2022-2023学年江苏省南京市高二年级下册学期期初考试数学试题含答案.pdf

2022-2023学年江苏省南京市天印高二下学期期初考试数学试题一、单选题1.函数x）=/-7 x 在区间 1,2 上的平均变化率为（）A.-4 B.4 C.-6 D.6【答案】A【分析】利用平均变化率的定义代入求解即可./（2）-1）（2、7X2）-（F 一 7xl）_ _ 4 _ 4【详解】2-1 1 1故选：A.x=y22.抛物线 8 的准线方程是（）A.x=2 B.x=-4 c.y=2 D.k-4【答案】A【分析】直接把抛物线方程变形为标准形式，然后由定义可得答案.【详解】抛物线方程即为/=8 x,故准线方程为=-2.故选：A.3.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）1112A.4 B.3 C.2 D.3【答案】B【分析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.【详解】两只红色袜子分别设为4,4，两只黑色袜子分别设为巴，B2,这个试验的样本空间可记为。=（4,4），（4 出），（4，名），（4 出）,（4 应）,（练员）,共包含6 个样本点，记A为“取出的两只袜子正好可以配成一双，则 =（4 4），（昂 邑）,A包含的样本点个数为2,所以故选：B4.已 知 圆 0产2+/-履+2/=与圆。2比 2+/+3-4 =（）的公共弦所在直线恒过定点?且点尸在直线mx-y-2=0上（加 0,0）,则，的最大值是（）1-4D.H-C81-23-4A.【分析】根据圆G 和G 的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点尸（2,-2）,进而可得机+=1,再利用基本不等式即可得到机的最大值.详 解 由圆 d+y2_%x+2y=0,圆 C?：V+,+上,一 4=0,得 圆 G 与圆。2的公共弦所在直线方程为:“（x+y）-2 y-4 =0,x+y=O （x=2由 j-2 y-4 =0,解 得 日=-2,即尸（2,-2）,又P（2，-2）在直线蛆“-2=0 上，.=2/w+2/?-2=0,即？+=,J加+Y 1 1工-7 m=n=所以 1214,当且仅当 2 时等号成立，的最大值为联故选:D.5.记正项等比数列匕 的前项和为S，若%=4,邑=5 S?,则S =（）A.2 B.-21 C.32 D.63【答案】D【解析】先设正项等比数列 J 的公比为q,根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再由求和公式，即可得出结果.（详解】设正项等比数列包 的 公 比 为 式 ）,因为%=4,S4=5S2产 d=4 /=4 p =2所以l(%+aH+a/+*)=5(q+q g),即 卬 八 州+叱 解 得 =1S6=所以lx(l-26)1-2=26-1=63故选：D.%3y=6.函数 e、（其中e为自然对数的底数）的大致图象是（）y【分析】分 析 函 数.e,的定义域、函数值的符号变化以及函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项.x3y=【详解】对任意的x e R,ev 0,故 函 数-e 的定义域为R,排除C选项；x3 x3y=0当x v O时，ex.当x。时，ex,排除A选项；,_ 3.2 _ 工3 _ .2(3 7)_ X3因 为 一有 一 一 一,当x 3时，y 0；此 时 函 数.e*单调递减，排除D选项.故选：B.7.己知等差数列也 的前项和为S，几 0,则当取得最小值时，”的 值 为()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【分析】由等差数列“的性质和前项和公式，求得为 殁 ,进而得到当1 4 4 7,w N*时,。“0,即可求解.【详解】由等差数列 的性质和前项和公式,品可得二四产。,所以四 0,所 以%+%则等差数列 ”中满足 ，可得 =%-%0数 列 也 为递增数列，且当14 47,eN*时，。“0,所以当S取得最小值时，的值为7.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的性质和求和公式，得到数列的单调性是解答是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8.在平面直角坐标系中，已知点止，/2,0）,圆 J 一2）+一）=小”）,在圆上存在点尸满足PH=2|P 8,则实数机的取值范围是（）【答案】D【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.【详解】设点尸（），由 阳 卜 2阀 得：（x+l）”2 =2（x-2）2 ,整理得：（X-3）2+/=4,即点P 的轨迹是以点G（3，）为圆心，2 为半径的圆，而圆C 的圆心C（2，?），半径为5,依题意,圆C。