2023年山东省潍坊市中考数学猜题试卷及答案解析.pdf

2023年山东省潍坊市中考数学押题试卷一、单选题（本大题共8 小题，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,请把正确的选项选出来，每小题选对得3 分，错选、不选均记0 分.）1.（3 分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A.0二 D.2.（3 分）2 7 0 1 7 8 亿用科学记数法（精确到千亿位）表 示 为（A.2.7 X 1 01 3 B.2.7 0 X 1 01 3 C.2 7 X 1 01 23.（3 分）下列四个几何体分别是由5 个相同的小正方体拼成的，其他三个不同的是（）A./B.晶d D 冉4.（3 分）如图，随机闭合4 个开关Si，52,S、,S4中的两个开关（）s2 s4A.A B.A c.23 2 3）D.0.2 7 0 X 1 01 4其中从正面看到的图形与，能使电路接通的概率为D.34第1页（共33页）5.（3 分）已知 f-x-3=0,则代数式（3x+2）（3x-2）+x （x -1 0）的 值 为（）A.34 B.1 4/1 3 C.2 6 D.7A/136.（3 分）如图，已知以/8 C的边Z8为直径的00经过点C,O Z）_ L Z C交。于点。,连接8D.若N 8/C=36 ,则N0D 8的度数为（）C.2 4 D.1 8 7.（3 分）如图，在/8 C中，B C=6,Z A C B=6 0a,以点C 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交N C,BC于点、E,F：分别以点E,尸为圆心，大 于&F 的长为半径作弧，两2弧交于点D；作射线C D.若点M为边BC上一动点，点 N为射线CD上一动点，则B N+M N的最小值为（）C.4D.37 38.（3 分）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如表:行驶里程计费方法不超过3 公里起步价8元超过3 公里且不超过7公里的部分每公里按标准租费收费超过7公里且不超过2 5公里的部分每公里再加收标准租费的50%超过2 5公里且不超过1 0 0 公里的部分每公里再加收标准租费的7 5%超 过 1 0 0 公里的部分每公里再加收标准租费的1 0 0%说明：行驶里程不足1 公里，按 1 公里计算；行驶里程超过3 公里时的标准租费为1.8 元/公里.第2页（共33页）若某人一次乘车费用为2 6元，那么行驶里程为（）A.1 3公里B.1 2公里C.1 1公里D.1 0公里二、多 选 题（本大题共4小题，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得3分，部分选对得2分，错选、多选均记0分.）（多选）9.（3分）下列运算正确的是（）A.a2,a4=a6B.a34-a=a3C.I crb+,iab1=5 a2b2D.(-a3)2=a6（多选）1 0.（3分）如果解关于x的分式方程xl+(x-l)(x+2)x+22m1时出现增根，则m的值可能为（)A.-6B.-3C.-2D.1（多选）1 1.（3分）如图，抛物线y=a/+6 x+c （a#0）过 点（-3,0）,对称轴是直线x=-1.下列结论正确的是（）B.(4a+c)2|x 2+l|时，yiy2（多选）12.（3分）如图，正方形/8 C D,点E在边4 8上，且Z E：E B=2：3,过点N作O E的垂线，垂足为/,交B C于点、F,交B D于点、H,延长。C至G,使CG=L）C,连4第3页（共33页）A.A E=B F B.S&ADI=S 四 边 形BF/EC.E H L B D D.G I=D G三、填 空 题（本大题共4小题，共12分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）13.（3 分）在+2 0 2 2-|1-点|=-14.（3分）用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“，”，依此规律，摆出第个需用火柴棒 根.第一个 第二个 第三个15.（3分）如图，将矩形纸片Z88分别沿E E E G折叠，点8,C恰好落在同一点尸处.若AB=2cm,B C=8cm,N C E G=30 ,则图中阴影部分的面积为 cm2.16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=A x与反比例函数y=工的图象交于XA,B两点，过/作y轴的垂线，交反比例函数y=（x0）的图象于点C，连接8 C,x若 SA”C=3,则k的值为.