初中数学三角形模块5-6-相似三角形讲义(含答案解析).pdf

三角形 第六部分相似三角形题型练题型一比例的性质比例的基本性质；两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示为：若二=三，则有4=历.b d例1.若x:y =l:3,则生上 的值是_ _ _ _ _ _ _.x-y【分析】根据比例的性质，可用X表示夕，根据分式的性质，可得答案.【详解】解：由比例的性质，得y=3x.2x +y _ 2 x +3x _ 5x-y x-3 x 2故答案为：.2【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y=3x是解题关键.变式1a b c a+b +c工，已 知 厂3 贝一一【答 案】3【解 析】【分析】设以=2 =3=k,则a=2左，b=3k,c=4%,代入代数式化简求值即可.2 3 4【详解】解：设 =g=,则a=2k,b=3k,c=4 k,2 3 4.a+b +c 2k +3k +4 k -=-=3,b 3k故答案为：3.【点睛】本题主要考查了比例的性质，利用设左法进行计算是解决问题的关键.题 型 二 成比例线段一般地，四条线段外b、c、d中，如果a与6的比等于c与4的比，即且=,b d那么这四条线段叫做成比例线段，或者说这四条线段成比例.m o/.v-x-rm *-/.li r-ri（I LLJ I.tr.lf.xr-n ,、x -rm -/.L x r-c I rr.l例2.下列四组线段中，不是成比例线段的是（）4 a=3,b=6,c=2,d=48.q=1,b=y/2,，c=，d=2.5/3C.a=4,b=6,c=5,d=1OD“=2,b=y/-S，c=2/3，d=J l5【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案.【详解】解：A、3X 4=6 X 2,是成比例线段，故本选项不符合题意；B.1X2A/3=V2XV 6）是成比例线段，故本选项不符合题意；C、4X10W 6 X5,不是成比例线段，故本选项符合题意；。、2x 7 1 5 =7 5 x 27 3 1是成比例线段，故本选项不符合题意；故选：C.【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.同时注意单位要统一.变式22.已知线段28 =2 0,点C是 线 段 的 黄 金 分 割 点，则力C的长为【答 案】1 0石-1 0或3 0 -1 0指【解 析】【分 析】根据黄金分割的定义，分 为 A C B C、N C 8 C时，工。=避 二1/8，AB=20,2解 得Z C =1 0痒1 0；当/。8。时，AC=AB-BC,2 C =3 0-1 0 V 5,故答案为：1 0逐-1 0或3 0-1 0店.【点睛】本题考查了黄金分割，关键在于掌握好黄金分割的定义，分类计算.题型三相似图形相似图形定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形例3.下列各组中的图形，不是相似图形的是（）A.同一座城市的两张比例尺不同的地图；B.一个人现在的照片和他十年前的照片;C.两个正方形；D.国旗上的五角星.【分析】根据相似图形的概念可直接进行排除选项.【详解】A,同一座城市的两张比例尺不同的地图是相似的，故不符合题意；8、一个人现在的照片和他十年前的照片不相似，故符合题意；C、两个正方形是相似的，故不符合题意；。、国旗上的五角星是相似的，故不符合题意；故选民变式33.观察下列每组图形，相 似 图 形 是（）A.B.c.D.【答 案】C【解 析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案.【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；B、两图形形状不同，故不是相似图形；C、两图形形状相同，故是相似图形；D、两图形形状不同，故不是相似图形；故选：C.【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键.题型四相似多边形相似多边形定义：各边对应成比例，各角对应相等的多边形叫做相似多边形.性质；相似多边形的对应边成比例,对应角相等,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.例 4.如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）【分析】利用相似多边形的判定方法判断即可.【详解】解：/、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意：8、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义,不符合题意；。、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义,不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.变 式 44.如图，已知矩形48。的边长为8 cm,边 N 8长为6 c m,从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（）A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2 D.20cm2【答案】8【解析】【分析】根据题意，截取矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.