2023届湖南省常德市高三年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

2023届 湖 南 省 常 德 市 高 三 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1,已 知 集 合=x，-3x+240,B=x|-2x2）（则（）A.0,2 B.0 0 c.2,2 口.0【答 案】B【分 析】先 求 A,再 应 用 交 集 运 算，得 出/C 8 即 可.【详 解】因 为 4=-3X+2 4 0,所 以,=1,2所 以“n s=口，2故 选：B.Z2.已 知 复 数 z=3-i,则 复 数 z-2i在 复 平 面 内 对 应 的 点 所 在 的 象 限 为（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限【答 案】Az _ 1 2.-=I i【分 析】由 题 知|z-2i 3 3,再 根 据 复 数 的 几 何 意 义 求 解 即 可.【详 解】解：因 为 z=3-i,z _ 3+i _（3+i）（3+3i）_ 6+12i _ 1 2.所 以 二 一 孩 51 一 3 画 面 司-3+5 1所 以，复 数 z-2i在 复 平 面 内 对 应 的 点 的 坐 标 为 13 3人 在 第 一 象 限.故 选：A3.已 知 向 量】满 足 屋=2,且=（3 T）,则 向 量：在 向 量 力 上 的 投 影 向 量 为（）A.专 告 B.豪 A I M）D.隹 弓）【答 案】D【分 析】根 据 投 影 向 量 的 概 念 直 接 求 解 即 可.【详 解】解：因 为*1 满 足 5=2,且 石=8-4）,b a-b 625，25所 以 1/）厂=5，向 量-。在 向 量 一 方 上 的 投 影 向 量 为 0 故 选：D4.沙 漏 是 我 国 古 代 的 一 种 计 时 工 具，是 用 两 个 完 全 相 同 的 圆 锥 顶 对 顶 叠 放 在 一 起 组 成 的（如 图）.在 一 个 圆 锥 中 装 满 沙 子，放 在 上 方，沙 子 就 从 顶 点 处 漏 到 另 一 个 圆 锥 中，假 定 沙 子 漏 下 来 的 速 度 是 恒 定 的.已 知 一 个 沙 漏 中 沙 子 全 部 从 一 个 圆 锥 中 漏 到 另 一 个 圆 锥 中 需 用 时 80分 钟.设 经 过 f分 钟 沙 漏 上 方 圆 锥 中 的 沙 子 的 高 度 与 下 方 圆 锥 中 的 沙 子 的 高 度 恰 好 相 等（假 定 沙 堆 的 底 面 是 水 平 的）,则 f的 值 为（）A.10 B.20 C.60 D.70【答 案】D【分 析】上 方 圆 锥 的 空 白 部 分 就 是 下 方 圆 锥 中 的 沙 子 部 分，且 上 方 沙 漏 中 沙 子 的 高 度 为 一 个 沙 漏 的 高 的 一 半，进 而 计 算 下 方 沙 漏 沙 子 的 体 积，计 算 即 可.【详 解】解：因 为 沙 漏 上 方 圆 锥 中 的 沙 子 的 高 度 与 下 方 圆 锥 中 的 沙 子 的 高 度 恰 好 相 等 所 以 上 方 圆 锥 的 空 白 部 分 就 是 下 方 圆 锥 中 的 沙 子 部 分，且 上 方 沙 漏 中 沙 子 的 高 度 为 一 个 沙 漏 的 高 的 一 半，所 以 可 以 单 独 研 究 上 方 圆 锥，其 高 度 为 一 个 圆 锥 的 一 半，沙 子 形 成 的 圆 面 的 半 径 为 圆 锥 底 面 圆 半 径 的 一 半，设 圆 锥 的 高 为，底 面 半 径 为，则 上 方 沙 子 的 体 积 为 所 以，上 方 此 时 剩 的 沙 子 占 总 沙 子 的 8,下 方 圆 锥 中 的 沙 子 占 总 沙 子 的 8因 为 一 个 沙 漏 中 沙 子 全 部 从 一 个 圆 锥 中 漏 到 另 一 个 圆 锥 中 需 用 时 80分 钟，7 7-x80=70所 以，当 8 的 沙 子 从 一 个 沙 漏 中 漏 到 另 一 个 沙 漏 中，需 要 8 分 钟，所 以，经 过 7。分 钟 沙 漏 上 方 圆 锥 中 的 沙 子 的 高 度 与 下 方 圆 锥 中 的 沙 子 的 高 度 恰 好 相 等 故 选：D5.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 点 尸 对 为 角 a 终 边 上 的 点，则 cos2a+c o s a=（）【分 析】由 三 角 函 数 定 义 得 5,再 根 据 二 倍 角 公 式 计 算 即 可.8 13 22 27A.25 B.25 C.25 D.25【答 案】A3cos a=-【详 解】解：因 为 点 尸 G，4）为 角。