2022河南专升本《高数》真题及答案解析.pdf

-12022年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号4二三四五总分分数503050146150注意事项：答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析:易（42分）中（73分）难（35分）选 择：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21填空：26/28/30/32/37计算:41/43应用：证明：选择：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/23/24/25填 空：27/29/31/34/35/36/38/39计算：42/44/46/48/50应用：证明：53选择：19填空：33/40计算：45/47/49应用：51/52证明：一、选 择 题（每 小 题 2 分，共 50分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1.对称区间上/（幻 是奇函数，g（x）是偶函数，下列函数是奇函数的是（）A./U4)B.g(x)+/WC.g(x)f(x)D.g(x)ta n 3 x,、2.极限 hm=()zo 2 xA.i22B._3c.oD.oo3.当X-+8时，下列变量不是无穷大量的是()x2+lA.+4B.gxc.yD.a rc ta n xsi n x 八2 x+,x 0_4 ./(x)=：x+=2工+2*的通解是().A.2尤 +e B.C(cos x+C2 sin 尤 +2x+exC.G cosx+G sinx+exD.G cos x+C2 sin x+2x20.若函数/(x,y)在点(%,%)处具有一阶及二阶偏导数且取极小值，则()A/(X(),%)=fy(xo，%)=。B.若(4,加)是。内唯一极值点，则必为最小值点C ja,y)f(x,y)-a,y)2 0,且 尸(x,y)0XT 0 0 抄 0 0 岁 0 0 XV 0 0D./(x,y)/a,y)-a,y)2 0,且 广。广)7 0 0 00 xr 0 02 2 E 汽21.设 Z=JT-2孙 一 ，则=().晒(1.2)A.1B.2C.2D.-122.函数/(x,y)=2xy在点(1,2)沿;=(2,1)方向的变化率为().A.2 5B.-10C.-2 5D.1O23.二次积分 d y )(x,y)d x=().3 33 33.3-xC.Jo 公fx,y)dy产y r3TD.Jo dxy f(x,y)dy24.下列级数中绝对收敛的是().三(一1严A，Zf n n-(-DnB.y-白 +i8 +D.占Y(-I)-(+1)(+3)25.下列说法正确的是（).A.一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛C.一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛D.一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散、填空题(每小题2 分，共 30分)26 .函数y=/_J_+l n(x +l)的连续区间是_ _ _ _.V 9-X227.若/(幻 为可导的奇函数，且/(2)=3,则/(-2)=口.28.曲线y =l n x在 点.时 切 线 与 连 接 曲 线 上 两 点(1,0),(e,l)的弦平行.29 .1 i m(l-l y+20 21=2X2+130 .曲线y =-的 垂 直 渐 近 线 是.(x =2c o s6 +si n 2。dy3/.设曲线方程 c .c (。为参 数)，求 丁 =3.(y =2si n +c o s2 ax e=Q32.不定积分 J x si n xdx=1.33.J；m a x x,2-xdx=.d X234 .c o s tdt(x 0)=_ .35.函数丁 =4才+*的 极 值 点 坐 标 是.36.曲面/-5 z +盯=3在点(2,1,0)处 切 平 面 方 程 是.37.设二元函数 z =2xy+y2,则。=二.n 27r38.函数y =l n si n x在区间 上满足罗尔定理的匕的值是_ _ _ _ _ _ _.943 339 .L为正向圆周(工一1)2+y2=4,(2y 4-x3)6 f r4-(x-y3)dy=.44 0 .将函数f(x)=-展开为x的 基 级 数 为.x-6 x+5三、计 算 题(每 小 题 5 分，共 50分)l n(l+5 x si n x)4 1.求极限l i m-1 01 -c o s X?+34 2.若极限l i m（-以+。）=0 ,求 的 值.Z 8 x-4 3.