2010-2019年考研数学（三）真题和答案合集.pdf

2019年全国硕士研究生招生考试试题-、选择题(本题共8 小题，每小题4 分，共3 2 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当 一。时，若-t a n x与x是同阶无穷小，则人=()(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.(2)已知方程式5 5%=。有 3个不同的实根，则人的取值范围是()(A)(-8,-4).(B)(4,+8).(C)(-4,4 .(D)(-4,4).(3)已知微分方程y +a y，+勿=ce 的通解为y=(G+C2x)ex+ex,则a、b、c依次为()(A)l,0,1.(B)l,0,2.(C)2,1,3.(D)2,1,4.(4)若 绝 对 收 敛，E%条 件 收 敛，贝 心 )n-n =1 00oc(A)J unvn条件收敛.(B)unvn绝对收敛.a =1n =1(C)Z(6+%)收敛.(D)2(%+%)发散(5)设A 是4阶矩阵，A*是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0 的基础解系中只有2 个向量，则(A*)=()(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.(6)设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若/+A =2 E,且|4|=4,则二次型x lx 的规范形为()(A)y；+式+大.(B)4 +武一 大.(C)y；一4 一痣(D)-yf-72 -Jz-(7)设 4,B为随机事件，则尸(4)=P(B)的充分必要条件是()(A)P(A U B)=P(A)+P(B).(B)P(A B)=P(A)P(B).(C)P(A B)=(D)P(A B)=P(A B).(8)设随机变量X与 V 相互独立，且都服从正态分布N(如，)，则尸|x-y|1 ()(A)与从无关，而与M有关.(B)与日有关，而 与 无 关.(C)与从，er?都有关.(D)与 ，/都无关.二、填空题(本题共6 小题,每小题4分，共 2 4 分，把答案填在题中横线上.)蚂h二1 2+211 3+1+11)1 “=(1 0)曲线y=%s i n x+2 co s 0)=.1 0(1 3)已知矩阵4=1 1 0 1凹1 ,-1 -1 ,b=若 线 性 方 程 组=b 有无穷多解，贝 bI 0 E(X)-1 =.三、解答题(本题共9小题，共9 4 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0 分)已知函数/(%)=铲 求/(%),并求/(%)的极值.4-1,4 W 0.(1 6)(本题满分1 0 分)设函数/(，具 有 2阶连续偏导数，函数g(孙 y)d 2 g f d2 gdxdy dy2 xy-f(x+y,(1 7)(本题满分1 0 分)设函数y(%)是微分方程y -xy=竽满足条件y(l)=石的特解.2 人(I )求 y(;(U)设平面区域。=|(%,y)|1 W%W 2,0 W y W y(%),求。绕轴旋转所得旋转体的体积.(1 8)(本题满分1 0 分)求曲线y=e-，sin%(%三0)与轴之间图形的面积.(1 9)(本题满分1 0 分)设 册=1%，1 -2n =0,1,2,).(I )证 明 数 列 单 调 递 减，且 册=：；册_ 2(葭=2,3,)；(I I )求l im 上an_(2 0)(本题满分1 1 分)已知向量组I：1(1)2 与 n：民V a2+3,(1=1 ，？2 =a+3/田1 ，20 ,%(4/(0)2 1 -Q)(1)4=3.若向量组I与 D等价，求 a的取值，并 将 自 用%线性表示.+3/(2 1)(本题满分11分)，-2-2 1、(210、已知矩阵4=2X-2与 5=010相似.1 00-2)00(I)求明y;(n)求可逆矩阵P,使得P-N P=B.(2 2)(本题满分11分)设随机变量x 与F相互独立,x 服从参数为1 的指数分布，r 的概率分布为尸 丫 =-1 =P,PY=n =1 -p(o P 1).令z =XE(I)求 2 的概率密度；(H)P为何值时，x 与 z 不相关；(ni)x 与 z 是否相互独立？(2 3)(本题满分11分)设总体x 的概率密度为0,x 0 是未知参数，4 是 常数4,，x”是来自总体X 的简单随机样本.