第4页（共33页）四、解 答 题（本大题共7小题，共 7 2 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）17.（10 分）已知关于X的一元二次方程机X 2 -6/n x+9 7 -1 =0有 X I,X 2 两个实数根.（1）求?的取值范围；（2）若 x i =l,求 X 2.18.（10 分）某学校为落实立德树人根本任务，使每个学生都能得到全面而个性的发展，特举办了“科学竞赛”活动，甲、乙两个班学生的成绩统计如下：分数/分5 06 07 08 09010 0甲班人数/人251018141乙班人数/人44164184活动规定：以 6 0 分为及格线，并分别设置了一、二、三等奖，10 0 分为一等奖，90 分为二等奖，8 0 分为三等奖.小亮分别计算了两个班的平均分和方差，得：=7 8,=X 甲 X 乙7 8,S甲 2=12 8,S乙 2=2 0 0.请你根据以上材料回答下列问题.（1）甲、乙两个班的中位数和众数分别是多少？（2）你认为甲、乙两个班哪个班的成绩更优秀？为什么？（3）该校从得1 0 0 分的两男三女5人中，随机选取2人参加教育局组织的竞赛，请你用列表或画树状图的方法，求出恰好选取一男一女参赛的概率.1 9.（1 0 分）一段东西方向的海岸线MV 上，小明从点/测得灯塔C 位于北偏西1 5 方向，向东走3 0 0 米到达点B 处，测得灯塔C 位于北偏西6 0 方向.（1）求 点/到 灯 塔 C 的距离/C 的 长（结果保留根号）（2）求灯塔C 到 海 岸 线 的 距 离（结果保留根号）.2 0.（1 0 分）某商场新进一种商品，进价为每件3 0 元，日销售单价y （元）与销售天数M 天）之间存在如下关系：当 1 /5 0 时;y与，满足一次函数关系，部分数据如下表；当/二5 0 时，y保持90 元不变.该商品的日销售量为，件，且加=2 0 0-2 八第5页（共33页）销售天数f (天)1 02 03 04 0日销售单价y (元)5 06 07 080(1)请求出N与f的函数表达式；(2)设日销售利润为w元，销售该商品第几天时，当天的日销售利润最大，最大利润是多少元？(3)该商品在5 0天之后的销售过程中，从第几天开始当天的日销售利润低于最大日销售利润的3 0%?2 1.(1 0分)如 图，以/8C的 边 为 直 径 的。交8 C于点。，延长。交。于点巴连接D F,D F=D C,取C F的中点G,连接。G并延长交历1的延长线于点E.(1)求证：D E是 的 切 线；(2)若s i n/f=3,B E=1 6,求力厂的长.52 2.(1 0分)已知抛物线于=0)?+庆什3 (a W O)经过点/(-1,0),并与x轴交于另一点(2)如图，点P是抛物线上位于直线8 c上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点。，交直线B C于点E,当尸。+P E取最大值时;求点P的坐标；(3)已知点“为抛物线对称轴/上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得点M与第6页(共33页)点N关于直线8 c对称，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2 3.（1 2分）（1）【基本模型】如 图1,已知线段Z C与3。交于点P,且P为线段8。的中点.求证：4 A B P（2）【应用模型】如图 2,在/BC 和中，AC=B C,A E=D E,且 4 Z C,N 4 C B=N 4 E D =9 Q ,将/D E绕点4顺时针方向旋转，把点E在4 C边上时/O E的位置作为起始位置（此时点8和点。位于Z C的两侧），设旋转角为a,连接8。，点尸是线段80的中点，连接P C,PE.当 4 O E在起始位置时，猜想：P C与P E的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展迁移】如图3,在【应用模型】的条件下，当a=9 0 时，点。落在4 5边上，请判断P C与P E的数量关系和位置关系，并证明你的结论.第7页（共33页）2023年山东省潍坊市中考数学押题试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8 小题，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,请把正确的选项选出来，每小题选对得3 分，错选、不选均记0 分.）1.