【详解】解：依题意，在矩形/5 D C 中 截 取 矩 形 式 E,则矩形NBDCs矩形A E FB,A B A D则 一=，A E A B设4 E=x cm,得 到:,解 得:x 4.5,x 6经检验尸4.5是原方程的解则截取的矩形面积是：6x4.5=27（cm2）.故选：B.BC【点睛】本题考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.题型五平行线分线段成比例定理定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例.例5.如图，已知ABH C D I I E F ,那么下列结论正确的是（）AD B C B C DF CD BC C D ADA.-.B.-.C.-D,.-DF C E C E AD EF B E E F A F【分析】根据平行线分线段成比例确定出对应线段，进行判断即可.【详解】解：A B/C D/E F,.ADDFB C=,故选项4正确;C EA D A FB CC EA H，故选项8错误;B E A F,故选项C错误;B Ejn空，故选项。错误;故选：A.【点睛】本题主要考查平行线段成比例定理，确定出对应线段是解题的关键.变式55 如图，在Z8C 中，点。，E,b 分别在A C,8 c 边上，D E!I B C ,E F I I A B ,则下列式子 一 定 正 确 的 是（)aADF-c,AD DE r AD B F 八 AD F C .AD F CA -=-B -=-C -=-D -=-D B B C D B F C D B B F D B B C【答 案】8【解 析】【分 析】根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理，在 两 组 平 行 线 里 面，通 过=”，DB E CA p RF芸=骼,联系起来，得出结论E C r C【详解】V D E H B C.AD _ A E D B E C-：E F/A B.A E _ B F E C F C.AD A E _ B F D B E C FC.AD B F D B FC故答案为：B.【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证.题型六相似三角形的性质相似三角形的性质：1.相似三角形的对应边成比例；对应角相等；2 .相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比；3 .相似三角形周长的比等于相似比；4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.例 6.若且周长之比1：3,则与的面积比是（）A.1：3 8.1：VJC 1：9D3：1【分 析】根据相似三角形的性质，即可求解.【详解】A4BC S/DEF 且周长之比 1 ：3,NBC与D E F的相似比=1：3,ANBC 与。尸 的面积比=12：32=1：9,故选C.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键.变式66.已知A4BCADEF,AB：DE=3：5,ZBC的 面 积 为9,则的面积为_.【答案】25【解 析】【分 析】根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方计算即可.【详 解】解：DEE AB-.DE=3：5,.Z 8C的面积：的面积=9：25,./8 C的面积为9,1口的面积 25,故答案为：25.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形面积比等于相似比的平方.题型七相似三角形的判定方法一：平行线法判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.例7.如图，DE/BC,EF/AB,则图中相似三角形有 对.根据相似三角形的判定定理分析即可.【详解】D E/B C ,EF HAB,，可直接得出 AADE s AABC,CEF CAB,由 D E/B C ,EF HAB,可得：N C=AAED,Z C F E =ZB=Z.E D A ,:.X ADEs AEF C,共有3对相似三角形，故答案为：3【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.变式77.如图，3 0为M 力8 c斜 边Z C上的中线，G为的重心，连 结/G并延长交 B C 于点。，若 A B=6 cm,B C=8 c m,则 DG=c m.【答案】Ml.3【解 析】【分析】由三角形重心的概念可得：BD=4,再利用勾股定理求解N。，连 接 8,证 明AOGOS AZG民再利用相似三角形的性质可得：空=从而可得答案.AD 3【详解】解：G为的重心，B C =8 cm,B D CD 4 cm,/AB-6cm,：.AD=V62+42=2而如图，连接。，G为比ANBC的重心,.0D为4ABC的中位线DOHAB,DO=AB,2:ADGOSAGB,DG DO 1 前 一 下-5DG 1AD 3DG _ 1砺=5，：.=巫3故答案为：3叵3【点睛】本题考查的是三角形重心的概念，三角形中位线的性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.题 型 八 相似三角形的判定方法二：三边法判定定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似（简记为SSS）；例8.