(I)求 4;(n)求，的最大似然估计量.2018年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共8 小题,每小题4 分，共 32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）下列函数中，在=0 处不可导的是（）(A)/(%)=|%|sin|%|.(B)/(%)=|x|sin y|%|.(C)/(%)=cos|x|.(D)/(%)=cos V x .(2)设函数/(%)在 0,1 上二阶可导，且()(%)d%=0,则()C 1 A(A)当/(%)0 时，/-(B)当/(%)0 时工/1、2-I(3)设 M-y-d%,N=x,K=1 +，cos%2 1 +%一 耳 ，2(A)M N K.(B)M K N.0 时，/用 0.0 时,/仁 卜 0.孙则（）(C)K M N.(D)K N M.（4）设某产品的成本函数C（Q）可导，其中Q 为产量.若 Qo时平均成秦谦为，则（）（A）C，（QO）=。（B）C，（QO）=C（Q0）.（C）C（Qo）=QoC（Q。）.（D）QoC（。）=。（。）.q i o、（5）下列矩阵中,与矩阵0 1 1 相似的为（）(0 0勺 1 -1、勺 o-r勺i-r0-1(A)0 1 1.(B)0 1 1(C)0 1 0.(D)0 1 00 0 1,o 0 1 yo 0 1?、0 0 1(6)设为n 阶矩阵，记 r(X)为矩阵X 的秩，(X,V)表示分块矩阵，则()(A)r(A,AB)=r(A).(B)r(A,BA)=r(A).(C)r(A,B)=maxjr(A),r(B)!.(D)r(A,B)=r(AT,BT).(7)设随机变量X 的概率密度/(%)满足/(I+%)=/(1-)，且 7%)我=0.6,则 P X 0)的简单随机样本.令X=W k,S =n i=i信 步 疗s二忌娜）JR(X -0(C).-tn.o 产了)一(一).二、填空题(本题共6 小题,每小题4 分，共2 4分，把答案填在题中横线上.)(9)曲线y=%2+2 1n%在 其 拐 点 处 的 切 线 方 程 是.(10)J exa r c si n /-e*dx=.(11)差分方程篦以-兀=5 的 通 解 为.(12)设函数 7(%)满足 7(%+A%)-/(%)=2#(%)A x +o(A x)(A x -0),且/(0)=2,则/(I)(13)设A为3 阶矩阵，%,a2,a3是线性无关的向量组.若A%=%+%,A a2=a2+%,A a3=%+%,则 I A|=.(14)随机事件4,3,C 相互独立，且 P(4)=P(3)=P(C)=；M P(4 C|4 U B)=.三、解答题(本题共9 小题，共 9 4分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10 分)已知实数 a,b 满足 l i m (ax+b)e*-%=2,求 a,6.%-*+8(16)(本题满分10 分)设平面区域O由曲线y=/3(1-%2)与直线y=%及 y 轴围成.计算二重积分”/击打.D(17)(本题满分10 分)将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.(18)(本题满分10 分)8已知 c os 2%-=V anxn(-1%0,xneXn+1=eXn-l(n=1,2,).证明 xn 收敛，并求nli*omo xn.(2 0)(本题满分11分)设实二次型 f(Xy,x2,%3)=(%J -x2+%3 )2+(%2 +%3)2 +(%1+a%3)2 ,其中 Q 是参数.(I)求/(%1,.，3)=0 的解；(D)求/(3，2,叼)的规范形.(2 1)(本题满分11分)1 2已知。是常数，且矩阵4=1 3、2 7Q、10可经初等列变换化为矩阵5=0a 21 11 b(I)求 a；(n )求满足AP=B的可逆矩阵P.(2 2)(本题满分11分)设随机变量x与 y相互独立,X的概率分布为P|X =1 =P X=-1 =；,y服从参数为人的泊松分布.令z =x y.(I )求 C ov(X,z)；(U)求 z的概率分布.(2 3)(本题满分11分)设总体X的概率密度为1 I d/(%)=-e k,-oo x 在=0 处连续，则()b,%於 0(A)=.(B).(2)二元函数z =%y(3 -y)的极值点是()(A)(0,0).(B)(0,3).(3)设函数/(%)可导，且/(%)/()0,则()(A)/(l)/(-1).(C)1/(1)|1/(-1)|.(4)若级数 s i n -k n(1 -收敛，则 A =(C)a 6=0.