江苏省南京市六校2022-2023学年高三上学期12月期末联考数学试题（含答案解析）.pdf

江苏省南京市六校2022-2023学年高三上学期12月期末联考数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知集合4=卜2 卜 /+2 +320,3=y|y 2 ,则 A C|8=（）A.0 B.-1,2）C.0,1 D.-1,0,12.已知复数z 的共轨复数1 满足Z（l+i）=3+5i（i 为虚数单位），则复数z=（）A.l+4i B.-l+4i C.4-i D.4+i3.“8”是“方程Y+y2+2x+4y+a=0表示圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.抛物线y=-4/上的一点M 到焦点距离为2,则点M 的纵坐标是（）31 33A.-B.-C.1 D.316 165.2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔 弗兰泡沫，威尔 弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1,则该多面体表面积是（）开尔文胞体A.9肉6C.12 石+6D.12 百+86.有甲乙丙丁 4 名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4 名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3 个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（）7.已知椭圆工+t=1的左焦点为F,点尸在椭圆上且在x轴的上方.若线段尸尸的中9 5点在以原点。为圆心，|O F|为半径的圆上，则直线P F的斜率是（）C.2百c =l g 1,则（）C.b c aD.2D.c a 0）上的一点，以抛物线的焦点厂为圆心、以E4为半径的圆交抛物线的准线于民C 两点，记 N B F C =6,若1282sin?。一 sin26=3cosO-sin。，且AABC的面积为行-,则实数的值为四、解答题1 7 .在“3C中，a,b,c 分别为内角A,B,C的对边，c s i n 一厂=0 s i n C.求角8 的大小；I I 2(2)若-+-=-,b=2,求AABC的面积.t a n A t a n C t a n B1 8.已知数列/满足4=5,all+=2 a+3-n2.(1)求证：数列%-2-2 为等比数列；(2)若数列 ,满足,=。“_ 2 ,求=:+：+,+；“I“2”n1 9 .经观测，某昆虫的产卵数y与温度*有关，现将收集到的温度x,和产卵数%(i =l,2,1 0)的 1 0 组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.1 U/=1(1)根据散点图判断，y =a +b x,y =a +4 与 y =哪一个适宜作为 与 之间的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根 据(1)的判断结果及表中数据.试求y关于x 回归方程；已知用人工培养该昆虫的成本人(x)与温度*和产卵数y的关系为(x)=x(l ny-2.4)+17 0,当 温 度 x(x取整数)为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据(4,、)，(“2,岭)，(，匕)，其回归直线丫=。+6”的斜率和截距试卷第4页，共 5页的最小二乘估计分别为夕=上匕-，av-pii.i=l2 0.如图，四边形 A8C。是正方形，E41.平面 ABC。，AE/BF,A E =2 BF=2.(1)证明：平面4。_1平 面 跖。；(2)若CF与平面AEC所成角为30。，求二面角F-EC-D的余弦值.2 22 1.已知椭圆(7:=+4=1伍 60)的左右焦点分别为6(一2,0),长(2,0).过点6的直a b线/与椭圆C交 于 两 点，过点写作AB的垂线交椭圆C于M,N两点，AMNE的周长为4#.(1)求椭圆C的方程；MN(2)求 岛 的 取 值 范 围.A82 2.已知函数/(x)=办2-x+lnx(a,be R).(1)当a=l,6=3时，求/(x)的单调区间；(2)当，=2时，若函数/(x)有两个不同的极值点巧，巧，且不等式/(%)+)占+吃+，有解，求实数f的取值范围；(3)设g(x)=/(x)-o r2,若g(x)有两个相异零点巧,x2,求证：xxx2 e2.