2022-2023学年广东省广州市高一年级上册学期线上限时训练（问卷）数学试题含答案.pdf

2022-2023学 年 广 东 省 广 州 市 第 六 中 学 高 一 上 学 期 线 上 限 时 训 练(问 卷)数 学 试 题 一、单 选 题 k k_1.设 集 合 M=x|x=5xl8（r+45。，kez,N=x|x=4 xl8（r+45。，kZ,那 么（）A.M=N B.N U M C.M U N D.M D N=0【答 案】C【分 析】变 形 表 达 式 为 相 同 的 形 式，比 较 可 得.得 k gl80+45 keZ=xx=2k+l-45 keZ【详 解】由 题 意 可 即 为 45。的 奇 数 倍 构 成 的 集 合,N=X|X=（/8 0+45,k（e）Zi=xx=4+1-45 keZ又 4,即 N 为 45。的 整 数 倍 构 成 的 集 合,:.M u N,故 选 C.【点 睛】本 题 考 查 集 合 的 包 含 关 系 的 判 定，变 形 为 同 样 的 形 式 比 较 是 解 决 问 题 的 关 键，属 基 础 题.2.函 数 f(x)=2、+3x的 零 点 所 在 的 一 个 区 间 是 A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【答 案】B【详 解】试 题 分 析：因 为 函 数 f(x)=2,+3x在 其 定 义 域 内 是 递 增 的，那 么 根 据 f(-l)3=0,那 么 函 数 的 零 点 存 在 性 定 理 可 知，函 数 的 零 点 的 区 间 为(一 1,0),选 B.【解 析】本 试 题 主 要 考 查 了 函 数 零 点 的 问 题 的 运 用.点 评：解 决 该 试 题 的 关 键 是 利 用 零 点 存 在 性 定 理，根 据 区 间 端 点 值 的 乘 积 小 于 零，得 到 函 数 的 零 点 的 区 间.3.已 知 角 a 的 顶 点 为 坐 标 原 点，始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合，终 边 上 一 点 42sina,3),则 cosa=1.1A.2 B.2出 至 C.2 D.2【答 案】A3a=-,【分 析】由 三 角 函 数 定 义 得 tan 2sina再 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 求 解 即 可 _ 3 sina _ 3【详 解】由 三 角 函 数 定 义 得 tana_2sina,即 cosa _ 2sina,得 3cos2sm-a=2(l-cosr)解 得 1cosa=2 或 cosa=-2(舍 去)故 选 A【点 睛】本 题 考 查 三 角 函 数 定 义 及 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式，熟 记 公 式，准 确 计 算 是 关 键，是 基 础 题【答 案】D【解 析】先 判 断 函 数 的 奇 偶 性，可 排 除 AC,再 代 特 殊 值 即 可 得 出 结 果.【详 解】由 题 意 得,1-5V.COS2X/(一 x)=-cos(-2x)=-cos 2x=-f(x)l+5x 5V+1 则 函 数/(x)为 奇 函 数，排 除 A C；/吟 1-53 2万%卜 一-C O ST 0又 1+5，,排 除 B.故 选：D.【点 睛】思 路 点 睛：函 数 图 象 的 辨 识 可 从 以 下 方 面 入 手：(1)从 函 数 的 定 义 域，判 断 图 象 的 左 右 位 置；从 函 数 的 值 域，判 断 图 象 的 上 下 位 置.(2)从 函 数 的 单 调 性，判 断 图 象 的 变 化 趋 势；(3)从 函 数 的 奇 偶 性，判 断 图 象 的 对 称 性；(4)从 函 数 的 特 征 点，排 除 不 合 要 求 的 图 象.J（x-a尸,x405.设 x-2x+3+a,x0,若 八）是 人、）的 最 小 值，则 实 数 的 取 值 范 围 为（）A.，2 B.口 C.2 D.