(D)a b =2.(C)(3,0).(D)(1,1).(B)/(l)/(-1).(D)|/(1)|/(-1)I，)(A)l.(B)2.(C)-1.(D)-2.(5)设 口为九维单位列向量，为九阶单位矩阵，则()(A)E -a a1不可逆.(B)E +a aT不可逆.(C)E +2aa 不可逆.(D)E -2a aT 不可逆.2 0。、(2 1 0、H 0 0、(6)已知矩阵A =0 2 1,B=0 2 0,C =0 2 0，贝 版 )、0 0 1,。0 1,、0 0 2,(A)A 与。相似,3 与 C相似.(B)A 与 C相似,3 与。不相似.(C)A 与 C不相似,5与 C相似.(D)A 与。不相似,3 与 C不相似.(7)设4,5,C为三个随机事件，且4与C相互独立，5与C相互独立，则4 U3与。相互独立的充分必要条件是()(A)4与 5 相互独立.(C)A B 与 C相互独立.(B)4与 3互不相容.(D)4B 与。互不相容 1 n(8)设七,4,三2)为来自总体阳，1)的简单随机样本，记亍=4,则下列结论中不n,=i正确的是()(A)t(&-从)2服从V 分布.i=1(C)t(X -亍)2服从犬分布.(B)2(X“一为)2服从矛2分布.(D)献床-从)2服从1分布.二、填空题(本题共6 小题,每小题4 分，共 24分，把答案填在题中横线上.)(9)J(sin3%+Vir2-%2)dx=.-IT(1 0)差分方程y(+1-2%=的通解为 =(1 1)设生产某产品的平均成本为。(。)=1 +e-Q,其中产量为0,则 边 际 成 本 为.(12)设函数/(%,y)具有一阶连续偏导数，且 d/(%,y)=yeydx+%(1+y)eydy,/(0,0)=0,则/(%,)=勺0 1、(13)设矩阵4=1 1 2,为线性无关的3 维列向量组，则向量组4%的秩、0 1 1,为.(1 4)设随机变量X 的概率分布为PX=-2!=-,PX=l=a,PX=3=6,若矶X)=。,贝 U O(X)三、解答题(本题共9 小题，共 94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分10分)J*出求 lim-.(1 6)(本题满分10分)3计算积分 一 甲也打,其中O是第一象限中以曲线y=后与轴为边界的无界区域.(17)(本题满分10分)求l i m 与l n(lI A =1 n Ik+一nJ(18)(本题满分10分)已知方程 -=k在区间(0,1)内有实根，确定常数k的取值范围.l n(1 +%)x(19)(本题满分10分)若 g=1,%=0,册+17 1 +1(n a +册_。(n=1,2,3,-),5(%)为塞级数Z 册%的和函数n=0(I )证明2 anxn的收敛半径不小于1.n=0(I I)证明(1 -)S，(%)-%S(x)=0(x G(一 1,1),并求 5(%)的表达式.(20)(本题满分11分)设 3阶矩阵4=(%，0 2,%)有 3个不同的特征值，且=%+2a 2.(I )证明 r(A)=2；(I I )若。=xx+a2+a3，求方程组A x =p的通解.(2 1)(本题满分11分)设二次型/(%,%2/3)=2%；+ax1+2%2-8%/3 +2%2%3在正交变换X=0下的标准形为入 M+入 2，求 a 的值及一个正交矩阵Q.(2 2)(本题满分11分)设随机变量X,F相互独立，且X的概率分布为P|X =O =PX=2=,丫的概率密度为/(7)f2y,0 y 1,=l o,其他(I)求 p y w E(y)；(I I)求 z =x+y 的概率密度.(2 3)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量从是已知的，设次测量结果乂/2,X.相互独立且均服从正态分布以,。2).该工程师记录的是几次测量的绝对误差4 =IX-从I (i=1,2,四)，利 用/,22,)2”估计6(I)求 4的概率密度；(n)利用一阶矩求的矩估计量；(田)求。的最大似然估计量.2016年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共 32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数/(%)在(-8,+00)内连续，其导函数的图形如图所示，则()(A)函数/(%)有 2 个极值点，曲线y=/(%)有 2 个拐点.(B)函数/(%)有 2 个极值点，曲线y=/(%)有 3 个拐点.(C)函数/(%)有 3 个极值点，曲线y=/(%)有 1个拐点.