2023年六年级数学思维拓展-体积的等积变形（通用版）含答案.pdf

体积的等积变形-2023年六年级数学思维拓展（通用版）体积的等积变形.填空题（共24小题）1.如果一个长方体的长增加20%,宽增加10%,高减少10%,则 它 的 体 积 增 加 了%。2.如图，将一个小正方体放入一个大正方体内，小正方体的体积为5 立方厘米，大正方体棱长是小正方体棱长的4倍,则两个正方体之间空白部分的体积为 立方厘米。3.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示.它的容积为26.4兀立方厘米.当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米,瓶子倒放时,空余部分的高为2 厘米，则瓶内酒精体积是 立方厘米.4.一个棱长为30cm的正方体铁块,在8 个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体,如图所示,将其投入底面积为2500cm2,高为50cm的圆柱形容器内.已知原来容器内水面高度为20cm,那么，放入铁块后水面高度变为 cm.5.如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水.先将一个底面直径是8 厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了 3.2厘米.圆锥形铁块的高_ _ _ 厘米.6.用底面内半径和高分别是12cm,20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱,经测量，圆柱部分的沙子高5cm,若将这个容器倒立，则沙子的高度是 cm.-7.一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长54厘米，宽24厘米，高20厘米，缸内水深12厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是 立方厘米.8.在一个游泳池中有一条船,船上载着小明、小华和一些石头.当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升;小华认为游泳池的水位应该下降.说法正确的是.9.有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）.如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是 厘米.10.一个底面内半径为6厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8厘米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是 厘米.11.一个正方体的棱长是12,一个长方体的长是18,宽是8,长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表 面 积 比 正 方 体 的 表 面 积 多.12.把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加 平方厘米.13.如图，正方体的棱长为6cm,连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形.正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体积是cm3.14.图 a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是1 0 厘米,水瓶高度是 2 6 厘 米，瓶中液面的高度为1 2 厘 米.将 水 瓶 倒 置 后，如 图 2 b,瓶中液面的高度是1 6 厘 米，则 图 b中，水瓶中圆锥部分的高度为 厘米.26厘米10厘米12厘米f图a图b15.如图，底面积为5 0 平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块,木块浮出水面的高度是2 厘米.若将木块从容器中取出，水面将下降 厘米.16.一位拉面师傅,拉出的面条很细很细.他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长1.6 米的圆柱形面棍，然后对折拉长到L6米，再对折拉长到1.6 米，又再对折拉长到1.6 米，如此继续进行下去.最后拉出的面条的粗细（直径）只有原先面棍的士,这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和 有 米.（假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形,而且没有任何浪费.）17.一个盖有瓶盖的玻璃瓶里面装着一些水（如图所示，玻璃的厚度忽略不计），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是立方厘米。底面积为1 0 平方厘米18.如 图，瓶子高度为2 5 厘 米，下部成直圆筒形。内装8 两 油，油面高1 4 厘米;若将其倒立，则油面高1 8厘米。这个瓶子可装油 两。19.圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高2 0厘米，水深1 0厘米,现将一根底面半径1厘米，高1 5厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深 厘米.20.把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水3.1 4升.如果将钢球铸成底面直径为2分米的圆柱体，它的高是 分米.21.如图，有两个长方体水箱中装有水.