终 边 上 的 点，3.4coscif=,sina=所 以，由 三 角 函 数 的 定 义 知 5 5,c C 2 c 9 1 3 8cos 2a+cos a=2 cos-cr-14-cos a=2x-1+=所 以 25 5 25故 选：A6.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 直 线 人+3歹-9=与 圆 C+=相 交 的 弦 长 为 4人，则 a=（）A.-8 B.-2 C.2 D.8【答 案】A【分 析】将 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程，的 圆 心 坐 标 及 半 径，由 弦 长，圆 心 到 直 线 的 距 离，半 径 的 关 系 建 立 方 程，解 出 a.【详 解】圆 C：/一 2+/+。=0,即（x i y+/=l-a,圆 心 为 0，）,半 径 r=d J 9|_圆 心 到 直 线 好+3 k 9=0 的 距 离 为 5+32,直 线 与 圆 相 交 的 弦 长 为 2）尸 一/=2&-0-1=4 及,得 a=-8.故 选：A.2.3 e2a=b=c=7.已 知 ln2,ln3,2,则（）A.ahc B.bcaC.b a c D.a c b【答 案】C【分 析】先 比 较 a/的 大 小 关 系，然 后 构 造 函 数（一 蒜 利 用 导 数 判 断/（“）的 单 调 性,由 此 求 得，c 的 大 小 关 系，进 而 求 得 正 确 答 案.【详 解】2a=-In 21 1,3 1 1-h-.=-=-J n 2 in 2 1n 4 3）n33/)6,、622=2=8 33=32=9 1 1 1 1I),I；,所 以 2233,0ln22l)/。)=器 9构 造 函 数,)InC),0 n x),所 以 在 区 间（，（x）J（x）递 减,yfc 2所 以/（孤）/Q）,即 In五 ln2,-延 2五 一 2石=”-1-2府 a C 即 故 选：c8.己 知 双 曲 线 的 左 右 焦 点 分 别 为 6、过 百 的 直 线 与 曲 线 C 的 左 右 两 支 分 别 交 于 点 N,且 1GMi:|N|:|MN|=1:2:3,则 曲 线 C 的 离 心 率 为（）V 33/22 7nA.2 B.3 C.3 D.3【答 案】B【分 析】设 由 陷=进 而 结 合 双 曲 线 的 定 义 得 X=。，山 M=，阳 M=2a,|MN|=3a,忻 M=3a,进 而 在 结 合 余 弦 定 理 求 得 c o s d N F c o s/M M,进 而 得 加。=怎，再 求 离 心 率 即 可.【详 解】解：如 图,设 阳 M=L 因 为|即 的 昨 1:2:3,所 以 E M=2X,|MV|=3X,由 双 曲 线 的 定 义 得：山 M-内 M T M M+|g H 6 M=4x-2x2a,F2M-FxM=2a所 以，x=a,忸 M=a,图 M=2a,|M=3 a,内 般|=3&,所 以，在 中,cos 4M N F,加 2：|呷 2二 产|二 9/+4/一 9叽 2 2|A7|W|12-3a-2a 3C O SNFNF-I 朋 5,_ 1 6 a-_ 5在 可 生 中，2 2|NE|N用 2-4a-2a 4/因 为 cos NF、NF?=cos 乙 MNF?5a2-c2_ 所 以 4a2 3,即 1 1/=3c?,y/lia=y/3cc J 二 而 二 屈 所 以。6 3二、多 选 题 9.已 知 抛 物 线 C：V=4 x,。为 坐 标 原 点，点 尸 为 直 线 x=-2上 一 点，过 点 尸 作 抛 物 线 C 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 4 B,则（）A.抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为（0,1）B.抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=7C.直 线 一 定 过 抛 物 线 的 焦 点 D.O P1AB【答 案】BD【分 析】根 据 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 和 准 线 方 程，结 合 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 进 行 判 断 即 可.