2022-2023学年上海市黄浦区高二年级上册学期12月月考数学试题含答案.pdf

2022-2023学年上海市黄浦区高二上学期12月月考数学试题一、填空题I .已知数列 4 是等差数列，“3 =1 8,%=3,则%=【答案】一1手2 9#-64.5【分析】根据题意计算出等差数列的首项和公差即可求解.4+=2 d =3 1 8解得【详解】设公差为，则由题意得514=5L4所以。2 5 =4+2 4 d=3+2 4x故答案为：一1手2 9.1 51 2 92 .平行六面体的每个面都是.【答案】平行四边形【分析】根据平行六面体的定义即可求解.【详解】根据平行六面体的定义可知：平行六面体的每个面都是平行四边形.故答案为：平行四边形3 .掷两颗骰子，则所得的点数之和为6 的概率为.【答案】旦【分析】掷两颗骰子得到有序数对(*y),事 件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(L 5)共有5 个基本事件，而所有的基本事件有3 6个，由此结合随机事件的概率公式即可算出本题的概率.【详解】记两颗骰子的点数分别为x,y,得掷两颗骰子得到有序数对(乂)则x、y 的值可能是1,2,6 共六种情况，共6x 6=3 6个基本事件.事 件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(1,5)共有5 个基本事件因此，点数之和为6 的概率为P =236故答案为：23 64.在等比数列 中，若其前项和5“=3 +。，则旬”=.【答案】2x323【分析】利用等比数列明与S“的关系求解.【详解】由题可得4=E =3+4,当 N 2 时，a=S-J=3+a-(3T+“)=2.3T,因为%为等比数列，所以4 =3+a满足q =2 3 T ,所以3+。=2解得4=-1,所以 4 =2-3T,eN,所以见“=2x3刈,故答案为：2x32叫5.若圆锥的侧面积为。平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则 这 个 圆 锥 的 底 面 的 半 径 为.【答案】也 近24【分析】根据侧面积得到R=栏，故2夕=火，解得答案.【详解】设侧面展开图的半径为R,则S=g乃-R 2=a,即 尺=栏.圆锥的底面的半径/满足2夕=乃/?,故r=叵224故答案为：灭 也.24【点睛】本题考查了圆锥展开图的相关计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6.若长方体的对角线的长为9 c m,其长、宽、高的和是1 5 c m,则 长 方 体 的 全 面 积 是.【答案】144cm2【分析】设长方体的长、宽、高分别为y，z,利用(x+y +z p可构造方程求得2号+2xz+2 ,即为所求的全面积.x+y+z=15【详解】设长方体的长、宽、高分别为x，y，z,贝-r，,厂+V +z=9/.(x+y +z)=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=81+2xy+2xz+2yz=225,2盯+2xz+2yz=1 4 4,即长方体的全面积为144cm?.故答案为：144cm2.7.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率为0.6,那 么 摸 出 白 球 的 概 率 为.【答案】0.25【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为A B,C,根据互斥事件概率加法公式P（A+5）=P（A）+P（3）=0.65,P（A+C）=P（A）+P（C）=0.6,P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=1,解得 P（A）=0.25.8.如图，在直四棱柱ABCQ-A 4G。中，ZADC=90,S.AAt=AD=DC=2,M e 平面ABC,当 RM _L 平面 A,C,D 时，DM=【答案】2 0【分析】建系，根据题意利用空间向量的坐标运算可求点M 的坐标，即可得结果.【详解】如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，则。（0,0,0）,4（2,0,2）A=（2,0,2）,DC,=（0,2,2）,D.M DA.=2a-4=0 a=2/、若 M L 平面AG。，则，解 得，,即M(2,2,0,D.M-DAf=2b-4=0 b=2故 DM=/22+22+02=2A/2.