甲水箱长4 0厘米，宽3 2厘米,水面高2 0厘米；乙水箱长3 0厘米,宽2 4厘米，水面高1 0厘米.现将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高 厘 米.（水箱厚度不计.22.在一个长2 0分米，宽1 5分米的长方体容器中，有2 0分米深的水.现在在水中沉入一个棱长3 0厘米的正方体铁块，这时容器中水深 分米.23.已知如图中，4面和B面的面积分别是2 4平方米、1 6平方米，拉为0.5米，现在要把4地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高 米.24.往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分.过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到。（也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍）.另 外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同.即使是往相同的容器里倒入的啤酒量,也会因倒入的方法不同而不同.如图,往深度为3 0厘米的圆柱形的容器里倒入5 0 0毫升的啤酒，从容器的底部到以上1 5厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第一次）.然后,往相同的容器里倒入7 0 0毫升的啤酒,从容器的底部到以上高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫（第二次）./的值是第次第：次二.解答题(共34小题)25.一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的当倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？26.一个长方体盒子，从里面量长是4 0厘米,宽是1 2厘米，高是7厘米.在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？27.设半径为1 0厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体,则该正方体的棱长最大等于多少？28.一个长4 0、宽2 5、高5 0的无盖长方体容器(厚度忽略不计)盛有水，深度为a,其中0a 20+3,所以将容器倒立，沙子不能填满圆柱，则圆柱内沙子的高度应该是5+2 0+3,据此即可得解.【解答】解:据分析可知，沙子的高度为：5+20+3=11件(厘米)；9答：沙 子 的 高 度 为 厘 米.O故答案为：1 1 今9【点评】解答此题的主要依据是：圆柱的体积是与其等底等高的圆锥体积的3 倍.7.一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量 得 长 5 4 厘 米，宽 2 4 厘 米，高 2 0 厘 米，缸内水深1 2 厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至1 6 厘 米，则 石 块 的 体 积 是 色 幽 立方厘米.分析 根据题意，把一块石头浸入水中后，水面升到1 6 厘米，首先求出水面上升的高度，1 6 厘米-1 2厘米=4厘米，石头的体积等于玻璃缸内高为4 厘米的水的体积，但考虑到石块可能会露出水面，所以假设块棱长是1 6 厘米，则体积为：1 6 X 1 6 x 1 6 =4 0 9 6（立方厘米）.比 5 1 8 4 小，所以石块有部分露出水面，所以要先求出石块的底面积，进而求出体积，由此解答.【解答】解：5 4 x 2 4 x（1 6-1 2）=1 2 9 6 x 4,=5 1 8 4（立方厘米）；若石块棱长是1 6 厘米，则体积为：1 6 x 1 6 x 1 6 =4 0 9 6（立方厘米）.比5 1 8 4 小，所以石块有部分露出水面.石块的底面积是：5 1 8 4+1 6 =3 2 4（平方厘米），3 2 4 =1 8 X 1 8,所以石块的棱长是1 8 厘米.石块的体积是：1 8 x 1 8 x 1 8 =5 8 3 2（立方厘米）.答：石块的体积是5 8 3 2 立方厘米.故答案为：5 8 3 2.【点评】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解决这类物体，注意，要判断石块是否完全浸没在水中，再根据长方体的体积计算方法解答.8.在一个游泳池中有一条船,船上载着小明、小华和一些石头.当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池 以 后，小 明 认 为 游 泳 池 的 水 位 应 该 上 升；小 华 认 为 游 泳 池 的 水 位 应 该 下 降.说 法 正 确 的 是小 华.【分析】石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降.问题得以解决.【解答】解：石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降，正确的是小华.故答案为：小华.【点评】本题主要是考察了同等质量相同的水和石头的体积的大小关系.9.有一个足够深的水槽，底面的长为1 6 厘米、宽 为 1 2 厘米的长方形，原本在水槽里盛有6 厘米深的水和6 厘米深的油（油在水的上方）.如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8 厘米、1 2 厘米的铁块，那么油层的层高是 7厘米.【分析】按题意，放进铁块后，水面高度肯定小于铁块高度，而油面可能漫过铁块，故可以先求的水面的高，再利用体积变形求得油层的高.