2023北京房山高三（上）期末数学（教师版）.pdf

2023北京房山高三（上）期末数 学第一部分（选 择 题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共4 0分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合人=-2,（）,1,2,8=卜,2 4 1 ,则 A B=（）A.-1,0,1 B.0,1 C.2,0,1 D,2,0,1,22.若复数z满足z（l +i）=2 i,则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知数列/满足2。,用=。“，且=2,则数列6,的前四项和S4 的 值 为（）15A.1615C.41 _ A X4 已知函数无则/（x）（）A.图象关于原点对称，且在 0,+8）上是增函数B.图象关于原点对称，且在 0,+8）上是减函数c.图象关于y 轴对称，且在 0,+。）上是增函数D.图象关于y 轴对称，且在 0,+。）上是减函数5.若角/是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（）A c o s a cos/3 B.s i n a s i n D.c o s a （）上一点M 到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5 和 3,则。的值为（）A.1 B.2 C.1 或 9 D.2 或 98.已知半径为1的动圆P 经过坐标原点，则圆心尸到直线加x+y-2=0（meR）的距离的最大值为第1页/共18页()A.1 B.2 C.3 D.49.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数R(r)与天数f之间满足关系式：其中左为常数，R。是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为()(参考数据：坨2,0.3010)A 9 B.10 C.11 D.1210.在.ABC中，8C=4,AB=3A C,则BC.氏4的取值范围为()A.-3,12 B.(-3,12)C.12,24 D,(12,24)第二部分(非选择题共H 0分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数/(x)=一+Igx的 定 义 域 是.12.V)的 展 开 式 中 常 数 项 是.(用数字作答)213.若双曲线工-y 2=i的离心率为2,则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为.m14.若函数/(x)=,2 存在最小值，则加的一个取值为_ _ _ _ _ _；m的最大值为_ _ _ _ _ _.X-2m x+4m,x m15.函数/a)=0.03sin(100()m)+0.02sin(2000m)+0.01sin(3000b)的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论:工 是 函 数/0)的一个周期;的 图 象 关 于 直 线，=焉 对 称:,0|对称;/(01 160006000上单调递增.其 中 所 有 正 确 结 论 序 号 是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，。是边 AC 上一点，CD=1,BD=2,AB=3,cos ZB)C=-.8第2页/共18页A(2)求.A BC的面积.1 7.如图，在四棱锥PA B C。中，底面A BCD是边长为1 的正方形，P A1.平面A B C。，Q为棱PO的(2)再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，求：直线PC与平面A CQ所成角的正弦值，以及点尸到平面A CQ的距离.条件：A Q V P C.条件：A Q,平面PQ9；条件：C Q泻.1 8 .为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和P K 赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8 万，其中获奖学生情况统计如下：组别单人赛P K 赛获奖一等奖二等奖三等奖中学组4 04 01 2 01 00小学组3 25 82 1 01 00(1)从获奖学生中随机抽取1 人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人,以X 表示这2人中P K 赛获奖的人数，求 X 的分布列第3 页/共1 8 页和数学期望：(3)从获奖学生中随机抽取3 人，设这3 人中来自中学组的人数为4，来自小学组的人数为，试判断。(4)与 的 大 小 关 系.