故答案为：2&.9.球面上三点A、B、C,48=18,8C=24,AC=3 0,球心到平面ABC的距离为球半径的一半,则球半径为【答案】1 0 6【分析】由题意可知：A B 1 B C,A8C为直角三角形，外接圆圆心为斜边AC的中点，结合条件,利用勾股定理即可求解.【详解】因为 AB=18,8C=24,A C-3 0,所以 48?+8C?=AC）,所以，ABC为直角三角形，则AC为球小圆的直径，设球半径为R,如图：由题意可知：（gy+152=R 2,解得：R=10百，故答案为：1 0 6.1 0.下列四个正方体图形中，A、8 为正方体的两个顶点，例、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出M 平面MNP的 图 形 的 序 号 是 （写出所有符合要求的图形序号）.【答案】【分析】根据线面平行的判定和性质，以及面面平行的性质即可得解.【详解】对于：易知平面MNP平行于正方体右侧平面，根据面面平行的性质即可得出A 8平行于平面MNP.对于：若 A 3平行于平面MNP,因为A B u平面A 8 O,且平面A3。与平面MNP交线为NQ,则根据线面平行的性质可得，A 8平行于NQ,所以僚，这与；=；矛盾，故该选项错误；对于:由中位线定理可得M P平行于CD,而CD平行于A 8,所以A 8平行于平面MNP,M P u平面MNP,所以45平面MNP对于：如图，连接G E,E N,因 为 为 所 在 棱 的 中 点，则M7V/EF,故平面MNP即为平面MNEF,由正方体可得AB/EG,而平面A8GE 1平 面MNEF=EM,若A8平面M VP,由A B u平面ABGE可得A 8/E M,故EGHEM,矛盾，故该选项错误故答案为：.二、双空题1 1.棱长为的 正 四 面 体 的 全 面 积 为，体积为.【答案】出相.【分析】设ABCD是棱长为。的正四面体，即可直接求得其全面积，作A。J平面BCD于0,则。为 3 C O的中心，求出8。的长，由此可求出正四面体的高A 0的长，进而可求得正四面体的体积.【详解】如图设ABCD是棱长为“的正四面体，则正四面体的全面积为4 x正/=&2,A作A O _ L平面BCD于。，则。为88的中心，则8 0 =2、立”=立 3 2 3所以正四面体的高为A0=百 丫 卡 a=a，3所 以 正 四 面 体 的 体 积 为*/4”拿.故答案为：丛 屋;存.1 2.已知球的两个平行截面的面积分别为4 9兀、4 0 0兀，且两个截面之间的距离是9,则球的表面积为,体积为._ 6 25 0 0【答案】25 0 0 n 【分析】先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧的情形，加以分类讨论.【详解】下图为球的一个大圆截面.Tt-OtA =4 9 it,兀-O*?=4(X ht,则(7,4 =7,0,6 =20(1)当两截面在球心同侧时，OOt-OO2=9 =V/?2-72-V/?2-202,解得R?=6 25 ,$球=4兀川=25 O O 7 t,匕*=g僦=）普二兀,.（2）当两截面在球心异侧时，OO,+OO2=9 =SJR2-72+YIR2-202,无解.故答案为：25 0 0兀,哼,三、单选题13.已知/是直线，口、仅是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A.若/a,lp,则a 夕 B.若 a_L,I/a,则C.若 ILa,I B,则 D.若/a,a 尸，则/0【答案】C【分析】根据线面、面面之间的平行、垂直的判定和性质即可求解.【详解】对于选项A：若/a,/P,存在a,/7相交的情况，故该选项错误；对于选项B：若a_L/?,l/a,存在/在/内或/4 或/,相交的情况，故该选项错误；对于选项C：若/_La,/，a、夕是两个不同平面，则 故 该 选 项 正 确；对于选项D：若/a,a/13,存 在/在/内，故该选项错误.故选：C.14.在国庆阅兵中，某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则 B 先于 A,C通过的概率为A.-B.-C.J D.16 3 2 3【答案】B【解析】将所有的情况枚举出来再分析即可.【详解】用(A,B,C)表示A,8,C通过主席台的次序，则所有可能的次序为(A,B,C),(A C,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共 6 种，其中 B 先于 A.C 通过的有(8,C,A)和2 I(B,A,C)洪 2 种，故所求概率P=$=：.6 3故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型的一般方法，根据枚举求解即可.