与圆C 有公共点,即有2-i|C C0|0,解得然 1+入 纪 m 0当 e N*且 2 2时,1 2 +1 8 05，对任意的e N*且“22,都有口正确.故选：B C D.1 2.下列不等关系中正确的是（）A V 3 l n2 l n3C.sin3 I n 3D.sin3 3 sinl c o sl【答案】B C【分析】根据函数值的特征，构造函数 X ,求出其导数，判断函数的单调性，可判断A,B;/、sinxg（x）=-同理构造函数 X ,判断C,D.，/I nr,z A_ 1-l nx【详解】令 一 丁，贝/“一 /,令/（乂）=0得 =6,/（x）在（0,e）上单调递增，在（e,+0 0）上单调递减,l n2 In.、sinx所以/（2），3）,即 2 石，即0 n2 2 1 n石=l n3,故A错误，B正确；令式、）一 x，/、x c o sx-sinxX G(。,*贝 产 士?一,令(x)=x c o sx-sinx,则ux)=c o sx-x sinx-c o sx =_x sinx 0 在(0,1)上恒成立,所以w(x)在(0,万)上单调递减，H(x)u(0)=0；所以g(x)-所以g（x）在（，）上单调递减，所以g（2）g（3）,即2 3 ,即sin3 0,/0)的左、右焦点分别为片、F 过耳的直线/与C的左、右支分别交于4,8两 点.若且484鸟的面积为力片工面积的4倍，则 C的离心率为7 2 9【答案】亍【分析】由条件可得忸用=4|/4|,设I 狗=然后由双曲线定义可得 网=2 a +x,_ 5BF2 =4 x-2af然后在 中由勾股定理可求得“一%,然后在瓦中由勾股定理可得答案.【详解】因为瓦隹的面积为.占面积的4倍，所以忸用=4|/用，设|狗=。则 网=4 x,由 双 曲 线 定 义 可 得 幽-回=2。，网明=2”,所以 AF21=2 a +x BF2 =4 x-2a,_ 5在/明 中，由勾股定理可得以用=|叫|+|明，即（2 a +x）=（4 x-2 a）+9 x解得“-石,犷号0|叫=不所以 3 ,3 ,2_ 1 6 2 1 0 0 2所以在他名中，由勾股定理可得阳周2=忸8+忸用一，即+9 ,_ V 2 9所 以 可 得 联 亍7 2 9故答案为：31 5.设函数/与8 是定义在同一区间 例 上的两个函数，若对任意的xeR/,都有I /（x）-g（x）区1,则称/（X）与g（x）在上是“密切函数，区 间 例称为“密切区间”,设函数/（x）=ln x 与g（x）=2 机+x,在 e J上是“密切函数,，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是.【答案】L 2【分析】由新定义转化为不等式恒成立，再转化为求函数最值可得.【详解】由题意在 e,e 上|ln x-x-2 小1 恒成立，2m-nx-x2m+,.v 1 .1 X 1 .设/?(x)=ln x x,则 Mx=1_=丫，当 x 0,（x）递增，当 l x e 时,力 H=Y(x),(x)递减，所以网x)1 ra x=秋1)=-1,又.1 1-1 A(e)=1-e -1 e,e,所以J2/H-1 0)X X 当 心 0 时，所以/（X）的单调递增区间为（0,+8）；当 a时,/a)=2(x+yT-a)(x-4-a)X当X 变化时，f（x）,X）的变化情况如下:X(0,V-a)4-CI(V,4-o o)-0+/（X）递减极小值递增由上表可知，函数“X）的单调递减区间为（，。），单调递增区间为（G，”）;2 ,，/、2 r 2 ag(x)=-I-x2+2 a l n x g(x)=-+2 x H-(2)解：由 ，得 x x 9因为函数g（x）在口团上的是减函数,_2_ 2a_ 1 _ 2所以g （x）在 1,2 上恒成立，即一丁+“+工、在 ，2 上恒成立，也即在口，2 上恒成立，h（x）-x2,x e 1,2 1 h（x）-7 2 x =-（r +2x）0令 x L，x2 x2,所以/?（x）在口，2 上为减函数，7（X）m m =力（2）=，所以 2,所以 2,a 1-（记 （%一1）（“+1）,4是数列也 的前项和，若对任意的N*,7,求实数4的取值范围.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.a.a.a/+S =2%2；2 22 T.”=2 -注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）%2*【分析】(1)选：根据%与S”的关系即可求解；选：根据已知有 N 2时，幺+”+.+限=”一12 22 2 -,两式相减即可求解；选：根据己知有 2 2时，(7?-1)2+(/-!)“1=2 2=2 2 ,两式相除即可求解；_ J _ _ _ k (,n e N,(2)利用裂项相消求和法求出1 2田-1,则原问题等价于 1 2”,-1人 ，令，判断数列 的单调性，求出数列 的最大值即可得答案.【详解】(1)解：选：当=1时，E=2-2 =q,;.q=2,/Stni =2ann -2 ，二 _9 乙 m y-v r,n-1 .=2ann ,-2,二两式相减得.