设函数 y=a rc ta n,求 及 生dx dx求曲线y =3+l n（f+1）的拐点及凹凸区间.4 5 .计算不定积分1-1d x.J VT+T+i71CO S X,x ()r 24 6.设/(x)=2,j f(x-l)dx.l +x2,x0+.v 0-在 且l i m/(x)w l i m/(x),所 以x =0为跳跃间断点，故 选C.t 0.t 0*5.【答案】A1 4 x-2 1 1【解析】本题考察求“8 8”型极限，l i m(-)=l i m=l i m=_，故r-2 x-2 x2-4 4 1 2%+2 4选A.6.【答案】D【解析】根据可微 可导 连续的关系，知连续不一定可导，故 选D7.【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，y)=!，故 选B.8.【答案】D【解析】八、户看.二1_2(1+x)/(1)=2,故选 D.49.【答案】C【解析】lim：一/=lim/(x)-/=：/=3,所以尸(1)=6,故 选C.a x2-l I (尤-1)(尤+1)210.【答案】B【解析】y =xi(x_ =xi-4 x3,y=4 d 1 2 d,在(_ 8,一4)内 y 0,所以曲线在(8,4)内是凹函数，故选B.11.【答案】C【解析】根据定积分几何意义，由被积函数y=J i二三(yNO)知定积分J：J i二 工 改 表示以原点为圆心、1为半径的上半圆面积,I 2 1 71即J I xdx=-S=.故选 C.12.【答案】B【解析】根据己知条件，由不定积分第一换元法得：j/(Inx)tZr=J/(Inx)J(lnx)=F(lnx)+C 故选 B.13.【答案】A【解析】利用微积分互逆运算：B选项4(J f(x)dx)=/(x)小，C选项卜 。)办=/(尤),D 观页 J f(x)dx=f(x)+C,故选 A.14.【答案】B【解析】平面2x+y 3=0法向量=(2,1,0),z轴方向向量s=(0,0,1),=0,即平面2x+y-3 =0与z轴平行；代入原点，得20+0-3/0 ,即平面不经过z轴；故 选B.15.【答案】B2 2 2【解析】方 程 三+2 2=二 为 椭圆锥面的方程式，故选B./b2 c2【解析】f 一=f 一+f _ =Inl.rll+ln|x|,不存在，即发散，故选A.17.【答案】D2 ,=a,D.318.【答案】C【解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得 了+了二彳为一阶线性微分方程，故选c.19.【答案】B【解 析】根 据 二 阶 线 性 微 分 微 分 方 程 的 性 质 可 得，y+y =2 x +2”为微分方程I 2y+y=2 x +2 e T的解；设二阶线性齐次微分方程为y+y=0 ,特征方程为r2+l =O,r =i,得二阶线性齐次微分方程的通解为：y-C|Co s x+C2s i n x ,故微分方程y+y=2 x +2”的通解为q c o s x+Q s i n x+2x+ex,古姆 B.20.【答案】C【解析】/(x,y)在点(修，及)处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分条件知选项C正确，故 选C.21.【答案】Cdz d2z d2 z【解析】=2x 2y,=2,=2,故 选C.dx dxdy dxdy(12)22.【答案】A【解析】与；=(2,1)同向的单位向量+=(2，-1),又因为广(1,2)=4,/(1,2)=-2,5 5df(x,y)2-1故=4 +(2)=2 5,A.讥(2,-1)5 523.【答案】C【解析】由上力分区域。可表示为:f O j 3知积分区域。表达式为：,、.，交换积分次序后积 0%3f 0 x 0-3 X 0 x w(-l,3),初等函数在其定义域内都连续,故连续区间为(1,3).27.【答案】3【解析】求导后奇偶性发生改变，即(。)为偶函数，则/(-2)=/(2)=3 .28.【答案】(e l,l n(e l)【解析】由题意知曲线在该点的斜率为：%=1一 =I所 以y =i=I解得x =e 1,x e-1代入 y =In x 得 y=l n(e -1)；故该点(e -1,1n(e-1).29.【答案】e-1-jr(-)(x+2O 21)【解析】应用第二重要极限，原式=l i m l+()*3 0.【答案】尤=1【解析】l i mX f I一1=8,故x =1为函数y =2厂+1垂直渐近线.X-13 1.【答案】1i u dy dy I dO 2co s。一2s m 2。【解析】-=-dx dx IdO-2s i n 6 +2co s 2。3 2.【答案】-x co s x +s i n x +C解析 jx sin xdx=一，xd cos x=-x cos x+J cos xdx=-x cos x+sinx+C.33.