初中中考冲刺数学总复习《多边形与平行四边形》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

中考总复习：多边形与平行四边形-巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.任意三角形两边中点的连线与第三边上的中线（）.A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.互相垂直平分2 .（2 0 15春平顶山期末）如图，在平行四边形A B C D中，对角线A C、B D相交于点0,E、F 是对角线A C上的两点，给出下列四个条件：A E=C F；DE=B F；N A DE=N C B F；Z A B E=Z C D F.其中不能判定四边形DEB F是平行四边形的有（）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个3.若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的3 倍，则这个多边形的边数为（）.A.6 B.7 C.8 D.94.如图，平行四边形4%力中，N/I8C=6O,E、b分别在以 8c 的延长线上，AE/B D,EFVB C,DF=2,则 的长为（）A.2 B.2咫 C.4 1）.5.下列说法正确的是（）.A.平行四边形的对角线相等B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C.平行四边形的对角线交点到一组对边的距离相等D.沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够重合6.如图，在D B C D中，对角线A C,B D相交于点0,E,F 是对角线A C 上的两点，当 E,F 满足下列哪个条件时，四边形DEB F不一定是平行四边形（）.（A）A E=C F（B）DE=B F（C）Z A DE=Z C B F（D）N A ED=N C FBD二、填空题7 .已知：A、B、C、I）四点在同一平面内，从A B C DA B=C DB C A D B C=A D 这四个条件中任选两个，能使四边形A B C D是平行四边形的选法共有 种.8.平行四边形两邻边上的高分别是2 抬 和 3 4，高的夹角是60 ,则这个平行四边形的周长为面积为.9 .如图，已知直线mn,A、B为直线n上两点，C、P 为直线m 上两点，（1）请写出图中面积相等的三角形.（2）如果A、B、C为三个定点，点 P 在 m 上移动，那么，无论点P 移动到什么位置，总有 与4A B C 的面积相等，理由是.10 .如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则 第 n个图形需 要 黑 色 棋 子 的 个 数 是.11.（2 0 12 茂名）从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6 个三角形，则 n的值是12 .（2 0 14春深圳期末）如图，平行四边形A B C D中，对角线A C、B D相交于点0,过点0作 PFL B C 于点 F,交 A D于点E,交 B A 的延长线于点P.若 PE=EO=2,PA=3,则O B C 的 面 积 等 于.三、解答题13.如图，已知A A B C,以B C 为边在点A的同侧作正 DB C,以A C、A B 为边在A A B C 的外部作正4EA C和正A FA B.求证：四边形A EDF是平行四边形.14.（2 0 15枣庄）如 图,Q A B C D 中,B D1A D,N A=45,E、F 分别是 A B,C D 上的点,且 B E=DF,连接EF交 B D于 0.（1）求证：B 0=D0；（2）若 EFJ _ A B,延长EF交 A D 的延长线于G,当 FG=L 求 A D 的长.15.（2 0 11泸州）如图，已知D 是A B C 的边A B 上一点，C EA B,DE 交 A C 于 点 0,且 0 A=0 C,猜想线段 C D与线段A E 的大小关系和位置关系，并加以证明.16（2 0 11贵阳）阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P（x“y 1、Q（x z,y?）为端点的线段中点坐标为（立三，五丝）.2 2 运用(D 如图，矩 形 O N E F 的对角线相交于点M,O N、O F 分别在x轴 和 y轴上，0为坐标原点，点 E的坐标为(4,3),则点M的坐标为.(2)在直角坐标系中，有 A (-1,2),B (3,1),C (1,4)三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标.【答案与解析】选择题1 .【答案】A.2.【答案】B.【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，不能证明对角线互相平分，只有可以，故选B.3 .【答案】D.【解析】设边数为，则，片乱24【答案】B.【解析】在。力版中，C D且 AB=C D.又：仞/B D,：.四边形AB DE为平行四边形，；,DE=AB.；EFLB C,DF=2,:.C E=2DF=4.：/EC F=/AB C=6Q,:.E F=C E N n 4 E C F=A*3=2 收25 .【答案】C.6 .【答案】B.二.填空题7 .【答案】4.8 .【答案】20：2石.9 .【答案】(1)A B C 与A B P;A C P 与B C P;Z A O C 与B O P；(2)A A B P ；同底等高.1 0 .【答案】n2+2n.【解析】第 1 个图形是2 X 3-3,第 2 个图形是3 X 4-4,第 3个图形是4 X 5-5,按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)-(n+2)=/+2n.1 1 .【答案】8.【解析】设多边形有n条边，则 n-2=6,解得n=8.1 2.【答案】4 泥.【解析】四边形ABCD是平行四边形，ADII BC,AO=CO,BO=DO,在 AOE和ACOF中，fZ E A 0=Z F C 0-A O=C O ，ZAOE=ZCOF:&AOE2 A COF(ASA),EO=FO,AE=FC,PE=EO=2,FO=2,AEII BF,PF_LBC,.A PAE-A PBF,Z PEA=90,.P E _ A EPFBF1-A E=7PA2.2=近,6 B P _解得：BF=3泥，贝i BC=4&,故4 OBC 的面积为：1FOXBC=1X2X4A/5=4V5.2 2故答案为：三.