(结论不要求证明)1 9.已 知 函 数=+e*(x-2)(a e R).(1)当。=0 时，求曲线y =/(x)在点光=1处的切线方程；(2)求函数/(x)的单调区间；(3)若函数/(x)恰有一个零点，则a 的 取 值 范 围 为.(只需写出结论)2 0.已知椭圆C：/J +J 立一1(。/0)经过点尸(2,3),且点P到两个焦点的距离之和为8.(1)求椭圆。的方程；(2)直线/：y =+m与椭圆C分别相交于A 5两点，直线PA,尸 8分别与y轴交于点，N.试问是否存在直线/，使得线段MN的垂直平分线经过点/,如果存在，写出一条满足条件的直线/的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.2 1.若 对VM,eN+,当加时，都 有%-/e A ,则称数列 4 受集合A 制约.(1)若。=2 ,判断 4,是否受N+制约，4 是否受区间 0,1 制约；(2)若 4=1,。2=3,。”受集合 2 制约，求数列 4 的通项公式;若 记 P：q 受区间 1,2 制约“，4：“%受集合 2 制约”，判断P是否是4的充分条件，P 是否是4的必要条件，并证明你的结论.第4 页/共18 页参考答案第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共4 0分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合B,进而求得AcB.【详解】x2 l,(x +l)(x-l)0,解得TW1,所以3 =x|-l V x W l ,所以A 8 =0.故选：B2 .【答案】A【解析】【分析】根据给 等式求出z 用i 表示，然后运用复数的除法运算解决.【详解】z(l +i)=2 i =J)=l +i,所以复数z(l +i)=2 i 在复平面上的点1+1(1+1)(1-1)2为(1,1),所以点在第一象限故选：A3 .【答案】C【解析】【分析】由题意 4 是首项为2、公比为g 的等比数列，利用等比数列前”项和公式求$4 的值.【详解】由题设 4 是首项为2、公比为g 的等比数列，即 凡=白，所以S 42 x(l R 15,1 -71-2故选：C4 .【答案】【解析】B【分析】根据定义判断了(x)奇偶性，由解析式外幻=5-2 判断单调性，即可得答案._ 4 T 4V-1【详解】由/(一x)=L?=一 =一/(x)且定义域为R,所以/(X)为奇函数，即关于原点对称，第5 页/共18 页又/（x）=*-2 在R上递减，故在 0,+。）上是减函数故选：B5 .【答案】D【解析】7 T TT【分析】根据题设可得0 一a一兀一 兀，结合诱导公式判断内角a、/对应三角函数值的2 2大小关系.TT TT【详解】由锐角三角形知：。+夕 冗 且0 a，Z?5，TT 兀所以0 万 一/2571-/?7 1兀.兀则 si n（-/7）si n a ,即 c o s 4 c o s a.又已知角的大小不确定，故A、B不一定成立，而C错，D对.故选：D6 .【答案】A【解析】【分析】根据线面、面面垂直的判定及性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确定答案.【详解】已知a /?=/,mua,u且,当a _ L时，则而 u,故 充 分 性 成 立；当z n _ L ”时，若/，相交，又?_ U,且人在夕内，则加J _，且加ua,故a _ L/7；若/，平行，,_ L尸不一定成立，即不能确定a _ L/7；所以必要性不成立，故“a _ L ”是“用J,”的充分不必要条件.故选：A7 .【答案】C【解析】【分析】由题设抛物线准线为x =-5且对称轴为x轴，令茄;）且机2 0,结合己知列方程组求参数P即可.【详解】由抛物线V=2 p x （）知：准线为x =-当 且对称轴为x轴，第6页 供18页不妨令M(m,y/2pm)且m0,则m+R =5 0 n_,可 得 丁+3=5,所=3 2P 2所 以 2_i0p+9=(p_l)(p_9)=0,解 得p=或p=9,均满足题设.故选：C8.【答 案】C【解 析】【分 析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解.【详解】由题设，半 径 为1的 动 圆P经过坐标原点,可 知 圆 心P的轨迹为以原点为圆心，半 径 为1的圆，即一+丁=1,2,则该圆上的点到直线吠+y-2=0的距离的最大值为d=厂+17 n r+12又加 2 2 0，.m 2+iz i，/.0 2,gpi J 20000及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.【详 解】由题设R(0)=)e=100R(5)=e=1000可 得 6 =100,InlO k=-5In 10 g io所以 R(f)=100产，则 100eh 20000,故，=51g200=5x(lg2+2)=11.505ll,所以教 师 用 户 超 过20000名 至 少 经 过12天.