如图，在四个4 x 4的正方形网格中，三角形相似的是（）A.和8.和C和0.和【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形的三条边长，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可.【详解】解：如图，该三角形的三条边长分别是：庐干=血、2、V32+l2=710.如图，该三角形的三条边长分别是：麻不=也、依+E=也、3如图，该三角形的三条边长分别是：2、7 F+F =2V2 V22+42=2V5.如图，该三角形的三条边长分别是：3、Vl2+32=V10 5.只有图中的三角形的三条边与图中的三条边对应成比例，故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键.变式88.如图，在正方形网格中有3个斜三角形：“BC；/X CDB-ADEB；其中能与Z8C相似的是.（N8C除外）【答 案】3 DEB）【解 析】【分 析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答.【详 解】解：根据网格可知：A B=,心&2+a=曰 BC=S+爰=下,A4BC的三边之比是/B：AC：B C=：V 2 ：亚,同理可求：88的三边之比是CD BC：B D=l：y/5：2 7 2 ;ADEB 中 DE：BD：BE=2：2 岳 2 7 5=1：0：6二 （D E 5）与 Z 5C 相似，故答案为：ADEB.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键.题型九相似三角形的判定方法三：两边及其夹角法判定定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（简记为S/S）；例 9.已知：如图，在N 8C 中，AB=6,AC=8,D、E 分 别 在、AC ,BD=2,CE=5.求证：A A E D sA B C .根据题意可求出一=，且其夹角相等即可证明A A E D sA A B C.AB AC【详解】；Z 3=6,BD=2,：.AD=4,AC=8,CE=5,AE=3，A E-3 _ 4 _1 7B62 AC82.AE _ AD,布 一 就 NEAD=NBAC,A A E D s A A B C.【点睛】本题考查三角形相似的判定.掌握两边成比例且其夹角相等的两个三角形相似是解答本题的关键.变 式9AC,D、E分别为边AB、AC上的一点，AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点，添加一个条件使4FDB与4ADE相似，则添加的一个条件是.【答案】ZDFB=ZADE【解析】【分 析】根据题意及图易得 ADEsACB,进而由相似三角形的性质可得ZC=ZADE,ZB=ZAED,欲证4FDB与aADE相似则需添加角相等即可.【详解】解：AC=3AD,AB=3AE,NA=NA,:.AADESACB,：.ZC=Z A D E,Z B =N A E D ,又 Z D F B =Z A D E ,AFDBSDAE.故答案为Z D F B =ZADE.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.题 型 十 相似三角形的判定方法四：两角法判定定理4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相 似（简记为例 1().如图，己知。是三角形N 8C 中的边8 c 上的一点，/BAD=/C,乙48C 的平分线交边力。于E，交/。于那么下列结论中错误的是()A.三角形6 O E 相似于三角形A 4E B.三角形B F A相似于三角形C.三角形BDF相似于三角形B E C D.三角形A4 c 相似于三角形B D A【分析】如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，据此逐项分析即可解题.【详解】解：A.;/BAD=N CA B D A=ZC +N DAC=A B A D +ADAC=Z B A E,又:AE AABC：.N A B E =Z E B C.ABDF ABAE故/不符合题意；B.4 E 平分 N 4 B C:ABE=Z E B C又；N B4D=N C:ABFA&BEC故 8 不符合题意；C.三角形BDF 与三角形B E C ,仅有一个公共角N E 8 C,不能证明相似，故 C 错误,符合题意；D.；N B A D =N C,Z A B C =N A B C:.ABAC ABDA故。不符合题意，故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键变式10W.如图，在 矩 形N5CD中，点 E为 BC上 一 点,连 接D E,过点工作于点、F,求证：ADECs AADF.【答 案】见解析【解 析】【分析】根据两角对应相等两三角形相似即可得出结论.【详 解】证明：.四边形ABCD为矩形，.*.ZC=90,ADBC,.ZADF=ZDEC,VAFDE,A ZA FD=ZC=90,/.DECAADF.【点睛】本题考查矩形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型.题型 十 一 相似三角形的判定方法五：斜边直角边法直角三角形相似判定定理:斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似（简记为H L）.例11.