【解答】解：根据分析，水高=1 6 X 1 2 X6+(1 6 X 1 2-8 X8)=9(厘米)，设油层高为c厘米，故：油层的体积 V=1 6 x l 2 x 6 =(1 2-9)x (1 6 x 1 2-8 x 8)+(x-3)x 1 6 X 1 2,解得：c =7.即：油层的层高是7 厘米.故答案是：7【点评】本题考查了体积的等积变形，本题突破点是：先求出水高，再求油层高.10.一个底面内半径为6 厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高4.8 厘 米，在其中放入一个长和宽分别为4厘米和3 厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那 么 长 方 体 的 高 是 5.4厘米.【分析】先根据圆柱的体积计算公式：/=兀/,求出水的体积，然后设圆柱体容器的高是八厘米，根据圆柱的体积计算公式，求出圆柱体体积，有题意可知：长方体铁块的高即圆柱容器的高，则长方体铁块的高也是八厘米，进而根据长方体体积计算公式，求出长方体铁块的体积，进而根据：水体积+长方体体积=圆柱体体积，列出方程，解答即可.【解答】解：设圆柱体容器的高是八厘米，则：7 t x 62X 4.8 +4 x 3 X /l=7 t X 62X /l3 x 3 6 x 4.8 =(3 x 3 6-1 2)/19 6 九=5 1 8.4/i =5.4答：长方体的高是5.4 厘米.故答案为：5.4.【点评】明确长方体铁块的高即圆柱容器的高，是解答此题的关键.11.一个正方体的棱长是1 2,一个长方体的长是1 8,宽是8,长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多 4 8 .【分析】首先根据正方体的体积公式：v =a ,求出正方体的体积，再根据长方体的体积公式：v=abh.,用体积除以长除以宽求出高，由正方体的表面积公式：s =(j a2,长方体的表面积公式：s (ab+ah+bh.)x 2，把数据分别代入公式求出它们的表面积差即可.【解答】解：长方体的高：1 2 x 1 2 x 1 2 +(1 8 x 8)=1 7 2 8 +1 4 4=1 2,(1 8 x 8 +1 8 x 1 2 +8 x 1 2)x 2 -1 2 x 1 2 x 6=(1 4 4 +2 1 6 +9 6)x 2 -1 4 4 x 6=4 5 6 x 2 -8 6 4=9 1 2-8 6 4=4 8.故答案为：4 8.【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用.12.把一个体积为5 1 2 立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加 1 6 6 6 平方厘米.【分析】把正方体的橡皮泥捏成长方体，只是形状变了，但体积不变，首先根据正方体的体积公式：v=a：求出正方体的棱长，进而求出正方体的表面积，改成棱长为整厘米数的一个长方体，要使表面积最大，则改成底面边长为1 厘米，高为5 12厘米长方体.根据长方体的表面积公式求出这个长方体的表面积，然后与正方体的表面积进行比较即可.【解答】解：因为5 12=8 x 8 x 8,所以正方体的棱长是8厘米，正方体的表面积：8 x 8 x 6 =3 8 4(平方厘米)；把这个正方体改捏成底面边长1 厘米，高为5 12厘米长方体，长方体的表面积：1 x l X 2+1 x 5 12 X 4=2 +204 8=205 0(平方厘米)；205 0-3 8 4 =16 6 6(平方厘米)；答:表面积最多能增加16 6 6 平方厘米.故答案为：16 6 6.【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用.13.如图，正方体的棱长为6 c m，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形,而连接其中三个顶点形成一个三角形.正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 8 个 面，它的体积是 7 2c m3.【分析】通过画图分析，结合题意，得出立体图形有8个面；它的体积等于正方体体积的一半减去三棱锥的体积；正方体的体积=棱 长，三棱锥的体积=三sh,三棱锥的底面正好是正方形面积的一半，高即正方体的高，代入数值，计算即可得出结论.【解答】解：X (6 x 6 x 6)x (6 x 6 +2)x 6,=108-36,=72（立方厘米）；答:正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8 个面，它的体积是72cm3.故答案为：8,72.【点评】此题做题的关键是要弄清要求得立体图形是个什么形状，要认真分析，进而根据正方体和三棱锥的体积计算方法，进行计算即可.14.图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米,水瓶高度是 26厘 米，瓶中液面的高度为12厘 米.将 水 瓶 倒 置 后，如 图 2 b,瓶中液面的高度是16厘 米，则 图 b中，水瓶中圆锥 部 分 的 高 度 为 6厘米.图 a图 b 分析】两个瓶中空气部分的体积不变，所以左图中空气部分的体积就等于右图中高为26 16=10（厘米）空气柱的体积，所以瓶的容积是：兀x（10+2）勺（12+10）=550武立方厘米）；如果把瓶看作高为26厘米的圆柱的话，体积比原来多：兀x（10+2产X 26 550兀=10（）武立方厘米）；这部分多的体积相当于水瓶中圆锥部分的体积的2 倍，所以根据圆锥的体积计算公式可求出高.【解答】解：26-16=10（厘米），兀x（10+2户义（12+10）=550M立方厘米）,71X（10 4-2yx 26-550兀=100兀（立方厘米），100rc+2+6 +F x 6义9 1=6 9 6#7 20,所以不可能有棱长为5的小正方体.