江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期1月期末数学试卷及答案.pdf

江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题一、单选题1 .已知全集。=x|-2 x 3 ,集合A =M-l x 41 ,则()A.(-1,1 B.(-2,-1 /3-2 0 0)m D.2 0 0 m6 .已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为小4()，若两圆的一条公切线的方程为y=#(x+3),则晟=()4A.-B.2 C.5D.3347.设G为 dBC 的重心，则 宓+2 丽+3 交=()A.0 B.A C C.BCD.ABi 1 1 38.设。=e 9,b =x，c =2 1 n 7,则()1 0 9 2A.a b c B.acbC.c b a D.b a c二、多选题1-.2-9.在正方体ABC O-AAGR 中,A E =M，CF =CG，则()A.EF BD B.E C 平面 A 8 尸C.EF2平面BC R D.直线E E 与直线BR异面1 0.已知抛物线C：y2 =x 的 焦 点 为 凡 点 M,N均在C 上，若ARWN是以F为直角顶点的等腰三角形，则阿*|=()A.叵1 B.V 2-1 C.叵 U D.7 2 +12 21 1.已知等差数列 为 中，当且仅当”=7 时，S”仅得最大值.记 数 列 的 前 上 项 和 为小()A.若&=圣，则当且仅当左=1 3 时，T”取得最大值B.若 S 6 ,求证:直线QE过定点.22.已知函数x)=x+i,g(x)=x+l+logx.若g(e)=e,求 函 数 的 极 小 值；若函数y=x)-g(x)存在唯一的零点，求。的取值范围.试卷第4页，共4页参考答案:1.B根据集合补集的运算性质，求出即可.解：解:由题知A=+U=1x|-2 x 0),1设 斗-1,(8 0),则”,即 可 得“力，根据lnwi-U，可得C。,取 e；x+l,在x 0时成立，所以e 9U,91 1即-!-e 9 1 0 9艮|1 4 人，记 g(x)=x-l -l n x,%0,1 V _1所以 gx)=l；=彳，所以在(o,l)上,g (x)0,g(x)单调递增，所以g(x)N g =0,所以 l n x l-,x答案第3页，共1 9页3 2 1即I n士2 1一 二 =上,2 3 33 2 1c =2 1 n-Z?=-,2 3 9即有c力,因为”2，一 1-1 2所以。=-e9 一 一 ，1 0 5 3综上：ba(0,0,0)A(3,0,0),8(3,3,0),C(0,3,0),E(3,0)，A(0,0,3),A (3,0,3),4(3,3,3)C(0,3,3),F(O,3,2),答案第4页，共1 9页所 以 乔=(-3,3,1),丽=(3,3,0),因 为 而.而 =-9+9=0,所以 尸_ 1 _ 3 ),故选项A 正确;设平面A3 尸的法向量为1=（内,y,z j,则X-A S=0n,AF=0因 为 通=（0,3,0）,通=（-3,3,2）,所以3 y1=0一 3 百 +3 y+2 Z =0取用=2,可得，=（2,0,3）,因 为 国=（-3,3,2）,EC】-ny=-6+6=0,所 以 明 J.1,因为EG。平面A8 尸,所以E Q 平面4 5尸，故选项B 正确；因 为 砺=（_ 3,3,1）,莺=（3,0,3）,所 以 炉 国=-9+3 =6/0,故E F与C 4 不垂直，即E 尸不垂直于平面B C R,故选项C 错误；因 为 麻=（0,3,-1）,丽=（0,3,-1）,所 以 耶，丽 共 线，即R尸 E B,答案第5 页，共 1 9页所以。，凡E,8四点共面，故直线E F 与 直 线 共 面.故选项D错误.故选:AB1 0.BD由题意可知M N_ LX 轴，利用抛物线的定义及向量的运算即可得到|M N|.解：因为A用WN 是以尸为直角顶点的等腰三角形，所以仞V_ LX 轴，又因为抛物线方程为y=x,所以P=L，4设 (%,%)，有抛物线的定义可知=F?=x2+-=x2+-i,F M =F N,则菁=W，则；.x 1 +1,F M=1 土 克，=士*=0 1,4 2 2 I 2 J故选：BD.1 1.BD由等差数列 为 前 项和S.有最大值，得数列 可 为递减数列，分析5“的正负号，可得岂的最大值的取到情况.解：由等差数列 4 前 项 和 S”有最大值，所以数列 4 为递减数列，对于 A,6 =$8 且 =7 时 S 取最大值，设 S“=z(/?-7)2-4 9a=an2-l4 an(a 0；=1 4 时，。