湖南省名校联考2022-2023学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）.pdf

2022年秋季高一 12月联考数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1,已知集合A =.x l ,8 =X|3,1 ,则（）A.A I B=x|x l D.A c3 =0【答案】A【解析】【详解】解：因为B=x|3 l =x|x 0,所以A I B =x|x 0,AUB =x|x l ,故选：A.2 .设甲：a e（Y Q,-3,乙：己知函数%）=工2-存 在（1,+CQ）上单调递增，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】/（力=%2-在（1,4 0。）上单调递增,由/（x）=d-冰的对称轴为x =，开口向上，一4 1 ,即 4 2,2故甲是乙的充分不必要条件.故选：A.3 .将 1 6 6 5化成二+2版（）,a a c B.b c aC.c b a D.c a h【答案】B【解析】77r TT I 1,c =c o s =c o sy=l o g2/2 6?=l o g21.4 1,所以力 c a,故选：B.6 .函 数/（x）=l o g 3 x+2 x-8的零点一定位于区间（）A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（5,6）【答案】C【解析】【详解】解：/（3）=l o g33-8+2 x 3 =-l 0,又因为函数 =l o g 3 X，y=2 x-8 在区间（0,+8）上都是增函数，所以/（x）在区间（0,+8）上为增函数，所以其零点一定位于区间（3,4）.故选：C.7 .为了给地球减负，提高资源利用率，2 02 0年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2 02 0年全年用于垃圾分类的资金为2 000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长2 0%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1 亿元的年份是（参 考 数 据:I n 6 a L 7 9,l n5 1.6 1）（）A.2 03 0 年 B.2 02 9 年 C.2 02 8 年 D.2 02 7 年【答案】B【解析】【详解】设经过年之后，投入资金为y 万元，则 y=2 000（1 +0.2）,由题意可得：y=2 000（1+0.2）”1 0 0 0 0,即 1.2 5，I n 5 I n 5 I n 5 1.6 1 n-=-=-8.94所以疝n l.2 l n5,即 I n 1.2 .6 I n6-l n5 1.7 9-1.6 1 ，I n 5又因为eN*，即从2 02 9年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1 亿元.故选：B.x +2,x 0的零点，则。的取值范围为（）A.（-o o,4）B.（-8,4 C.(-00,-12)D.(0,-1 2【答案】D【解析】【详解】当x 4 0时，函数/(x)=X+2 (8,0上单调递增，/(x)4/(0)=2,当x 0时，函数/(x)=尤+！2 =2 ,当且仅当尤=1时取等号，x x函数y=/(x)的大致图象，如图，令f(x)=f,观察图象知，当f 2时，方程/(x)=f有一个根，当，2 2时，方程/*)=/有两个不等根，函数g(x)=(x)2+4/(x)+tz(a GR)有三个零点，等价于函数力=+4 r +a有两个零点由，并满足4 2,22,而函数(。对称轴为/=2,于是得，(2)_ 4 +1 2 0B.终边在y轴上的角的集合为(a l a =E+ac.若a是第三象限角，则土是第二象限或第三象限角2D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关【答案】AB【解析】【详解】对于A，当角。为第一象限角时，sin0 0,cose 0,则sin8cos80；当角。为第三象限角时，sind0,cose0.因为sinGcos。，即sin(90且c o s6 0,或sin80且cos80且cos60时，角。为第一象限角；当sin80且cos60,故A正确；对于B,终边在V轴上的角的集合为al tz=2E+,%ezua a=27t+,Zr e z|,即al a=2kn+,k e z|J ja|a=(2+1)T T+,Z:G z|,即a|a=kn+,k&z j,B 正确；3对于C,若a是第三象限角，即2E+7ta2E +二兀欢wZ,2,7i a,3,则 kll H-V kll d-7 T,k G Z,2 2 4当k为偶数时,1为第二象限角；当k为奇数时，1为第四象限角，2 2则二是第二象限或第四象限角，故C错误；对于D,不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值 定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，故选：AB10.下列各式正确的是()A.*3-71)4=兀一3 B.log2x2=21og2xC.2,+log25=10 D.10g39=3【答案】AC【解析】【详解】）（3 兀），=|3 _ 兀|=兀一 3，故A 选项正确；log2x2=210g2 k|,故 B 选项错误；21叫5=）乂 2唾25=2 x 5 =1 0.故 c 选项正确；对于log,9=log332=2,故 D 选项错误.故选：AC.11.“双 11”购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：若购物总额不超过50元，则不给予优惠；若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券；若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8 折优惠，若购物总额超过300元，其中300元内的按第条给予优惠，超过300元的部分给予7 折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）A.