口，2【答 案】C【分 析】利 用 二 次 函 数 的 性 质，先 求 出 当 时 的 函 数 最 值，然 后 结 合 一 元 二 次 函 数 的 性 质 进 行 讨 论 即 可.详 解 解：当 x0 时，/G A?-2x+3+a=（x-l）-+2+a,此 时 函 数 的 最 小 值 为/）=+2,若 a,则 此 时 八）不 是 x）的 最 小 值，此 时 不 满 足 条 件，若 则 要 使“）是/（X）的 最 小 值，则 满 足/（）=2 0,0 a 2故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 函 数 最 值 的 求 解，根 据 不 等 式 的 基 本 性 质 以 及 一 元 二 次 函 数 的 性 质 是 解 决 本 题 的 关 键.A.acb B.bac c.cab D.cb b g&=l,2 4,尸 囚,聿-2由 指 数 函 数 在 尺 单 调 递 减 的 性 质 得：2,（。国 s i W s i n l由 三 角 函 数 V=smx在 I 2 J上 单 调 递 增 的 性 质 得 5 6 2.所 以 c6.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 利 用 函 数 的 单 调 性 比 较 大 小，考 查 运 算 能 力，化 归 转 化 思 想，是 中 档 题.本 题 解题 的 关 键 在 于 借 助 中 间 量 1和 2,尤 其 在 比 较。与 c 的 大 小 时，将 c 变 形 得 2 比 较 大 小 是 重 中 之 核 心 步 骤.7.已 知 不 等 式(X y)对 任 意 正 实 数-y 恒 成 立，则 正 实 数”的 最 小 值 为()A.2 B.4 C.6 D.8【答 案】B(x+y)P M=i+四+2+a【解 析】由 I*y j y x,然 后 利 用 基 本 不 等 式 求 最 小 值，利 用 最 小 值 大 于 等 于 9,建 立 不 等 式，解 之 即 可.(J i a【详 解】由 已 知 可 得 若 题 中 不 等 式 恒 成 立，则 只 要 I、y J 的 最 小 值 大 于 等 于 9 即 可,;x 0,y 0 a 0,(x+_y)f+=1+a l+a+2a(x y j y x,xa _ y当 且 仅 当 了 即 夕=后、时 等 号 成 立，二。+2后+1 2 9,或 6 4-4(舍 去)，即 心 4所 以 正 实 数。的 最 小 值 为 4.故 选：B.【点 睛】易 错 点 睛：利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条 件:(1)“一 正 二 定 三 相 等”“一 正”就 是 各 项 必 须 为 正 数:(2)“二 定”就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值；(3)“三 相 等”是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方，这 时 改 用 勾 型 函 数 的 单 调 性 求 最 值.8.若 函 数/(X)是 定 义 在 火 上 的 偶 函 数，对 任 意 x e R,都 有 x T)=x+l),且 当 X 0 J时，”x)=2 T,若 函 数 g(x)=f(x)-lo g“(x+2)(a l)在 区 间(T 3)恰 有 3 个 不 同 的 零 点，则 实 数。的 取 值 范 围 是()A.B.5)C.(3,5 D.(1,5【答 案】C【分 析】求 得 当 x e T，O时，函 数/（x）=2-，-l,根 据/（x T）=f（x+l）,得 到 函 数 的 周 期 为 2,把 函 数 双）在 区 间（7,3）恰 有 3 个 不 同 的 零 点，转 化 为 即 函 数=（X）与 夕=l g（X+2）的 图 象 在 区 间（-L3）上 有 3 个 不 同 的 交 点，结 合 对 数 函 数 的 性 质，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，函 数 幻 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，当 x w O J 时，/（均=2-1,则 当 x e T，O时，则 函 数/（%）=/（一%）=2一、T,又 由 对 任 意 x e H,都 有 了（T）=/a+l）,则/（x）=/Q+2）,即 周 期 为 2,又 由 函 数 g（x）=x）Tog“（x+2）（。