故选：D1 0.【答 案】D【解 析】【分析】设AC=m,利用余弦定理可求得cos8,根据向量数量积定义可得8 c 84=4 2 2+8,利用三角形三边关系可求得加的范围，结合二次函数性质可求得结果.【详 解】设AC=加，则AB=3m,A n BC2+AB2-A C2 16+Sm2由余弦定理得：cos 8=-=-2 B C A B24m2+m23m第7页/共18页/.3 c zM =1 2 m c o s 3 =4(2 +m2)=4 m2+8 ；3m+m 4-i /、一 v ,l m 2,/.4 m +8 G(1 2,2 4),3 m -m 0所以定义域为(0,1)。(1,+8).故答案为：(0,l)u(l,+8)1 2 .【答案】一4【解析】【分析】根据(L-V)的展开式的通项公式可求出结果.【详解】。一 V)的展开式的通项为加=C(F)=(_琰 .令4左一4 =0,得k=1,所以V)的展开式中常数项是-C；=-4.故答案为：-4.1 3 .【答案】y=J L;【解析】【分析】根据离心率求得加，然后求得双曲线的渐近线方程.色丫 1 R 1-=3,m=,a J m 3则双曲线的渐近线方程为y=V 3 x.第8页 供 18页故答案为：y V3x14.【答案】.0（答案不唯一）.4【解析】【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论m范围及X）存在最小值确定机的范围，进而确定答案.【详解】对于y=|x|,在（-8,0）上递减，（0,+8）上递增，在R上的最小值为0；对于y=X?-2mx+4m=（x-m）2+4/n-m2,开口向上且对称轴为工=加，所以，在Joo,加）上递减，（见+8）上递增，在R上的最小值为4?-根乙综上，对于/（X）:当机 0时，/（X）在上递减，O,+m2 2 m2+A m =4 m n r恒成立，所以/W不存在最小值;当?=0时，”X）在（-=。,0上递减，（0,+8）上递增，此时最小值为0；当机0时，/5）在（-00,0）上递减，（0,刈，（m,+8）上递增，且/（0）=0,又|加|-（m2-2 m2+4 z）=m2-3m =m（m -3）,若0 z3时，0|加|4加一加2,此时最小值为o；若帆=3时，0|加|=4/一=3,此时最小值为0；若3 c机4加一，0,此时最小值为0；若机=4时，|m|=4 4根=0,此时最小值为0；若/4时，|/n|04zn-zn2,此时/）不存在最小值；综上，m e0,4,故加的最大值为4.故答案为：0（答案不唯一），415.【答案】【解析】1 7【分析】应用诱导公式判断判断了 +而）=/（。是否成立即可；/（彳五一。、/的等量关系判断正误;判断 1000m G-,上,200071/6 3000nr e sin（10007r/）,sin（2000叫，6 6 3 3 2 2sin（3000w）对应单调性，即可判断.【详解】f（t+）=0.03sin（1000加+2K）+0.02sin（2000”+4兀）+0.0 Isin（3000m+6兀）=0.03sin（lOOOnr）+0.02sin（2000nr）+O.Olsin（3000nt）=f（t）,所以一二是函数/（f）的一个周期，正确；第9页 供18页2 6 5 一 )=0.0 3 s i n(4 7 r-l O O OT TZ )+0.0 2 s i n (8K-2 0 0 0兀/)+0.0 I s i n (1 2兀-3000TI/)=-0.0 3 s i n(1 0 0 0 K/)-0.0 2 s i n(2 0 0 0 7 r r)-0.0 I s i n(3000K/)=-/(/),所以/(f)不关于直线r =!对称，而关于点 七,0)对称，错误，正确；50 0 1 50 0 j 一嬴 焉则1 兀9吟2 0 0 0兀y j争3 0 0 0无y g g,而 产s i n x在 一 沈 、申 学、/均 递增，故/在 一 康，焉 上单调递增,正确.故答案为：三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.【答案】(1)2 (2)2y2.8【解析】【分析】(1)A3。中，根据余弦定理求A。的长；(2)4 8。中，根据余弦定理求C O S A,即可求s i n A,再根据三角形的面积公式求解.【小 问1详解】因为 cos N B D C =,8则0)5/4。8 =(：0 5(兀一/8。)=一(：0 5/8 )。