参考答案：1.D【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A,再利用交集运算求解.【详解】因为A=-1,0,123,B=y|y i)=亍=4+i则复数z=4-i.故选：C.3.B【分析】根据圆的一般是方程表示圆的条件得a 0,解得。5所以“a 8”是“a 0,解得a 5,所以“a 8”是“a 5”的必要不充分条件.故选:B.4.A【分析】将抛物线方程化为标准方程可得焦点坐标，利用抛物线焦半径公式可构造方程求得结果.答案第1 页，共 15页【详解】抛物线方程可化为：=_%,则其焦点坐标为1,一、:1Q 1设 伍,几,则画-%=2,解得：%=-”10 10故选：A.5.C【分析】由已知得最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1 个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有8 个，分别求得正方形和正六边形的面积可得答案.【详解】棱长为1 的正方形的面积为1x1=1,正六边形的面积为6 x x l x l x =2 叵，2 2 2又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24 个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1 个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6 x4+3 =8 个，所以该多面体的表面积为8 x8+6 =12百+6,2故选：C.6.A【分析】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，以A为样本空间，利用古典概率公式求解作答.【详解】用事件4表示“甲被安排到了冰壶”，8表示“乙被安排到了冰壶”，在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A 发生的条件下，事件8发生，相当于以A 为样本空间，考查事件8发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB,包含的样本点数nAB)=A；=2 ,事件A 发生的样本点数(A)=C；A；+A；=1 2 ,所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为尸(8|4)=3 竽=!.(A)1 2 6故选：A7.A【分析】结合图像利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示圆的方程，与椭圆方程联立进一步求解，求出交点坐标即可求解.答案第2页，共 1 5 页y【详解】由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得1Ml=2|。叫=4,2 2设 P(x,y)可得(x-2)2+y2=1 6,与 椭 圆 方 程:=1联立，解得x=_ g 或=(舍)，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得从坐2 2 I 2 2 J巫 一 0所以无-=x/15故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.8.B【分析】利用三角函数的诱导公式、对数的运算性质即可求解.【详解】V a=sin(-8 1 0)-1,c=lg|=-lg5/io,G 71.1 .(33*乃乃 2 t a ni .-=a c -,Z?=tan 一 一 =-tan,因为tan：=-=1,2 I 8 J 8 4 j_ta n28*tan =5/2 1 ,因为yp2 1 ,所以cx2,故 B 正确；对于C,甲组数据比乙组数据稳定，s：s；,故 C 错误;对于D,甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故 D 正确.故选：BD.10.BD【分析】对于选项A,可以举反例判断；对于选项BD可以证明；对于选项C 可以举反例.【详解】对于选项A,平面a 和尸可能相交，所以选项A 是假命题；对于选项B,由可知aH/3,再由a u a,可得夕，故选项B 是真命题；对于选项C,直线“与平面/可能相交，故选项C 是假命题；对于选项D,由a/夕，加_La可知，再由/日，可得mJL，故选项D 是真命题.