如图，在矩形/8CZ）中，A B =6,ZO=1 2,点 在边4。上，ZE=8,点F在边。C上，则当EE时，4 8 E与AOEE相似.【分析】若 要B E与&DEF相 似，则需要对应直角边成比例，代入数值计算即可.【详 解】由题意，知 48E与AQEF都是直角三角形，所以当AB D EBE _1、AE BE 或 =时,EF DE EF 48E与AQEF相似,由 AB=6，AE=8,AD=12,得 BE=10,DE=4,6 10 8 10.一=或 一=，4 EF 4 EF-20/.EF =5 或 一.3故答案为：5或 二20.3【点 睛】B E与&DEF相 似 和AABE s /DEF是有区别的，前者没有明确两个三角形的对应关 系，后者已给出了对应关系，因此前者要分类讨论.变式11工，在 心 8 c 中，NC=90,Z8=10,8C=6.在 R/AEDR 中,N E=90,D F=3,E F =4,则和AED尸 相 似 吗？为 什 么？【答 案】BC f EDF .理 由 见 解 析.【解 析】【分 析】直 接 利 用 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出AC、D E的 长，再 利 用 相 似 三 角 形 的 判 定方 法 得 出 答 案.【详 解】解：相 似，理 由 如 下：在 中，NC=90,/8=10,BC=6,由 勾 股 定 理 得 ZC =8.在 RtAED/中，ZF =9Q,D F=3,E F =4,由 勾 股 定 理 得 =5.右 8 C _ 6_ J C _ 8 _：8 _ 1 0 _C 白 =-=2,=-=2,=2,DF 3 EF 4 ED 5.BC AC _ A B D F E F E D AABC AEDF.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定，正 确 掌 握 相 似 三 角 形 的 判 定 方 法 是 解题关键.题型十二相似三角形的应用一：利用影子测量物体的高度测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度时，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边成比例和“一时刻物高与影长成比例”的原理解决.例12.如图，为测量楼高4 6,在适当位置竖立一根高2m的标杆M N,并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长ZC=20m,MP=2.5 m,则 楼 高 为（）P MC A4 15m 8.16m C.18m D 20m【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解.【详解】.AB _M N ACP M.A B-2,元 一石：.AB=16（米）.故选：B.【点睛】考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.变式12工2.如图，小 华 在 晚 上 由 路 灯/走 向 路 灯8.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯力的底部；当他向前再步行12m到 达 点。时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯8的 底 部.已 知 小 华 的 身 高 是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,JL AP=QB.(1)求两个路灯之间的距离.(2)当小华走到路灯8的底部时，他在路灯Z下的影长是多少？【答案】(1)18米；(2)3.6米【解析】【分析】(1)如 图1,先证明/PA/SA 43O,利 用 相 似 比 可 得 即 得6B Q=-A B,则解得/5=18(?)；6 6 6(2)如图2,他在路灯/下的影子为5 N,证明利用相似三角形的性质得式”；=装，然后利用比例性质求出8N即可.【详解】解：(1)如 图1,.PM/BD,AAPMSABD,AP PM nn AP 1.6-=-，即-=-，AB BD AB 9.6：.AP=-AB,6：QB=AP,：.BQ=AB,而 AP+PQ+BQ=AB,1 1：.-AB+2+-AB=AB,6 6：.AB=S.答：两路灯的距离为18加；(2)如图2,他在路灯/下的影子为:BM/AC,：.NBMs/NAC,.BN _ BM 7N4C即4,BN+18 9.6解得 5N=3.6.答：当他走到路灯8 时，他在路灯工下的影长是3.6加.图2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形,能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法.题型十三相似三角形的应用二：利用相似测量河流、池塘等物体的宽度测量原理：根据公共角相等或对顶角相等得到相似三角形.测量步骤：(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；(2)测量同表示未知量线段相对应的边长，以及另外一组对应边的长度；(3)画示意图，利用相似三角形的性质列比例式；(4)计算、检验并给出答案.例 1 3.如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P 点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点/和点以 使得B，A,尸在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C,点。