(D)函数/(%)有 3 个极值点，曲线y=/(%)有 2 个拐点.已知函数/(%,y)=,则()x-y(A)/；-/；=0.(B)+力=0.Wf：+f；=f-(3)设 A=J -ydxdy(i=1,2,3),其中o,，=(*父)I。W%W 1,0 W y W 11,D2=(%,y)|0W%W l,0W yW ,D3=(%,y)|0 W%W 1 w y W 1,则()(A)/1 J2 J3.(B)J3 J J2.(C)/2 J3 J.(D)J2 1.(B)a -2.(C)-2 a 1.(D)a=l 或 a=-2.(7)设 4,3 为两个随机事件，且 0 P(4)1,0 P(B)0),p为单价(万元).(I )求需求函数的表达式；(n)求p =i o。万元时的边际收益,并说明其经济意义.(17)(本题满分10 分)设函数/(%)=|i2-%2|d f(x 0),求尸(与)，并求/(%)的最小值.J 0(18)(本题满分10 分)设函数/(动 连续,且满足-t)dt=(一 力)/(%)d t +e-xJ o-1,求/(%).(19)(本题满分10 分)求基级数-一n =0 (兀 +2n+2击 E的收敛域及和函数(20)(本题满分11分)(1设矩阵A=1 +1(I)求。的值；1011 一 0、aQ+1/0 、,P=1 ，且方程组Ax二力无解.2a-2,(n)求 方 程 组=AT/3的通解.(21)(本题满分11分)o-1 r已知矩阵4=2-3 0 .0 0 07(I)求 暧；(口)设3 阶矩阵3=(%,%,%)满 足 加=3 4 记*。=(%,2,鱼)，将色,色,尸3分别表示为,%,%的线性组合.(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X,F)在区域D=(%,y)|0%1,/丁 Y.(I)写出(x,y)的概率密度；(n)问。与 x是否相互独立？并说明理由；(田)求 Z =U+X的分布函数尸(z).(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为0 x oo n+oo(B)若l i m x2n=l i m =a,则l i m xn=a.zi-oo n-oo noo(C)若l i m xn=Q,贝(j l i m x3 n=l i m x3 n+1=a.n-noo(D)若l i m x3 n=l i m%3 r e+1=a,贝Ij l i m xn=a.zi-oo n-n 8(2)设函数/(%)在(-8 ,+8 )内连续，其2阶导函数/(%)的图形如右图所示，则曲线=/(%)的拐点个数为()(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.设。=(%,7)|/+/w 2%,%2 +,2 忘 2 y，函数/(%,)在。上连续,则 )d%d y =()DMi n 必要条件为（）n=l Jn n/o o I（D）W 会b=d.若集合二,2 1,则线性方程组Ax 有无穷多解的充分（A）a 隼（1、d 年 f l.（B）G a C,d e f l.（C）a d 史。.（D）a e /2,J G fl.（6）设二次型/（町/2，叼）在正交变换X =P y下的标准形为2姆+黄-另，其 中 尸=（%必 心）.若。=（修，-。3,0）,则/（孙/2，%3）在正交变换*=如下的标准形为（）(A)2/1-72+r t (B)2 y j+4 -%(C)2y,-y1-y.(D)2 y x +y：.(7)若 4,5 为任意两个随机事件，则()(A)P(AB)W P(4)P(B).(B)P(4B)N P(4)P(B).(C)P(M)w P(“).(D)PG W)，P(”；(8)设总体X Xl,X2,-,Xn为来自该总体的简单随机样本，亍为样本均值，则后 (及 -露=()i=1(A)(m -l)n6(l-6).(B)m(n-1)6(1-6).(C)(m-1)(n-1)0(1-0).(D)mn0(1-0).二、填空题(本题共6 小题,每小题4 分，共 24分，把答案填在题中横线上.)(9)1加 小智=.f x(1 0)设函数/(%)连续,W(%)=J M(C)dL 若 w(l)=1,“(1)=5,则/(I)=.V(1 1)若函数z=z(%,y)由方程 e2，+%+%*=1 确定，则上|(o o)=(1 2)设函数y=y(%)是微分方程y+-2y=0 的解，且在 =0 处 7(%)取得极值3,则 y(%)(13)设3 阶矩阵A 的特征值为2,-2,1,5=屋-A+E,其中E 为3 阶单位矩阵，则行列式|5|=(14)设二维随机变量(X,y)服从正态分布N(1,O；1,1；O),则尸 xy-y o)=三、解答题(本题共9 小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分10分)设函数/(%)-x +0).