=0；2 1 5时，。0,及 2 8 时，0.560,九=1 4,广)=1 4 +叽0,答案第6 页，共 19页5I3=13%o,SQ=.(a；%)=15%S8,则 S3-1=%+%0,S”=1 5；%)=15als 0,前 13项和最大，C 项错误；对于D,3 w e N 鼠=0,得 =?(；0,28 时，0,1 4()=叫“#%)=0,所以&=13或 14时 前&项 和 取 最 大 值,D 项正确；2 2 I n 故选：BD.12.BC由题意可知区域IV 表示的事件为不豆，然后逐个分析判断即可.解：由题意可知区域IV 表示的事件为工,对于C,尸日P（再=当 涕 P=P。孙c对.对于 B,P（A+B）=P（A B）,B 对.对于 A,P（AB）P（A-B）,A 错.对于D,无法判断A,B 是否独立，D 错,故选：BC.1 3.克#，五4 4先利用诱导公式求出sinx=g,再由同角三角函数的关系求出c o s x,从而可求出tanx.由 sin(兀-x)=g解:得 sinx=；因为工 f 0-所以cos x=V l-sin2 x=所以 tanx=；=立.cosx 2。2 4答案第7 页，共 19页故答案为：变.41 4.-#0.45根 据 心 是 等 腰三角形及椭圆定义，求出该三角形的各个边长，再根据余弦定理建立关于瓦c等式，求出离心率即可.解：解 油 题 知 P 乃是以耳为顶点的等腰三角形，所以尸片=片乙=2。，因为点P在椭圆C上，根据椭圆的定义可知：故尸g=2a-2c,3因为 c o s N P g =故在尸耳用中，由余弦定理可得:cosZFlPF2=P F +P F -FXF _ 32 P F,PF2-4n n4c2+（2a-2c）2-4c2 3即-;-;=一，2-2c-（2a-2c）4解 得:2a=5c,即 e =2.5故答案为：（215.2 或-6设切点（毛,片-3与），根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得-2%；+6片-6有且只有两个解，然后构造函数，利用导数研究函数的性质即得.解：设切点（%,父-3%），则了=3/-3,切线斜率为*=3片-3,所以切线 y-（片-3%）=（3 片-3）（x-%）,答案第8页，共19页设 4(2/),贝打一(只一3%)=(3%一 3)(2-x。)，*.t=-2xg+6x：-6 f令 8(同=-2/+6/-6,则方程f=g(x)有且只有两个解,所以g(x)=Y d+lZ x,由g(x)=O,可得x=0或 2,当x 变化时，g(x),g(x)的变化如下，X(f o)0(0.2)2(2,+00)g(x)负0正0负g(x)减函数极小值-6增函数极大值2减函数所以函数的极小值为/(0)=-6,极大值为/(2)=2,.一=2或r=-6,方程f=g(x)有且只有两个解，即4 的纵坐标为2 或-6.故答案为；2 或-6.16.旧疫 叵 兀3由球的表面积确定球的半径，解三角形求球心0 到 A 8的距离，再根据球的截面的性质列方程求出圆台的上下底面半径和圆台的高，利用体积公式求体积；解：设球。的半径为，则4兀产=100兀，二，=5,即。4=08=5,AB=4 曲,，0到A B的距离d=卜 2 _ Q 肩=75.取 A 8中点M 贝什加=6，:.PA=#,P3=36，如图所示.答案第9 页，共 19页又点A,B的轨迹分别为圆台0。2的上、下底面的圆周,所以p q _ L圆。I，P O?，圆。2,又。圆。一。2,圆。2,所以,已0,。2四点共线,令 O1A=1，02B=r2,O1P=m,O2P=n,242+加2=5V T om=-2 V1 +(加+V i U J=2 5，V i o/；=,23 M1 +/=25r2=2片 +(+V i U)2=4 5，V i on=-匹姬+而+=2痴，2 2y 兀.*+轲+包.2西=啦九31 2 2 2 J 3故答案为：逐，竺叵兀.33/z-16,l n7(2)12（1）根据已知条件及等差数列的通项公式，结合等比数列的通项公式即可求解;（2）根 据（1）的结论及等差和等比数列的前葭项和公式即可求解.解：（1）当时，设 q公差为d,.d=3,4a=-10+3（-2）=3-16,而%=-1,%=2,答案第10页，共19页.心5时，设 叫 公 比 为Q,q=2,此 时%=-卜（一2厂5=-（一2）7,3n-16,l n 7(2)显然 7 ,s“=(-13+2)-6+-421-(-2)一33一 渭 2）i0=为偶数,(2)“，6 6=n 12,的最小值为12.竿(2)8（1）连 接 由 余 弦 定 理 求 解8。的长，再根据正弦定理求圆。的半径；（2）由余弦定理求解c o s N A O B,再根据平方公式得s i n Z A Q B,由已知结合正弦两角差公式可得41 1 4 =或11（/4。