江苏省苏州2022-2023学年高三数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.pdf

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。D.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.把函数y=sin（x+J）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移:个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A.（y,0）B.（,0）C.（,0）2.设A x）“一/X?。,则/（/（_2）=（）2,x 04.已知函数/（x）=,3 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-i的对称点在y=依-1的图像x+x,x bm是ab的充分不必要条件6.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期 大戴礼中.“阶幻方（23,河）”是由前2个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）7 5D.4 5A.B.6 5我不是年纪最大的，若这四丙A.甲D.丁B.乙9.已知集合。=1,2,3,4,5,6 ,A =1,3,5 ,B =2,3,4),则集合e(A U B)=()10.A.11.1,2,6 已知/(x)=2B.1,3,6 已知函数/（x）=,c.2-0-x,x 0_32B.-3(x-l)3,x 1,6 2C.3()D.6 D.3,若则下列不等关系正确的是（)A.1 /+1 b 2 +1B.也 配C.a2 l n(/?2+l)1 2.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图(例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占4()%、27%、3 3%),根据该图，以下结论一定正确的是()A.2019年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有AABC满足“勾3股4弦5”，其中“股 AB=4,。为“弦”8 C上一点(不含端点)，且AABD满足勾股定理,贝！|(丽-西 而=.14.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有一种.15.已知过点。的直线与函数y=3”的图象交于A、B两 点,点A在 线 段 上，过A作 轴的平行线交函数y=9的图象于C点，当8 C x轴，点A的横坐标是16.已知实数且“2-。=匕 一/,由 加=2+的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _2a b三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)已知函数/(x)=|x-l|+|x+2|.(1)求不等式/(x)x+3的解集；(2)若不等式m-一 2%,/(%)在R上恒成立，求实数加的取值范围.18.(12 分)设 函 数/(x)=2sin x+|a-3|+|a-l|.(1)若/彳 6,求实数。的取值范围（2）证明：V x e R,/（九）习。-3|一一+1 恒成立.a1 9.（1 2 分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满2 0 0 元，有一次抽奖机会（即满2 0 0 元可以抽奖一次，满 4 0 0元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5 的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如 1,2,5）,则获得一等奖，奖金4 0 元；若摸得的小球编号一次比一次小（如 5,3,1）,则获得二等奖，奖金2 0 元；其余情况获得三等奖，奖 金 1 0 元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；（2）赵四购物恰好满6 0 0 元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为6 0 元的概率.2 0.（1 2 分）如图所示的几何体中，面底面ABC D,四边形4）所 为 正 方 形，四边形A8C D为梯形，7 TAB/CD,NBAD=，AB=AD=2CD=4,G 为 BF 中盘.2（1）证明：C G面ADEP；（2）求二面角AB E C 的余弦值.2 1.（1 2 分）已知数列%,其前”项和为 S“，满足 q =2,S“=/l a“+a“T，其中.2,eN*，2，蚱R.若2 =0,=4,bn all+i-2an（e N*），求证：数 列 是 等 比 数 列；若数列仅“是等比数列，求 2,的值；若4=3,且 2 +=,求证：数列伍 是等差数列.2 2.（1 0 分）已知抛物线0 x 2=4 0,5 为大于2的质数）的焦点为R 过点F且斜率为A（后0）的直线交C 于 A,8两点，线段A3的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C 在点A,8处的切线相交于点G记四边形AE5 G的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1,D【解析】试题分析：把函数y=sin(x+令图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin(；x+令的图象;再将图象向右平移g个单位，可得y=sin：(x)+=sin!x的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0),3 2 3 6 2故选D.