1）在 区 间（T，3）恰 有 3 个 不 同 的 零 点，即 函 数=/G）与 卜=魄 0+2）的 图 象 在 区 间（-1,3）上 有 3 个 不 同 的 交 点，又 由/（A/则 满 足 1呜（1+2）1且 1呜（3+2）2 1,解 得 3 a 4 5,即 实 数。的 取 值 范 围 是（3,51.故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 函 数 与 方 程 的 综 合 应 用，其 中 解 答 中 根 据 函 数 的 奇 偶 性 得 到 函 数 的 解 析 式,以 及 求 得 函 数 的 周 期，再 集 合 两 个 函 数 的 图 象 的 性 质 列 出 不 等 式 是 解 答 的 关 键，着 重 考 查 了 转 化 思 想，以 及 推 理 与 运 算 能 力，属 于 中 档 试 题.二、多 选 题 9.给 出 下 列 命 题，其 中 是 错 误 命 题 的 是（）A.若 函 数 X）的 定 义 域 为 0,2,则 函 数 2x）的 定 义 域 为 0,4.、-1B.函 数,1 X 的 单 调 递 减 区 间 是（-，）U（0,+）C.若 定 义 在 尺 上 的 函 数/G）在 区 间（-8,0上 是 单 调 增 函 数，在 区 间（0，钟）上 也 是 单 调 增 函 数，则“X）在 R 上 是 单 调 增 函 数.D.%、2是 X）在 定 义 域 内 的 任 意 两 个 值，且 X y X 2,若/（不）/（3），则/（X）减 函 数【答 案】ABC【解 析】对 于 A,由 于/（X）的 定 义 域 为 0,2,则 由 0M 2x4 2可 求 出/（2x）的 定 义 域；对 于 B,反比 例 函 数 的 两 个 单 调 区 间 不 连 续，不 能 用 并 集 符 号 连 接；对 于 C,举 反 例 可 判 断；对 于 D,利 用 单 调 性 的 定 义 判 断 即 可【详 解】解：对 于 A,因 为/的 定 义 域 为 0,2,则 函 数/（2x）中 的 2xe0,2,所 以 2x）的 定 义 域 为 0 J,所 以 A 错 误;对 于 B,反 比 例 函 数 x 的 单 调 递 减 区 间 为 J%。）和（0,+8）,所 以 B 错 误；对 于 C,当 定 义 在 R 上 的 函 数/（X）在 区 间（上 是 单 调 增 函 数，在 区 间（，+00）上 也 是 单 调 增 函 数，而 X）在 R 上 不 一 定 是 单 调 增 函 数，如 下 图，显 然，/）对 于 D,根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 可 得 该 选 项 是 正 确 的，故 选：ABC10.如 图 是 函 数 J=sin3x+。）的 部 分 图 像，贝-in3x+e）=（）C.【答 案】BC【分 析】首 先 利 用 周 期 确 定。的 值，然 后 确 定 夕 的 值 即 可 确 定 函 数 的 解 析 式，最 后 利 用 诱 导 公 式 可得 正 确 结 果.T _2n it _ TI【详 解】由 函 数 图 像 可 知：2-T-6-2,.-.T=n2 兀 一 冗+一:r_ 3 6 _ 5 兀 X-.不 妨 令 0=2,当 2 12时，V=T,则 阿 I I 2n L2n2x+7=+2kn(k G Z)12 2 1。解 得:9=2 E+弓(左 G Z)y sin 2.x H-F 2%兀 sin n+2.x sin 2.x 即 函 数 的 解 析 式 为:I 3 J I 3J 1 3人 故 A 错 误;sinf2x+=sinf 2x+=cosf 2x+&又 I 3 J I 6 2)1 6 人 故 c 正 确；以 兀、(.5兀、以 5号(5兀 c、cos 2x+=cos 兀+2x-=-cos 2x-=-cos-2x而 l 1 6 J V 6)I 6 人 故 D 错 误；故 选：BC.11.