综合题13.【解析】证明：.ABF为正三角形，AB=FB,Z l+Z2=6 0 .,/EAC和ABCD是正三角形，；.AE=AC,BC=BD,N3+N2=60,Z.Z 1=Z3.在BDF和A B CA中，BF=BA Zl=Z3BD=BCABDFABCA(SAS),FD=AC.又.,AE=AC,FD=AE,同理可证ACAB丝ZXCED,可得AB=ED=AF.四边形AEDF是平行四边形.14.【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，/.DC=AB,DCAB,二 Z0DF=Z0BE,在aO D F与A O B E中，Z O D F=Z O B E 4,用 n 含的代数式表示）1 1 .如 图（1）,四边形A B CD 中，A B ER Q）,A D B C,则图中共有 个平行四边形；4DA EiDA 如 图（2）,四边形A B CD 中，A B ER EZF2 CD,A D/7 B C,则图中共有 个平行四边形；如 图（3）,四边形A B CD 中，A B EEE2 F2 E3 F3 CD,A D/7 B C,则图中共有 个平行四边形;一般地，若四边形A B CD 中，Ei,E2,E3,纥 都 是 A D 上的点，R,F2,F3,鸟 都 是 B C上的点,且 A B EF1 E?F2 E3 F3 鸟巴/C D,A D B C,则图中共有 平行四边形.1 2 .如图所示，中多边形（边数为1 2）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展”而来的，,依此类推，则由正n 边 形“扩展”而来的多边形的边数为三、解答题1 3 .问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点0周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角.问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜 想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.验 证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：9 0 x+（8 -2*1 8 0 ge o,整理得：2 x+3 y=8,8我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为4 x=1y=2结 论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1 个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.猜 想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.验证2：；结论2：.上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案.问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案,并写出验证过程.猜想3：；验 证 3：；结论3：1 4.如图，在四边形A B C D 中，Z A=9 0 ,/A B C 与N A D C 互补.(1)求NC的度数；(2)若 BOCD且 A B=A D,请在图上画出一条线段，把四边形A B C D 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；(3)若 C D=6,B C=8,S 酸彩MO=4 9,求 A B 的值.1 5.(2 0 1 5 春苏州校级期末)如图，正方形A B C D 中，点 P是直线B C 上一点，连接P A,将线段P A 绕点 P 逆时针旋转9 0 得到线段P E,在直线B A 上取点F,使 B F=B P,且点F与点E在 B C 同侧，连接E F、C F.(1)如图，当点P在 C B 延长线上时，求证：四边形P C F E 是平行四边形.(2)如图，当点P在线段B C 上时，四边形P C F E 是否还是平行四边形，说明理由.1 6.(2 0 1 2 广州)如图，在平行四边形A B C D 中,A B=5,B C=1 0,F为 A D 的中点,C E J _ A B 于 E,设N A B C=a (6 0 Wa 9 0 ).(1)当 a =6 0 时，求 C E 的长；(2)当 6 0 a|,.在边四和力3上各存在一个点尸到物的距离为木 四=力，N为2=9 0 ,；/4加=45.又N 4 9 C 9 0 ,二/如 =4 5 .乎 但 乎 X$=l|,.在边比和切上不存在符合题意的点P.综上所述.5 .【答案】A.【解析】先 证 A A D F A A B C,可 得 D F=A C=A E.：D F A E 且 D F=A E,四边形A D F E 为平行四边形，即是正确的.6 .【答案】D .【解析】：N ACB=9O。，DE_LBC,Z ACD=Z CDE=9O,AC II DE,CEII AD,.四边形ACED是平行四边形，故正确；是BC的中点，DEJ_BC,EC=EB,.BCE是等腰三角形，故正确；：AC=2,NADC=30。，AD=4,CD=2。四边形ACED是平行四边形，CE=AD=4,CE=EB,EB=4,DB=2。C B=4,AB=VAC2+BC2=2,四边形ACEB的周长是10+2丁 故 正 确；四边形ACEB的面积：x 2 x 4 +2 x 4 x 2=8 jW 故错误,2 2二.填空题7.【答案】7.【解析】由题意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22,所以a=7.8.【答案】十五.【解析】正三边形和正十边形内角分别为60。、144。，正门边形的内角应为360。-60。-144。=156。,所以正n 边形为正十五边形.故答案为：十五.9.【答案】4+473.10.【答案】5；4；n-1.