若购物总额为66元，则应付款为51元B.若应付款为208元，则购物总额为260元C.若购物总额为360元，则应付款为252元D.若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元【答案】ABD【解析】【详解】对于A,若购物总额为66元，满足购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张15元优惠券，则应付款51元，故 A 正确；对于B,若应付款为208元，则购物总额超过100元但不超过300元，所以购物总额为208+0.8=260元，故 B 正确；对于C,若购物总额为360元，购物总额超过300元，则应付款为300 x0.8+60 x0.7=282元，故 C 错误；对于D,若购物时一次性全部付款3 8 0元，说明购物总额超过3 0 0元，设购物总额为x元，则3 0 0 x 0.8 +(x 3 0 0)x 0.7 =3 8 0,解得尤=5 0 0元，故D正确.故选：A BD.1 2.已知2+a =lo g2+=2,则()A.ab-4C.lo g,a +lo g,b N0 D.+-2a b【答案】A BD【解析】【详解】因2+a =lo g2 +b =2,即2a =2 a,lo g2b =2 ,则a/分别为函数y =2、y =lo g,x与y =2-x图象交点的横坐标，而函数y =2x,y=lo g2x互为反函数，它们的图象关于直线N=%对称，在同一坐标系中画出y =2,=1。8 2乐丁=2-*的图象，如图，由图知，点A(a,2)与BS,lo g2/关 于 直 线y =x对称，于是得a0,b0,ab,a+h-2,ab 2-2=，B正确；lo g2a +lo g,/?=lo g2c z Z?一(2+2、-)=2 ,D 正确.a b 2 a b 2 a b 2 b a故选：AB D三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)1 3 .已知 ta n a =-2,a e (5,兀)，则 c o sa=.【答案】石5 5【解析】si n ot【详解】因为ta n a =2,所以=-2,c o s a由 si n?a +c o s?c r =1 ,故(-2 c o sa)2+c o s2 a =1,即c o s?a =g ,而贝！J c o sa g 3 4=3,则牛=.【答案】#2 7-12 7【详解】因为。1叫4=3,所以l o g 3 4=3,所以4=3 3 =2 7,所以4一 =二=-,4 2 7故答案为：-2 73另解：由 a l o g 3 4=3可得”=；-=3 1 o g43 =l o g42 7,1%4所以4“=2 7,则4-。=上,2 7故答案为：.2 71 5 .高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数 为：设xeR,用 x 表示不超过x的最大整数，则=可称为高斯函数.例如：-2.1 =-3,3.1 =3,若函数则函数y =/(x)的值域为【答案】1,2,3,4【解析】U 5 4 I【详解】解：=l +,V2X0,.-.1+2 1,0 !bV 2(+l 2、+l 2 +l则 11+J 5,即l /(x)5,当l /(x)2时，(x)=l；当2 W/(x)3时，/(x)=2；当3 W/(x)4时，/(x)=3；当4 W/(x)0).已知在某次比赛中单人艇2 0 0 0 m的比赛成绩为7.2 1 m i n ,由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67m i n的比赛成绩但不清楚属于哪一艇利J 推 断 该 比 赛 成 绩 所 属 的 艇 种 最 有 可 能 是(从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可)；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为 m i n (结果保留两位小数，参考数据：啦*1.0 8()，施=1.1 6 7，1.2 6 0).【答案】.双人艇.5.72【解析】【详解】由已知得，当 =1时，f=7.21,代入解得a=7.21,当f=6.67时，n=-=-=3 1.08192,1 1 7 k6.67 J故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；-1-!7 21当 =8时，f=9=7.21x8 9=7.21x-=5.72,我 1.260故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为5.72min.故答案为：双人艇；5.72四.解答题(本大题共6 小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.已知集合A=x y=J +lg(x-l),8=y y=3|.求A c 3；(2)若 知=削 优+4l.(2)m Q，解得%1,X-1 0所以A=x|x,又 8=y|y=3v_1)=1 y0,所以A c3 =x|xl.【小问2详解】因为 M=R ir+40,A c B u A f,即所以机 j,-1所以，m,解得mWT,即实数机的取值范围时mWT.m 018.已知函数/(力=(。+3/乂+人过原点，且无限接近直线y=l但又不与该直线相交.(注：e=2.71828是自然对数的底数)(1)求该函数的解析式并判断其奇偶性；(2)若实数/满足不等式/。+2。一，。一 1)0,求实数/的取值范围.【答案】f(x)=-e省+1,函数/(x)为偶函数.(-2,0).【解析】【小 问1详解】由题意函数/()=(4+匕 第+匕过原点，且无限接近直线y=i但又不与该直线相交.，故在xZO时，x)递增，又此时y=e-W =e”递减，故需满足。+方 0,由0e-N 知a+S(a+O)e 。，.,.a+2Z?W/(x)Z?