【答案】3【解析】xN 1 时;f(x)=maxx,2-x =x；x l 时，/(x)=maxx,2-x=2-x.j maxx,2-x公=J(2-x)公+j xdx=(2 x-x2)x2=3.12 2 34.【答案】2XCOSX【解析】变限积分求导，COS，力=(32ycos x2=2xcosx.dx35.【答案】(Tn 2,4)-oo x -In 2,y -In 2,y 0,则 y 在(一In 2,+8)单调递增；所以 x=ln2 为极小值点，y=4ef2+e+m2)=4.1 +2=4,2故极值点坐标是(-In 2,4).36.【答案】x+2 y-4 z-4 =0【解析】令尸(乂2)=6：52+盯 3,尸=y,F=x,尸=e-5,则曲面在(2,1,0)处 法 向 量 为 =(1,2,-4),切 平 面 方 程 为(X-2)+2(y-l)-4(z-0)=0,即x+2y-4z-4=0.37.【答案】dz，)=2公+8办【解析】z =2xy+/,2 =2y,z%=2x +,即 dz=2 ydx+(2x+2 y)dy,故%=2 d x+86.n3 8.【答案】一2【解析】令/(x)=竺 =0,又因为3，解得“，则5,s i n x 3 3 2 23 9.【答案】Y 乃【解析】由格林公式得，$(2y +/M +O3)=口(四 一%斓y =jj(i 2)混y心 口 8x dy 口-J dxdy-S圆=-4%.:1 4 0.【答案】(I史J x x e(-l,l)【解析】f(x)=%2 6 x +5 (x 5)(x 1)x 54 4 1二 1 =岁-户，X G(-1,1),三、计 算 题(每 小 题5分，共5 0分)4 1.【解析】原式=l i m 5 x s i n x =lim 5=i o.-t o 1-co s x x0 1 2-J C24，八2.解析匚,1l-i m(/-x-1-+-3-ax+,/?j )x =lr i m-x-+-3-o-x-2-+-o-x-+-Z?-x-/-?a s x 一 ./x-1.(1-Q)X +(Q +Z?)X +3-Z?八 gg_ pt n 八 人、人 z p j 1 八 J c=h m-=0 ,根据有理分式结论，得1。=0,a+b=0,X T 8 x-l即 a=I f b=-1.143.【解析=2 x=_ _J _ _ _ _,也|=1.dx 1+(x 了 2 x(l+x)dx 4 2x 2(x2+l)-2x-2x 2-2x244.【解析】函数定义域为R,对函数求导y =v=-/+/-?+1，)(x2+l)2(+)令 y”=0 ,即2 2%2=0 ,得 x =1 ,%=1,1 2综上所述：凹区间为(1,1),凸区间为(8,1),(l,+oo)；拐点(l,3+ln2),(l,3+ln2).45.【解析】令 加匚7=r，则x =/-1,dx=3 rdt,3 rdt 产 一1 +1 t2-l 1 1原式=JF=3 j-y-力=3(J0力+J 771 力)=3 卜-1)力+上6/(/+1)=3(lz2-Z+ln|r +l|)+C =|(l+-3(l+x/+31 n(l+x)4 1)Hj c.46.【解析】令 x-l=/,当=1,/=-2 ；x=2,t=1；j2 f(x/力=1(l+/)力+f c os勺 力=(/+1/):+2 s i n-ni=1 4+JT -2-2 0 2 3 2 7T 2 1 3 71交点为（小+2,-/+1）,过点（一3,-2,0）的所求直线的方向向量s=Q+3,f+4,T+l）,直线x y-2 z-11=丁的方向向量为4=(1/，一1),又两直线垂直，所 以s_L.,即s 8 1-3-3-5-(2/?-1)5”！1-3-3-5-(2/?-1)-(2/?+1)5！2+1 2=lim=l i m=_ =及y中得X)=e，上 切=-e,所以曲线过原点的切线方程为y =ex.(2)由(1)得，切线与曲线交点为(l,e)即丫=Ji 3一)2(一)2 公=)(-1 2,0 -)=乃1 2 1).L2 t 3-1 (6 252.【解析】由题知，F =k,将 1 0,v =1 0 0,尸=2代入得斤=2 0,则尸=生,又V VF =m a,所 以&=2 0：解得 20t2+C,将1 0 ,u=1 0 0代入得C=80 0 0 ,则dt v,=2 0 r+8 0 0 0,将t =30代入得r =2 6 0 0 0,v =-2 6 0 0 0 =2 0 6 5=1 6 1 .五、证 明 题(每 小 题6分，共6分)53.【解析】已知 f(x)=2/6 x +a,f(x)=6X2-6 =6(?-1),在区间 一1,1 上f(x)0 ,故/(x)在区间 一1,1 单调递减，因此/(%)=2 7一6%+。在-1,1 至多有一个根，即/(x)=2?6 x +a,在 一 1,1 至多有一个零点，其中a为任意常数.