单 调 性 完 全 相 同；偶 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 区 间 上 若 有 单 调 性，则 其 单 调 性 恰 恰 相 反.(2)若 火 幻 为 偶 函 数，则 八 一%)=/(%)=丹 园).(3)若 奇 函 数 八%)的 定 义 域 中 含 有 0,则 必 有 火 0)=0.故#0)=0”是“r)为 奇 函 数”的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件.对 点 专 练 5 若 函 数/(%)=jdn(%+Na+x2)为 偶 函 数,则.答 案 16.函 数 的 单 调 区 间求 函 数 单 调 区 间 时，多 个 单 调 区 间 之 间 不 能 用 符 号“U”和“或”连 接，可 用“及”连 接，或 用“，”隔 开.单 调 区 间 必 须 是“区 间”，而 不 能 用 集 合 或 不 等 式 代 替.对 点 专 练 6 函 数 X%)=；的 减 区 间 为.答 案(-8,0),(0,+8)7.函 数 图 象 的 几 种 常 见 变 换(1)平 移 变 换：左 右 平 移“左 加 右 减”(注 意 是 针 对 而 言)；上 下 平 移“上 加 下 减”.(2)翻 折 变 换：兀 r)-(3)对 称 变 换：证 明 函 数 图 象 的 对 称 性，即 证 图 象 上 任 意 点 关 于 对 称 中 心(轴)的 对 称 点 仍 在 图 象 上；函 数 y=(%)与 y=/(一%)的 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称；函 数 与 y=/(x)的 图 象 关 于 直 线=0(y轴)对 称；函 数 y=/a)与 函 数 y=勺 卤 象 关 于 置 线 y=0(%轴)对 称.对 点 专 练 7 函 数 y=|log2|x-l|的 递 增 区 间 是.答 案 0,1),2,+8)8.函 数 的 周 期 性(1次 0=%+。)30)，则 危)的 周 期 7=。；(2加 工+。)=六(/(%)#0)或 八%+4)=-/(%),则 凡 X)的 周 期 T=2a.对 点 专 练 8 对 于 函 数 八%)定 义 域 内 任 意 的,都 有 火%+2)=氤，若 当 2 a 3 时，fx)=x,贝 i j式 2 0 1 2.5)=.2 答 案 一 59.一 元 二 次 方 程 实 根 分 布 先 观 察 二 次 项 系 数，/与。的 关 系，对 称 轴 与 区 间 关 系 及 有 穷 区 间 端 点 函 数 值 符 号，再 根 据 上 述 特 征 画 出 草 图.尤 其 注 意 若 原 题 中 没 有 指 出 是“二 次”方 程、函 数 或 不 等 式，要 考 虑 到 二 次 项 系 数 可 能 为 零 的 情 形.对 点 专 练 9 若 关 于 的 方 程 G2%+1=0 至 少 有 一 个 正 根，则。的 范 围 为 _ 答 案 一 8,110.函 数 的 图 象 可 从 定 义 域、值 域、单 调 性、函 数 值 的 变 化 情 况 考 虑，特 别 注 意 底 数 的 取 值 对 有 关 性 质 的 影 响，另 外，指 数 函 数)=的 图 象 恒 过 定 点(0,1),对 数 函 数 y=lOgaX 的 图 象 恒 过 定 点(1,0).对 点 专 练 10 函 数 y=loga|x|的 增 区 间 为.答 案 当。1 时，(0,+8)；当 0“1 时，(-8,0)11.函 数 的 零 点 如 果 函 数 y=/a)在 区 间 仅，口 上 的 图 象 是 一 条 连 续 曲 线，且 有 犬 GA份 g(x)+3%4,其 中 函 数 y=g(%)的 图 象 是 一 条 连 续 曲 线，则 方 程 段)=0在 下 面 哪 个 范 围 内 必 有 实 数 根()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)答 案 B12.求 导 数 的 方 法 D.(3,4)(1)基 本 导 数 公 式:c=0(c 为 常 数)；(的)=rnxm I(mQ)；(sinx)/=cos%；(cos%)=sinx；O=ex；(优)=axina；(lnx)/=-；(log,/)且 aW l).(2)导 数 的 四 则 运 算：(切)=u v;,，,(u,v uv(uv)=v+uv；-=-2-WO).y j u(3)复 合 函 数 的 导 数：yx=%.如 求 人 以 十 份 的 导 数，令 u=ax+h,则 对 点 专 练 12 x)=4，则/(%)=.