3+6 0。）的值，再由正弦定理可得AC的长.解：（1）解：如图，在圆。中，连接80,在 钳）中，由余弦定理得:4 9,BD2=AB2+AD2-2ABADcos20=9+25-2x3x5x所以B =7,BD 7 14 c设圆。半径为凡由正弦定理得：.而 丽-逅-丁，所 以 半 径/?=包;2 3（2）解：由余弦定理得c o s/A Q B=AQ;上二4斤2ADBD25+4 9-9 _ 132x 5x 7-14答案第II页，共19页由于 N A)8e(0,7r),所以 s in N 4 D 8=J l-c o s?N 4 O 8 =浮因为 A C 平分/B A D,所以 N B D C =N B A C =-N B A D=60 ,2所以Q/T 1 3 W 4-/3s in Z A D C=s in (/A D B+60)=s in Z A D B c o s 60 +c o s /A D B s in 60 =-x +x =-17 14 2 14 2 7由正弦定理得一些 =2R =M=4 C =Mx生 叵=8.s in/A D C 3 3 719.(1)证明见解析;(1)由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；(2)过 小 作。于点M,过M作于点N,连接OW,分析得即为二面角-C的平面角，由三棱锥。-A B C体积求得DM,即可进一步由几何关系求得 c o s N O M W.解：(1)证明：在菱形ABCD中，Z A B C =60,“S C和AACD均为等边三角形，又；为 A C 的中点，B E 1 A C,DE AC,B E c D E =E,B E、O E u 平面 B D E,二A C J平面 S U E,又：A C u平面A B C,：.平面B D E _ L平面ABC.(2)过 D 0 作 于点 M,；平面 B D EI 平面 A 8 C=8 E,DM u 平面DM _ L平面 ABC.匕=昂，2、同 W=DM =半.过 作M N1 A5于点N,连接D W,：/Wu 平面 A B C,二 Z 7M_ L A B,：DM cM N=M,Q M、M N u 平面 RM N,二 .二平&DMN,DNu 平面Q M N ,：.ABLiyN.N D N M即为二面角O -A B-C的平面角,答案第12页，共19页D9毡 而 3。=且,3 320.(1)1142)27(1)根据题意分析丙成为优胜者的情况，根据独立事件的概率公式计算即可；(2)分析三人比赛时，第一场上场的情况，再根据各种情况分析打完2 局结束比赛的事件，根据独立事件的概率公式计算结果.解：(1)解:由题知，根据约定，丙成为优胜者的情形为:甲赢，丙赢，丙赢，或乙赢，丙赢，丙赢，两种情况，1?1当甲赢，丙赢，丙赢时，概率=3 X 7 X 51-9一一1 2 2当乙赢，丙最，丙赢时,概率鸟=-X X=,1 2 1故丙成为优胜者的概率=+=；(2)若甲乙先比赛，C2则甲乙能先比赛的概率为六,此时2 局结束比赛的情形分为:答案第13页，共 19页甲赢，甲赢;乙赢，乙赢,故 耳 备1 1 2 1X 4-X 3 3 3 2427若甲丙先比赛,则甲丙能先比赛的概率为目,此 时 2 局结束比赛情形分为:甲赢，甲赢；丙赢，丙赢，故1 1 2 1X+X 3 3 3 2427若乙丙先比赛,则乙丙能先比赛的概率为盘,此 时 2 局结束比赛的情形分为:乙赢，乙赢;丙赢，丙赢,故 6=31 2 1 2x|X-2 3 2 329故 恰 好 打 完 2 局 结 束 比 赛 的 概 率 尸4=摄+4/+/2 =就1421.(1)-y2=l3证明见解析(1)根据渐近线方程设出双曲线方程，将(3,应)代入，求出方程即可；(2)分 析 M N斜率情况，设 出 直 线M N方程,与圆联立可得知,N两点坐标之间的关系，化简3M 原凶可得为定值，即心。3 也为该定值，设 出 DE 的直线方程，与双曲线联立,即可得2 E两点坐标之间关系，根 据kA n-kA E为定值，建立等式，进行化简，解 得D E的直线方程中参数之间答 案 第 1 4 页，共 1 9 页的关系，即可得直线OE所过定点.