（3 分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）【分析】能找到一条直线使图形C 沿着这条直线上下折叠后直线两旁的部分完全重合，说明图形C 是轴对称图形.【解答】解：A,B、。均不是轴对称图形，只有C 是轴对称图形.故选：C.【点评】本题考查的是对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2.（3 分）270178亿用科学记数法（精确到千亿位）表 示 为（A.2.7X1013 B.2.70X1013 C.27X1012 D.0.270X 1014【分析】将 270178写 成 科 学 记 数 法（IWaVlO,是正整数）的形式，再根据1亿=108用同底数基的乘法化简，精确到千亿位即可得出答案.【解答】解：270178亿=2.70178X105X108=2.70178 X 1013下 2.70X 1013,故选：B.第8页（共33页）【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，掌 握 1亿=108是解题的关键.3.（3 分）下列四个几何体分别是由5 个相同的小正方体拼成的，其中从正面看到的图形与其他三个不同的是（）【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可.【解答】解：选项工的主视图底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；选项8、C、。的主视图底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；所以从正面看到的图形与其他三个不同的是选项故选：A.【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提.4.（3 分）如图，随机闭合4 个开关S”52,S3,&中的两个开关，能使电路接通的概率为)s2 s4A.A B.A c.2 D.33 2 3 4【分析】Si、S2、S3、&分别用1、2、3、4 表示，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.【解答】解：S、S2、S3、&分别用1、2、3、4 表示，画树状图得：第9页（共33页）开始小 小2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3.共有1 2 种等可能的结果，能使电路接通的有8种结果，能使电路接通的概率为_L=2,12 3故选：C.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.5.（3 分）已 知/-厂 3=0,则代数式（3x+2）（3x-2）+x （x -10）的 值 为（）A.34 B.14-713 C.26 D.7 13【分析】先根据整式的加减运算以及乘法运算法则进行化筒，然后将x 2-x-=3 代入原式即可求出答案.【解答】解：.”2-X-3=0,.x2-x3,原式=9 1-4+x2-10 x=10 x 2 _ i O x-4,=10（x2-x）-4=10X 3-4=26.故选：C.【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型.6.（3 分）如图，已知以/B C 的 边 为 直 径 的。经过点C,4c交0。于点。，连接8 D若N B A C=36 ,则的度数为（）第10页（共33页）CAD.BA.32 B.27 C.24 D.18【分析】设/C与。相交于点E,根据直径所对的圆周角是直角可得NZC8=90,从而求出/8 C=5 4 ,再根据垂直定义可得N/EO=90,从而可得。O 8 C,然后利用等腰三角形和平行线的性质可得B D 平分/4 8 C,即可解答.【解答】解：设Z C与。相交于点E,.1 8是。的直径，A ZA C B=90,:NBAC=36,.N/8C=90-NB/C=54,JODVAC,：.ZAEO=90,：.N 4E O=N 4C B=90,：.OD/BC,：.ZO D B=ZD B C,：OD=OB,：.NO D B=NO BD,：.NOBD=/D B C=L/A B C=2 7 ,2：.NO D B=NO BD=T1,故选:B.第11页（共33页）【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握利用等腰三角形和平行线的性质可得角平分线是解题的关键.7.