答 案 eA?1?13.利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 设 函 数 y=/U)在 某 个 区 间 内 可 导，如 果/(%)0,那 么 x)在 该 区 间 内 为 增 函 数;如 果/(%)0,那 么 凡 x)在 该 区 间 内 为 减 函 数;如 果 在 某 个 区 间 内 恒 有 了(%)=0,那 么/(%)在 该 区 间 内 为 常 函 数.注 意：如 果 已 知/U)为 减 函 数 求 字 母 取 值 范 围，那 么 不 等 式/a)w o恒 成 立，但 要 验 证 了(%)是 否 恒 等 于 0.增 函 数 亦 如 此.对 点 专 练 13 函 数 兀)=浸 一%2+x5 在 R 上 是 增 函 数，则。的 取 值 范 围 是.答 案 心:14.函 数 的 极 值 导 数 为 零 的 点 并 不 一 定 是 极 值 点，例 如：函 数 八%)=必，有#(0)=0,但=0 不 是 极 值 点.对 点 专 练 14 函 数 2或 2或 x2.错 因 分 析 没 有 得 分 的 原 因 是 将 风 必 3)的 定 义 域 与 1%)的 定 义 域 等 同 起 来 了.事 实 上，八%23)=lg三 与 火%)是 两 个 不 同 的 函 数，它 们 有 不 同 的 法 则 和 定 义 域，造 成 错 误 的 原 因 在 于 未 弄 清 函 数 的 概 念./1+3 正 解 由 0,即 r4,.-.r+34,即 行 1.x 4.；/(%)的 定 义 域 为 小 1.|名 师 纠 错 A求 函 数 定 义 域，首 先 应 弄 清 函 数 的 特 征 或 解 析 式.对 点 专 练 1/一 1,%20,(1)设 函 数 段)=若 月/(。)=一 3,则 实 数。=()x0,A.4 B.-2C.4 或 一 g D.4 或 一 2(2)已 知 g(%)=l2,则 12)的 值 为.解 析(1)当。=4 时，虺。)=/(1)=-1 符 合 题 意，排 除 B；当。=2时，/区。)=彳 一 3=一 2,不 符 合 题 意，排 除 D；当 Q=-g时，M)=X-2)=-1,符 合 题 意，排 除 A,故 选 C.(2)由 月(%)=12%=2,得%1-2L,1 I 2)故 人 2)=-7 R=3.h V 答 案 c(2)3易 错 点 2 忽 视 函 数 的 定 义 域 致 误【例 2】函 数 y=log_L(d 5%+6)的 单 调 递 增 区 间 为.2 错 解 令 U=f 5%+6,则。=炉 一 5%+6在(-8,|上 是 减 函 数，二.y=lo坛(%2 5%+6)的 单 调 递 增 区 间 是 1 8,错 因 分 析 忽 视 了 函 数 定 义 域，应 加 上 条 件 5%+60.正 解 由 A25%+60 知 小 3 或 2.令“=%25%+6,则=好 一 5 x+6在(-8,2)上 是 减 函 数，二.y=k)gl(/5x+6)的 单 调 递 增 区 间 为(-8,2).I名 师 纠 错 A在 研 究 函 数 问 题 时，不 论 什 么 情 况，首 先 要 考 虑 函 数 的 定 义 域，这 是 研 究 函 数 的 最 基 本 原 则.对 点 专 练 2(1)若 八%)=lg(x22办+1+幻 在 区 间(-8,1上 递 减，则 a 的 取 值 范 围 是()A.1,2)B.1,2C.1,+8)D.2,+0)I J Q 2(2)已 知 函 数 式 x)=J 3，则/(ln3)=_.17?%+1?,x2 解 析(1)令 g(x)=%2-2QX+1+a,由 题 意 可 知，。与 1，即 g?l?01。+20 解 得 lWa2,故 选 A.(2ytln3)=Xln3+l)=|eln3l=e,故 填 e.答 案(1)A(2)e易 错 点 3 忽 视 二 次 项 系 数 为。致 误 例 3 函 数/(的=(21)_?+2(%+1)%1 的 图 象 与 入 轴 只 有 一 个 交 点，则 实 数 k 的 取 值 集 合 是.错 解 由 题 意 知/=4(%+1)2+4(%1)=0.即 22+3%=0,解 得 上=0 或%=3.二.人 的 取 值 集 合 是-3,0.错 因 分 析 未 考 虑 kl=0 的 情 况 而 直 接 令/=0 求 解 导 致 失 解.正 解 当=1 时，八%)=4%1,其 图 象 与 轴 只 有 一 个 交 点，0).当 公，时，由 题 意 得/=4/+1)2+4(左 一 1)=0,即 3+3 2=0,解 得 k=0 或 k=-3.后 的 取 值 集 合 是-3,0,1.