（1）同理，棱长为4的小正方体靛多为1 个，此时，不可能有棱长为3 的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2 的小正方体或棱长为1 的小正方体，设棱长为2 的小正方体有a个,棱长为1 的小正方体有b个，23a+13b+43=21622X 6a+l2 x 64+42 x 6=720解得:（a=12=56 棱 长 为3的小正方体要少于（6+3）x（6+3）x（6+3）=8个,设棱长为2的小正方体有a个,棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个,j 33c+23a+l3b=216（32X 6C+22X 6a+l2x 6b=720化简:27c+8a+b=2169c+4a+b=120由上式可得：b,=9n c+,24,a=-1-2-0-j9-c-b-当 c=0 时，624=,a=24,当c=l时，b=33,a=19.5,（不合题意舍去）当 c=2 时，6=42,a=15,当c=3时，b=51,a=10.5,（不合题意舍去）当 c=4 时，b=60,a=6,当c=5时，b=69,a=28.5,（不合题意舍去）当c=6时，b=78,a=-3,（不合题意舍去）当c=7时，a=负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个.答:棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个.【点评】本题关键是根据表面积变化前后体积不变，确定小正方体的棱长的范围，然后分类讨论即可.26.一个长方体盒子,从里面量长是40厘米，宽 是12厘米，高 是7厘米.在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？【分析】根据长方体的高是7厘米，可以分上下两层来分析：上层高3厘米，可放（40+5）x（12+4）=24（块）；下层高4厘米，可 放（40+5）X（12 4-3）=32（块）据此加起来即可解答问题.共24+32=56（块）【解答】解：分上下两层来分析：上层高3厘米，可放（40+5）X（12+4）=8x3=24（块）下层高4厘米，可放（40+5）X（12+3）=8x4=32（块）24+32=56（块）答：最多可以放56块.【点评】此题考查了借助长方体的体积公式解决实际问题的灵活应用，关键是把长方体分成上下两层，分别计算可以装下的小长方体的个数.27.设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体,则该正方体的棱长最大等于多少？【分析】画出图形，见下图，球的内接正方形A B C D -的顶点在球面上，它的（体）对角线A C就是球的直径，即A G=2 x 10=20（厘米）.然后由图的对称性以及勾股定理解决问题.【解答】解：球的内接正方形A B C D -的顶点在球面上，它的（体）对角线A CX就是球的直径,即 A G=2x 10=20（厘米）.由图的对称性，可 知Z A AtCi=90,N A B iG=90.设正方形的棱长为a,即4 4 1=A 8=B i。尸 a,连续用勾股定理两次，得到：AxCl=2a2,A C l=AAl+AlCi+,3a2,则 3a2=202=400,a2=颦=133-.显然，只要一个正方体的棱长a 为整数，满足（?4 133,那么这个正方体一定可以放入球中，因为112=121133144=122.故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于11厘米.答:该正方体的棱长最大等于11厘米.【点评】此题根据图形特点，运用了图的对称性以及勾股定理解决问题.28.一个长40、宽 25、高 50的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水,深度为a,其 中 0 V a 4 50,现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？【分析】此题要分情况进行讨论，若放入铁块时水溢出容器，此时先计算水恰好上升至至容器口时这种临界情况，根据容器的体积等于原来水的体积加上铁块的体积，列出等式计算此种情况下原来的水深，则当原水深介于此值到50之间时，放入铁块后水深为50厘米；若原来容器中的水较，放入铁块后还未溢出，此时先计算水恰好与铁块同高这种临界情况，根据放入铁块前容器中水的体积加上铁块的体积等于容器的底面积乘以此时水面的高度，列出等式计算此情况下原来的水深，当原来的水深介于此值与第一种情况的临界值时，计算放入铁块后的水深；最后一种情况是当容器中的水非常少时，放入铁块后仍未淹没铁块，同理列出灯亮关系求解.【解答】解：由题设,知水箱底面积S=40 x 25=1000（cm2）,水箱体积 入箱=1000 X5O=50000(cm3),铁 块 体 积 唳=10 x 10 x 10=1000(cm:i).(1)若放入铁块后,水箱中的水深恰好为50cm时1000a+1000=50000，得 a=49(cm).所以，当49&a W 50时，水深为50cm(多余的水溢出).(2)若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm时1000a+1000=100()0,得 a=9(cm).所以，当也 9cWaV49 时上，水r深 4为 a-x-4-0-x-2-5+10 x 10 x 10(,n4Q x 25-=(a+l)cm.(3)由(2)知，当0 a V 9时，设水深为x c m,则1000a;=1000a+100a;.得 力 =斗(cm).答：当0 V a 9时，水 深 为-acm;当9 a 4 9时，水深为(a+l)cm;当4 9 4 a 4 50时，水深为50cm.【点评】解答此题的关键是：考虑放入铁块后水溢出的情况，放入铁块后水仍未淹没铁块的情况,按照一定的顺序，不重复不遗漏.29.一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10厘米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米.