，使 NC_L8P,BDY BP,由观测可以确定Z C 与 Q P 的交点C.他们测得 Z8=20m,4C=40m,SO=5 0 m,从而确定河宽以为 m.【分析】证出尸8。和口C 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可求得必1.【详 解】解：JACLBP,BDLBP,J.AC/BD,:.XPBDsAPAC,.BD _ PB7C PA：AB=20m,AC=40m,BD=50m,PA+20PA解 得：以=80.故答案为：80.【点 睛】本题考查三角形相似的判定与性质，掌握三角形相似的判定与性质是解题关键.变式131 3.如 图，为 了 估 计 河 的 宽 度，在 河 的 对 岸 选 定 一 个 目 标 点P,在 近 岸 取 点。和S,使 点 尸、。、S在 一 条 直 线 上，且 直 线P S与 河 垂 直，在 过 点S且 与 直 线P S垂直的直 线。上 选 择 适 当 的 点T,P T与 过 点。且 与P S垂 直 的 直 线b的 交 点 为R.如果0S=60m,ST=120m,QR=80m,求尸。的长.【答 案】120m【解 析】【分 析】由 题 意 易 得QRS T,则 有P Q R s4 P S T,进 而 可 得 坐=竺，设PQ=xm,然后问题可求解.【详 解】解：由题意可知Q R/S T,A P Q R -/XPS T,PQ=QR PS S T 设 P。=x m ,QS =6 0 m ,S T =1 2 0 m,QR=8 0 m ,PS=(x +6 0)m,-=-,解得 x =1 2 0 ,x +6 0 1 2 0经 检 验x=1 2 0是方程的解的长为1 2 0 m.【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.题型十四相似三角形的应用三：利用标杆或直尺测量物体高度有关概念：(1)视点：观察物体时人的眼球称为视点；(2)仰角：向上看时，视线与水平线所成的角叫做仰角；(3)朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.测量方法：观测者的眼睛必须与标杆顶端和物体顶端“三点共线”，标杆要与地面垂直.例1 4.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆8 E测量建筑物的高度，已知标杆8 E高为1.5 m,测得/8=3 m,B C=7 m,则建筑物C O的 高 是()A.3.5 m 8.4 m C.4.5 m .5 m【分析】由题意得：E B L AC,DC 1 AC,再证明ZBES AZC。,再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】解：由题意得：E B 1 AC,DC 1 A C,：.B E/C D,:.AABES“CD,A B B E一就一而A B=3m,B C=7 m,B E =.5 m ,.3 _ L53+1 C D:.3C D=5,CD-5.经检验：CD=5符合题意，所以建筑物8 的高是5加.故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，掌握利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键.变式141 4.某同学利用标杆测旗杆的高度如图所示：标 杆 高 度C0=2.6m,标杆与旗杆的水平 距 离B D=5 m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与 标 杆CD的水平距离F=2m,E,C,4三点共线，则 旗 杆Z 3的高度为 m.【答 案】10.1【解析】分析过点E作EH1 AB于点，交 CD于点G,可得 ECG EAH,根据相似三角形的对应边成比例，求 出 的 长，进 而 求 出 的 长.详解解：如图，过点E作EH上AB于点H,交CD于点G.由题意可得，四边形EEDG、OG/78都是矩形，A B H C D H E F .：.AECGS AEAH,.E G C G由题意可得：E G=FD=2m,GH=D B=5 m,E H=E G+GH=17 m,C G=C D-GD=C D E F=2.6 ,6=l m.E G C G 1 _ 1Z”=8.5m,/.A B=A H +H B=8.5+1.6=10.1m.故答案为：10.1m.【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定定理得出AECGSEAH 是解题关键.题型十五相似三角形的应用四：利用镜子的反射测量物体高度设计原理：利用光线的入射角等于反射角，构造相似三角形.例 15.如图，小明为了测量树的高度C。，他在与树根同一水平面上的8 处放置一块平面镜,然后他站在工处刚好能从镜中看到树顶。，已知力、B、C 三点在同一直线上，H A B=2 m,8 c=8 m.他的眼睛离地面的高度1.6m,则树的高度。为_ m.D【分 析】PA AB利用AEABs X DCB，可 得-=-，可 求DC 6.4即可DC BC【详 解】解：由题意可得：N E B A =N D B C,N EAB=/DCB,椒 M EABs A D C B,EA AB贝|J=,DC BC A B=l m,8c=8m,A E=.fm,1.6 2 一 ，DC 8故答案为：6.4解 得：DC=6.4m,【点 睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握性质三角形的判定与性质是解题关键.