|名 师 纠 错 A对 多 项 式 函 数 或 方 程、不 等 式，如 果 含 有 参 数，一 定 首 先 考 虑 最 高 次 项 系 数 为 0 的 情 况.对 点 专 练 3(1)函 数 凡)=m%2-2%+1有 且 仅 有 一 个 正 实 数 的 零 点，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是.3(2)不 等 式 2Ax?+履 一 工 0,对 一 切 实 数 尢 恒 成 立,则 Z的 取 值 范 围 是.O 解 析(1)当 机=0 时，为 函 数 的 零 点.当 机 N 0 时，若 4=0,即 相=1 时，=1 是 函 数 唯 一 的 零 点；若 力 7 0,显 然 函 数=0 不 是 函 数 的 零 点，这 样 函 数 有 且 仅 有 一 个 正 实 数 零 点 等 价 于 方 程/nr22%+1=0有 一 个 正 根 和 一 个 负 根，即 即 m岛 0,，即。k30,0,得 一 3k0.故 k 的 取 值 范 围 是(-3,0.答 案(1)(8,O U1(2)(-3,0 易 错 点 4 混 淆“切 点”致 误【例 4】过 曲 线 y=2 2%上 的 点(1,一 1)的 切 线 方 程 为 错 解=3 f 2,：,k=y|.v=i=3 X l2-2=l.二 切 线 方 程 为：y+l=%1 即 y 2=0.错 因 分 析 过 曲 线 上 的 点(1,1)的 切 线 与 曲 线 的 切 点 可 能 是(1,-1),也 可 能 不 是(1,-1).本 题 错 误 的 根 本 原 因 就 是 把(1,一 1)当 成 了 切 点.正 解 设 尸(%o,yo)为 切 点，则 切 线 的 斜 率 为 y|无=祝=3看 一 2.，切 线 方 程 为 y州=(3焉 一 2)(%一%o),即 y-(%8 2%o)=(3局-2)(%一%o).又 知 切 线 过 点(1,-1),把 它 代 入 上 述 方 程，得-1(地 一 2%o)=(3就 2)(1%o),整 理，得(祀 一 1)2(2%。+1)=0,解 得 祝=1,3 1或 沏=-2-故 所 求 切 线 方 程 为 y(l 2)=(3 2)(%1),或(一/+1 仔 一 2卜+?即 y2=0,或 5%+4y1=0.|名 师 纠 错 A解 决 这 类 题 目 时，一 定 要 注 意 区 分“过 点 A 的 切 线 方 程”与“在 点 A 处 的 切 线 方 程”的 不 同.虽 只 有 一 字 之 差，意 义 完 全 不 同，“在”说 明 这 点 就 是 切 点，“过”只 说 明 切 线 过 这 个 点，这 个 点 不 一 定 是 切 点.对 点 专 练 4 曲 线 y=%+2cosx在 点(0,2)处 的 切 线 方 程 是()A.y=%+2 B.y%+2C.y=2%+2 D.y=2 x+2(2)过 曲 线 y=ln(%+l)上 的 点(0,0)的 切 线 方 程 为.解 析 由 题 意 得=l-2 s i n x,把=0 代 入 得=1,即 切 线 方 程 的 斜 率 2=1,所 以 所 求 的 切 线 方 程 为 y2=%0,即 y=x+2,故 选 A.(2)设 切 点 P(xo,yo),=言 7，切 线 方 程 为 y ln(%o+1)=；1(一 xo).X。.切 线 过 点(0,0)点，.一 ln(%o+l)=开 Y，解 得 xo=o,.切 线 方 程 为 y=x,即 y=0.答 案(1)A(2)%y=0易 错 点 5 极 值 概 念 不 清 致 误【例 5】已 知 凡 二+云+4 在=i 处 有 极 值 为 1 0,则 a-h=f?1?=0/?1?=10,错 解，(x)=3X2+2利+乩 由=1 时，函 数 取 得 极 值 10,得，即 3+2a+b=0,1+。+。+。2=1().解 得。=4,b=ll,a=3,或 彳，故 a+b=-7 或 a+b=0,故 填 一 7 或 0.h=3.错 因 分 析 忽 视 了 条 件 的 等 价 性，(1)=0是”=1 为 x)的 极 值 点”的 必 要 不 充 分 条 件.正 解/(%)=3_?+2办+儿 由 x=l 时，函 数 取 得 极 值 10,得 f?1?=3+2。+6=0,y?l?=l+a+b+屋=10,联 立 得=7.名 师 纠 错 A对 于 可 导 函 数“X)：X0是 极 值 点 的 充 要 条 件 是/(%0)=0 且 在 配 点 两 侧 导 数 异 号，即/(%)在 方 程/(%)=0的 根 刈 的 左 右 的 年 号：“左 正 右 负”讥 0在 o处 取 极 大 值；“左 负 右 正”(%)在 o处 取 极 小 值，而 不 仅 是/(M)=O.f(%o)=。