如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？分析 根据“这时容器中的水深40厘米”，可知原来铁块被水浸湿的部分是在40厘米处，后来将铁块提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁块提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来(用长、宽都是10厘 米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积)，进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁块上被水浸湿的那部分的长度.【解答】解：水位下降的高度：10 x 10 x 24(50 x 50-10 x 10)=2400+2400=1(厘米)露出水面被水浸湿的部分：24+1=25(厘米).答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长2 5厘米.【点评】解决此题明确露出水面的铁块上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁块提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解.30.如图是测量一颗玻璃球体积的过程：(1)将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；(2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；(3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在()(2 0 cm：以上，3 0 cm3 以下；(B)3 0 cm3 以上,40c m以下；(C)4 0 cm3 以上，5 0 cm 3 以下；(D)5 0 cm 以上，60 m3 以下.(1)(2)(3)【分析】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5 颗玻璃球的体积最少是多少，5 颗玻璃球的体积最少是(5 0 0 -3 0 0)立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可.【解答】解：因为把5 颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5 颗玻璃球的体积最少是：5 0 0 -3 0 0 =2 0 0(立方厘米)，一颗玻璃球的体积最少是：2 0 0+5 =4 0(立方厘米)，因此推得这样一颗玻璃球的体积在4 0 立方厘米以上，5 0 立方厘米以下.故选：C.【点评】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5 颗玻璃球的体积，进而得解.31.一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图所示)，请你根据图中的数据，计算这个瓶子的容积是多18庞面积为10平方属米-【分析】先根据题意把倒立瓶子进行修补，补成瓶颈与瓶身相同的形状；再根据瓶子里水的体积不变,求出所补部分的容积,之后可轻松求出这个瓶子的容积了.【解答】瓶底面积为10平方庾米解:瓶子里水的体积是10X4=40立方厘米.把倒立的瓶子补完整如右上图，这时补全瓶子的容积是10X7=7（）立方厘米；5厘米高的瓶子的容积 是10 x5=50立方厘米；补的部分的体积是50 40=10立方厘米;所以原瓶子的容积是70-1 0 =6 0立方厘米.答：这个瓶子的容积是60立方厘米.【点评】此题解答的突破口就是“补图”，补好后有利于解答.32.在一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘米的玻璃鱼缸中，放入一个棱长为10厘米的正方体石块.这时鱼缸内的水上升了 0.5厘米，鱼缸水的高度达到 2 0.5厘米.【分析】上升的水的体积等于正方体石块的体积，先求正方体石块体积，再除以玻璃鱼缸的长和宽，得出上升的厘米数，再加原水深可得现在水的高度.【解答】解：10 x10 x10+50+40,=1000+50+40,=0.5（厘米），0.5+20=20.5（厘米）,答:这时鱼缸内的水上升了 0.5厘米，鱼缸水的高度达到20.5厘米.故答案为：0.5,20.5.【点评】此题主要考查长方体正方体体积计算方法及实物体积的测量方法.33.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米,杯中盛有适量的水.甲杯中沉没着一铁 块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2厘米;然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.问:这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【分析】由题意可知：当铁块取出后，下降的水的体积就等于铁块的体积，铁块的体积容易求出，用铁块的体积除以乙容器的底面积就是的乙杯中的水位上升的高度，从而问题得解.【解答】解：3.14 x（10+2）2X 2+3.14 x（学 力,=50 4-100,=0.5（厘米）,答：这时乙杯中的水位上升了 0.5厘米.【点评】解答此题的关键是明白：下降的水的体积就等于铁块的体积，从而问题得解.34.一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块.现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了 1 8分钟，水灌满容器.