（3分）如图，在NBC中，B C=6,ZAC B=6 0 ,以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC,BC于点E,F；分别以点E,尸为圆心，大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两2弧交于点D；作射线C D.若点M为边BC上一动点，点N为射线CD上一动点，则B N+M N的最小值为（）CA.3 B.372 C.4 D.373【分析】过8点作于H点，BH交 CD 于 N 息,过N点作于朋点，如图，根据基本作图得到CD平分N 8/C,则 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 所 以利用等线段代换得到B N+M N=B H,接着根据两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时8N+/MV的值最小，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出即可.【解答】解：过8点作于“点，BH交 CD 于 N 前,过N点作M0J_8 c于M点，如图，由作法得CD平分/A4C,：.NM=NH,：.B N+M N=B N+N H=B H,此时B N+M N的值最小，在 中，V ZBCH=60,:.C H=Z c=3,2:.BH=M CH=3 M，即B N+M N的最小值为3 a.故选：D.第12页（共33页）FA B【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5 种基本作图是解决问题的关键.也考查了角平分线的性质和最短路径问题.8.（3 分）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如表:行驶里程计费方法不超过3 公里起步价8 元超过3 公里且不超过7 公里的部分每公里按标准租费收费超过7 公里且不超过25公里的部分每公里再加收标准租费的50%超过2 5 公里且不超过100公里的部分每公里再加收标准租费的75%超 过 100公里的部分每公里再加收标准租费的100%说明：行驶里程不足1 公里，按 1 公里计算；行驶里程超过3 公里时的标准租费为1.8元/公里.若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（）A.13公里 B.12公里 C.11公里 D.10公里【分析】可设行驶里程为x 公里，根据等量关系：某人一次乘车费用为26元，列出方程计算即可求解.【解答】解：设行驶里程为x 公里，依题意有：8+（7-3）X1.8+（x-7）X1.8X（1+0.5）=26,解得x=ll.故行驶里程为11公里.故选：C.【点评】本题考查了一元一次方程组的应用.解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程.二、多 选 题（本大题共4 小题，共 12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得3 分，部分选对得2 分，错选、多选均记0 分.）第13页（共33页）（多选）9.（3 分）下列运算正确的是（)A.a2*a4=a6 B.a3-i-a=a3C.2a2b+?,ah2=5a2h2 D.（-a3）2=a6【分析】根据同底数幕的乘法判断”选项；根据同底数幕的除法判断8 选项；根据合并同类项判断C 选项；根据嘉的乘方与积的乘方判断。选项.【解答】解：4 选项，原式=小，故该选项符合题意；8 选项，原式=,故该选项不符合题意；C 选项，2/6 与 3融2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；。选项，原式=小，故该选项符合题意；故选：AD.【点评】本题考查了同底数嘉的乘除法，合并同类项，塞的乘方与积的乘方，掌 握 /=/+”，（心）是解题的关键.（多选）10.（3 分）如果解关于X的分式方程2rH 丁J可出现增根，则X-1 （x-1）（x+2）x+2机的值可能为（）A.-6 B.-3 C.-2 D.1【分析】去分母，然后将增根代入即可求出机的值.【解答】解：去分母，得 2（x+2）+m x-1,当增根为x=l 时，6+m=0,解得m-6,当增根为x=-2 时，机=-2-1=-3,二?的值可能为一 6 或 一 3,故选：AB.【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的含义是解题的关键.