二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质讲义.pdf

二次函数y=a x2+b x+c的图像及性质二次函数 江+法+c的图象【教学目标】1、会用描点法画出二次函数卜加仙、”总_ 期2与户心叫后的图象；2、能结合图象确定抛物线广加.攵、y)2、y =心-疗+k的对称轴与顶点坐标；Q、通 过 比 较 抛 物 线 尸 口/+女 与 好 式 芯 一 加 同y =的 相 互 关 系，培 养 观察、分 析、总 结 的 能 力.【教学重点】国出形如 以2+&、y =a(x一 期2与 形 如 尸心_4+此的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理 解 函 数y=dp、y=ax2+k、y=a(x-JB)2 与厂心 一4+上及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a/0,a,b,c为常数)的函数称为二次函数(quadratic fu n cio n).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c（a手0）的图象是对称轴平行于y轴（或 是y轴本身）的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1.用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2.用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得 到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y二a（x-h）2+k的形式，确定其顶点（h,k）,然后做出二次函数y二ax2的图象.将抛物线y二ax2平移，使其顶点平移到(h,k).发SVOL淤UKISS_-#由知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a=#0)的图象与性质1.函数y=ax2(a=#0)的图象与性质:函数a 的符号图象开 口 方 向项 点 坐 标对林轴增 减 性最 大(小)值y=ax2a0yk向上(0,0)y 轴xM)时，y 甑 x增 大 而 增 大x0 时，y S ix 增大而减小当 x=0时，y i=0y=ax?a0向下(0,0)y 轴xM)时，y 随 x增 大 而 减 小x 0 时，y 随 x 增大而增大当 x=0时，y*0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax?相同，不同的是顶点坐标为(0,c),当x=0时，y最 小 二c(2)当a0开口向上a0交点在X轴上方c=0抛物线过原点c0对称轴在y轴左侧ab0抛物线与X轴有两个交点b2-4ac=0顶点在X轴上bz-4ac(1)二次函数 9的对称轴是,(2)二 次 函 数 9?的 图 象 的 顶 点y=2 x2-2x-i是，当 x 时，y 随 x 的增大而减N(3)抛物线 4 6的顶点横坐标是-2,则y=ax2-4 x-6 72、抛物线 的顶点是J 口，贝寸、C 的值y=ax2-v2x+c(-,-1)7 a是多少？3、已知 是 二 次 函 数，且当。时，Vy =（攵 +2）-42 6 7 x 0随X的增大而增大.（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴.4、当 时，求抛物线,的顶点所在aQ 7 y =X 2+2办 +1 +2。2的象限.5、已知抛物线 4 1的 顶 点A在直线 4 Iy=X2-4x+h y=-4x-1上，求抛物线的顶点坐标.题型五、+A+的最大或最小值y=ax2+c r例1、求下列函数的最大值或最小值：（1）.（2）y=2x2-3x-5 9、y =尤2 3x +4，例2、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：X（元）130150165V（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.（1）若商场平均每天要盈利120 0元,每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？变式训练：1、对 于 二 次 函 数，当x=时，yy=X2-2x4-/7?7 7有最小值.2、已知二次函数、有 最 小 值-1,则a与b之间的大小关系是（）A.abD.不能确定3、求下列函数的最大值或最小值：（1）y=-%2-2x(2)y=2x2-2x+l4、已知二次函数 的最小值为1,求 my=X 2-6x4-m 7的值.，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1 尤 2+2.6x+4 3(0 W30)，丫 值越大，表示接受能力越强.(1)X 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？X 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第 10 分时，学生的接受能力是多少？(3)第几分时，学生的接受能力最强？6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为 10 m),围 成 中 上间隔有一道篱笆的长方形花圃.设 AB花圃的宽A B 为 x m,面积为S m2.(1)求 S 与 x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为4 5 皿的花圃，A B 的长是多少米？(3)能围成面积比45 m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.9所示，现测得水面宽1.6m,涵洞 顶 点0到水面的距离为 2.4m,在图中直角坐标系内，?涵洞所在的抛物线的函数关系 0 4式是什么？图26.2.9例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1)B(1,0)、C(-1,2)；(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴 交 于 点(0,1);(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),且与y轴交于点(0,-3);(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4.例3、已知二次函数 卜 的图象经过点A(-1,12)、B(2,-3),(1)求该二次函数的关系式；(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成尸 心 一 的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴.例4、已知二次函数的图象与一次函数y =4 x .8的图象有两个公共点P(2,m)、Q(n,-8),如果抛物线的对称轴是x=-1,求该二次函数的关系式.变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5);(2)已知抛物线的顶点为(7,2),且过点(2,1);(3)已知抛物线与x轴交于点M(-1,0)、(2,0),且 经 过 点(1,2).2、二次函数图象的对称轴是x=T,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点(2,10),求此二次函数的关系式.3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，所示，大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.如图ACB4、已知二次函数 2 ，当x=3时，函数取得最大值10,且它的图象在X轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.5、抛物线 2+,过 点（2,4）,且其顶点在y=+2twc+n 7 7直 线 一 上，求此二次函数的关系式.y NX r 1【随堂练习】1、二次函数y二axz+bxz+c的图象如图所示，则a 0,b 0,c 0 （填“”或 V =.）2、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）3、在同一坐标系中，函数y二axz+bx与y=g的图X象大致是图中的（）4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0.0 225x2+0.9 x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？-i-1 桥面。