已知容器的高度是5 0 厘米.长方体的高度是2 0 厘米，那么长方体底面积:容器底面面积等于多少？【分析】已知长方体的高度是2 0 厘米，容器内注入与长方体等高的水用3分钟，又过了 1 8分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（5 0 2 0）厘米；这样就可以求出两次注水所用时间的比.由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比.【解答】解：注满容器2 0 厘米高的水与3 0 厘米高的水所用时间之比为2 0:3 0 =2:3.注 2 0 厘米的水的时间为1 8 x!=1 2（分）,这说明注入长方体铁块所占空间的水要用时间为1 2 3 =9（分）.已知长方体铁块高为2 0 厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比,而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9:1 2 =3:4.答：长方体底面积与容器底面面积的比是3:4.【点评】此题的解答关键是求出两次注水时间的比，再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟，由此进行分析解答即可.35.有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6 米、3 米、2 米.把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了 6 厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积.沉入在中水池的碎石的体积，即 3 x 3 x 0.0 6=0.5 4（米）,而沉入小水池中的碎石的体积是：2 x 2 x 0.0 4 =0.1 6（米与；然后求出两块碎石的体积和，再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度，解决问题.【解答】解：6 厘 米=0.0 6米，4厘米=0.0 4 米.3 X3 XO.O 6=O.5 4（米）2 x2x（）.0 4 =0.1 6（米：力0.5 4+0.1 6=0.7（米 3）,大水池的底面积是：6 x 6 =3 6（米2）,大水池的水面升高了：0.7+3 6=整（米）=兽（厘米）.o b lo答：大水池的水面升高了兽厘米.1O【点评】解答此题，关键在于理解：把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积.36.将表面积分别为5 4、9 6和 1 5 0 平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积.【分析】因为正方体的每一个面的面积相等，所以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米.故三个正方体的棱长分别是3、4、5 厘米.则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可.【解答】解：54+6=9（平方厘米），因为3 x 3 =9,所以这个正方体的棱长是3 厘米，96+6=16（平方厘米），因为4 x 4=16,所以这个正方体的棱长是4 厘米，150+6=25（平方厘米），因为5 x 5 =25,所以这个正方体的棱长是5 厘米，33+43+53,=27+64+125,=216（立方厘米），答:这个大正方体的体积是216立方厘米.【点评】分别求出三个正方体的棱长是解答关键.37.一个棱长为6 厘米的正方体容器里放了 4 厘米深的水,现放入棱长为2 厘米的正方体木块，这木块一半沉在水中，容器里的水升高了多少厘米？【分析】首先计算出棱长为2 厘米的正方体木块沉在水中的体积，即排开水的体积；由于棱长为6 厘米的容器的底面积被小木块的底面积占据了一部分；因此排开水的底面积应该是（62-2?）平方厘米；然后用沉在水中木块的体积（排开水的体积）除以容器的底面积.由此列式解答.【解答】解：求木块排开水的体积：2 乂2*（2+2）=4*1=4（立方厘米）；求水升高时容器的底面积：62-22=36 4=32（平方厘米）;求水上升的高度：4+32=0.125（厘米）；答：容器里的水升高了（）.125厘米.【点评】此题主要考查正方体的体积计算，此题解答关键是理解容器的底面积被木块的底面积占据了一部分.利用公式解答即可.38.一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10厘米.把一块铁块从这个容器的水中取出后，水面下降2 厘米,这块铁块的体积是多少？【分析】只要求出下降水的体积就是这个铁球的体积,由题可知道圆柱的底面直径是10厘米，下降的水深是2 厘米，运用圆柱的体积公式。=兀/九解答出来即可.【解答】解：3.14x（10+2）2x2,=3.14x25x2,=157（立方厘米）；答:这块铁块的体积是157立方厘米.【点评】本题考查了圆柱的体积公式的运用，同时考查了学生的转化思想，即把铁块的体积转化成下降水的体积.39.有一空的长方体容器A和装有2 1 厘米深水的圆柱体容器B,其 中 B的底面积是4的 3 倍,现在将B中的水倒一部分到A中，使口中水深是A中水深的2 倍，那么A容器的水深将是多少？【分析】设/容器的水深将是立厘米，则B 中水深是2 工厘米，设长方体容器A的底面积为s,则圆柱体容器8的底面积为3 s,根据长方体和圆柱体的体积公式分别表示出后来两个容器中水的体积,再根据后来两个容器中水的体积之和等于原来圆柱体容器B中水的体积列方程解答即可得解.【解答】解：设 4 容器的水深将是c厘米，则B中水深是2 4 厘米，设长方体容器4 的底面积为s,则圆柱体容器右的底面积为3 s,由题意可得：s rr+3 s x 2/=3 s x 2 1sx+6s c c =63 s7sx 63 sx =9答：A容器的水深将是9 厘米.