(I)证明定价模型为p=U y；1 -y(D)若该商品的成本函数为C(Q)=1 60 0 +Q2,需求函数为Q=4 0-p,试由(I )中的定价模型确定此商品的价格.(1 8)(本题满分1 0 分)设函数/(”)在定义域/上的导数大于零.若对任意的%0 e/,曲线y =/(%)在点(%0,/(g)处的切线与直线”=%。及轴所围成区域的面积恒为4,且/(0)=2,求/(%)的表达式.(19)(本题满分10 分)(I )设函数 u(x),v(x)可导，利用导数定义证明(%)(%)=()()+(%)?)；(n )设函数 Ut(x),u2(x)可导,/(%)=1(%)2(%),写出/(%)的求导公式.(2 0)(本题满分11分)a 1 0、设矩阵A =1 a-1，且*=Q1 a j(I )求 a的值；(D )若矩阵X 满足X -X A2-A X +A X A2=E，其中E 为 3阶单位矩阵，求 X.(2 1)(本题满分11分)(02-3、1-2 0、设矩阵A=-13-3相似于矩阵5=0b0k 1-2a)0,/(%)=0,%W 0.对X 进行独立重复的观测,直到第2 个大于3 的观测值出现时停止，记 y 为观测次数.(I)求丫的概率分布；(口)求 E(y).(2 3)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为 0,其他，其中0为未知参数.丛区2,，七为来自该总体的简单随机样本.(I)求。的矩估计量；(口)求。的最大似然估计量.2014年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)lim an=,且a#0,则当n充分大时有(n *o o)a2a2(A)|a|(B)|an|(C)册 1a-n(D)an 0时，若p(九)-tan x是比x高阶的无穷小量，则下列选项(A)a=0.(B)6=1.(C)c=0.(D)d=：o(4)设函数/(%)具有2 阶导数，g(%)=/(0)(l-%)+/(1)%,则在区间 0,1 上()(A)当/(%)三0 时，/(%)N g .(C)当/(%)N 0 时,/(%)N g .(B)当/(%)，。时，/(%)W g.(D)当/()NO 时,/(%)Wg(%).(5)行列式a b 00 0 6 _c d 00 0 d0a0)(A)(ad-be)2.(B)-ad-be)2.(C)a2d2-b2c2.(D)62c2-a2d2.(6)设%,%,%均为3 维向量，则对任意常数/M,向量组+k a3,a2+la3线性无关是向量组%,%,%线性无关的()(A)必要非充分条件.(B)充分非必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.(7)设随机事件4 与B相互独立，且尸(3)=0.5,P(4-B)=0.3,则 P(3-4)=()(A)0.1.(B)0.2.(C)0.3.(D)0.4.(8)设 k,X2,X3为来自正态总体X(0口2)的简单随机样本，则统计量S=二i 服从的分布为一y/2 X3()(A)尸(1,1).(B)F(2,1).(C)f(l).(D)i(2).二、填空题(本题共6 小题,每小题4 分，共 24分，把答案填在题中横线上.)(9)设某商品的需求函数为 2 =4 0-2P(。为商品的价格)，则 该 商 品 的 边 际 收 益 为.(1 0)设。是由曲线町+1 =0 与 直 线 +%=。及 7=2 围成的有界区域,则。的面积为(11)设 xe dx=-，则 a =.(1 2)二次积分 J d y j f-ey 2 dx=.(1 3)设二次型/(盯,x2,盯)2ax1x3+4“3的负惯性指数为1,则 a 的取值范围是.(1 4)设总体X的概率密度为I r,e%、0 ,0 T L ,(22)(本题满分1 1 分)设随机变量X的概率分布为P X=U =p x=2=*.在给定x =t的条件下，随机变量y 服从均匀分布U(O,i)(i=1,2).(I )求 y的分布函数尸y(y);(D)求 矶 y).(23)(本题满分1 1 分)1 2设随机变量x,y 的概率分布相同,x的概率分布为px =o =y,p x =ij=1,且x与 y 的相关系数P =g.