，而/(%)无限接近直线y=1但又不与该直线相交，则b=1,又/(0)=0,.+a=0，解得“=-2,./(x)=-e +l,因为/(x)的定义域为R,关于原点对称，且一x)=-e-T+l=-e小+1=/(%),故函数/(x)为偶函数.【小问2详解】当 xNO 时，/(X)=-&x+1,Vx,x2 G 0,+oo),设不 O,，e*F 1,则 _V _ _ _ _ _ _ _ 2o，所以/(毛)/(%)，故函数x)在 0,+8)上单调递增.原不等式可化为/(1 +2。/1),因为函数x)为偶函数，/(%)=/(-x)=/(|x|),则有.川1 +2“卜一力,又函数 力 在 0,+8)上单调递增,m|l+2 z|f-l|,两边平方，得(1 +2。2。-1)2,即3+6/0.4 4所以l o g?-1 l o g2-(2 工 2 )1 2 内、-1 ，即/(%)/(%)，/所以函数/（X）在区间（一 2,2）上单调递增.2 0.已知函数 x）=F+2x-3,覆 0,-2+l n x,x 0.2（1）试讨论方程x）=k+?实数解的个数，其中&凡 心 0:k 若 方 程 x）=女+7的实数解有3 个，分别记为八 ,马，七，其中龙 1 Z 0时，k+-2yll,当匕2,即上亚时等号成立;k k左 0时，k+-2 y l,当上一，即上一也时等号成立.k k令 m=%+1,则相卜8,-2 6 u 2 及,+8）.画出了（X）的图像与直线y =2,如图.由图像可知，当“Y,即 丘（一 0 一 2 夜）。1 2+e,0）时，力=1+2有 1个解;k当?=-4 或加 一3,即攵 卜 2 逝 。（一 2,-1）U（0,+功 时，/（x）=Z+2 有 2 个解;k当 4 /，3,即 Z（2 1,-2 +J 5）时，/（X）=ZH 有 3 个解.k【小问2详解】由（1）知，当-4 羽，一3 时，/（x）=加 有 3 个解，根据图像以及3 个解的大小关系，有玉”。演，其中玉+尤2 =T x2=-2 ,对于X；，已知-2+1114 G（T,-3 ,解得龙3 ,则九 3故 三 产 e e,e）,即 上 产 的 取 值 范 围 为 Re?）.一，工 3 ，4 32 1.物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为4,经过一段时间/后的温度为T,则T 7；=（?；）,其中（.，为环境温度，a为参数.某日室温为2 0。，上午8 点小王使用某品牌电热养生壶烧1升 水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8 分钟后水温达到10 0,8 点 18 分时，壶中热水自然冷却到6 0。口（1）求 8 点起壶中水温7 （单位：）关于时间，（单位：分钟）的函数7 =/）：（2）若当日小王在1升水沸腾（10 0）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50C时.，设备不加热,当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养 生 壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：1g 2*0.301,1g 3*0.477）1 Or+2 0,0 8,【答案】/（0=8.（2）27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热【解析】【小 问1详解】当 喷 小8时，设丁=依+20,代入=8,7=100,解得左=1 0,则T=10f+20,由题意丁一（=（4一（），代入（=20,=100,f=1 0,得410r+20,0r8【小问2详解】若从100 C降温至50，由题意有T=80.+2 0,代入T=50,计算得r=10log1-=lOlog,-10 x(3-log23)=10 x|3-28 3-IR14分钟,故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热;从50加热至80 C需要*）渭=3分钟,从 80C 降温至 50C，T-T =(Ta-Tc ：1,代入丁=50,7；.=20,4)=8 0,可得1 /50-20=(80-20)x1计算得r=10分钟,则共需要14+3+10=27分钟，故27分钟后养生壶(在保温状态下)第二次开始加热.22.已知函数/(x)=x|x-a|+3(awR).(1)当。=2时，写出/(x)的单调区间(不需要说明理由)；(2)当a=0时，解不等式/(2向-1)+/(2*-8)6；若 存 在 冷 马e(-“,ln 4,使得|/(e*)一 /(e 4)3,求实数”的取值范围.【答案】(1)在(F,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,+8)单调递增.(2)(log23,+oo).IQ(3)a 2/3-【解析】【小 问1详解】当a=2时，/(x)=x|x-2|+3=2故/(x)在(F,l)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,+8)单调递增.【小问2详解】当a=0时，x)=x|x|+3,记g(x)=x|x=x,x 0则g(-x)=-g(x),故g(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递增，不等式/(2向1)+/(2*_8)6 化为 g(2m _l)+3+g(2*_8)+36,即 g（2 +i _ l）+g（2 8）0,即 g（2.1）g（2,8）,即 g（2向1）g（8 2 ）,从而由g（x）在R上单调递增，得23一1 2*+8，即2*3，解得xl o g 2 3,故不等式/（2t+l-l）+/（2-f-8）6 解集为（l o g?3,+巧.【小问3详解】设4 =9出=e*，则问题转化为存在九弓0,4 ,使得|4）一/&）|3,又注意到 0时，/（1）=水 一4+33,且0）=3,可知问题等价于存在?e（O,4 ,/（f）6,即 加-43在f e（0,4 上有解.3 3 3即”：在r e（0,4 上有解，于是a-t y a-t 一+或Q 2 6.