【详 解】由 抛 物 线 C：V=4 x 可 知，焦 点 坐 标 为（L0）,准 线 方 程 为 x=-l,故 选 项 A 不 正 确，选 项 B 正 确；设 尸（-2,机），显 然 直 线 尸/存 在 斜 率 且 不 为 零，设 为 方 程 为 V-m=%（x+2）,=左 炉-4+温+4加=0与 抛 物 线 方 程 联 立，得 U-m（x+2）,因 为 4 是 该 抛 物 线 的 切 线,所 以=(-4)-4勺(8后+4m)=0=2k；+km-1=0一 4 2 1-=且 A 的 纵 坐 标 为：之 勺 占，代 入 抛 物 线 方 程 中 可 得 A 的 横 坐 标 为：用，设 直 线 P/存 在 斜 率 且 不 为 零，设 为 质,-4 _ 2 1同 理 可 得：2月+%2加-1=0,且 8 的 纵 坐 标 为：2&七，横 坐 标 为 代，,+,_竺 kk-1显 然 匕、&是 方 程 2*+如 Ll=的 两 个 不 等 实 根，所 以 H L-5，x2,除 k.tn 2k.k.m okAARB-kOopP=-；-=-=1 _ 1-2 k,+k2-2 _m肝 一 肝 m2因 为 所 以 因 此 选 项 D 正 确;2_由 上 可 知：力 台 的 斜 率 为 加，2 2 1y-=(x-)n mk；y-2mk=2k；x-2直 线 45 的 方 程 为：&m k-2k；+ktn-1=0=ktn=1 2k；所 以 有(左 一 2硝 y-2(1-2k；)=2k；x一 2 n(1-)y=2k、(x-2),所 以 直 线 N 8 一 定 过(2,),显 然 该 点 不 是 抛 物 线 的 焦 点，因 此 选 项 C 不 正 确,故 选：BD【点 睛】关 键 点 睛：根 据 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 关 系、判 别 式 是 解 题 的 关 键.7 7乙、/(x+-)+/(x)=0 y=/(x-)10.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 X)满 足 2，且 4 为 奇 函 数，则 下 列 说 法 一 定 正 确 的 是()A.B.C.7函 数/a)的 周 期 为 57(,0)函 数/(X)的 图 象 关 于 4 对 称 函 数/()为 偶 函 数 D.7A、x=函 数“用 的 图 象 关 于 4 对 称【答 案】BC7 7/(XH)+/(1)=、y)【分 析】由 2 得 函 数 X)的 一 个 周 期，由 4 是 奇 函 数 得 函 数 的 对 称 中 心,两 条 件 结 合 得 函 数 X)的 奇 偶 性.7 7/、/(%+-)+/(%)=0/(%+-)=-/(%)【详 解】E t l 27,得 八 2，八/7 1/7 7、x+-/U+-+-)=将 2代 入，2 2-小+)=-/(、),即),所 以 函 数/(x)的 一 个 周 期 为 7,A 项 错 误;7 八 7 一 7y=f(x-)f(-x)=-f(x)由.4,是 奇 函 数 得 八-4,7 7 7f(x+-)=-/(x)f(-x-)=-f(x)因 为 八 2，八 J和 八 4，-47,7 7 7 7 7 7f(x-+-)=-f(x-)=J-x-)=_/,(r所 以 4 2 4 4 4 2,7 7即 4 4,所 以/(、)的 图 象 关 于 中 心 对 称，B 项 正 确，D 项 错 误;J/.XI/7-47-474入 代 7-4X-将 74为 以 因 所 7-4-JX=7-27XT74+予 得-x)=/(x),即 函 数/(X)为 偶 函 数，c 项 正 确.故 选：BC.II.下 列 说 法 正 确 的 是()A.数 据 6,5,3,4,2,7,8,9 的 上 四 分 位 数 为 7B.若 阳，)，且 函 数 x)=P(x4J4x+2)为 偶 函 数，则=1C.若 随 机 事 件 4 8 满 足：尸 H)+*)=1 则 4 8 相 互 独 立 D.