【解析】五边形有5 条对角线；六边形有9 条对角线，9-5=4；n 边形有(一 3)2条对角线，n+1边形有(/+1)(“-2)2条对角线,(+1)(一2)n(n-3)a n+a 产-=n 1.2 211.【答案】3;6:1。，1(+1)(+2).12.【答案】n (n+1).【解析】：正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3X 4,正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4X 5,正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5 X 6,正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6X 7,.正n 边 形“扩展”而来的多边形的边数为n (n+1).三.综合题13.【解析】用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3 个正六边形的内角.验 证 2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意，可得方程：60a+l 20b=360.整理得：a+2b=6,可以找到两组适合方程的正整数解为1 一 和 一b=2 匠1结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2 个正三角形和2 个正六边形的内角或者围绕着4 个正三角形和1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.猜 想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验 证 3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360,整理得：2m+3n+4c=12,m-可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 =2c=1结 论 3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1 个正三角形、2 个正方形和1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.(说明：本题答案不惟一，符合要求即可.)14.【解析】(1).N A BC 与 N A D C 互补,A Z A BC+Z A D C=18 0.,/Z A=90 ,/.Z C=360-90 -18 0=90 ；(2)过点A作 A E L B C,垂足为E.则线段A E把四边形A BCD 分成A A B E 和四边形A ECD 两部分，把A A B E 以A点为旋转中心，逆时针旋转90 ,则被分成的两部分重新拼成一个正方形.过点A作 A F BC交 C D 的延长线于F,BEC(2)V Z A BC+Z A D C=18 0,又N A D F+N A D C=18 0,A Z A BC=Z A D F.V A D=A B,N A EC=N A F D=90,.-.A A BE A A D F.A E二 A F.四边形A ECF 是正方形；(3)解 法 1：连接BD,V Z C=90,CD=6,BC=8,R t Z BCD 中，BD=j 82 4-62=10又 S 四 边 形 A BCD=49,SA A BD=4924-25.过点A作 A M _ L BD 垂足为M,.S a B产-X BD X A M=25.；.A M=5.2又./BA D=90,.,.A BM A D A M.BM A M设 BM=x,则 M D=10-x,.2 .解得 x=5.；.A B=5 夜.x 5解法2：连接BD,Z A=90.设 A B=x,A D=y,则 丁 x y=25,/.x y=5 0.2由，得：(x-y)2=0./.x=y.2X2=100.x=5 y/2.15 【解析】(1)证明：.四边形ABCD是正方形,AB=BC,Z ABC=Z PBA=9O在4 PBA和 FBC中，fAB=BC ZPBA=ZABC BP=BF PBA空 FBC(SAS),PA=FC,Z PAB=Z FCB.*/PA=PE,.PE=FC.Z PAB+Z APB=90,Z FCB+Z APB=90.,Z EPA=90,Z APB+Z EPA+Z FCP=180,即 N EPC+z PCF=180,EPII FC,四边形EPCF是平行四边形；(2)解：结论：四边形EPCF是平行四边形，理由是：四边形ABCD是正方形，/.AB=BC,Z ABC=Z CBF=90在A PBA和4 FBC中，rA B=BC,Z P BA=Z A BC，BP 二 BF.PBA”FBC(SAS),PA=FC,Z PAB=N FCB.,/PA=PE,PE=FC.Z FCB+Z BFC=90,Z EPB+Z APB=90,Z BPE=Z FCB,EPII FC,四边形EPCF是平行四边形.1 6.【解析】(1)V a=60,BC=10,CE an.o CE V3 sin a=-,Bp sin60 二-二-，BC 10 2解得 CE=5V3；(2)存在 k=3,使得NEFD=k/AEF.理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G,在平行四边形ABCD中，ABCD,NG=NDCF,ZG=ZDC F在aAFG 和CFD 中,ZAFG=ZDFC ,AF=FD：.AAFGADFC(AAS),ACF=GF,AG二 CD,VCEAB,EF二 GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，ZAEF=ZG,VAB=5,BC=10,点 F 是 AD 的中点,；.AG=5,AF=-AD=-BC=5,2 2.AG=AF,A ZAFG=ZG,在4EFG 中，ZEFC=ZAEF+ZG=2ZAEF,X V ZCFD=ZAFG(对顶角相等)，:.ZCFD=ZAEF,，ZEFD=ZEFC+ZCFD=2ZAEF+ZAEF=3ZAEF,因此，存在正整数k=3,使得NEFD=3NAEF；设 BE=x,VAG=CD=AB=5,:.EG=AE+AG=5-x+5=10-x,在 RtZBCE 中，CE2=BC2-BE2=100-X2,在 RSCEG 中,CG=EG2+CE=(10-X)2+100-X2=200-20X,VCF=GF(中已证)，.CF，=(-C G)2=-CG2=-(200-20 x)=50-5x,2 4 45 25.CE2-CF2=100-X2-50+5X=-X2+5X+50=-(X-)2+50+,2 4.