(I)求(x,y)的概率分布；(n)求 px +y w 1 .2013年全国硕士研究生招生考试试题-、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当“一 0时，用“。(%)”表示比 高阶的无穷小量，则下列式子中塔退的是()(A)%o(%2)=o(%3).(B)o(%),o(%2)=o(x3).(C)o(x2)+o(x2)=o(x2).(D)o(x)+o(x2)=o(x2).(2)函数/(%)=的可去间断点的个数为()x(x+1)In|%|(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.(3)设D*是圆域。=|(%,y)|x2+y2 W 1 位于第 A：象限的部分.记。(y -x)dxdy(k=1,2,3,o*4),则()(A)/1 0.(B)/2 0.(C)/3 0.(D)/4 0.(4)设 册 为正项数列，下列选项正确的是()(A)若 a.册+i,则 2(-收敛H=1(B)若 (-1)5%收敛，则 a”an+1.n=1(C)若 a“收敛，则存在常数p 1,使l i m/册存在.n =1.1 8(D)若存在常数P 1,使1 加/册 存 在,则 2%收敛.-8 n=l(5)设A,5,C均为葭阶矩阵.若A 5 =C,且5 可逆，则()(A)矩阵。的行向量组与矩阵A的行向量组等价.(B)矩阵。的列向量组与矩阵A的列向量组等价.(C)矩阵。的行向量组与矩阵3的行向量组等价.(D)矩阵C 的列向量组与矩阵5 的列向量组等价.1 an(2(6)矩 阵a b1 1 a(A)a =0,6 =2.(C)a =2,6 =0.a 与 00 0、b 0 相似的充分必要条件为()0 0,(B)a =0,6 为任意常数.(D)a =2,6 为任意常数.(7)设%,%,X 3 是随机变量，且 七 阳0,1),4 /V(0,22),X3 /V(5,32),P i=P1 一2 W X，W 2(i =1,2,3)，贝 心 )(AR p2 P3-(C)P3 Pl Pi-(B)P2 Pl p3-(D)P p3 P2.(8)设随机变量x和 y相互独立，且 x和 y的概率分布分别为X0123Y-1011111111PP2488333贝 i j p|x +y =2 =()(A).1 2！(c)7二、填空题(本题共6 小题,每小题4分，共 2 4 分，把答案填在题中横线上.)f y(9)设曲线y =/(%)与 y =/一在点(1,0)处有公共切线，则1 加对 -=_ _ _ _ _ _ _.公一*8 1几+2)Hz(1 0)设函数z=z(%,y)由方程(z+y)”=町确定，则丁=.OX(1,2)(1 2)微分方程/-y+=0的通解为y=.(1 3)设4 =(%)是 3阶非零矩阵，|A|为 4的行列式，4,为 ,的代数余子式.若%+4,=0(i,J=l,2,3),则 A|=(1 4)设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),则 以 X e)=.三、解答题(本题共9小题，共 9 4 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0 分)当 0 时,1 -c o s x,c o s 2x c o s 3 x与axn为等价无穷小量，求 n 与 a的值.(1 6)(本题满分1 0 分)设。是由曲线y=)，直线=a(a 0)及轴所围成的平面图形，匕，匕.分别是。绕轴,y 轴旋转一周所得旋转体的体积.若Vy=1 0 匕，求a的值.(1 7)(本题满分1 0 分)设平面区域D由直线 =3 y,y =3%及+y =8围成,计算/%(1 人D(1 8)(本题满分1 0 分)设生产某商品的固定成本为6 0 0 0 0 元，可变成本为2 0 元/件，价格函数为p =6 0 -7%(P是单价，单位:元;。是销量，单位:件).已知产销平衡，求：(I )该商品的边际利润；(n)当p =5。时的边际利润，并解释其经济意义；(山)使得利润最大的定价p.(1 9)(本题满分1 0分)设函数/(%)在 0,+00)上可导，/(0)=。且 l i m/(%)=2.证明:%一+8(I)存在 a0,使得/(a)=1;(D)对(I )中的 a,存在 e(0,。)，使得/(4)=！.a(2 0)(本题满分1 1 分)设A =f .