（多选）11.（3 分）如图，抛物线ynaf+bx+c（W0）过 点（-3,0）,对称轴是直线x=-1.下列结论正确的是（）第14页（共33页）-3 iO x/i I i x=-l 1A.abc,2+1|时，0,。0,b O,a 0,2a：.b0,故力不符合题意.B、：L=-1,2a:b=2a,将（1,0）代入y=o x 2+bx+c,*.a+b+c=O,A c=-3a：.（4 a+c）2-4b21 6 a2+8 ac+c2-4 X 4 a2=8 ac+c2=8 aX （-3。）+（-3。）2=9-2 4 a2=-1 5 a2 0,即（4 a+c）2 M+1|时，.点P 到直线x=-1 的距离比点0到直线x=-1 的距离要大，由抛物线的对称性可知：故。符合题意.故选：B D.【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于基础题型.（多选）1 2.（3分）如图，正方形Z 8 C。，点 E在 边 上，且 N E：8=2：3,过点/作OE的垂线，垂足为/,交 BC于点、F,交 8。于点”，延长。至 G,使 C G=L）C,连【分析】由UASA可证 4 8 F 丝可得4E=B F,S“BF=S&DAE，可得SA4 M=S四 边 形S F/E，故选项4 8符合题意；分别求出E N,HV的长，可判断C 选项不符合题意，分别求出G/,OG的长，可判断力选项，即可求解.【解答】解：四边形/8 C D 是正方形，：.AB=AD,Z D A B=ZAB C=9 0 ,Z A B D=ZC B D=45 ,：AF 1DE,：.ZAE D+ZB AF=9 0 =N A E D+/A D E,：.N A D E=NB AF,在 尸 和 )/中,第 16页（共 33页），Z BA F=Z A D E/=.2 5 5/a,2 9.,DC/AB,：.ZAED ZC D E,sin NAED=sin Z CDE=HL=21,cosN 4ED=cosNCDE=_LD I D E D E D I：.IM=1 2 5 ,D M=.a,2 9 2 9：CG=ljDC,4：.CG=昂，D G=-a,4 4：.M G=2-a,1 1 6./G=JIM+MG2=LWOG,故选项。不符合题意；1 1 6故选：AB.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.三、填 空 题（本大题共4 小题，共 12分.只要求填写最后结果，每小题填对得3 分.）1 3.（3 -）7 3+2022-|1-V 3|=2【分析】首先计算零指数塞和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可.【解答】解:V 3+20220-11-V 3|=V3+1-（V3-1）5/3+1-5/3+1=2.故答案为：2.【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.第18页（共33页）14.（3分）用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，摆出第个需 用 火 柴 棒3+2根.第一个 第二个 第三个【分析】通 过 观 察 图 形 易 得 每 个 需 要 火 柴 棒 的 根 数 都 比 前 面 的 需 要 火 柴 棒 的根数多3根，从而得到一个等差数列，利用图形序号来表示出规律即可.【解答】解：由图可知第1个图中：需要火柴棒的根数是5=2+3X l；第2个图中：需要火柴棒的根数是5+3=2+3+3=2+3X 2；第3个图中：需要火柴棒的根数是5+3+3=2+3+3+3=2+3X 3；第N个图中：需要火柴棒的根数是3+2.故答案为：3+2.【点评】本题主要考查了图形的变化类规律.从变化的图形中找到与图形序号变化一致的 信 息 是 解 题 的 关 键.本 题 中 后 面 的 每 个 都 比 它 前 面 的 多 了 3根火柴棒，它与图形序号之间的关系为：2+3.15.（3分）如图，将矩形纸片Z88分别沿E F,E G折叠，点、B,C恰好落在同一点尸处.若AB=2cm,B C=Scm,ZC E G=30 ,则图中阴影部分的面积为_ 珀 二 返=B【分析】过点尸作FM L BC于M,过点G作G NA.B C于N,设折叠后A点的对应点为R,第19页（共33页）点D的对应点为点S,根据S阴=S四 边 形RFEP+S四 边 形SG EP-S&E F G=S四 边 形4FEB+S四 边 形0GEC-SE F G S矩 形AB C D _ 2sAEFG，即可求出阴影部分的的面积.