=-3，BD-2,AB=3,ABD 中，A B2=A D2+B D2-2AD-BD-cosNADB,即9=A2+4_2X2XAOX(_ 1),解得：AO=2或=(舍)，所以A O =2：【小问2详解】A B2+A D2-B D2 9 +4-4 3c o s A=-=-=，2-AB-A D 2 x 3 x 2 4因为0 A,以A为原点，z轴建立空间直角坐标系，则 A(O,O,O),C(1,1,O),(0,1,0),2(0,1),P(0,0,1),故 A Q =(0,；,；),A C =(1,1,0),P C =(1,1,-1),第1 1页/共1 8页令m=(x,y,z)为面ACQ的一个法向量，贝 卜m AQ=y+z=02 2,令 x=l,m=(l,-l,l),m-AC=x+y=0m-PC 1 1 1所以|cos H-1=7 尸即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为-,|m|PC|V3xV3 3 3所以点P到平面ACQ的距离L p c=-.选：A Q,平面PC。，。匚平面。，则4。，0,。为棱PO的中点，在PA。中，AQ垂直平分P。，故PA=AO=1,又PA_L 平面 ABC。，A3,ADu 平面 AB。，则尸A，AB,PA _ L AO,又 ABJ_AO,以A为原点，AB,AD,AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),C(l,l,0),(0,1,0),2(0,；,g),P(0,0,1),故 AQ=(0,；,g),AC=(1,1,0),PC=(1,1,-1),m AQ=-y z=0令根=(x,y,z)为面ACQ的一个法向量，则j 2 2,令x=1,=,-AC=x+y=0m-PC 1 1 1所以|cos v丸PC H-1=厂厂=,即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为一，mPC V3xV3 3 3所以点P到平面ACQ的距离1|P C|=.3 3选：由 平面 ABC。，COu 平面 ABC。，则 PA_LC。，又 AOLCO,由 PAcAD=A,PA,A。u 面 PA。，故 COJ_ 面 PAO,POu 面 PA),所以 CD_LPD,3F)在RtCOQ 中，。2=。2 +。2=1+。2=e,则。=在，故PD=2OQ=&，2 2又 AO u 平面 ABC。，则 PA L A O,在 RtZXPA。中，pA2=PD2-AD2=1 .即 PA=1 ,又 PA J_ 平面 ABC。，ABu 平面 ABC。，则 P4_LAB,又 ABLAD,以A为原点，A8,4DAP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0),2(0,1,g),P(0,0,1),故 AQ=(0,；,g),AC=(1,1,0),PC=(1,1,1),令m=(x,y,z)为面ACQ的一个法向量，则 H .1=r-r-=一，即直线PC与平面A CQ所成角的正弦值为一，|w|PC V 3 x V 3 3 3所以点尸到平面A CQ的距离“P C|=且.3 31 8.【答案】(1)-97(2)分布列见解析，期望为一1 2(3)D(g)=D,理由见解析【解析】【分析】(1)应用条件概率公式求概率即可；(2)由题设X可能值为0,1,2,结合表格数据及超几何分布概率公式求分布列，进而求期望；(3)由4+=3,应用方差的性质判断。0 =。(3 -),。()的数量关系即可.【小 问1详解】若事件A表示抽到的学生获得一等奖，事件B表示抽到的学生来自中学组，所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为P(B|A)=与华，P(A)4 0 7 2 5由表格知：F(A B)=,P(A)=，则 P(8|A)=/.7 0 0 7 0 0 9【小问2详解】由题意，X可能值为0 1,2,X的分布列如下:X012p(x)251 21n所以 E(X)=0 x工+l x a +2 x-!-2 1 2 1 27n【小问3详解】由题设知 +=3 ,所以 O C)=0(3 7 7)=。(3)+(1)2 D =D .1 9.【答案】(1)y =-e(2)答案见解析(3)a 0,则时/(x)0 ,所以/(”)在(-8,1)上递减，(1,+8)上递增；当“0时，令/(x)=O,可得x=ln(-2 a)或x=1,A若 ln(2。)1,即一 时，(8n(2 a)、(1,+8)上/(幻0,(I n(-2 a),l)上/(x)0 ,(l,ln(-2 a)/,(x)0,X)在(-8,1)上递减，(1,+8)上递增；A a Q ,f(x)在(-0 0,ln(-2 a)、(1,+:)上递增，(I n(-2”),1)上递减；2a=-,/(x)在R上递增；2a -1,/(X)在(一8,1)、(I n(-2 a),+0 0)上递增，(ln(-2 a)上递减;【小问3详解】由(2),当。0时，f()min=/(I)=-e0 ,而x趋向T O、+oo时/(x)趋向于+8 ,所以，/“)在(-8,1)、(1,+8)各有一个零点，共两个零点，不合题设；当。