故选：BD【点睛】方法点睛：空间直线平面位置关系的判断，常用的方法有：（1）举反例；（2）直接证明；（3）反证.要根据己知条件灵活选择方法判断得解.11.ACD【分析】设归耳|=加，归段=，由双曲线定义可得加=+2 a；利用血表示出已知中的4不等关系，得到2,。；根据已知中的等式，结合二次函数性质可构造关于，c 的齐次不等式，由此可求得离心率的范围，进而确定结果.【详解】设|尸 耳|二加，|尸用二,由双曲线定义知:m-n =2a,即m=+2zz,由 21P国 9俨闾得：2/n=2n+4a a；由|尸 制 =4|O可 一|尸 乙 得：=2+4an+4a2=4c2-n2，4c2=2tr+4an+4a2 2x a2+a2+4a2=-a2,/.c2-a2,49 7 49 49 双 曲 线 离 心 率 姬，则选项中可能的值为姬，姬，、陛.a 7 7 6 V48答案第4 页，共 15页故选：ACD.12.ABD【分析】利用面面平行的性质定理判断四边形B E R F的形状，由此研究截面的周长，判断D,再利用锥体的体积公式研究四棱锥片-8 E R 厂的体积，判断A,利用线面垂直判定定理判断 B,通过举例判断C.【详解】由面面平行的性质定理可得四边形8 0 尸 为平行四边形，所以四棱锥4-8 已尸的体积等于三棱锥4 -B R E 的体积的两倍，,-B E D,F =VB,-BDJE=%S.8sl X D ,又s,明,D C 都是定值，所以四棱锥用-B ER F的体积为定值，A 对，当 BE_LB/C时，,?CDLBE,B E B IC,由线面垂直判断定理可得8E_L平面8/CD,BE工BQ,又 BB=BIDI，B/D A-BD/)：.平面 B E,B 对，当 E 运动到点C 处时，不存在相应的点G,使得CG平面E8R,C 错，由面面平行的性质定理可得四边形S E R F 为平行四边形，CE BC二 截面四边形B EA F的周长为2(B E+E Q),当有77=、八时,BE+E。取最小值，此时截面四边形BER尸的周长最小，故存在唯一的点E,使得截面四边形8。尸 的周长取得最小值，D 对，故选：ABD.答案第5 页，共 15页1 3.2 x+y-2 兀+1 =0【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程.【详解】：y =2 c o s x-s i n x,r.y=2 s i n x+c o s x在、=兀处的切线斜率 =2C O S T T s i n 7 t =-2 ,又2 s i n 7 t+c o s 7 t =1,，所求切线方程为：y+l =-2(x 兀)，即2 x+y 2 兀+1 =0.故答案为：2 x+y-2 兀+1=0.1 4.1 0 1 0【解析】利川 2 0 1 9 =|+(%+/)+(。4 +4 5 )+(“2 0 1 8 +%0 1 9)即可求解.【详解】解：5 2 0 1 9=4+(2+4)+(“4+。5)+，+(“2 0 1 8 +“2 0 1 9 )=1+(2-1 0 0 9)+(4-1 0 0 9)+.+(2 0 1 8 1 0 0 9),、1 0 0 9 x(1 0 0 9-1 0 0 7)=1 +(-1 0 0 7-1 0 0 5-1 0 0 3-.+1+.+1 0 0 9)=1 +-=1 0 1 0.故答案为：1 0 1 0.【点睛】本题考查数列求和的并项求和方法，属于基础题.1 5.6 8 0【分析】由正态分布曲线的对称性可求得=2,分别确定两个因式的展开式通项，相乘得到新通项后，令 1 0-3 A +r =4,讨论得到r,A 可能的取值，结合通项可求得对应的系数.【详解】v X N(l,o-2)P(X 4 0)=P(X ),答案第6页，共 1 5 页 由正态分布曲线的对称性知：a=2；,.(1+ox)，=(1+2x)3展开式通项为：G(2X)=2，C R(0Wr 3,rGN)；卜+：J 展开式通项为：=2AC*xlo-M(O 0,0+3 cos。-2=sin 6 2 sin 夕 cos 0，.,.(2cos0-l)(cos0+sin0+2)=O,.2cos0-l=0,解得：cos0,2答案第7 页，共 15页7 T 7 T.0ZBFC 0.且？(0弓,所以 sin 8=sin =sjn _ =cos,2 2 2niI.B B B即 2sincos=cos,2 2 2则 sm 二 一,2 2得需，2 o所以8 4/八 1 1 cos A cosC(2)-+-=-+-tan A tan C sin A sm C答案第8 页，共 15页cos AsinC+cos Csin A，sin Asin C_ sin(A+C)_ sinB-，sin Asin C sin Asin Cd 2 2cos 8 1又-=-=-,tan B sin B sin B所以 sin Asin C=sin2 B,所以 ac=/=4,故SABC=；acsin B=0.3H +518.