【解答】解：过点尸作Q 0_L8c于/,过 点G作G NLBC于N,设折叠后点4的对应点 为 点 七 点。的对应点为点S,:四边形N8C。是矩形，AB=2,8 c=8,NZ=/8=N C=/O=9 0 ,C D=4 B=2,S姬形ABCD=4BB C=16（cm2）,:F M L B C,G N I B C,四边形4 8 W 是矩形，四边形QCNG是矩形，:.F M=AB=2,G N=C D=2,.,矩形纸片/8C。分别沿ER EG折叠，点8、C恰好落在同一点P处，/C EG=30,：.E P=E B=E C=1 C=4,N P E G =N CEG=30 ,N P E F=N BEF=L/BEP=L 18G2 2 2-60）60 9 S四 边 形RFEP=S四 边 形/F、E8，S四 边 形SGE?=S四 边 形QGEC，:.E G=2G N=4,E F=fi.,N尸EG=60+30=90,S 阴=S 四 边 形RFEKS 四 边 形SGEP3-S4E F G=S 四 边 形/FEB+S 四 边 形 OGEC-S&E F G =S 矩 形/BC）_ 2S&E F G，：.S&EFG=LEF.E G=&,2 3；.SM=16-2X至 叵=（1 6-&匕 一）（cm2）.3 3故答案为：16-当 应.3【点评】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理、割补法计算阴影部分面积等知识点，恰当运用割补法计算面积是解题关键.16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=依与反比例函数夕=工的图象交于XA,8两点，过/作y轴的垂线，交反比例函数y=（x0）的图象于点。，连接8C，x若 SMBC=3,则k的值为 2.第20页（共33页）【分析】根据函数的对称性和交点坐标，结合反比例函数的系数k的几何意义可得SAOD进而求出以。0）=1，确定人的值.2【解答】解：如图，连接OC,N C与y轴交于。，；正 比 例 函 数 与 反 比 例 函 数 夕=上 的 图 象 交 于4 8两点，XSAOD=2根据正比例函数的中心对称性可知，OA=OB,因此有 SAAOC=S&BOC，又,*SABC=f1 OSAOC=X 3=32 2SCOD-=1 =-川2 2 2而-k0,然后求出两不等式的公共部分即可；(2)先把x=l代入方程求出加=工，则原方程化为工2 -m+$=0,然后利用因式分4 4 2 4解法解方程即可.【解答】解：(1)根据题意得mWO且 =(-6?)2-4？(9 z -1)2 0,解得加 0,即m的取值范围为2 0；(2)把 x=l 代入方程得m -6 加+9加-1=0,解得4原方程化为工2 -&什$=0,4 2 4整理得 X2-6 x+5 =0,(x -1)(x -5)=0,x-1=0 或 x -5 =0,所以 x i =l,X 25.【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a+b x+c (#0)的根与 =b2-4ac有如下关系：当40时，方程有两个不相等的实数根；当=()时，方程有两个相等的实数根；当A=A B2.AD2=?3、C2_502=467500=1 5 0 禽（米）.：.B C=B D+D C=（150A/3+150）（米）.在 R t B C E 中，3 0 ,：.CE=LBC=（7 5 愿+7 5）（米）.2答：灯塔C到海岸线A W的距离是（7 5 愿+7 5）米.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.2 0.（1 0 分）某商场新进一种商品，进价为每件3 0 元，日销售单价y （元）与销售天数八天）之间存在如下关系：当 l W f 50 时，y与 f 满足一次函数关系，部分数据如下表；当50 时，y保持90 元不变.该商品的日销售量为机件，且?=2 0 0-2 f.销售天数f （天）1 02 03 040日销售单价y （元）50607080（1）请求出y与/的函数表达式；（2）设日销售利润为w元，销售该商品第几天时，当天的日销售利润最大，最大利润是多少元？（3）该商品在50 天之后的销售过程中，从第几天开始当天的日销售利润低于最大日销售利润的3 0%?【分析】（1）设 当 l W f 与 f 满足一次函数关系为：y=h+6；分别将（1 0,50）,（2 0,60）代入该函数表达式，利用待定系数法求解即可；（2）分别求出当1 W，5 O 和时，w与 f 的函数关系式，利用二次函数的性质可得出结论；（3）根 据“当天的日销售利润低于最大日销售利润的3 0%”列出不等式，求，的取值范围即可.