已 知 a0,b 0,且 a+b=l,则()A,2 2 B.+y/b c a2+b2-C bg?a+log,h-2 D 2【答 案】A BD【解 析】直 接 利 用 不 等 式 的 性 质 的 应 用 和 基 本 不 等 式 的 应 用 求 出 结 果.【详 解】解：因 为。,b 0,且+6=1,所 以 b=(l-a)=2 l-l2ah 2-1=所 以 2,故 A 正 确；对 于 B：(6+町=6+2疝=1+2疝 小+(。+6)=2,所 以&+仁 血,当 且 仅 当 a=b=2 时 取 等 号，故 B 正 确；log,a+log2 b=log2 ab log2(a+)2=-2 a=b=对 于 C：2,当 且 仅 当 2 时 取 等 号；故 C 错 误.2 6 2 1 0 _ b-1 _对 于 D：已 知。0,分 0,且。+6=1,所 以(。+6*2/+2 应 则 当 且 仅 当 一-5 时 取 等 号；故 D 正 确.故 选：A BD【点 睛】利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条 件：（1）“一 正 二 定 三 相 等”“一 正”就 是 各 项 必 须 为 正 数；（2）“二 定”就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值；（3）“三 相 等”是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方/）J（x）12.已 知 函 数/。）=厂 一 2奴+在 区 间（V j）上 有 最 小 值，则 函 数 g 一 x 在 区 间 口，+8）上 一 定（）A.是 奇 函 数 B.是 增 函 数 C.有 最 小 值 D.有 最 大 值【答 案】BC【分 析】由 已 知 求 出。的 取 值 范 围，应 用。的 范 围 对 g G）的 单 调 性、最 值 作 出 判 断【详 解】函 数 八 幻=-2+”在 区 间（-8,1）上 有 最 小 值，二 函 数 图 像 抛 物 线 的 对 称 轴 应 当 位 于 区 间（一*1）内，.有 a 1,g（x）9=X H-2QX X,在 区 间 口 十）上，定 义 域 不 关 于 原 点 对 称，g（x）不 是 奇 函 数./、/、a a a（x,一&）（x,x2-t7）任 取 1,V 士,g（X|）_ g（Z）=X|+_x,_ W-x-=X,-x2+-=-x2p-2xtx2 XjX2,由 a 1,看 三，有（不 一）0,玉 z-a 0,则 g U J-g g）0,即 8（*）8（%）,a所 以 g*二 在 区 间 L+8）上 为 增 函 数，g（l）=j 为 函 数 最 小 值.故 选：BC三、填 空 题 13.已 知 定 义 在 S+8）的 偶 函 数”X）在 0,+8）单 调 递 减，“一 1）=一 5,若-万,则 x 取 值 范 围.【答 案】4xVl【分 析】根 据 题 意/（2 x T）/（7）,可 得 RX T 1 4 1,由 此 能 求 出 x 取 值 范 围.【详 解】在（一 叫+8）的 偶 函 数/6）在，+8）单 调 递 减，7 一 5,则 由 I)；得-2 1)”(-1),即|2 1，所 以-1 4 2 x 7 4 1,解 得 0 4 x 4 1.故 答 案 为：V x V l【点 睛】本 题 考 查 了 利 用 函 数 的 奇 偶 性、单 调 性 解 不 等 式，考 查 了 基 本 运 算 能 力，属 于 基 础 题.s i n、1 4.已 知。为 锐 角，若 I 3J 4sin fa+型 则 I 6【答 案】一 五-1 V 74 用 4【分 析】根 据 a 的 范 围 和 sinf C T+y4可 确 定 7 1 5 7 12,6,由 同 角 三 角 函 数 关 系 可 得 COS,利 用 诱 导 公 式 化 简 所 求 式 子 即 可 得 到 结 果.兀 a+一 33 兀 a+w3八 兀 兀 0 a 7 1 5 7 1【详 解】2,3/.+sin=3 2 4,不 合 题 意;.（5兀、.（7 1 兀、sm a+=sin+a+一 I 6 J 12 3 Jna+w当 3兀 3 3旦 4_V7故 答 案 为：4.f(x)=sin 6ux+,n j1 5.