当 a,6为何值时，存在矩阵C 使得A C-C A =3,并求所有矩阵C.V 0/v b)(2 1)(本题满分1 1 分)设二次型/(%),x2,x3)=2(%+a2x2+a3x3)2+(61x1+b2x2+叼)、记仅A 仅1a=a2,P =b2.a3)3/(I)证明二次型/对应的矩阵为2 a a 0+即(D )若 B正交且均为单位向量，证明/在正交变换下的标准形为2 尤+(2 2)(本题满分1 1 分)设(x,y)是二维随机变量,x的边缘概率密度为人(%)=在给定x =%l o,其他.(0%I)的条件下F 的条件概率密度为(3/八.y,0 y 2Y .(2 3)(本题满分1 1 分)设总体X的概率密度为1 0,其他，其中。为未知参数且大于零.X i 冰2,X”为来自总体X的简单随机样本.(I)求。的矩估计量；(口)求。的最大似然估计量.2012年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共3 2 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)曲线7=f 的渐近线的条数为()X-1(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.(2)设函数/(%)=(e*-l)(e2 t-2)(*-),其中为正整数，则/(0)=()(A)(-1 尸(-1)!.(B)(-l)n(n-1)!.(C)(-l)f!.(D)(-l)-n!.IT 2(3)设函数/(Z)连续，则二次积分/(r2)r d r=()J 0 J 2cos 6r2 r，42(A)+y 2/()d y.(B+/)dy.r2 r/4一 产 _ 12 r J(C)I dy _ _ Vx2+y2f(x2+/)d x.(D)I dyl _f(x2+y2)d xJ 0 J 1+V I-y2 J 0 J 1+V-y2X 1(4)已知级数2(-1)而 s i n 7绝对收敛，级数Z二 条 件 收 敛，则()n=1 几 n=1 Tl(A)0 a (B)a l.乙乙3 3(C)l a(D)a 0)的简单随机样本,则统计量V“二七 T的分|A3+A4-2|布为()(A)N(0,l).(B)“l).(C X2(1).(D)F(1,1).二、填空题(本题共6 小题,每小题4分，共 2 4 分，把答案填在题中横线上.)(9)l i m(t a n .7 T(10)设函数/(%)=I n 而，*1,y =/(/(/)，则半=_ _ _ _ _ _.I 2%-1 ,%1 ,d%=e(11)设连续函数z =/(%,y)满足l i m，巴2 二 2%+y ：2 =。，贝“渭行+(-1)2，)-4(12)由曲线=二和直线y=%及 y =4%在第一象限中围成的平面图形的面积为X(13)设A为 3阶矩阵，|4|=3,A*为4的伴随矩阵,若交换A的第1 行与第2 行得矩阵5,则BA*=.1 1 (14)设4,3,C 是随机事件,4 与C互不相容,尸(4 5)=5,尸(C)=不，则 P(4 B|C)=.三、解答题(本题共9小题，共 9 4 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)“2 _ 2-2cos x求极限l i m 上.(16)(本题满分10分)计算二重积分口e、y d%dy,其中D 是以曲线y =笈,y =工 及 y 轴为边界的无界区域.D区(17)(本题满分1。分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10。00(万元).设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为(件)和y(件)，且这两种产品的边际成本分别为2 0+方(万元/件)与6+y(万元/件).(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(%y)(万元)；(口)当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小总成本；(D I)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其经济意义.(1 8)(本题满分10分)证、-r*明rttl xl1n-+-%-+cos%N 1 +(-1 x 0 1 a 0设A=0 0 1 a0 0 1 ；(1)计算行列式|4|；(1 )-10、0(D)当实数a 为何值时,方程组Ax=/有无穷多解,并求其通解.(2 1)(本题满分11分)1 0 1、已知A =0 1 1，二次型致5声2/3)=xXA A )X的秩为2.-1 0 a、0 a-1;(I )求实数Q的值;(D)求正交变换x =gy将/化为标准形.