属于基础题型.1 5.把黑、红、白3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件 乙分得红牌”是()A.对立事件 B.互斥但不对立事件C.不可能事件 D.必然事件【答 案】B【分 析】利用互斥事件和对立事件的定义求解.【详 解】解：把 黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌，与事件“乙分得红牌，不会同时发生，则两者是互斥事件,但除了甲分得红牌，乙分得红牌，还有丙分得红牌，则两者不是对立事件，所以事件，甲分得红牌，与事件，乙分得红牌，是互斥但不对立事件，故选：B1 6.连掷两次骰子得到的点数分别为机和，记 向 量4=（7,）与向量的夹角为e,则的 概 率 是（）A.B C.D.-12 2 12 6【答 案】C【分 析】由，得 出“力=巾 _ 2 0,计算出基本事件的总数以及事件机2所包含的基本事件 数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详 解】。4 卷-.a b=m-n 0,即加之，事件“d e（0,5”所包含的基本事件有：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6）,共21个，所有的基本事件数为6?=3 6,因此，事件”的 概 率 为 筌=1.I 2 36 12故 选：C.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题.四、解答题1 7.如图所示，在 长 方 体A B C O-A/B Q S中，A B=A D=,A A,=2,是 棱CC/的中点.证明:平 面A8W_L平 面A iBiM.【答案】证明见解析【分析】通 过 长 方 体 的 几 何 性 质 证 得 通 过 计 算 证 明 证 得 由 此 证 得 2 平面 A g M,从而证得平面相 M,平面481M.【详解】由长方体的性质可知A/8/_L平面8CC/B/,又 B M u 平面 BCCiBi,：.AIBIHM.又 C G=2,M 为 C G 的中点，：.C i M=C M=.在 R SB/G M 中，B i M=西 河 +C M?=叵，同理 BM=JBC2+CM2=&，又 BIB=2,：.BIM2+BM2=BIB2,从而又 A B n B M=B i，.BM，平面 A/8/M,：BMu平面平面平面A/B/例.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.1 8.如图，在三棱柱 A B C-A 4G 中，ACJ.BC,AB 1 BB1,A C =BC =BBt=2,。为 AB 的中点,且 CQ1ZM,.aG 求证：B G 平面册）；（2）求三棱锥片-A Q C的体积.【答案】（1）见解析:呜【分析】（1）利用中位线的方法，结合线面平行的判定定理来证得B G平面C A Q.（2）利用锥体体积公式，及等体积法计算出三棱锥用-A Q C的体积.【详解】（1）设4Gc4C=0,所以0是AG的中点，连接。，如图,B由于。是A 8的中点，所以OD/BC-由于B G A，A 8U平面A B B/,所以C O,平面由于AC13C,所以4 8 =1 22+2?=2五,CD=AB=应,2因为 A B _ L B 8-所以 S A A 4 =g A BBg=&x 2 =20,所 以%-ADC=C-4IBID =-X/2x2/2=.1 9.已知ABC。是空间四边形，如图所示(M,N,E,F 分别是AB、AD,BC、C上的点).C(1)若直线MN与直线E尸相交于点。，证明B,D,。三点共线；(2)若 E,N为BC,AO的中点，AB=6,0 c =4,NE=2,求异面直线A 8与 D C所成的角.【答案】(1)证明见解析3(2)arccos【分析】(1)根据点与线和点与面的位置关系推出。是 平 面 桃 和 C8。的公共点，结合平面Wc平面C8O=8 O,即可证明；(2)连接3 0,作 3。的中点G,并连接GN,G E,利用中位线的性质可以得到异面直线A 8与QC所成的角等于直线GE与GN所成角，再根据余弦定理即可求解.【详解】(1)因为N w AD,A B u平面4 h，A D u平面4 册，所以M N u 平面ABD,因为 EGCB,FeCD,C 3 u 平面CB。