已 知 采 用 分 层 抽 样 得 到 的 样 本 数 据 由 两 部 分 组 成，第 一 部 分 样 本 数 据 工(=12，)的 平 均 数 为 五 方 差 为 V；第 二 部 分 样 本 数 据%0=1，2,，)的 平 均 数 为 工，方 差 为 s；,若 总 的 样 本 方 差 为 2_S；+S；_ _s 2,则 x=y【答 案】BCD【分 析】根 据 偶 函 数 的 定 义 及 正 态 曲 线 的 对 称 性 即 可 判 断 B,根 据 百 分 位 数 的 概 念 即 可 判 断 A,根 据 对 立 事 件 的 概 率 公 式，条 件 概 率 公 式，独 立 事 件 的 积 事 件 的 乘 法 公 式 即 可 求 解 C；根 据 平 均 数 和 方 差 的 计 算 公 式 即 可 化 简 求 解 D.【详 解】对 A,数 据 6,5,3,4,2,7,8,9 按 从 小 到 大 排 列 为：8x2=62,3,4,5,6,7,8,9 一 共 8 个 数，又 4-=7.5,该 数 据 的 上 四 分 位 数 为 2,故 A 错 误；对 于 B J函 数/（x）=P（x 4 J 4 x+2）为 偶 函 数，=:.P(-x-x+2)=P(x x+2)乂 J N(,CT2)区 间 r，r+2 与 区 间 卜/+2 关 于 x=对 称，-X+x+2 x+2-x,/.=-=-=12 2,故 B 正 确：对 C,0 P(A)1(0 尸(8)1,且 P(/|B)+P(X)=1P(AB)=-P(A)=P(A),名 l _ p(公.P(B)-:.P(AB)=P(A)P(B),故 4 8 相 互 独 立，所 以 C 正 确；对 D,第 一 部 分 样 本 数 据%（=12，）的 平 均 数 为 x,方 差 为 1；则 l i J第 二 部 分 样 本 数 据 0=L2,，）的 平 均 数 为 y,方 差 为 则 若 总 的 样 本 方 差 为,2+为 2-2 亨=0 _ 引+净-=_习=0=故 D 正 确，故 选：BCD1 2.如 图，已 知 正 方 体.8-4 跳 也 的 棱 长 为 2,5 尸 分 别 是 棱 8 C C G 的 中 点，P是 侧 面 8 0 G 4 内（含 边 界）的 动 点，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 直 线 4 P 与 平 面 Z E F 平 行，则 三 棱 锥 尸-4 E F 的 体 积 为 3B.若 直 线 4 P 与 平 面 Z E F 平 行，则 直 线 4 4 上 存 在 唯 一 的 点 0,使 得。与 4 尸 始 终 垂 直 C.若 4 尸=右，则 E P 的 最 小 值 为 6-1D.若 4 尸=四 则 布 麻 的 最 大 值 为 4亚【答 案】ABC【分 析】取 棱 的 中 点,连 接 4，4 N,进 而 证 明 平 面 4 N/平 面”所 得 p 的 轨 迹 即 为 线 段 M N,再 讨 论 A B 选 项 即 可 得 判 断；当 4 0=时，点 P 的 轨 迹 为 以 名 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 在 平 面 8 C G 4 内 的 圆 弧，再 分 别 讨 论 C D 选 项 即 可.【详 解】解:取 棱 即 出 G 的 中 点 M”,连 接/M 4 M g s G,因 为 棱 A G 的 中 点,E，尸 分 别 是 棱 8C,CG的 中 点，所 以 MNBCJ/EF,MEIiBB、,ME=BB因 为 AA/BB,AAX-BB、所 以 M E/44 M E=AAX所 以，四 边 形 4 M 以 为 平 行 四 边 形，所 以 4 拉 坐 因 为 平 面/尸，4E,EFu平 面 4EF,所 以 4 M 平 面 ZEF,N M/平 面 AEF,因 为 AM fl M N=M,A】M、M N u 平 面 A】M N所 以 平 面 平 面 所 以，直 线 4 P 与 平 面/E尸 平 行，尸 的 轨 迹 即 为 线 段 WN,故 对 于 A 选 项，A/F=21-|4-4 X-2 X1X 1）|=1t三 棱 锥 P-/E 尸 的 体 积 为 _ _ 1 _ 2 P-AEF=V-PEF=S APEF e A B=3 3,故 A 正 确；对 于 B 选 项，要 使 得 D Q 与 4 尸 始 终 垂 直，则 面 故 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 D（0,0,0）,Q（2,4,2）（。e R）,4（2,0,2）,M（1,2,2）,N（2,2,1）,所 以 而=（2,卬 2）,而=（-1,2,0）,丽=（0,2,-1）,所 以。0 4 M=-2+2a=0且 Q.4N=2 2=0,解 得 a=l,即。（21,2）,所 以，直 线 4 片 上 存 在 唯 一 的 点 2（4 与 中 点），使 得。