(1)证明见详解；(2)Tn=4(+【分析】(1)利用等比数列的定义即可证明.(2)由(1)求出2=(+2),再利用裂项相消求和法即可求解.【详解】(1)设C”=4-a 2-2 ,a+l=2an+3-n2,贝 i j +、&alt-n2-2n2an+3-n2-n2-2 n-2 n-2 2(a-/?2-2 ).=2 Z=n Z=2，an-n -2n an-n -2n所以B -2-2 是以2 为首项，以2 为公比的等比数列.(2)由(1)可得4-2-2 =2 ,所以q=2+2 +2所 以 =%-2=2+2”=(+2),.11 1111 1切以 h b2 bn 1x3 2x4 3x5 (+2)If,1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 121 3 2 4 3 5 n-2 n n-n+1 n n+2 J_ U +_1_ _ 3 2+52 v 2 w+1 n+2)4(n+l)(w+2)【点睛】本题考查了利用等比数列的定义判断数列为等比数列、裂项相消求数列和，考查了基本运算能力，属于基础题.19.(1)更适宜；y=j H 3；14.答案第9 页，共 15页【分析】(1)根据样本点分布在一条指数函数的周围，可确定适宜的回归模型.(2)令z =l n y 则 z =C 2 X+l n q,根据已知数据求出c /n q,得回归模型；由得(x),由二次函数性质得最小值.【详解】解：(1)根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以y =适宜作为y与x 之间的回归方程模型;(2)令 z =I n y 则 z +1()卒 一)国 一 可 3 0 02 -1 50-5L(x.x)i=lI n G=z-c2x=-3.33z=-x-3.3 35,-x-3.33,y e e5 (x)=x(l n y-2.4)+1 7 0 =x(x-3.3 3-2.4 j +1 7 0 =x 2 -5 7 3 x +i 7 0=5.7 3、一 不”时，培养成本的预报值最小.X乙5【点睛】本题考查散点图，考查线性回归方程与应用问题，考查了学生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力，本题属于中档题.2 0.(1)证明见解析；(2)-巫.5【分析】(1)连接8。与 AC交于点。，易 得 BD工平面E 4 C,取 E C 的 中 点易得OMFB为平行四边形，即 F M/B。，得到平面E 4 C,然后利用面面垂直的判定定理证明；(2)以A为坐标原点，分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设4 3 =，根据CF与平面A E C 所成角为3 0。，由BDCFBD-CF解得4 =1,然后分别求得平面包心2_ .、一 -m，n的一个法向量m =(x,y,z),平面E F C 的一个法向量=(x ,y ,z ),由c o s=h求m-n解.【详解】(1)如图所示:答案第1 0 页，共 1 5页ED-C连 接 与AC交于点O,因为A 8 C O为正方形，故A C 18。，又E 4 _L平面4 5 8,故E 4_ L 3,由 E 4C|A C=A,故8/平 面E 4C,取E C的中点M,连接nw,注意到O W为/X A CE的中位线，故 O M i/A E,且 A E =2 O M,因此。且。河=3尸，故O M F B为平行四边形，即FM/8。，因此F MJ平面E4 C,而R Wu平面E F C,故平面E 4 C J-平面EFC.(2)以A为坐标原点，分别为x,z轴，建立空间直角坐标系,设 A B=a ,则 D(,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),(0,0,2),F(0,a,1),由(1)可知8 01平面E4 C,因此平面E 4 C的一个法向量为Bi 5=(a,-a,0),而 CF=(-a,(),l),由C尸与平面A C所成角为30。，得 BDCF 1BD-CF2答案第I I页，共1 5页,2即 L ,=:，解得。=1；J2a-la2+1 2贝 欣=(-1,-1,2),反=(0,1,0),设平面EDC的一个法向量为m=(x,y,z),则无公。m-CE=0.y=0,-x-y +2z=0,令 z=l,则x=2,y=。