考点：三角函数的图象与性质.2、C【解析】试题分析：/(2)=2 3=1,=故 C 正确.考点：复合函数求值.3、D【解析】试题分析：抛物线l=4y焦点在)轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1),准 线 方 程 为 因 为 点A的纵坐标为4,所以点A到抛物线准线的距离为4+1 =5,因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.4、A【解析】可将问题转化，求直线y=丘-1关于直线y =-i的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定左的取值范围即可【详解】可求得直线y=收-1关于直线y =-1的对称直线为y =如 1 (?=-k),当x0时，f(x)=xnx-2x,/(x)=l nx-l,当x =e时，/(x)=0,则当x e(0,e)时，f (x)0,/(x)单增；3a 3 3 q当 时，f(x)=x2 +x*/,()=2 x +-,当工=一“/(%)=0,当时，/(x)单减，当-工 ()相切时，满足 丁=如 一1m=l nx-1解得 X =l,加=-1,结合图像可知机 B P k e故选：A【点 睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题5、D【解 析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.【详 解】对 于A选 项，若随机变量自服从正态分布N（L b2）,P 0 W 4）=O.7 8,根据正态分布曲线的对称性，有-2）=P（J 4）=1 P（4 W 4）=1 0.7 8 =0.2 2,故A选项正确，不符合题意；对 于B选 项，已 知 直 线/，平 面a,直 线 机/平 面 力，则 当&/时 一 定 有/，加，充分性成立，而 当/_L m时，不一 定 有 夕，故必要性不成立，所以“二夕”是 的 充 分 不 必 要 条 件，故3选项正确，不符合题意；对 于C选 项，若 随 机 变 量4服从二项分布：则E（J）=p =4 x；=l,故C选项正确，不符合题意;对 于。选 项，仅 当 加0时 有a b,当机（）时，不成立，故充分性不成立；若 a b,仅 当 加0时有当机0时，不 成 立，故必要性不成立.因 而。加 b m 是 a b的既不充分也不必要条件，故。选项不正确，符合题意.故选：D【点 睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.6、B【解 析】计 算1 +2 +2 5的和，然 后 除 以5,得到“5阶幻方”的幻和.【详 解】1 +2 5依题意“5阶幻方”的 幻 和 为1 +2+2 5 q 故 选B.5 5【点 睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.7、B【解 析】判 断 函 数 的 奇 偶 性，可排除A、C,再判断函数/(X)在 区 间 上 函 数 值 与0的大小，即可得出答案.【详解】解：因为7 co s X,1+e，)U+e J、(1 e 、ex 1 1 ex/所以/(x)=co s(-x)=京u co s x =R/C O S x =-/(x),所以函数/(x)是奇函数，可排除A、C；又当x e(0，B，x)0,可排除D；故选：B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.8、C【解析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.9、D【解析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果.【详解】.A u 3 =12 3,4,5,故可得 6(A U B)=6.故选：D.【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.10、A【解析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.【详解】log?W 0;/l/(lo g2 1)J=/(log,3)=3-1 =2；故选：A.【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.11、B【解析】利用函数的单调性得到匕的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.【详解】/(X)在 R 上单调递增，S.f(a)f(b),：.ab.的符号无法判断，故/与 从，/与 出，的大小不确定，对 A,当。=1力=-1 时，一 =/一，故 A 错误；+1 廿+1对 C,当。=1 1=-1 时，ci i,cib=1 故 C 错误；对 D,当 a=l力=-1 时，ln(/+l)=ln(b 2+l),故 D 错误；对 B,M a b,贝！)网 正，故 5 正确.