，Cu平面 ABD,所以Ef u 平面C3),由于直线MN与直线E F相交于点。，即 OGMN,O e平面板,O&EF,O e 平面C8O,又有平面ABDc平面CBD=B,则O eB O,所以B,D,。三点共线.(2)连接8。，作 8。的中点G,并连接GN,G E,如图所示：A在 A B D中，点N,G分别是AO和8。的中点，且A 8 =6,所以GN 他，且G N =1 A B =3,2在C B Z)中，点E,G分别是3C和8)的中点，且C Z)=4,所以G E C ,且G E =；C =2,则异面直线AB与D C所成的角等于直线G E与G N所成角，即NEGN或4E G N的补角，d 0 A.p*i f i i /nrM GE+GN EN 2-+3-2 3 _又 E N =2,由余弦定理得：c o s Z E G N =-=-=0,2 G E x G N 2 x 2 x 3 43故异面直线A3与。C所成的角为a r c c o s=.2 0.小 王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则:小王先掷一枚骰子，向上的点数记为%;小李后掷一枚骰子，向上的点数记为招(1)在直角坐标系x O y中以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=l上的概率；(2)规定:若+把1 0,则小王赢；若x+闫，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.【答案】(1)3 6个，概率为，；(2)公平.O【分析】(1)根据题意判断为古典概型，所有的基本事件总数为3 6个，其中点(x,y)落在直线x+y =7上包含6种情况，故 概 率 为 尸=二=!；(2)由题意，判断x+定1 0和 +乃4的概率是否相等即可，根据古典概型概率公式求解即可.【详解】因x，y都可取1,2,3,4,5,6,故以(X,y)为坐标的点共有6 x 6=3 6个.记”点(x,y)落在直线x +y=7上”为事件A,则事件 A 包含的点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共 6 个，由古典概型概率公式可得事件A的概率为P(A)=2 =33 6 6记“x+y R O”为事件B,“x+)W 4”为事件C,用数对(x,y)表 示 的 取 值.则事件B包含的基本事件为(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个数对;事 件C包含的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个数对.由(1)知基本事件总数为3 6个，所以 P C B)=：,3 0 O26所以小王、小李获胜的可能性相等，因此游戏规则是公平的.2 1.如图，在四棱锥V A B C。中，底面A B C。是矩形，侧 棱 底 面4 B C D,E、F、G分别为例、V B、BC的中点.(1)求证：平面EAG平面火笫；(2)当二面角M-BC-A、V OC-A分别为4 5。、3 0。时，求 直 线 与平面EFG所成的角.【答案】(1)证明见详解(2)a r c s i n 4【分析】(1)利用面面平行的判断证明即可.(2)根据向量法计算使用反三角函数表示即可.【详解】(1)如图所示：因为E、F、G分别为例、VB,8C的中点，所以E F /1 8,且A G /A C.底面A B C。是矩形，所以E尸。C,又 因 为 平 面V C D,DCu平面VW,所以EF平面VCD,同理：尸G 平面丫8,又因为F G E F =F,FGu平面EFG,E F u 平面E F G,所以平面EFG 平面VC。如图所示：以A 为空间直角坐标系原点，A D,A B,A V 为x,），,z 轴建立空间直角坐标系.由已知NVBA为二面角VB C-A 所成的平面角，所以NVBA=45/VDA为二面角VQCA 所成的平面角，所以/以乂=30设 E 4=2,所以 AB=2,AD=2y/3所以 A（0,0,0）,矶0,2,0）,V（0,0,2）,E（0,0,l）,*0,1,1）,G（V3,2,0）,设平面EFG法向量为，=（x,y,z）,因为EG=（石,2,-1）,EF=（0,1,0）m-EG=0_ x+2 y-z=0m-EF=0 y=0令x=6，所以y=o,z=3所以4 =（6,0,3）,又因为VB=（O,2,-2）,记直线MB与平面EFG所成的角为a,所以sina=,s M讣盘=五%邛直 线 VB与平面FG 所成的角为arcsin，.