与 4 P 始 终 垂 直，故 B 正 确；当 4 0=石 时，所 以 4P=+=&,解 得 咫=1,所 以 点 尸 的 轨 迹 为 以 因 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 在 平 面 8 C G 片 内 的 圆 弧，对 于 C 选 项，由 于 8=石，故 E P 的 最 小 值 为 用-1=石 一 1,故 C 正 确；对 于 D 选 项，而 麻=跳-而 麻=而 乐-丽 麻=耶 丽=丽.瓯 cos（空，叫=2及 cos（印 麻 8 2 生 当 且 仅 当 cs（用，鸵）=1时 等 号 成 立，所 以，羽 年 的 最 大 值 为 2及，故 D 错 误.三、填 空 题 13.已 知 函 数 x）=e T-a l n x i,若 曲 线 V=x）在 点。，/）处 的 切 线 与 直 线 2x+y-l=0垂 直,则 切 线 的 方 程 为【答 案】x-2y=0【分 析】根 据 切 线 的 斜 率 求 得。，从 而 求 得 切 点 坐 标，进 而 求 得 切 线 方 程.【详 解】直 线 2x+-l=的 斜 率 为-2,所 以 切 线 的 斜 率 为 5.，(x)=e，T_?,r(l)=_a=；,a=；/(x)=e i nx J,=1-0=-所 以 2 2 八,2 2,y _L=所 以 切 线 方 程 为 2 2V，,即 x-2y=0故 答 案 为：x_2y=03 卜-尸 214.的 展 开 式 中 的 常 数 项 为.【答 案】96f-l|p-y+2 1 x y+2【分 析】I*人 J 的 展 开 式 的 常 数 项 由 与 J 的 展 开 式 中 的 P 项 的 乘 积，和/1、6x3-y+2与 I 1 的 展 开 式 中 的 常 数 项 的 乘 积 组 成，分 别 求 出 即 可.c 1 XI xi1 y Y(-Y+2 x3 y+2【详 解】由 题，,X 八 J 的 展 开 式 中 得 常 数 项，则 I 1 的 展 开 式 中 的 y 的 指 数 应 为 0,/1 6(_1丫 1 x-y+2-xCx x5 x(-j；)x23=160X 与 I J 的 展 开 式 中 的 X,项 的 乘 积 为“(I 6/1 0 x-y+2-lxCx x5 x(_y)x26=_64-1与(1 的 展 开 式 中 的 常 数 项 的 乘 积 为【JL 7+2所 以 lx 八)的 展 开 式 的 常 数 项 为 160-64=96,故 答 案 为：96.f(x)=2sin|cox-|(C9 0)15.若 函 数 I 6J 内 存 在 唯 一 极 值 点，且 在 71 2兀 5 3 上 单 调 递 减，则。的 取 值 范 围 为.(2,|【答 案】I 2 工 巴。史 乂/竺 加【分 析】由 题 知 2 3 6 2,解 得 2 3 4 5,进 而 根 据 2 6 6 3，结 合 题 意 得2兀 兀，3兀 3 6 2569，解 得 2,综 合 即 可 得 答 案.【详 解】解:当 时,7 1cox e67 1 7 1 7 1一,一(O-6 3 6n 27t当 2，-3 时,兀 C O X G67 1 兀 2花 兀-C O-,-C D-2 6 3 6因 为 函 数/(x)=2 s i n(s-:)0 0)在%内 存 在 唯 一 极 值 点，,7 1 7 1 所 以 2 3兀,3兀 0)6-2,解 得 2 0)7 1 2元 在 3 上 单 调 递 减,7 i n C O-G2 65兀 7兀 6 32 7 c 兀，3兀 co 一 所 以，3 6 2,解 得 22综 上，0 的 取 值 范 围 为 故 答 案 为:1 6.已 知 数 列”满 足 首 项=L+，4+2,为 奇 数 3%,为 偶 数 则 数 列%的 前 2 项 的 和 为 答 案 4 x 3-4-4【分 析】当 为 奇 数 时，由 递 推 关 系 得“2=3%七=3(4“+2),构 造%+3 为 等 比 数 列，可 求 出 通 项，结 合 a向=”+2 即 可 分 组 求 和.详 解 当 为 奇 数 时，为+2=3a“”=3“+2),即 4*2+3=3“+3),此 时。”+3 为 以 q+3=4为 首 项，公 比 为 3 的 等 比 数 列,为+3=故。“+3，限+3,%+3an n-z2+3 ann-44+3 a.1+3n-1，(+3)=4,3 3即%=4 3 2-3S2 n=a+“2+%+%+一+2，1+2=6+(|+2)+4+(%+2)+一,+42-1+(a2 n-l+2)=2(q+/+.