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.12、C【解析】根据该厂每年产量未知可判断A、B、D 选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C 选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从 2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故 A、B、D 选项错误；由堆积图可知，从 2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C 选项正确.故选：C.【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。14413、-25【解析】先由等面积法求得A O,利用向量几何意义求解即可.【详解】3x4 12由等面积法可得4。=三 一=可，依题意可得，A D Y B C,所以（而 一 场）而=丽 砺=|亚（=也.144故答案为：25【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.14、60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有 阂 种，有一个城市投资2 个有仁种，投资方案共C：A；+C：C；C；=24+36=60 种.考点：排列组合.15、log32【解析】通过设出A点坐标，可 得C点坐标，通过B C x轴，可得B点坐标，于是再利用LM=可得答案【详解】根据题意，可设点A（a,3），则C（a,9）,由于8 C x轴，故 我=%=9，代入y=3，可得/=2 a,即8（2a,9）,由于A在线段。8上，故 心=嚷,即二=工，解得 a 2aa=log3 2.16、纪1+12【解析】将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值【详解】a2-a =h-h2 可得。/=白 十 人 一 人？，b1=a+h-a2m i-b1 a a+b-a2 a-bb,b.a.b a，八贝！J Af=-1-=-1-=1H-。+1-1-b=i-a b+2ah a b a b a b由几何意义得,e 及-1,1+及,则 怖 w 夜-1,1+及,为求最大值则当过点A或点8时a+匕取最小值，可得Md血-冬2=哈 所以用=幺b2+a土 的最大值 是 述+1b2【点睛】本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)x|0 x 2 ；(2)(-o o,2【解析】(1)分类讨论去绝对值号，即可求解；(2)原不等式可转化为办,/+2 8+/(幻在我上恒成立，分别求函数g(x)=f+2 x与f(x)的最小值，根据能同时成立，可得f+2x+/a)的最小值，即可求解.【详解】4(1)当x 2时,不等式f(x)x +3可化为1一%-%-2 无解；当-2/1 时,不等式 f(x)x +3 可化为 i x+x+2 0,故 0 x l 时,不等式 f(x)x +3可化为x l +x +2 x+3,得 x 2,故 l x 2.综上，不等式/(x)x +3的解集为 邓)2(2)由 题 意 知x?+2 x+/(x)在R上恒成立，所以(f+2 x+/(幻)令 g(X)=f+2x,则当 X =-l 时，g(X)m in=T又当一2领k 1时，/(X)取得最小值，且/(X)m i n=3又T e -2,1 所以当x =l时，f(x)与g(x)同时取得最小值.所以3+2为+/(功 =-1+3=2所以m 4,利用零点分段法，求得不等式的解集.(2)将要证明的不等式转化为证Vx e E,2 s i n x N|a-1|-工+1恒成立，由2 s i n x的最小值为-2,得到只要证a-2 -a-+,即证|a-l|+L +i 2 2,利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.a a【详解】(1)V f 6,/2+1 ci 3|+|-1 1 6,g p|ci 3|+|-1|4。一3+。-1 4当a N 3时，不等式化为4a3f(3-a)+(a 1)4当1。3时，不等式化为 J，此时。1。4当时，不等式化为6 Z 2 ja a a a.|a 1|+1 2 2成立，.原题得证a【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识类与整合思想.无解,即证|a 1|+工+1 2a崂=2考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分19、(1)分布见解析，期 望 为5二0；(2)49.3 216【解析】(1)先明确X 的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；(2)获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.【详解】(1)由题意知，随机变量X 的可能取值为10,20,40C3 1 C3 1且P(X=40)=V =，P(X=20)T=，6 6 6 6所以 P(X=10)=l-P(X=40)P(X=20)=|,即随机变量X 的概率分布为X102040P236_6所以随机变量X 的数学期望E(X)=10X2+20X5+40X!