当x=2,即点E 是 AB的中点时，CECF取最大值，2此时，EG=10-x=10-=,2 2CE=JlO O。=1 0 0-y =,5V15C E-o-J1 5所 以 tan NDCF-tan N G-.EG 15 32中考总复习：多边形与平行四边形一知识讲解(基础)责编：常春芳【考纲要求】【高清课堂：多边形与平行四边形考纲要求】1.多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系.B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形.(2)平行四边形A：会识别平行四边形.B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题.C：会运用平行四边形的知识解决有关问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形.多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.2 .多边形的对角线：从 n 边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，共 有 n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n一 2)个三角形.3 .多边形的角：n 边形的内角和是(n2)18 0 ,外角和是3 6 0 .【要点诠释】(1)多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边形.(2)多边形中最多有3个内角是锐角(如锐角三角形)，也可以没有锐角(如矩形).(3)解 决 n 边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研 究 n 边形的外角问题时，也往往转化为n 边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1.镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.2.平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其 和等于360,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离.性质：夹在两条平行线间的平行线段相等.【要点诠释】1.平行四边形的面积=底乂高；2.同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌C1.(2015葫芦岛)如图，在五边形 ABCDE 中，ZA+ZB+ZE=300,DP、CP 分别平分/EDC、ZBCD,则/P的度数是()27A.60 B.65 C.55 D.50【思路点拨】根据五边形的内角和等于540,由/A+/B+NE=300,可求NBCD+NCDE的度数，再根据角平分线的定义可得/P D C与NPCD的角度和，进一步求得N P的度数.【答案】A【解析】解：五边形的内角和等于540,ZA+ZB+ZE=300,/.ZBCD+ZCDE=540-300=240,/BCD、ZC D E的平分线在五边形内相交于点0,A ZPDC+ZPCD=1（ZBCD+ZCDE）=120，2,ZP=180-120=60.故选：A.【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键.注意整体思想的运用.举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为a,再 走12米，如此重复，小林共走了 108米回到点P,则a=.【答案】40.C2.（2011 十堰）现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（）A.正方形和正六边形 B.正三角形和正方形C.正三角形和正六边形 D.正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为9 0 和120。，要镶嵌则需要满足90 m+120 n=360,但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其 和 等 于360。，并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）A.2种B.3种C.4种D.5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用 3.(2 0 1 4 春章丘市校级月考)如图，已知在OA B CD 中，对角线A C、B D 相交于点0,A E 1 B 1),B M 1A C、D N A C,CF J _ B D 垂足分别是 E、M、N,F,求证：E N/7 M F.【思路点拨】连接M E,F N,由四边形A B CD 为平行四边形，得到对角线互相平分，利用A A S 得到三角形A 0 E 与三角形C0 F 全等，利用全等三角形对应边相等得到0 E=0 F,同理得到三角形B 0 M 与三角形D ON 全等，得到0 M=0 N,进而确定出四边形M E F N 为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证.【答案与解析】证明：连接M E,F N,.四边形A B CD 为平行四边形，.0 A=0 C,0 B=0 D,V A E 1 B D,CF 1 B D,在A A O E 和COF 中，fZAEO=ZCFO=90AAOD的中位线,.-.PE=-OD,2VPE=PF,；.AO=OD,且 AO_LOD,平行四边形ABCD是正方形,设 B C=x,n I n r,x/2 1 7 2 3 V2则 B F=-x+X-x=-x,2 2 2 4.,B F=B C+3 0-4=x+3 及 -4,x+3 V2 -4=3 x4解得x=4,即 B C=4.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形A B C D 是正方形是解题的关键.