变式151 5.如图，为了测量某古城墙的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律，把一面镜子放在离古城墙(CD)16m的点P处，然后观测者沿着直线DP后退到点8处.这时恰好在镜子里看到城墙顶端C,并量得B P=3m.已知观测者目高/8=L 5 m,那么该古城墙(C D)的高度是 m.c,毒【答案】8【解 析】【分 析】先证明继而得到绘=盥，代入求解即可二DP BP【详解】解：由题意知NCP）=N4P8,NCDP=NABP=90。,:.CPDsXAPB,CD ABDPBP.CD 1.5 -=-,16 3：.CD=8.故答案为：8.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是找出相似的三角形.题型十六位似图形定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或在一条直线上），像这样的两个图形叫做位似图形.位似图形对应边的比叫做位似比，位似是特殊的相似.性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意组对应边都互相平行（或在一条直线上），对应点连线的交点是位似中心.位似图形对应角都相等.位似图形对应线段的比，高、周长的比等于相似比.面积的比等于相似比的平方.例16.下列相似图形不是位似图形的是ABBCEA E【分析】根据位似变换的概念判断即可.【详解】解：。中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，A.B、C 中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，故选：D.【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.变式161 6.如图，四边形/8 C。与 四 边 形 EEG”位似，位 似 中 心 是 O,若。4：OE=1：3,且四边形Z8C Q 的周长为4,则 四 边 形 EFG”的周长为（）A.12 B.16 C.20 D.24【答案】A【解 析】【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为1：3,即可得解.【详 解】解：由题知：。4：0 =1：3,a rA DCB _-j x 4-1?-J HGFE-1 Z,9故 选 4.【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关键.题型十七位似图形的坐标变化位似变换中对应点的坐标的变化规律：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k ,那么与原图形上的点(x ,y)对应的位似图形上的点的坐标为(f c r,)或(一k x,一 k y)例 1 7.在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为0(0,0)，4-2,-1),3(-1,-3),Q44与AOAB是关于点p为位似中心的位似图形.(1)在图中标出位似中心尸的位置，并写出点P及点8的对应点用的坐标；(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出AO/8的一个位似。4鸟，使它与 OA B的位似比为2 ：1,并写出点8的对应点B2的坐标.(1)画图见解析，P(-5,-l),5,(3,-5)(2)画图见解析，B式-2,-6)【分析】(1)连接QO并延长与4/的延长线相交，交点即为位似中心P,再根据平面直角坐标系写出点P和4 的坐标;(2)延长。/到4,使4 4 2=/，延长0 8到使 B B =O B,连 接 外 与，再根据平面直角坐标系写出点鸟的坐标；【详解】解：位似中心尸如图所示，。(一5,-1)出(3,-5)；(2)。4为 如图所示，斗(一2,-6)；VA【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键.变式171 7.如 图，在 边 长 为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系并给出了格点A/B C(顶点为网格线的交点).(1)画出A/B C 关于y轴对称的 4 8 C；(2)以点。为位似中心，将 作 位 似 变 换 得 到 4 J C 2,使得4为=2/8,画出位似变换后的4 8 2 C 2；(3)4G和与。2之 间 的 位 置 关 系 为.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4G/&G或平行.【解析】【分析】(1)依据轴对称的性质，即可得到AZB C 关于y轴 对 称 的4G；(2)把点/、B、C的横纵坐标都乘以2得到对应点4、&、C 2的坐标，然后描点即 可 得 到 冬G；(3)通过连接43,先证乙 型 4=NB 2A l M,再通过N C/2 A=4 5O,Z C,J,M =4 5 ,即可求得 Z C2524 =N B 2 4 a,则/8 2 c 2.【详解】(1)与G即为所求；(2)4 8 4 2即为所求；(3)如图，连接4鸟,；B2AHAM：.乙4%4=/B/M：ZC2B2A=45/C A1M=45Z.ZAB2A+ZC2B2A=NB2AM+ZCAM 即 ZC2S2J,=NB24cl4C,/B2C2故答案为4 G 82G.