解：（1）解:由题知C 的渐近线方程为丫=土日x,故设双曲线C 的方程为：-y 2=M a*0）,因为C 过（3,&）,所以3-2 =2,解得2 =1,故C 的方程为二-2=；3因为直线M N过点P,所以M N斜率不为零，故设直线M N方程为=仆-2 6,M（x，y）,N（w，%），联立x=ty-23x2+y2=3可得(1 +1)丁一 4/y+9=0,故 A =481-3 6(记+1)0,解得记 3,由韦达定理得）1+%=嵩4x/3 r,*%=行9答案第1 5页，共 1 9页因为 A(G,O),所以 八M A Ny%X)-/3 x2 _ 212i_-3 础”2-3 皿内 心-3后 （乂+必）+2 79_ _ _ _ _ _ _ _ _ _fi i u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _t2-_ _ _34 .4 i+2 71 z,2+l 7 r,2+l13 1设直线D E方程为x=阳+f,。（巧，%）,（%，y j，A(G,Ox=my+t联 立f ,-y =11 3 ，可得（病一3）V +2皿y+/一3 =0,所以 =4 氏2 一4（帆2 一3）9 2 一3）0,解得“+产 3,由韦达定理得：%+%=二 空m-3 m-3因为心”=:,所以小=曲.4=；,化简可得3 y 3”=(冲3 +一 句(34+f-，即(/_ 3)%+,-6)(+%)+,-6)=0,即(“3)舄急+-G)2=o,因为直线OE不过A（6,0）,答案第1 6页，共1 9页所以/看百,化简可得-3)卜 +6)-2 r+(/-3)(r-G)=0,即 m2t+6 -3 f-2m2t +m2t -8川-3 f+36=0,解得f=0,所以直线OE为：x=，取，故直线OE恒过定点(0,0).【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用中的定点问题，关于定点的问题思路有：(1)先根据题意考虑特殊情况，斜率不存在，或斜率为零；(2)设普通的直线方程,联立方程组；(3)判别式大于零，韦达定理；(4)根据题意建立关于再+%,*%的等式，进行化简.2 2.(1)2(1)由g(e)=e 可求出a=L则/(x)=x+ei,然后对函数求导，由导数的正负可求出函e数的单调区间，从而可求出函数的极小值；(2)令/(x)=a T-l og“x-l (x 0),则尸=令/x=M T|na-；,利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分 L 0 nI n aI n a0 a ，讨论函数的零点即可.解：(1)由 g(e)=e n e +l +l og e =e =a=-所以 x)=x+e-，f(x)=-e-x,令/(x)=nx=l,当xl 时，/(耳 l 时，/x)0,所以在(-8,1)上递减，在(1,y)上递增,所以 x)的极小值为 1)=2；答案第1 7页，共 1 9页(2)/(x)-g (x)=ax-l ogr t x-1,令*x)=优T-l og.x-l (x 0),产(%)存在唯一的零点，P(x)=a I n a 一 一。一=-f xax I n J ,xna x na)令姒%)=工优7 I ncL j ,(pr(x)=axl(l+xl na)l nQ,令0 (x)=0 =x=-,na当O v x v-J-时，(x)-时，9(x)，所以e(x)在(o,-a)上递减，在-*,+8)上递增,令-=tna所以(，-1)l)Kl nf=l nf-l +1 2 0所以，之1,所以-;之1,I na即：W a l时，奴可向“口 尸 “，所以尸(x)在(0,+8)上递增,注意到-1)=0,所以尸(x)存在唯一的零点，符合题意当0 0,(p(x).0,e na n(p(3)=3 a2 na-()In a3 a2(In a)2-1In a令Z =32(l n a)2 一1,0 a -,e则 ta)=3 2a(n a)2+a2 2n a=6a I n a(l n c i +1),c i因为0 a 0,所以/()=3a2(I n 4 一 1在(o*)上单调递增,所以(l n-)2-l =4-l 0答案第1 8页，共1 9页所以e(x)即F(x)在和1*,+8)上各有一个零点七，巧，尸(x)在(0,%)上递 增,(七,)上递 减,(租0)上递增,而 F(l)=l n“_ 0,所以不 1%,naF(x)=at-l-l o g(,x-l,当0 x a 3 时，F(x)a l o g1 L时，F(x)0-l o g-l =0,a a而尸(%)歹(1)=0,尸(w)尸(1)=0,所以尸(x)在(o,玉),所,马)和(松田)上各有一个零点,共3 个零点了，舍去.综上，。的取值范围为3 1 1【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数零点问题，第(2)问解题的关键是对尸(竹=优7-1 08“-1 求导后，构造函数(p(x)=xax-I n a-1-,利用导数求出其最小值后再讨论可求得结果，考查数学转化思想和xa计算能力，属于较难题.答案第1 9页，共 1 9页