【点评】此题考查了长方体和圆柱体的体积公式的运用，明确后来两个容器中水的体积之和等于原来圆柱体容器8中水的体积是解题关键.40.在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5 厘米的长方体铁块,如果把它全部放入水里,池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8 厘米，这时池里的水面就下降4厘米.问:这个铁块的体积是多少立方厘米？【分析】铁块的底面是正方形，所以铁块浸入水中的体积与它浸入水中的高度成正比，而铁块浸入水中的体积等于长方体蓄水池的液面上升部分的体积，所以漏出水中铁块的高与水面下降高度成正比例，由此列出方程求出高，再根据长方体体积公式求出体积.【解答】解：设这个铁块的高是立厘米，则X：9 =8:4,4 x =9 x 8,4x=72,x=18;5 x 5 x 1 8 =4 5 0（立方厘米）;答:铁块体积4 5 0 立方厘米.【点评】本题关键是找出长方体的体积与高的比例关系,根据这一比例关系求出铁块的高，进而求解.41.一个圆柱，底面直径是4 分米,它的侧面积是62.8 平方分米，那么它的体积是多少立方分米？【分析】根据题意可知，将圆柱拼成一个近似的长方体，则长方体的底面是圆柱侧面积的一半，高等于圆柱的半径，则长方体的体积可以用“底面积X 高”求出。【解答】解：62.8 4-2 x（4 4-2）=3 1.4 x 2=62.8（立方分米）答：这个圆柱体的体积是62.8 立方分米。【点评】解答本题关键是明确圆柱与长方体的关系。42.一个长方体容器，长 9 0 厘米，宽 4 0 厘米.容器里直立着一个高1 米，底面边长是1 5 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5 米.现在把铁块轻轻地向上提起2 4 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？【分析】因为露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的2 4 厘米和提起2 4 厘米铁块后水面下降的高度之和，因为下降的水的体积等于提起的2 4 厘米的长方体的体积,所以先根据长方体体积=长、宽 x高求出高为2 4 厘米的铁块的体积，再除以铁块还在水中时长方体容器的底面积（9 0 x 4（）-1 5 X 1 5）就可以求出下降的水的高度，再加上2 4 即可解答.【解答】解：1 5 X 1 5 X 2 4+（9 0 x 4 0 1 5 x 1 5）=5 4 0 0 +3 3 7 5=1.6（厘米）2 4+1.6=2 5.6（厘米）答:露出水面的铁块上被水浸湿的部分长2 5.6厘米.【点评】此题的关键是:铁块提起2 4 厘米的同时水面也相应的降低了，所以露出水面的铁块上被水浸湿的部分长度包括提起来的2 4 厘米和提起2 4 厘米铁块后水面下降的高度之和.43.一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5 厘 米，深 2 0 厘米，水 深 1 5 厘米.今将一个底面半径为2 厘米，高为1 8 厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米？【分析】先按照铁圆柱未完全浸没，设此时的水深是工厘米，即铁圆柱浸入水的高度是1 厘米，原有水的体积等于底面积为3.14 x（52-22）水的体积，由此列出方程求出水深，再与铁圆柱的高进行比较判断是否完全浸没，再进行解答。【解答】解：若铁圆柱未完全浸没，设此时的水深是4 厘米，即铁圆柱浸入水的高度是厘米；3.14 x（52-22）x c=3.14 x 52X 15（2 5-4）X x=37521c=375x=17.8617.86 V 18,符合假设。答：此时的水深大约是17.86厘米.【点评】抓住水的体积不变，是解决本题的关键.44.一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中.现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米,宽 16厘米，高 12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米？【分析】先求出棱长为24厘米正方体铁块的体积；再根据“将铁块取出，水面下降18厘米“，进而用铁块的体积除以水面下降的厘米数，就是长方体容器的底面积；再求出长18厘米、宽16厘米、高 12厘米的长方体铁块的体积，进而用长方体铁块的体积除以容器的底面积，即为水面上升的厘米数.【解答】解：正方体铁块的体积：24 x 24 x 24=13824（立方厘米），长方体容器的底面积：13824+18=768（平方厘米），长方体铁块的体积：18x16x12=3456（立方厘米），水面上升的高度：3456+768=4.5（厘米）.答：水面将上升4.5厘米.【点评】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，明确将物体放入水中或从水中取出，水面上升或下降的体积就是物体的体积，从而求出容器的底面积；也考查了正方体的体积=棱 长 x 棱 长 x 棱长，长方体的体积=长 X 宽 X 高，这两个体积公式的应用.45.一个容器装了；的水,现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把 3 个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再 把 1个大球沉入水中.最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的看.已知每次从容器中溢出的水量情况是:第一