【解答】解：（1）设 当 l W r 50 时，夕与f 满足一次函数关系为：y=kt+b,将（1 0,50）,（2 0,60）代入该函数表达式得，1 0 k+b=50,l 2 0 k+b=60解得r=1 ,l b=40.当1 W/V 50 时，y与 r 满足一次函数关系为：尸 f+40.第25页（共33页）._/1+40 (l t 5 0)(2)当 l W f 50 时，w=-3 0)加=(r+40 -3 0)(2 0 0 -2 f)=-2 (/-45)2+60 50,：-2 0,当t45时，日利润最大为60 50 元；当 f 50 时，w=(y-3 0)m=(90 -3 0)(2 0 0 -2/)=-1 2 0 Z+1 2 0 0 0,V -1 2 0 0,.当f=50 时，y的最大值为60 0 0,第 45 天时，当天的日销售利润最大，最大利润为60 50 元.(3)设该商品在50 天之后的销售过程中，第 天开始当天的日销售利润低于最大日销售利润的3 0%.-1 2 0 r+1 2 0 0 0 C=N O G C=90 ,根据切线的判定定理即可得到结论；(2)连接8 F,设 O O=x,JiliJ O E=B E-O B 6-x,解直角三角形即可得到结论.【解答】(1)证明：连接O D,第26页(共33页):DF=DC,：.ZC=/DFC,丁 /DFC=/OBD,：/C=/OBD,：OB=OD,：./ODB=/OBD,：.4C=4ODB,：.OD/FCf,:DF=DC,点6是。厂的中点，C.DGVCF,NQGC=90,*：OD/FC,：.ZODC=ZDGC=90,：.ODDE,o。是O。的半径，O E是。0的切线；(2)解:连接在 RtZXODE 中，设 OD=x,P IO OE=BE-OB=16-x,sinE=3=毁，5 O E -x-_,316-x 5解得x=6,经检验x=6是原方程的根，：.AB=2OD=2,是。的直径，NZF8=90,:.DG BF,：./E=NABF,在 RtZ/8尸中，Z8=12,sinZJSF=sin=A,5第27页（共33页）.4/=/8*访/8尸=1 2义3=里【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提.2 2.（1 0分）已知抛物线于（a/0）经过点/（-I,0）,并与x轴交于另一点（2）如图，点尸是抛物线上位于直线8 C上方的动点，过点尸分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点。，交直线8 c于点E,当P D+PE取最大值时，求点P的坐标；（3）已知点为抛物线对称轴/上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使 得 点/与点N关于直线8 C对称，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）把点4 （-1,0）代入解析式和对称轴为工=-M=l,建立方程组，求出2 aa、6值即可求解；（2）先 利 用（1）问求得的抛物线解析式，求出点8、C坐标，然后用待定系数法求出直线8 C的解析式为y=-K 3,再设尸的坐标为（w，-加2+2机+3,由题意可得0 加3,从而可求得点。的坐 标 为（0,-加2+2阳+3）,点E的坐标为（阳，-?+3）,则尸）=用，PE=-加2+2?+3 -（-机+3）=-?2+2?+3+7-3=-m2+3m1 P D+P E=m+（-w2+3 w）第28页（共33页）=-尸+4加=-(m-2)2+4,然后由二次函数最值可求解；(3)设直线8 c与抛物线的对称轴/的交点为凡 连 接*,由8 (3,0),C(0,3),可求得N O C 8=/O 8 C=4 5 ,从而证得N F x轴，继而求出点尸的坐标为(1,2),所以点N的纵坐标为2,设N的坐标为(/,-於+2什3),所 以-+2什3=2,求解得出，值，即可求得点N坐标.【解答】解：(1)抛物线y=a+bx+3 (a/0)经过点/(-1,0),对称轴为x=l,a-b+3=0I wb-,解得：fa=T,l b=2抛物线的表达式为y=-f+2 x+3；(2)、抛物线的表达式为y=-/+2 x+3,令x=0,则y=3,.点C的坐标为(0,3),令y=0,贝i j-X2+2X+3=0,解得：xi =-1,X2=3,.点8的坐标为(3,0),设直线B C的表达式为y=Ax+s,可 得 俨+s=。，ls=3解得：fk=-l.I s=3直线B C的表达式为y=-x+3,设P的坐标为(加，-加2+2 7+3),由题意可得0 用3,/)平行于冗轴，PE平行于轴，点。