=0时/(x)=e*(x-2),f(x)min=/(I)=-e0 ,在x w -oo,l)/(x)(),x趋 向 时/(x)趋向于”，所以，此时/(x)在(1,+8)有一个零点，满足题设；当一 I v a v O 时，极大值/(ln(-2 n)=a ln(-2)-I 2-2 a ln(2 a)2 =(ln(-2 a)-2)2+1 J 0 ,极第1 4页/共1 8页小值/(l)=-e 0,x 趋向+0 0 时/(*)趋向于+,所以，/“)在(1,+8)有一个零点，满足题设；当 a =时，/(I)=-e 0 ,x 趋向+oo时 f(x)趋向于+oo,2所以，/(*)在 R上有一个零点，满足题设；当时，极大值/(1)=一 e 0,极小值/(ln(-2 a)=ln(-2)-ll2-2 0 1 n(-2。)-2=a (ln(-2 a)-2)2+l 0,x 趋 向 饮 时 f W 趋向于Ko,所以，了)在(皿 2 4),+0 0)上有一个零点，满足题设；综上，函数/(X)恰有一个零点，a。，故 1 6 女 2 +1 2 加2；32km 1 6(?2-1 2)=前6,当%6 父+1 2又，2 2,3),第1 5页/共1 8页可设直线P A：y-3 =2：(x-2),设直线P B：y-3 =2 j g-(x-2),x-2 x2-2故 如 =比(-2)+3,%=&4 M+y N=6,故有2)+3+上|-(-2)+3=6,整理得，玉一 2 x2-2y.-3 y9 3 八+上 7=0,化简得，(彳,一2)(%-3)=-(-3)(%-2),%-2 x2 2得到，x2y-3-2y+6=-x1y2+2y2+3x(-6,/X +玉%3(玉 +)一2(弘+)2)+12=()，x2(AXj+w?)+X(仇 +m)-3(X1+x2)-2(yl+y2)+12=0,2kxix2+(m-3)(xi+x2)-2(Ax,+m+kx2+/)+12=0,2kxx2+(/九一3)(玉 +x2)-2 k(xt+x2)-4/n+12=0,2 /+(，一3-2 女)(玉+)-4加+12=0,利用韦达定理，得32 攵(苏 12)(in-3-2k)-32km .八-；-4m+12=0，16 公+12 1 6+1232k(m2-12)(2 3 2左)32km+(12-4zn)-(16*2+12)=0,32/an2-384A:-32km2+96km+64二2 +192/+144-Mtcm -48z=0.-384A+96加 +192公+144-48?=0，8Z+2A?+4%-+3 m=0 4k2 Sk+3-m-2km (2 女-3)(2 Z-1)=皿 1-2%),当A w g时，2 k-3 =-m ,此时，直线/为：y-k x +?-2k,故令&=1,则必有加=1,满足16左 2+1 2，2,此时.，满足题意的直线/为：y=x+l(答案不唯一)2 1.【答案】(1)怎 受 N+制约，不受0,1制约，理由见解析n,n=2k-T且Z e”n+i.,n-2k(3)P是q 的充分不必要条件，证明见解析【解析】第16页/共18页【分析】(1)根据数列新定义，判断机、w N+且加一eA是否有a,“一a“eA成立即可判断;(2)由题设可得a,.-4 =2,利用等差数列的定义写出%的通项公式；(3)由新定义判断。、4的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论.【小 问1详解】由2、e N+且，一 e N+，则加2 1,而册一%=2 1-2 =2 (2 -1),显然2 ,(2 i -1)e N+,贝 1 勺 一。“G N+,故 4 受 N+制约，由加、N+且加一 0,1 ,当“一 =0,即2 =，an-an=0e 0,l ；当=即，=+1,an+l-an=2n+-2n=2n i0,1 .故%不受0 制约.综上，4 受N,制约，不受0,1 制约.【小问2详解】由加、e N+且 加一=2,有,一4=2,所以。+2 =2,又 4=1,%=3 ,故%的奇数项、偶数项分别为首项为1、3,且公差均为2的等差数列，胃+1当=2左 一 1 且左 N+,则=a+2 x(1)=n ,；?当=2%且上e N+，则=4 +2 x（5 1）=+1,综上，an=n,n-2k-n+l,n=2k.且女e N+.【小问3详解】结论：P是q的充分不必要条件，证明如下:P为真：”受集合L 2 制约，由m、e N+且,当/一 =1,有a,+i e l,2 成立，则4+2-。“+|e U,2 ,进而可得：。“+2一,G2,4；当m-n =2,有a-。”e l,2 成立,结合有 什？一 /=2 e 2；此时，4 受集合 2 制约;4 为真：0“受集合 2 制约，由机、N+且机一=2 e l,2 ,有%+2-a“=2 e l,2 ；n,n=2k-l而加一 =不一定有外用一。1,2 成立(反例：an=个 且Z e N+，显然 +2,=2 k第1 7页/共1 8页m-n=2-=,有。2-4=4 _ 1 =3 史 1,2),故。,不一定受区间 1,2 制约；所以，,受区间 1,2 制约，必受集合 2 制约，但受集合 2 制约，不一定受区间 1,2 制约;综上，。是4 的充分不必要条件.第18页/共18页