已 知。0,函 数 I 6 J在 12 J 上 单 调 递 减，则”的 取 值 范 围 是.2 4【答 案】5,工 生 4 1 生 2 万 二 4 工【分 析】根 据 题 意，由 2 2,3。且 3。2,求 解 即 可.【详 解】设/G)的 周 期 为 T,K-2因 为 2 2,即 2 2。解 得 2,71 7 C 3 71-,一+2 k冗（t）x+2 k 九 由 26 27t 2 k 九 4乃 24乃 八+x+U e Z）-解 得 3。033口 o、77i+2k兀 41+2k冗 即/（X）在 区 间 匕 0&3。上 单 调 递 减,因 为 7 T 一 所 以 3G 且 3G 2,2 4解 得 L3 3J-2 4故 答 案 为：5 工.16.若 函 数/G）的 图 象 上 存 在 两 个 不 同 点 4 8 关 于 原 点 对 称，则 称 4 8 两 点 为 一 对“优 美 点”,记 作（4 8）,规 定（物）和（&）是 同 一 对“优 美 点”.已 知 l-lg（-x）,x IglO=1当 2 时，2,可 得 两 函 数 的 图 象 共 有 5 个 公 共 点,即 函 数/（x）的 图 象 上 共 存 在“优 美 点”共 5对.故 答 案 为：5.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 函 数 的 新 定 义 的 应 用，以 及 正 弦 函 数 与 对 数 函 数 的 图 象 的 应 用，着 重 考 查 数 形 结 合 思 想，属 于 中 档 试 题.四、解 答 题7 C 71.1 x Q 0 从 而 sinx-=1sinx+cosx=【详 解】(1)5.1.1 121+zsinxcosx=smxcosx=-.2 5,即 25sinx cosx+siYx _+1+tanx-1|sinxcosx,sinxcosx(cosx+sinx 12=-=sinxcosx=-sinx+cosx 2512 T V T Vsinxcosx=-x 0%im x 0sinx-cosx=-(sin x-co sx)1 2=-yl-2sinxcosx=-【点 睛】本 题 考 查 三 角 函 数 化 简 求 值，涉 及 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 和 整 体 代 入 的 思 想，属 于 中 档 题.1 8.记 函 数 对 二 炮。-)的 定 义 域、值 域 分 别 为 集 合 4 B.(1)当。=1 时，求 Z c B；(2)若 是“x e 8”的 必 要 不 充 分 条 件，求 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】(I)(-1，】；(2)(-0 0.【分 析】(1)由 对 数 函 数 的 定 义 域 和 值 域 求 得 集 合 4 区 根 据 集 合 的 交 集 运 算 可 得 答 案；(2)由 已 知 条 件 可 得 B是 A 的 真 子 集，从 而 可 求 得。的 取 值 范 围.【详 解】1 时，x)=l g(J x)由 1 3 0 得 即 由 0 c l-4 1得 8=(-8,0,.-1,0；(2)/”是“6 8，的 必 要 不 充 分 条 件，则 8 是 A 的 真 子 集，若。0,_/I x 0 得 Na Na,即 Na Na,与（1）类 似 得 8=（7,0,不 合 题 意，若。=0,则 x）=lgl=0,即 4=凡 5=0,满 足 题 意，若 则 I?*】，A=R,8=0,+8）,满 足 题 意.综 上。的 取 值 范 围 是【点 睛】本 题 考 查 对 数 函 数 的 值 域 和 定 义 域，以 及 集 合 间 的 交 集 运 算，充 分 必 要 条 件，属 于 基 础 题./（x）=2sin|ox-|-1（0 0）19.已 知 函 数.I 6 的 周 期 是 兀.求,（X）的 单 调 递 增 区 间，对 称 轴 方 程，对 称 中 心 坐 标；（2）ro求/（X）在 L 2 上 的 最 值 及 其 对 应 的 x 的 值.