，故味=(2,(),1).设平面EFC的一个法向量G =(x,y,z),:邕得则-x +z=0,-x -y+2zf=0,令 z=l,则 x=i,y=i,故 =.所 以 cos=mn=7=3 7=-V-1-5-，m-n|V5-V3 5注意到二面角F-E C-O 为钝二面角,故 二 面 角 的 余 弦 值 为 一 半2 1-(144=1加【分析】(D 根据题意得c=2,再通过AMNK的周长为4#求出。，即可计算得到椭圆方程；MN(2)先讨论直线/与x 轴重合和垂直的情况，再计算一般情况，得 到 号 的 表 达 式，然后计算范围.【详解】(1)由题，c=2由椭圆定义，AAW 的周长为4a=4#n a =布，所以2后 刀;弧所以椭圆C 的 方 程 为 二+己=1.6 2答案第12页，共 15页（2）当轴时，MN与x轴重合，不符合题意,当直线/与x轴重合时，|MN|=,=半,|A 8|=2 a =2#，所 以 翳=（；当直线/斜率存在且不为0时，设/:x =（y-2,A（X ，X）,B（和y 2），M N:x =-2+3（产+3）/_ 4/=2 =0,A=（4r）2+8（r2+3）024r由韦达定理y%二-产有，X +%二产百所以|A B|=J l+/|y%|=川+/跖=2 /6-产+13?+1同理|M N|=2而综上所述，黑的取值范围是5 3）.2 2.（1）单调递增区间为（0,；（1，田），单调递减区间为（；，1 （2）（,-5）；（3）证明见解析.【分析】（1）当。=1,6=3时，求得导函数，利用导函数与单调性的关系进行求解；（2）利用导数与极值的关系转化为方程2以2 一2+1=0有两个不相等的正实数根，利用二次函数的图象和性质及韦达定理求得。的取值范围，不等式/（办）+/（工2）%+，有解，转化为，/（%）+*2）-。+）岫，/（%）+/（3一（玉+）利用韦达定理的结论可以整理为关于实数“的函数，进而利用导数进行研究求得其最大值即得/的取值范围;（3）设g（x）的两个相异零点为为，巧，设司*2（）,将要证不等式中2 ，转化为l n x,+l n x22,进一步可转化为I n 土 生*，设r =2 1上式转化为I n t纱二。（f 1）,x2 xx+x2 x2 f +1 然后构造函数*（f）=l n f-受?，利用导数研究单调性进而证明即可.【详解】解：（1）当a=l,6 =3时，/（力=/一3x+l n x,二/（x）=2x-3+L 2-Jx+1 =（x 7）（2x l）,X X X答案第1 3页，共1 5页x 0,令则 0 x l,令r(x)o,则;工1,./(X)的单调递增区间为(0,；。，内)，单调递减区间为6(2)证明：由题可得/(X)=2 ：2x +1 a 0),:函 数/(x)=o r?一 2x+I n x 有两个不同的极值点A ,，方程2x +l =0 有两个不相等的正实数根,于是有A =4-8 a 0+x2=-0 解得 0 a 02 a:不等式/a)+/(w)玉 +X?+r 有解，t /(x j+f (w)-(X|+%)n m././(X J +/(%2)(X j+/)=竭-2 xt 4-l n x,+谒-2A+l n x2 _(玉+x2)=(%+W)-2X/2 3(x +工2)+1 口(玉%2)=-2 1 一 1 口(20).设 仆)=-/-l-l n(2a)(0 a 0,故网a)在(0,；上单调递增，故(“)=一 5,：.t 0,欲证X|X 2 e?,需证I n%+1 1 1 2.g(x j=，g(毛)=()，/.I n%一 如=0,I n x2 bx2=0,；I n 玉-l n x2=Z?(X j-x9),I n x +l n x =b(%+%,).要证I n%1+l n%2 2,即证&+9)2,I n x,一 I n%,2即!-X j-X2 X +x2即n上生 匚 出x2%+x2答案第1 4页，共 1 5 页设=五1 上式转化为l n r 也二Dr +1设q(r)=l n/_ 2(，=R。,(+1)一，3（r）在（1 收）上单调递增,/.9 )火 1)=0,l n?-r +1I n xt+I n x2 2,/.xtx2 e2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题，利用导数证明不等式恒成立问题，属于较难试题.关键是转化思想和构造函数思想，数量掌握并使用导数研究函数的单调性是关键能力要求.第（2）小题中，利用极值的条件将关于极值点的表达式转化为。的函数，第（3）小题中，将双变量问题转化为单变量函数问题是要注意体会和掌握的重要方法.答案第1 5 页，共 1 5 页