+0,)+2“=2(4 30-3+4 31-3+-+4 3 3)+2 23(1-3)1-3-3由 2=4 3 4 40故 答 案 为：4x3-4,7-4【点 睛】本 题 解 题 关 键 是 根 据 题 意 找 到 相 邻 奇 数 项 或 偶 数 项 之 间 的 递 推 关 系，从 而 求 出 当 为 奇 数 或 为 偶 数 时 的 通 项 公 式，再 通 过 相 邻 两 项 的 关 系 求 出 前 2 项 的 和.四、解 答 题 3 o 二 此 17.已 知 数 列%的 首 项 且 满 足“羽+2-3(1)求 证：数 列 1 1-+-(2)若 WI%1+.+是 等 比 数 列；101为，求 满 足 条 件 的 最 大 整 数 的 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)33aX _3-3【分 析】(1)由 3a，+2化 简 出 勺+|与 间 的 关 系，证 明 结 论；w(2)利 用 第 一 问 的 结 果 对 1 4 求 和，令 其 小 于 101,解 出 比“工 工 3二 匕 3)【详 解】(1)证 明：由*，+2,得 偿 血，即%3%,3=3=0 3 1 2%3 3,所 以 是 以 3 为 首 项，W 为 公 比 的 等 比 数 列.1(2)由(1)可 得：a沏+(2)-1101 3+(知-1020令 3，即 3,设 3，,当”2 1 时，3 3又/(33)0,所 以 满 足 不 等 式 的 最 大 整 数 附=33.所 以/单 调 递 增,18.如 图，在 梯 形 中，ADHBC,且 4 D=2,BC=4（2）若 N D=2NB,证 明：为 直 角 三 角 形.977【答 案】（1）丁（2）证 明 见 解 析【分 析】（1）利 用 余 弦 定 理 列 方 程 求 得 C,求 得 s i n/8 C 4 s i n N O D,进 而 求 得 求 梯 形 Z 8 C Q 的 面 积；（2）设 4=a,Z A C B=9,利 用 正 弦 定 理 列 方 程，结 合 三 角 恒 等 变 换 的 知 识 求 得 2,从 而 证 得 为 直 角 三 角 形.AC2+BC1-AB2 AC2+7“nc cos Z.BCA=-=-【详 解】(1)在 中，由 余 弦 定 理 得 2AC BC 8AC,cosZCAD=A C+A D-C D=1在 A/C。中，由 余 弦 定 理 得 2AC AD 4AC,AC2+1 AC2由 N8C4=N。有，SAC=4 J C,解 得/C=J7,cos Z.BCA=”=,D r,n,sin Z.BCA=8/c 4,又 N8G4e(0,兀)，4,&m Z.CAD=同 理 可 求 得 4,梯 形/B C D 的 面 积:S=S.ABC+S.ACD=B C ACsin NBCA+-JD-JCsin Z C A D=-2 2 4(2)设 N B=a,Z.ACB=0,则 Z D=2a,Z B A C=n-a-0 y Z A C D=n-2 a-0 fA C B C在“B C 中，由 正 弦 定 理 得 sin 8 sin A B A C,A C A D在 A/C Z)中，由 正 弦 定 理 得 sin。sin Z A C D,sin 2a _ 2sin(2a+6)由 得：sina-sin(a+。)，化 简 得，cos a sin(a+0)=sin(2a+9)AC 4-gp sin a sin(a+0)，AC _ 2gp sin 2a sin(2a+8),又 sin(2a+。)=sina+(a+。)=sin a cos+0)+cos a sin(a+9)所 以 sin a cos(a+6)=0,又 a（0,兀）,a+6（0,兀），a+0=-B A C=-所 以 2,2,力 B C 为 直 角 三 角 形.1 9.如 图 所 示 的 几 何 体 是 由 等 高 的 直 三 棱 柱 和 半 个 圆 柱 组 合 而 成，点 G 为 芯 的 中 点，D E 为 半 个圆 柱 上 底 面 的 直 径，且 N8CF=90。，CD=CB=CF=2.”为 B C的 中 点.（1）证 明：平 面 平 面 G W；（2）若。是 线 段“E 上 一 动 点，求 直 线 与 平 面 G C F所 成 角 的 正 弦 的 最 大 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析 2石 丁【分 析】（1）证 明 平 面 CG尸，O E/平 面 CG尸 即 可 证 明 结 论；（2）以 C 为 原 点，分 别 以 圆,。