(2 2)(本题满分11分)设二维离散型随机变量(X,y)的概率分布为(I )求尸 X =2W；(n )求 Co v(X-Y,Y).(2 3)(本题满分11分)设随机变量X与丫相互独立，且都服从参数为1的指数分布.记U=m a x X,V 严=m in X,H.(I )求V的概率密度人(“)；(U )求以 U +V).2011年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知当 一。时,函数/(%)=3s in%-s in 3%与cxk是等价无穷小量，则()(A)A：=1,c =4.(B)A：=1,c=-4.(C)A：=3,c =4.(D)A;=3,c=-4.(2)设函数/(%)在=0 处可导，且/(0)=。，则limRQ纨 幻=()4To X(A)-2/z(0).(B)-r(0).(C)r(0).(D)0.(3)设I%是数列，则下列命题正确的是()(A)若 收敛，则 (取3+u2J 收敛n=1 n=1(B)若 +%)收敛，则%收敛.n=1 n=1(C)若 t a 收敛，则 t(-以)收敛n=1 n=18 0 0(D)若 2(U2n-1 -U2 n)收敛，则 E 4 收敛.n=1 n=1(4)设/=ln(s in%)d%,/=ln(c o t%)d%,K =I n (c o s%)d%,则 I,J,K 的大小关系为()J oJ oJ o(A)Z J K.(B)7 K J.(C)J I K.(D)K J I.(5)设A为3 阶矩阵，将A的第2 列加到第1 列得矩阵3,再交换B的第2 行与第3行得单位矩阵.记 1 0 0)r i o o、尸”1 1 0，尸2=0 0 1，则4 =()、。0 b71)+4 2(%一 1).(7)设工()与生()为两个分布函数，其相应的概率密度/(%)与人()是连续函数，则必为概率密度的是()(A)力力.(B)(%)%(%).(：)%)%(%).(D)%)%(%)+)储.(8)设总体X 服从参数为入(入 0)的泊松分布,乂,莅,一,乙(九，2)为来自该总体的简单随机样1 n 1 几-1 i本,则 对 于 统 计 量 和 4=7 2及+七,有()n z=i n-1 i=n(A)E(TI)E G),D(T J Dg(B)(T1)E(Tz),D(7)D(T2).(C)E(T J D(T2).(D)E(TI)E(T2),0(.)0(1 0)设函数z=1 +土 ，则 dz|)=_ _ _ _ _ _.y)(1 1)曲线t a n (%+义+孑)=在点(0,0)处的切线方程为.(1 2)曲线y =直线4 =2 及轴所围的平面图形绕光轴旋转所成的旋转体的体积为.(1 3)设二次型/(孙，出/3)=x 7 x 的秩为1,4 的各行元素之和为3,则/在正交变换x=口下的标准形为.(1 4)设二维随机变量(X,y)服从正态分布汽3,从；。2 4 2；0),则 矶 灯 2)=.三、解答题(本题共9 小题，共 9 4 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0 分)求极限1 加0+子 一：-1.X*0%l n(1 +%)(1 6)(本题满分1 0 分)已知函数/(4)具有二阶连续偏导数，/(1/)=2 是/(M的极值，Z=/(%+y,).d d2z求-dxdy(i,i)(1 7)(本题满分1 0 分)求不定积分J 皿 也 一+%7%(1 8)(本题满分1 0 分)证明方程4 a r c t a n x-x+-=0恰有两个实根.(1 9)(本题满分1 0 分)设函数f(x)在区间 0,1 上具有连续导数，/(0)=1,且满足+y)d%dy =,/(力)d%dy,其中，=|(%,y)|0WyWt-,0W%Wt(0Wl).4o,求/(%)的表达式.(2 0)(本题满分1 1 分)设向量组%=(I,。/)1%=(0,l,l)T,。3 =(1，3,5)T 不能由向量组=(I/)尸2 =(1,2,3)1 户3 =(3,4,a)T 线性表示.(I )求。的值；(D)将 ，危，鱼 用%,%,%线性表示.(2 1)(本题满分1 1 分)设A为 3阶实对称矩阵，A 的秩为2,且(-i no o(1 nA 0 0-1 L(I )求 A的所有特征值与特征向量;(口)求矩阵4(2 2)(本题满分1 1 分)设随机变量x 与 y的概率分布分别为X01Y-10112111PPTT3-且尸 =y 2 =.(I)求二维随机变量(X,y)的概率分布;(D)求 2=的概率分布；(山)求 X与 F的相关系数P xy.(2 3)(本题满分1 1 分)设二维随机变量(X,F)服从区域G上的