=2%T(2 2),数列“是以2为首项2为公比的等比数列,a“=2 x2 T=2.5+勺+=幺+乌+=-选：2 22 2 ,2 2 时，2 22 2向 =l(n 2)幺=1二两式相减得2 ,即4=2 (2 2),又当=1时，2-a 1-1 p 1-.对任意的，即 2n+1-l 对 任 意 的 都 成 立，,nk ：-.2田-1对任意的eN都成立，：.k 7 j G N*1 2 用-人 xn+1 n令Cn =2+:l-l-,G N ，则 +1 X T*2,+2C _ 1I1 2 C,+-1-(n-1)2 +1(2,+2-l)(2,+l-1).ne N 二%,|-%0,即q，+i -3,）的取值范围是。像当2 1.已知点j在椭圆x2 v2C:j+彳=1（q 6 0）a b2 上，且点0到曲线C的两焦点的距离之和为2 拒.（1）求 C的方程；0.x2+y2=（2）设圆 3 上任意一点尸处的切线/交c于点、N,求 c o s4M ON的值.r2+V=1【答案】2 （2）c o s Z.MON=0 2。=2 五工 j _=【分析】（1）根据题意，由 4+4 一 求解；O:x2+y2=（2）当直线/的斜率存在时，设方程为：y=b+?.根据直线/与圆-3 相切，得到f y=kx+m?，人的关系，联立I d+2=2,结合韦达定理，由 两 丽 求解；直线/的斜率不存在时，根据对称性得到M,N的坐标求解.【详解】（1）解:.点4号2 2C:=+4 =l（a Z 0）在椭圆 成b-上，且点。到 C的两焦点的距离之和为2 及.2a=2yf21 3,彳+h1=y/2b2=l江+2=1所以椭圆c的方程为：了+一O:x2+y2=（2）当直线/的斜率存在时，设方程为：y=+m.因为直线/与圆 3相切,所以联立y=kx+mx2+2y2=2 整理可 得.(22+1 )x2+kmx+2w2-2=04km%+工2二一斤百，再 工22m2-2 2k2+又因为OM ON=XjX2+(Ax,+m)(A x2+)=(k2+l)x,x2+km(x,+x2)+m2=仁华士)+当出+加22k2+2k2+3m2-2 k2-22k2+=0所 以 两_L丽;所以 cos/MON=0.（如如M如_ 逅当直线/的斜率不存在时，根据对称性得“，N的坐标分别为此时有OMQN=0,所以cosNMOV=0,综上知cos/ON=0.=-aflnx+-j（aeR）2 2.已知函数 x V x）（1）若=1，求f（x）的单调区间；（2）若,（X）在2）上有两个极值点多,X?（再%）.(i)求实数a的取值范围；(ii)求证：中 2 1.【答案】(1)单调递减区间为(0 2),单调递增区间为Q，+00)(i)I 2人(i i)证明见解析【分析】(1)利用导数求得/G)的单调区间.(2)(i)求得/(X),根据/G)在(a 2)有两个极值点，对”进行分类讨论，由此求得”的取值范围.(ii)由 得 0%卜4+1 0)【详解】X ,令g(x)=U (x 0),所 以/(%)=尸-1,所以，当x e(O，l),g(x)0,g(x)单调递增，所以 g(x)2g(l)=e O-l=O,所以当x 0,2)时，/(x)0,所以/(x)的单调递减区间为(，2),单调递增区间为0，+0).,(x-2)(e、J a x)(2)(i)因为/,一?X ,要使/(X)在(，2)上有两个极值点X,X 2,则M x)=e -a x 在(0,2)上有两个变号的零点，时，则/?(x)=e T-a x Z e i-x,由 知，尸-a0,所以2)2 ,所以/?(x)=e i-4x 在(0,2)上没有两个变号的零点，不合题意，舍去当 a e 时，因为 x e(O,2),，S e，e)A,(x)=e 1-a 0；则（x）在（，2）上单调递减，故（X）最多只有一个零点，不合题意，舍去.当 l“0h(na+y=-ana 0 e，解 得 8I,所以实数。的取值范围为4(ii)由 知，”内)=/?5)=0,0 xtna+lx22Cx,_,=ax J 王-1 =I n Q+I n X 即 e*2T=6 2,所以/-uln a +l n/,所以看十/2 _ 21 n Q=I n G/),p(x)=h(x)-A(2+2 I n a -x)(0 x l-2y1 ex.e2+2na-x-2a=0e e ,故p(x)在(O,ln a +l)上单调递增，所以当x e(O,ln a +l)时，p(x)p(l+ln a)=0,即/?(x)(2+21 n a-x)0 所以(演)一(2+21 1 1 4%)0 所以力(芭)(2+21 1 1 一 芭)而九（）=再），所以力（）（2+2 1m-%），因为在（N。+1，+8）上单调递增,因为 0$I n a +1 x2 1 +I n,所以x2 2+2 I n a -%1即：+x2-2-2I n（2 0 因为王+马 一 2-21 n a =I n Q 4）,所以西工2 1.【点睛】利用导数求解函数的单调区间，关键是研究清楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究.如本题中，/5）含有“6 1一 ，这部分需要利用构造函数法，结合导数来研究.