7,。为 x,%z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 坐 标 法 求 解 即 可.【详 解】（1）证 明：取。E 的 中 点，连 接 用 G、M H,MGHADI1HC 旦 MG=HC=四 边 形 为 平 行 四 边 形，/.MH/CG,又 M/cz 平 面 GCT7,C G u 平 面 GC/./0 平 面。6尸-DE/CF 9 又 Q E a 平 面 G W,C F u 平 面 GC/.D E 平 面 CG77,v DECMH=M,MH,DE u 平 面 DHE.平 面。/平 面 GCF（2）解：如 图，以 C 为 原 点，分 别 以 0民，C。为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则/（2,0,2）,C（0,0,0）,尸（0,2,0）,G（-1,1,2）,，（1,0,0）,E（0,2,2）设 面 CGF 的 法 向 量=（x，%z）,CF=（0,2,0）,CG=（-l,l,2）C F n O j2 y=0所 以 CG斤=0,即-x+y+2z=0,令 z=i 得 x=2,y=0,故=（2,0,1）因 为。是 线 段 处 上 一 动 点,所 以，设。=2七=（一 4242/1）0,1,则 力。=4+。=（一 1 一 7,24,24一 2）设 所 求 线 面 角 为 巴 sin，=辰（4 0,二|2 2+2 21国（7-1）2+4力+（22 _ 2）2所 以，所 以，当 3 时，sine取 得 最 大 值 为 54石，9 g-62+520.常 益 长 高 铁 的 试 运 营，标 志 着 我 省 迈 入“市 市 通 高 铁”的 新 时 代.常 益 长 高 铁 全 线 长 157公 里，共 设 有 常 德 站、汉 寿 站、益 阳 南 站、宁 乡 西 站、长 沙 西 站 5 个 车 站.在 试 运 营 期 间，铁 路 公 司 随 机 选 取 了 乘 坐 常 德 开 往 长 沙 西 站 G6575次 复 兴 号 列 车 的 200名 乘 客，记 录 了 他 们 的 乘 车 情 况，得 到 下 表(单 位：人)：下 车 站 上 车 站 汉 寿 站 益 阳 南 站 宁 乡 西 站 长 沙 西 站 总 计 常 德 站 10 20 10 40 80汉 寿 站 10 10 20 40益 阳 南 站 10 40 50宁 乡 西 站 30 30总 计 10 30 30 130 200(用 频 率 代 替 概 率)(1)从 这 200名 乘 客 中 任 选 一 人，求 该 乘 客 仅 乘 坐 一 站 的 概 率；(2)在 试 营 运 期 间，从 常 德 上 车 的 乘 客 中 任 选 3 人，设 这 3 人 到 长 沙 西 站 下 车 的 人 数 为 X,求 X 的 分布 列，及 其 期 望；（3）已 知 德 山 经 开 区 的 居 民 到 常 德 站 乘 车 的 概 率 为 0.6,到 汉 寿 站 乘 车 的 概 率 为 0.4,若 经 过 益 阳 南 站 后 高 铁 上 有 一 位 来 自 德 山 经 开 区 的 乘 客，求 该 乘 客 到 长 沙 西 站 下 车 的 概 率.【答 案】（1）0.33（2）分 布 列 见 解 析，256（3）75【分 析】（1）根 据 仅 乘 坐 一 站 的 乘 客 有 60人，并 根 据 古 典 概 型 计 算 即 可：（2）由 题 知，这 3 人 到 长 沙 西 站 下 车 的 人 数 I 2人 进 而 根 据 二 项 分 布 求 解 即 可；（3）根 据 条 件 概 率 公 式 和 全 概 率 公 式 计 算 求 解 即 可；【详 解】（1）解：由 表 中 数 据 可 知，仅 乘 坐 一 站 的 乘 客 有 10+10+10+30=60人，P=0.3所 以，这 200名 乘 客 中 任 选 一 人，该 乘 客 仅 乘 坐 一 站 的 概 率 200.p=40=l（2）解：从 常 德 上 车 的 乘 客 到 长 沙 西 站 下 车 的 概 率 一 80一 2,所 以，根 据 频 率 估 计 概 率，从 常 德 上 车 的 乘 客 中 任 选 3 人，设 这 3 人 到 长 沙 西 站 下 车 的 人 数 所 以 其 概 率 分 布 列 如 下:9X 0 1 2 3P8383881，E（X）=3 x-=-（3）解：记 事 件 该 乘 客 在 过 益 阳 南 站 后 到 长 沙 西 站 下 车,记 事 件 片:该 乘 客 在 常 德 站 上 车，记 事 件 与：该 乘 客 在 汉 寿 站 上 车.