【点睛】本题考查了作图-位似变换和平行线得判定，作图-位似变换方法：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.也考查了旋转变换.实战练i s.若f =1，则?的值是.b 3 b【答案】|4【解析】【分析】根据；=二设。=7人1=3左，再代入计算即可.b 3【详解】b 3.设a=7k,b=3k.a-b 7/c-3 k _ 4 b 3_ 4故答案为 .【点睛】本题考查分式求值，根据比例设参数是解题的关键.1 个 如图，四边形 ABCD s四边形 EFGH,ZA=80,ZC=90,Z F=7 0 ,则【答案】8【解析】【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.【详解】解：.四边形ABCD s四边形EFGH,ZA=80,.,.Z E=Z A=80,故选：B【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等,难度不大.2.0.如图，ZG：G 0=3：1,BD：DC=2：3,则 NE：4 c 的 值 是（）【答案】PC.3：2D.6：5【解析】【分析】过点。作。R/C 4 交BE于尸，如图，利用平行线分线段成比例定理，由D E/C E 得 到 整=整=：,则=由D R/4 E 得 到 爷=隼=爷 斗CE BC 5 2 AE AG AE 3则ZE=3D尸，然后计算蓝的值.【详解】解：过点D作D F/C 4交BE于F,如图，-,-DF/CE,.DF _ BD CEBC而 BD:DC=2:3,.则 CE=20b,CE 5 2：DF IIA E,.DF DG一 万 一 行-AG:GD=3:1,DF 1-=,贝!AE=3DF,AE 3AE 3DF 6=TDF=?-2AEt EC=6:5故选：D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.2.1.如图，已知/i/2/3，48=3,DE=4,BC=8,则。b =()【答案】P44【解析】【分析】根据平行分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.【详解】解：/1/2/3,AB DEBCE FB P-=.8 EF32解得：EF=,32 44:.DF=DE+EF4+=3 3故选：D.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.22.一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm,40cm.现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（）A.60cm B.75cm C.100cm D.120cm【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为比加，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案.【详解】.直角三角形两条直角边分别是30cm,40cm,斜边=J3()2+4()2=50).要做一个与其相似的三角形木架，两个三角形对应边成比例，.,直角三角形中斜边最大，.以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为我加，则有2种情况，0 =,解得：x-100 60 x 40 50”0 ru -,解得：x=75,60 x.另两边中长度最大的一边最多可达到100cm,故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键.2 3.如图，下列条件能判定的是()A.NABD=NCBDC.AB2=AD-ACAD _ DBAB _ DABCDC【答案】C【解析】【分析】根据三角形相似的判定定理，逐一验证判断即可.【详解】:AADBS AABC,：.ZABD=NACB,工选项Z不符合题意；ABAD=NCAB,口 AD AB且-二-，AB ACAADBS B C ,工选项8,。不符合题意，选项C 符合题意;故选C.【点睛】本题考查了有公共角的两个三角形相似的条件，是条件开放型考题，熟练运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键.2 4.如图，平行四边形ABCD中，E 为 CD延长线上一点，连接BE交 AD于 F,则图中与4D E F相 似（不包括本身）的三角形共有（）【答案】8【解析】【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可.【详解】解：ABCD是平行四边形；.ADBC,ABDC,AAEFDAEBC,AABFADEF,.共2 对.故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型.2 5 如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树O E的高度，先在操场上点/处放一面平面镜，从点A 处后退1m到点B 处，恰好在平面镜中看到树的顶部E 点的像；再将平面镜向后移动4m（即NC=4m）放在。处，从点。处向后退1.5m到点。处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m,已知点O,A,B,C,。在同一水平线上，且 GDLOD,FBLOD,EOVOD.求大树0 E的高度.（平面镜的大小忽略不计）【答案】12m【解析】【分析】根据题意得到CDCS A E OC和BAFSO A E,利用相似三角形的对应边的比相等