举一反三：【变式】如 图 1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （2,1）,且 P （-1,-2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，P A L x 轴，Q B，y 轴，垂足分别为A、B.（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线M 0 上运动时，是 否 可 以 使 与 O A P 面积相等？（3）如图2,点 Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以O P、0 Q 为邻边的平行四边形O P C Q,求平行四边形O P C Q 周长的最小值.1 2【答案】（1）正比例函数解析式为尸=上 丁，反比例函数解析式为y=上.2x（2）当点Q在直线M 0 上运动时，设点Q的坐标为0（小（桁），；加 =1，解得卅=2.所以点Q的坐标为2 （2,D和。式-2,-1）.（3）因为p（-l，-2），由勾股定理得OP=J 5，平行四边形O P C Q 周长=2（。?+00）.因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为,n由勾股定理可得0。2-/+十，通过图形分析可得：0Q有最小值2,即当Q为第一象限中的双曲线与直线y二X的交点时，线段0Q的长度最小.所以平行四边形OPCQ周长的最小值：2（8+0。）=2（书+2）-2 rj5+4-中考总复习：多边形与平行四边形一知识讲解(提高)责编：常春芳【考纲要求】【高清课堂：多边形与平行四边形考纲要求】1.多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系.B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形.(2)平行四边形A：会识别平行四边形.B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题.C：会运用平行四边形的知识解决有关问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1 .多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形.多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.2 .多边形的对角线：从 n 边形的一个顶点出发可以引出(n 3)条对角线，共有n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n一 2)个三角形.3 .多边形的角：n边形的内角和是(n 2)1 8 0 ,外角和是形的.【要点诠释】(1)多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边形.(2)多边形中最多有3个内角是锐角(如锐角三角形)，也可以没有锐角(如矩形).(3)解 决 n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研 究 n边形的外角问题时，也往往转化为n 边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1.镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.2.平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其 和等于360,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.【要点诠释】在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线：1.对于边，从位置(比如平行、垂直等)和大小(比如相等或倍半关系等)两方面探讨邻边或对边的关系特征；2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系(比如相等、互补等)或具体度数；3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.考点五：平行线间的距离1.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.【要点诠释】1.距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积=底X高(等底等高的平行四边形面积相等).【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌 1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张aABC纸片，点 D,E 分别是边AB、AC上，将AABC沿着DE重叠压平，A与 A 重合，若NA=70,则Nl+N2=.【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA E 的内角和，由折叠可知NAED=ZAED,ZADE=ZA;DE,ZA=ZAr,又/A=70,由此可以求出NAED+NA ED+ZADE+ZA7 D E,再利用邻补角的关系即可求出N1+N2.【答案与解析】：四边形ADA E 的内角和为(4-2)-180=360,而由折叠可知/AED=/A,ED,ZADE=ZAZ DE,ZA=ZA/,.NAED+NA ED+ZADE+ZA,DE=360-NA-NA=3600-2X70=220,.,.Zl+Z2=180 X2-(ZAED+ZA1 ED+/ADE+NA DE)=140.【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.举一反三：【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620,则原来多边形的边数是()A.10 B.11 C.12 D.以上都有可能【答案】D.2.(2015春祁江区校级期末)已知在四边形ABCD中，Z A=x,Z C=y,(0 x 180,0y 则Sz=【答案】.3