是 o为 极 值 点 的 必 要 而 不 充 分 条 件.对 于 给 出 函 数 极 大(小)值 的 条 件，一 定 要 既 考 虑/(%o)=O,又 考 虑 检 验“左 正 右 负”或“左 负 右 正”，防 止 产 生 增 根.对 点 专 练 5(1)设 函 数/U)的 导 函 数 为/(%),那 么 下 列 说 法 正 确 的 是()A.若/(%o)=O,则 祀 是 函 数 r)的 极 值 点 B.若 o是 函 数/(%)的 极 值 点，且 段)在 o处 可 导 则 f(Xo)=OC.若&是 函 数 兀 r)的 极 值 点，则/(xo)可 能 不 存 在 D.若/(&)=0无 实 根，则 函 数 7(%)必 无 极 值 点(2)“r)=%(%c)2在=2 处 有 极 大 值，则 常 数 c 的 值 为.解 析(1)A项 中 若 犬%)=必，/(0)=0,但=0不 是 极 值 点，故 A 错 误;x,%20%o是 极 值 点/(%)存 在，则/(我)=0,故 B 正 确、C 错 误;若 抬 尸 八，X,x0则(%)=0无 实 根，但 r)有 极 小 值 点，故 D 错 误.综 上，故 选 B.(2)f(x)=-2cx2-c2x,f(X)=3X24CX-C2,f(2)=0?c=2 或 c=6.若 c2.?=2,f(%)=3%2 8%+4,令 f(%)O?x2,f(%)0?g%0,即：)(%与 2)恒 成 立，又 翡 一 故 所 以 4 的 取 值 范 围 是(一 8,胃.错 因 分 析 求 函 数 的 单 调 递 增 区 间 就 是 解 导 数 大 于 零 的 不 等 式，受 此 影 响,容 易 认 为 函 数 4犬)的 导 数 在 区 间 2,+8)上 大 于 零，忽 视 了 函 数 的 导 数 在 2,+8)上 个 别 的 点 处 可 以 等 于 零，这 样 的 点 不 影 响 函 数 的 单 调 性.正 解 由 题 意，知/(%)=3%2 2办 一 3,令/(%)20(%N2)恒 成 立，得。忘|卜 一 口(%与 2)恒 成 立.记*%)=翡 一 3，当 2 2 时，/(%)是 增 函 数，所 以 fa)min=3/X(2 _/0J=a9，所 以 q g(-8,-9.9经 检 验，当 q=w时，函 数/(%)在 2,+8)上 是 增 函 数.|名 师 纠 错 A由 单 调 性 求 参 数 范 围 时，要 用/(%)、()(或/(x)wo),否 则 易 漏 解.对 点 专 练 6 若 函 数 段)=H ax%在 区 间(0,2)上 单 调 递 增，则 有()A.tz-2 B.aW2C.02加 13)B.3加 12)=2加 n3)C.3加 12)2n3)D.3川 n2)与 4 1 n 3)的 大 小 不 确 定 解 析(1)由 于/(%)=?1,故 据 题 意 可 得 工(0,2)时/(%)=3-1 2 0恒 成 立，即 恒 成 立，故 只 需。2 2,选 D.(2)令 g(x)=写,则 g(%)=Xf X0，所 以 函 数 g(x)在 R 上 单 调 递 减，又 In2g(ln3),艮 洲,./里,即 3/Un2)(ln 3),故 选 A.答 案(1)D(2)A易 错 点 7 定 积 分 与 面 积 转 化 不 清 致 误 例 7 曲 线 y=s io r与 轴 在 区 间 0,2兀 上 所 围 部 分 的 面 积 为.错 解 分 两 部 分，在 0,兀 上 有 J 6 s in rd r=2,在 兀，2兀 上 有/籍 sioxdr=2,因 此 所 求 面 积 5=2+(2)=0.错 因 分 析 面 积 应 为 各 部 分 的 绝 对 值 的 代 数 和，也 就 是 第 二 部 分 的 积 分 不 是 阴 影 部 分 的 面 积，而 是 面 积 的 相 反 数.所 以，不 应 该 将 两 部 分 直 接 相 加.正 解 S=f S sirL x(i r+1 f 京 sin_rdr|=2+2=4.|名 师 纠 错 A在 X轴 上 方 曲 边 梯 形 的 面 积 等 于 函 数 的 积 分,在 入 轴 下 方 曲 边 梯 形 的 面 积 等 于 函 数 积 分 的 相 反 数.对 点 专 练 7 卜+2,2Wx0,(1)函 数 大 幻=/的 图 象 与 x 轴 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 2cosx,OWxW/,为.(2)直 线 y=x与 抛 物 线 y=x一 始 所 围 图 形 的 面 积 等 于.解 析(1)所 求 面 积 5=F(%+2)cU+2cosdr=答 案(D4)