的坐标为(0,-加2+2加+3),点的坐标为(加，-加+3),:P D=m,PE=-m 2+2加+3 -(-m+3)=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m,：P D+P E=m+(-m2+3m)=-W2+4/H=-(m -2)2+4,当?=2时，PQ+PE有最大值,止 匕 时-加2+2?+3=-4+4+3=3,第29页(共33页):.当尸。+P E 最大时，点尸的坐标为（2,3）；（3）如图，设直线8c与抛物线的对称轴/的交点为F,连接N F,：.OB=OC,：.N O C B=NOB C=45 ,若点M,N关于直线BC对称，则直线BC为线段M N的垂直平分线，：.F M=F N,4 N F C=4 M F C,y 轴，:.NMF C=ZOC B=45 ,:.N M FN=/NF C+NMF C=9 G ,轴，由（2）知，直线8C的表达式为v=-x+3,又 点F在抛物线对称轴x=1 上，.当 x=l 时.，y=2,：.F（1,2）,.点N的纵坐标为2,设N的坐标为（t,-i2+2t+3）,：.-P+2 f+3=2,解得：f=l 土 衣，.点 N 的坐标为（1+&,2）或（1-&,2）.【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，本题属二次函数与一次第30页（共33页）函数综合题目，熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键,2 3.（1 2分）（1）【基本模型】如 图1,已知线段/C与3。交于点P,且P为线段8。的中点.求证：4 A B P冬 丛C D P；（2）【应用模型】如图 2,在/B C 和中，AC=B C,A E=D E,且 4 Z C,N 4 C B=N 4 E D =9 Q ,将/D E绕点4顺时针方向旋转，把点E在4 C边上时/O E的位置作为起始位置（此时点8和点。位于Z C的两侧），设旋转角为a,连接8。，点尸是线段80的中点，连接PC,PE.当/）在起始位置时，猜想：P C与P E的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展迁移】如图3,在【应用模型】的条件下，当a=9 0 时，点。落在4 8边上，请判断P C与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论.【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）延长E P交8 c于尸，根据4 4 s证再证尸C是等腰直角三角形即可得出尸C=P E,P C L P E；（3）B F/DE,交E尸延长线于点尸，连接C E、C F,根据Z/S证F B P出 E D P,再根据SAS证 q C丝/X E AC,然后得出XFCE是等腰直角三角形即可得出结论.【解答】（1）证明：.Z8 C D,：.ZC=ZA,ND=NB,:尸 为线段2。的中点，:.P B=P D,在/8 P 与中,第 31页（共 33页）NA=NC-ZB=ZD-,PB=PD:AABP会ACDP(4 4 S)：(2)解：PC=PE,PCA.PE,理由如下:如图1,延长E 尸交8。于F,图1V ZACB=ZAED=90,J.ED/BC,：.ZPBF=ZPDE,.点P是线段8。的中点，：.BP=DP,又,：NBPF=ZDPE,:Z B P马XEDP(ASA),：.PF=PE,BF=DE,又,：AC=BC,AE=DE,：.FC=EC,又,：NACB=90,.E E C 是等腰直角三角形，,:EP=FP,：.PC=PE,PCYPE-,(3)解：PC=PE,PC工P E,理由如下：如图2,作BF D E,交E P 延长线于点尸，连接C E、CF,第32页（共33页）同理（1）可证 尸8尸治）产（AAS）,:.BF=DE,PE=PF=1.EF,2,:DE=AE,:.BF=AE,:当a=9 0 时，ZEAC=90a，：.ED/AC,EA/BC,:FBAC,NFBC=90,:./CBF=2CAE,在 尸8c和口（7中，B F=A EB C=A C：./FBCEAC（S/S）,：.CF=CE,NFCB=NECA,V ZACB=90,:.NFCE=90,.F C 是等腰直角三角形，,:EP=FP,：.PCLPE,PC=PE.【点评】本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识是解题的关键.第33页（共33页）