所 以，尸（2=0.6,P（层）=0.4,由 表 中 数 据 可 知，经 过 益 阳 南 站 后，从 常 德 站 上 车 的 乘 客 还 有 50人，40人 在 长 沙 西 站 下 车;从 汉 寿 站 上 车，经 过 益 阳 南 站 后，乘 客 还 有 30人，其 中 在 长 沙 西 站 下 车 的 有 20人；所 以,P Q 嗡=|所 以 P（Z）=P（4）P（川 用）+2（层/（川 层）=0.6xg+0.4xg=|56所 以 该 乘 客 到 长 沙 西 站 下 车 的 概 率 行.、C:1+A=l（a b 0）21.已 知 点 尸（2）为 椭 圆 a2 b2 上 的 一 点，椭 圆 C 的 离 心 率 为 2.AX（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）如 图，过 点 尸 作 直 线/八 12,分 别 交 椭 圆 于 另 一 点“、R,直 线/”6 交 直 线/：x=3于 N,S,设 直 线/”4 的 斜 率 分 别 为 自，心，且 肩+后=0,若 APMS面 积 是 面 积 的 2 倍，求 直 线 的 方 程.【答 案】（1）8 2【分 析】（1）由 题 意 可 得 关 于 a/4 的 方 程 组，从 而 可 求 出 进 而 可 求 出 椭 圆 C 的 方 程；记 忆=尢，设“即 必），砥 程 为）,直 线/八=+（1-2行；直 线 如 y=-h+（l+2Z）,将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立，化 简 再 利 用 根 与 系 数 的 关 系，结 合 弦 长 公 式 表 示 出 U M I,则 可 表 示 出 PMP M=2PR同 理 可 表 示 出 1年|,然 后 由 APMS面 积 是 面 积 的 2 倍，可 得 1尸 W|PS|,从 而 可 求 出 后 的 值，进 而 可 求 出 直 线 方 程.c _/3a 2a2=b2+c【详 解】（1）由 题 可 知 解 得:=8,从=2椭 圆 IC 的 方 程 为 8 2.（2）记 无=尢，设“（芭，必），火 H，%）,则 直 线/y=kx+（S-2k）.直 线 小*+。+2幻,_ 1 ln(+l)(2)证 明：当 w N*,2 x 2 4 x 3 6 x 4 2(+1)【答 案】(1)答 案 见 解 析(2)证 明 见 解 析 21nx 1a+【分 析】（1）由 题 意 可 得 X X2,.21nx 1g(x)=-)-构 造 函 数 X 厂 然 后 利 用 导 数 求 出 其 单 调 区 间,从 而 可 求 出 其 零 点 的 个 数;F（x）=2 n x-x+,x e 1,+oo）c vn ln x V：（x）（2）令 X,利 用 导 数 可 求 得 尸（x）V F（D=,即 2 x,则 有,+1 2+1in-=的 实 数 解，即 X XAg(x)=令 21nxx1+7E g(X)则 2(x-x ln x-1)令 h(x)=x-x In x-1 h(x)=-Inx b当 xe(O,l)时，h(x)Ot(x)单 调 递 增;当 xe(l,+8)时,h(x)Oj%(x)单 调 递 减.-J?(x)/i(l)=OgXx)4-CO,、2lnxg(x)=-X+与-0厂.g(x)0,所 以 当 y=a 与 函 数 g（x）有 一 个 交 点，/（X）有 一 个 零 点;当。40,N=a 与 函 数 g（x）没 有 交 点，x）无 零 点 F(x)=21n.r-x+,X G 1,+CO)(2)令 x9(X)=2-4-I=E V OX X X。)在 口，+8)单 调 递 减,F(x)F(l)=0lnx(x-):.2 x.,7 7 4-1In-In 4-In+In 4-bln,2x2 4x3 6x4 2n(n+)-1 2 3 n3 5 7 2+1-1-1-F H即 2x2 4x3 6x4-2(+1)ln(+1)【点 睛】关 键 点 点 睛：此 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用，考 查 利 用 导 数 证 明 不 等 式，第 1 1/1/1+1F(x)=2lnx-x+,xe 1,+oo)Inx(x-)In-键 是 构 造 函 数 x，再 利 用 导 数 可 得 2 x,则 问 解 题 的 关 21+12(+1),从 而 可 证 得 结 论，考 查 数 学 转 化 思 想，属 于 较 难 题.