=W.3 6 6 3(2)由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A,因为 60=20 x3=40+10+10,所以P(A)【点睛】49216-1-6X22-3z(x+G!3/1-6ZZV本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考查数学建模的核心素养.20、(1)见解析；(2)3【解析】(1)取 A E 的中点”，结合三角形中位线和长度关系，CD/7G为平行四边形，进而得到CG/,根据线面平行判定定理可证得结论；(2)以AB,A D,A F为x,，二轴建立空间直角坐标系，分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；【详解】(1)取A厂的中点4,连结G,HD因为G为BE中点，AB/CD,AB=2CD,斫以GH/CD,G”=CZ),.CDHG为平行四边形,所以 CG/HD,又因为“O u 面A0EE,CG ,z轴建立空间直角坐标系，则 A（0,0,0）,3（4,0,0）,。（0,4,0）,尸（0,0,4）,C（2,4,0）,旃=（T,0,4）,1=（2,4,T）易知面ABF的法向量为n=（0,1,0）设面A8E的法向量为=（x,y,z）则L n,-BF=-4x+4z=0n2 FC=2x+4y 4z=0可得2=H,p l j1所以 2COS(a,2135如图可知二面角A-为锐角，所以余弦值为g【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角，正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.21、（1）见 解 析（2）2=1，4=0（3）见解析【解析】试题分析：S“=4 a,i（？2）,所以2=2%,故数列 耙 是等比数列；利 用 特 殊 值 法，得4=1,4=1,故2 =1,=0；(3)得4 =(,=1,所以s.=5凡+%_1，得(-1)4)+|-(-2)4-2 4 1=。，可证数列 凡是等差数列.试题解析：(1)证明：若4=0,=4,则当S“=4 4T(2 2),所以 4+1 =S.+i S“=4(4 a,-),即%-2%=2(%-2加)，所以 b“=2b,i,又由 q =2 ,q +&=4 q ,得g=3。=6,a9 2a=2 w 0 ,即 0 ,所以1=2,如故 数 列 也 是等比数列.(2)若 凡 是等比数列，设其公比为夕(2),所以a“=4 =2,%是公比为1的等比数列，故2 =1,=0.(3)证明：若 4=3,由 q+%=2几。2，得 5 =6 4 +2 ,3 1又几+=3，解得之=耳，=L由4 =2,a2=3,4 =g ,=1,代入S”=4。“+得4 =4,所以4,a2,%成等差数列，,n n+1由 S =5 a+a,f,得 S,1+1=工 an+an,k_ ix_ L n+1 n两式相减得：an+l=a+l-an+an-an_,即(T)%+i-(-2)a“-2 a,i=。所以啊,+2 一 (一 1)用一 2 q,=0相减得：nali+2-2(/1 -1)an+l+(H-2)-2 a +2an_=0所以(a“+2 -2*+a)+2(a+1-2an+的)=02 22所以(4+2 -2 a“+|+。“)=一一(a+1-2a+a,)=-r(an-2an_,+.2)n nn l)=一 =/0 3-2%+%),矶-1)2因 为 一 2%+。3=0，所以 an+2-2。+|+。=0，即数列%是等差数列.2 2、(1)y=P(2)当G点横坐标为整数时，S不是整数.【解析】(1)先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；(2)先求解弦长|A 6,再分别求解点E,G到直线A 8的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.【详解】(1)设 人 和,了 氏 孙 为)。,%)，则T=4 py芯=4 p%，1 2,i抛物线c的方程可化为y=丁 优，则y=h x,4 P 2P1 z 1所以曲线。在点A处的切线方程为y=h X i(x X)+X =x.x-y,2p 2p1 /1在点8处的切线方程为丫=丁%(*-*2)+%=丁*2%-2，2P2p11因为两切线均过点G,所 以%=丁%/一%,%=二1%2%0一%2 P 2P11所以A,8两 点 均 在 直 线 上.%=丁/一 丁,所 以 直 线A B的 方 程 为.%=丁 为/一 丁，2P 2P又因为直线A B过点网0,p),所 以 为=-，即G点轨迹方程为 =一，1(2)设点G(x,P),由(1)可知，直线A8的方程为一。=丁入内一,z p1即 =丁/%+，2P1y=/犬+,)将直线A5的方程与抛物线联立，-2p,整理得尤2 2 xx-4 p2=0,x2=4py所以+工2=2题，X j%2=-4/?2,解得k 一 司=2 j x；+4 p2 ,因为直线A5的 斜 率 人 曰 二/,所 以 且I A 8|=Jl+k21%1 -x2|=*出L线段AB的中点为M(X o，；x；+P)，2P所以直线E M的方程为：y=一一？(x-X o)+；x：+P,4 2P1 2所以E点坐标为(0,Xo+P),2P直线A 3的方程整理得x0 x-2py+2p2=0,则 G 到 A B 的距离 4 =Jxl+4p,&+4 P2卜 片-4 P2|厂-?贝!I E 至!A B 的距离 d2=,=-=J莅+4 p-,/温+4 p-所以 s=24用(4+d2)=也,设 Xo=m p ,因为p是质数，且 改)为整数，所 以 帆=，或机e Z(mH O),当 帆=时，x0=l,=(/+4PNG+4/r是无理数,不符题意，P P当机e Z(m#0)时，5 =(m M)p27 m2+4 因为当|心2时，/Mvav+iy,即 而 二 是 无 理 数，所以|制2 2不符题意，当加=1时，2 M =6是无理数,不符题意，综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.