【答 案】（1）/6）的 单 调 递 增 区 间 为 I 6 3 J，对 称 轴 方 程 为 3 2,，对 f+,-l）leZ）称 中 心 坐 标 为 U 2 2）7T（2）最 小 值 为-2,对 应 的 x 的 值 为 0；最 大 值 为 1,对 应 的 的 x 的 值 为 工【分 析】（1）先 求 得 0=2,进 而 得 到 函 数 解 析 式，由 正 弦 型 函 数 的 性 质，即 可 求 得 单 调 递 增 区 间,对 称 轴 方 程，对 称 中 心 坐 标；-2 x-2 2sin(2x-)-1。，由。,则。=2,6,由-2+2lai 2 x-6 2+2kn(k e Z),解 得-6+kjt x 3+kn(k&Z.),函 数/（X）的 单 调 递 增 区 间 为-兀，兀,/1+兀,一+E:(k G Z)6 32x-=+for(iGZ)由 6 2,，解 得 Y+*z)+包 山 wZ)函 数/(X)的 对 称 轴 方 程 为 一 3由 2 x-6=/ai(k G Z,)，解 得 x-1-2+2(k e Z)函 数）（x）的 对 称 中 心 坐 标 为兀 0 x-(2)2,得 7T-l2sin(2x-)2兀，c 兀，5兀 2 x-6 6 6T T-22sin(2x-)-l 恒 成 立，求 实 数”的 取 值 范 围.【答 案】(1)2,6=1；(2)k&-6.【解 析】(1)由 题 意 可 得 求 得 方，再 由 T)=-/(1),求 得。，检 验 可 得 所 求 值;(2)运 用 参 数 分 离 和 换 元 法、结 合 指 数 函 数 的 单 调 性，以 及 反 比 例 函 数、一 次 函 数 的 单 调 性，求 得 函 数 的 值 域，结 合 恒 成 立 思 想，可 得 所 求 范 围.【详 解】(1)由 题 意 可 得 解 得 6=1,再 由/(1)=_ T),1-2 1-2-,得 4+Q 2+。，解 得。=2,f(x)=当 a=2,6=1 时，1-22 M+2 的 定 义 域 为&,/(r)=由 1-2一*2-x+i+2 2+2x+=f(X),可 得“X)为 奇 函 数,所 以。=2,b=.(2)由 2+的 幻-3 0,得 的 1-2,2川+23-2,-2X+1因 为 xek 所 以(L2),所 以 2川+2(3-2)(2,+2)1-2X04r%2(t)令-2+1=f，则 止(-3,-1),此 时 不 等 式 可 化 为 t,4 _ 4记“)-2(7一)，因 为 当 时，/和 y=T 均 为 减 函 数,所 以 力 为 减 函 数,故“不，因 为 恤)恒 成 立，所 以 K-6.【点 睛】本 题 主 要 考 查 函 数 的 奇 偶 性，以 及 不 等 式 恒 成 立 问 题 解 法，属 于 中 档 题.对 于 求 不 等 式 恒成 立 时 的 参 数 范 围 问 题，在 可 能 的 情 况 下 把 参 数 分 离 出 来，使 不 等 式 一 端 是 含 有 参 数 的 不 等 式，另 一 端 是 一 个 区 间 上 具 体 的 函 数，这 样 就 把 问 题 转 化 为 一 端 是 函 数，另 一 端 是 参 数 的 不 等 式，便 于 问 题 的 解 决.但 要 注 意 分 离 参 数 法 不 是 万 能 的，如 果 分 离 参 数 后，得 出 的 函 数 解 析 式 较 为 复 杂，性 质 很 难 研 究，就 不 要 使 用 分 离 参 数 法.2 1.已 知 函 数/3=2*,g(x)=lo g).3 3f(x)=x g(x)=X(1)若 与 是 方 程.2 的 根，证 明*是 方 程 2 的 根；f(x-l)=-x g(x-l)=-X,(2)设 方 程 2,2 的 根 分 别 是 和%,求 为 的 值.7【答 案】(1)证 明 详 见 解 析；(2)2.3 3f(x)=x 2=x【解 析】(1)因 为 X。是 方 程,2 的 根，即 2,将 2 代 入 g(x)根 据 对 数 的 运 算 性 质 可 得.5 5 32x-l=-x log.(x-l)=-x=(x-1)(2)由 题 意 知，方 程 2,2 的 根 分 别 是 不 用，即 方 程 23 3log2(x-l)=(x-1)21=t2 的 根 分 别 为 西，令，=x-l,设 方 程 2,3log2r=-z2 的 根 分 别 为 4=玉-1,，2=-1,结 合(1)的 结 论 及 函 数 的 单 调 性 可 求./(x)=x【详 解】(I)证 明：因 为 X。