&-Mn5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数 y=ax+c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是()A B G D6、抛物线y二axz+bx+c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是,7、已知二次函数 y=(m2)X2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5).(1)求m的值，并 写 出 二 次 卡;1函数的表达式；：卜|/(2)求出二次函数图象的 4t A 顶点坐标、对称轴.8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件.为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=-+z x+i,如果把利润看作是销售总额减10 10 10去成本费和广告费.（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3 万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6 个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：的收益总额不得低于16 万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目.9、已知抛物线 y=a(xt 1)2+12(a,t是常数，a#=0,t=#0)的 顶 点g是A,抛物线y=X22 x+1的顶点是B(如图).十J(1)判断点A是否在抛物线y=X22 x+1上，为什么？(2)如果抛物线y=a(xt 1)z+t2经过点B.求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值;若不能，请说明理由.10、如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的 边BC、CD上的点，CE=1,C F=4,直 线F E交3AB的延长线于G,过线段FG上的一个动点H,作HMAG于M.设HM=x,矩 形AMHN的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式，(2)当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？11 已知点A(1,1)在抛物线y二(k2 1)X2 2 (k2)x+1 上.(1)求抛物线的对称轴；(2)若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由.12、如图，A、B是直线i上的两点，AB=4cm,过i外一点C作CD L ,射线BC与i所成的锐角N1=60,线段BC=2 cm,动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2 cm的速度，沿由C向D的方向运动.设P、Q运动的时间为t秒，当t 2时，PA交CD于E.(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长；(2)求/XAPO的面积S与t的函数表达式；(3)当QE恰好平分4 A P Q的面积时，QE的长是多少厘米？13、如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形 PQR,PQ=PR=5cm,PR=8cm,点 B、C、Q、R在同一直线i上.当C Q两点重合时，等腰 PQR以1cm/秒的速度沿直线i按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scrm.解答下列问题：(1)当t=3秒时，求S的值；(2)当t=5秒时，求S的值；A DB Q C R I14、如 图2-4 T 6所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子0A,0恰在圆形水面中心，0A=125米.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下.为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高0A距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3.5米，要使水流不致落到池外,此时水流最大高度应达多少米？（精 确 到0.1米，提示：可建立如下坐标系：以0A所在的直线为y轴，过点0垂直于0A的直线为x轴，点。为原点）15、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为4 0只，且每日生产的产品全部售出.已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P(元)，且R,P与x的表达式分别为R=50 0+30 x,P=170-2x.(1)当日产量为多少时，每日获利为1750元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？16、阅读材料，解答问题.当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化.例如y=X22mx+m2+2m1，有y=(xm)2+2m1，抛物线的顶点坐标为(m,2m1),即卜=加，y=2m-1.当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化.把代入，得y=2x-1.可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标v和横坐标x都满足表达式y=2x 1.解答问题：(1)在上述过程中，由到所学的数学方法是，其中运用了 公式，由、到所用到的数学方法是,(2)根据阅读材料提供的蒜7薪凳抛物线 y=X22mx+2m 23m +1 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式.【家庭作业】1.抛 物 线 y=-2x2+6x 1 的顶点坐标为 ，对称轴为.2.如图，若 aVO,b0,c y y B.y y y C.y y1 2 3 2 1 3 2 3y D.y y y1 3 1 27.二次函数y=-X2+bx+c的图象的最高点 是（T,3）,则b、c的 值 是（）A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4 C.b=,2,c=4 D.b=-2,c=-4 18.如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2|+bx+c的 图 象，则下列式子能成立的是（）A.abc0 B.a+b+c0 C.ba+c D.2c3b9.函数 y=ax2+bx+c 和 y=ax+b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）10.已知抛物线y=axz+bx+c经过点A(4,2)和B(5,7).(1)求抛物线的表达式；(2)用描点法画出这条抛物线.11.如图，已知二次函数y=1x2+bx+c,图象过A(3,6),并与x 轴交于B(1,0)和点 C,顶点为P.(1)求这个二次函数表达式；(2)设 D为线段0C上的一点,且满足NDPC二ZBAC,求 D点坐标.12.已知矩形的长大于宽的2 倍，周长为12,从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于1.设梯形的面积为S,梯形中2较短的底的长为X,试写出梯形面积关于X的函数表达式，并指出自变量X 的取值范围.13.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系 y=-0.1x2+2.6x+43(0 x30).y值越大，表示接受能力越强.(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？X在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？(2)第10分时，学生的接受能力是多少？(3)第几分时，学生的接受能力最强？14.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出50 0千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式(不必写出x的取值范围)；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？1 5.如图 2-4-2 4,在 Rt ABC 中，ZACB=90,AB=10,BC=8,点 D 在 BC 上运动(不运动至B、C),DE/7CA,交A B于E.设BD=x,ADE的面积为y.(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；(2)A A D E的面积何时最大，最大面积是多少？(3)求当tanNECA=4时，4 A D E的面积.