是 方 程 2 的 根,3 3所 以 2,即 2,3g(2%)=log2 20=x0=-2xg(x)=-所 以，2%是 方 程 2(2)由 题 意 知，方 程-X的 根.5-5=x lo g u x-1)=X2，2 的 根 分 别 是 为，吃,3 32|=(x-1)log,(x 1)=(x-1)即 方 程 2,2 的 根 分 别 为 对 三,令/=x-l,设 方 程 1!=2 t,log?t=2 t 的 根 分 别 为.仁 m T,J.W-l,3 3+2=t log,t=t由(1)知 是 方 程 2 的 根，则 2是 方 程 2 的 根.3令 2,则 2是 的 零 点，又 因 为“是(，”)上 的 增 函 数，,37/所 以，2，是 分”)的 唯 一 零 点，即 2，是 方 程 1 O 2?t=-2-t的 唯 一 根.所 以 2=t 3 3t+t2=t+2=-（x,-l）+（x2-l）=-所 以 2,即 2,3 c 7x+x,=+2=所 以 2 2.【点 睛】本 题 考 查 了 函 数 的 零 点 以 及 用 单 调 性 判 断 零 点 个 数 问 题，是 中 档 题.2 2.已 知 函 数 x）=bg2（x+a）（a 0）,当 点 M（x,y）在 函 数 y=g（x）图 像 上 运 动 时，对 应 的 点 M，（3 x,2内 在 函 数 N=x）图 像 上 运 动，则 称 函 数 夕=g（x）是 函 数 J=f（x）的 相 关 函 数，（1）解 关 于 x 的 不 等 式 x）l；（2）对 任 意 的 x w（），/（x）的 图 像 总 在 其 相 关 函 数 图 像 的 下 方，求 的 取 值 范 围；（3）若 关 于 x 的 方 程 x）-g（x）=O有 两 个 不 相 等 的 正 实 数 根 4%,求 的 取 值 范 围.【答 案】（0,1；（3）【解 析】（1）由 对 数 函 数 的 单 调 性，结 合 不 等 式 幻 0 卜+a0【详 解】解：依 题 1唾 2（+幻 1,则 L+a 2,所 以-x 2-a 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 次 卜 2-。；（2）由 题 意 知，点 M（3x，2y）在 函 数 y=/（x）图 像 上,即 2。氏+*所 以”则 0+0）即 做 的 相 关 函 数 为 g（加 驷 式+0）依 题 意，对 任 意 的 x e（0，l）,/（X）的 图 象 总 在 其 相 关 函 数 图 象 的 下 方,u/nn/（x）-g（x）=log2（x+a）-bg2（3x+a）0首 先 由。0,知 3x+a 对 任 意 的 x e（0,l）总 成 立，即 对 数 式 有 意 义.在 此 条 件 下，等 价 于 xe(，D 时，1 8式 工+。尸 1。82(3+。)恒 成 立，国 j(x+a)?3x+。，gpx2+(2a-3)x+a2-a 0设(x)=犬+(2a-3)x+/-a,要 使 xe(0,1)时，翻 x)恒 成 立，0(0)40 p2-a 0首 先 由。,知 13x+对 任 意 的 正 数 x 总 成 立，即 对 数 式 有 意 义.故/(x)-g(x)=0 即(x+a)?=3x+a,即+(2a-3)x+/=。有 两 个 不 相 等 的 正 实 数 根 为 多，则=(2叱 3)-4(“2-。)0,网+=3-2。0 xtx2=a2-a09,(5 V 7即 卜 W,K=a+%)2-2 中 2=(3-24-2(?-0)=2八 104+9=2卜-5 1 5 对 称 轴 是”2 2伍 环 二 年 2,故 I 2)2 在 I 8 J上 单 调 递 减，储.丫 2所 以 3+X2的 取 值 范 围 为【点 睛】方 法 点 睛：与 对 数 函 数 有 关 的 复 合 函 数 的 性 质(如 最 值)以 及 对 数 不 等 式 的 恒 成 立，解 决 这 类 问 题，通 常 是“脱 去 对 数 符 号“，把 问 题 转 化 为 二 次 函 数 在 给 定 范 围 上 的 恒 成 立 或 分 式 函 数 的 最 值 来 讨 论.