2023年一元一次方程知识点总结.pdf

一 元 一 次 方 程 方 程 的 有 关 概 念 W 实 基 础 等 式 用 等 号（，=）来 表 达 相 等 关 系 的 式 子 叫 做 等 式。/温 馨 提 醒、等 式 可 以 是 数 字 算 式，可 以 是 公 式、方 程，也 可 以 是 运 算 律、运 算 法 则 等，所 以 等 式 可 以 表 达 不 同 的 意 义。不 能 将 等 式 与 代 数 式 混 淆，等 式 具 有 等 号，是 表 达 两 个 式 子 的“相 等 关 系”，而 代 数 式 不 含 号，它 只 能 作 为 等 式 的 一 边。如 5x+3=7-2 x 力 是 等 式。-二.等 式 的 性 质 性 质 1：等 式 两 边 同 时 加（或 减）同 一 个 数（或 式 子）,结 果 仍 相 等。即 假 如 那 么 a c=b c o性 质 2：等 式 两 边 同 时 乘 同 一 个 数，或 除 以 同 一 个 不 为 0 的 数，结 果 仍 相 等。即 假 如 a=b,那 么 ac=庆;假 如 a=6（c H 0），那 么-=_ C C_（k 馨 提 醒 A 等 式 类 似 天 平，当 天 平 两 端 放 有 相 同 质 量 的 物 体 时，天 平 处 在 平 衡 状 态。若 在 天 平 的 两 端 各 加（或 减）相 同 质 量 的 物 体，则 天 平 仍 处 在 平 衡 状 态。所 以 运 用 等 式 性 质 1 时,当 等 式 两 边 都 加 上（或 减 去）同 一 个 数 或 同 一 个 整 式 时，才 干 保 证 所 得 的 结 果 仍 是 等 式，应 特 别 注 意“都”和“同 一 个。如 l+x=3,左 边 加 2,右 边 也 加 2,则 有 l+x+2=3+2。运 用 等 式 的 性 质 2 时，等 式 两 边 不 能 同 除 以 0,由 于 0 不 能 作 除 数 或 分 母.等 式 性 质 的 延 伸:a.对 称 性:等 式 左、右 两 边 互 换，所 得 结 果 仍 是 等 式，即 假 如 a=,夕 么 b=a。b.传 递 性:假 如 a=c,那 么 a=c（也 叫 等 量 代 换）。例 1:用 适 当 的 数 或 整 式 填 空，使 所 得 的 结 果 仍 为 等 式，并 说 明 根 据 等 式 哪 一 条 性 质，以 及 如 何 变 形 得 到 的。4 4(1)彳 民 4口 一 x 11=5,刃 口 么 一 x=5+3 3-(2)假 如 ox+/?y=c,那 么 or=c+4 3(3)假 如/=?,那 么 f=o3 4-三.方 程 具 有 未 知 数 的 等 式 叫 做 方 程。温 馨 提 醒 方 程 有 两 层 含 义：方 程 必 须 是 一 个 等 式,即 是 用 等 号 连 接 而 成 的 式 子。方 程 中 必 有 个 待 拟 定 的 数，即:未 知 的.字 灯，这 个 字 母 就 是 未 知 数，如 x+2 1,-，四.方 程 与 等 式 的 区 别 与 联 系 五.方 程 的 解 与 解 方 程 概 念 及 其 特 点 区 别 联 系 方 程 具 有 未 知 数 的 等 式 叫 做 方 程。一 个 式 子 是 方 程，要 满 足 两 个 条 件:一 是 等 式，二 具 有 未 知 数。方 程 一 定 是 等 式，并 且 是 具 有 未 知 数 的 等 式。方 程 是 特 殊 的 等 式。等 式 用 等 号 来 表 达 相 等 关 系 的 式 子 叫 做 等 式。等 式 的 主 体 是 相 等 关 系。等 式 不 一 定 是 方 程，由 于 等 式 不 一 定 具 有 未 知 数。方 程 和 等 式 的 关 系 式 从 属 关 系，且 有 不 可 逆 性。，辅 馨 提 醒 A内 容 实 质 方 程 的 解 使 方 程 中 档 号 左 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 叫 做 方 程 的 解 具 体 的 数 值 解 方 程 求 方 程 的 解 的 过 程 叫 做 解 方 程 变 形 的 过 程 检 查 一 个 数 是 否 是 方 程 的 解，只 要 用 这 个 数 代 替 方 程 中 的 未 知 数，假 如 方 程 两 边 的 值 相 等，那 么 这 个 数 就 是 方 程 的 解;假 如 不 相 等,这 个 数 就 不 是 方 程 的 解。方 程 也 许 无 解，也 许 只 有 一 个 解，也 也 许 有 多 个 解。_)等 式 的 基 本 性 质 是 解 方 程 的 依 据。方 程 的 解 释 结 果,而 解 方 程 是 得 到 这 个 结 果 的 一 个 过 程。例 3：下 列 方 程 中 解 为 x=2 的 是()A.3x+3=x B.x+3=0C.2x=6 D.5x-2=8例 4：运 用 等 式 的 性 质 解 下 列 方 程：(1)6x+2=7x 5x 6=2x+3掌 握 方 法 一.等 量 关 系 的 拟 定 方 法 列 方 程 解 应 用 题 是 初 中 数 学 的 一 个 重 点 也 是 一 个 难 点，要 突 破 这 一 难 关,学 会 寻 找 等 量 关 系 是 关 键,那 么 如 何 寻 找 应 用 题 中 的 等 量 关 系 呢？(1)从 关 键 词 中 找 等 量 关 系；(2)对 于 同 一 个 量,从 不 同 角 度 用 不 同 的 方 法 表 达,得 到 等 量 关 系；(3)运 用 基 本 公 式 找 等 量 关 系；(4)运 用 不 变 量 找 等 量 关 系。例 1:某 村 原 有 林 地 108公 顷，旱 地 54 公 顷，为 保 护 环 境，需 把 一 部 分 旱 她 改 造 为 林 地，使 旱 地 面 积 占 林 地 面 积 的 20%,设 把 x 公 顷 旱 地 改 为 林 地，则 可 列 方 程 为()。A.54-x=20%xl08B.54 x=20%(108+x)C.54+x=20%xl62 D.108-x=20%(54+x)二.运 用 方 程 的 解 求 待 定 字 母 的 方 法 运 用 方 程 的 解 求 方 程 中 的 待 定 字 母 时，只 要 将 方 程 的 解 代 入 方 程,得 到 关 于 待 定 字 母 的 方 程,即 可 解 决 问 题。例 2：已 知 x=2 是 关 于 x 的 方 程+左=左。+2)的 解，则 攵 的 值 应 为()oA.9c1D.1一 元 一 次 方 程 解 一 元 一 次 方 程 W 实 基 础 一 元 一 次 方 程 1.定 义：只 具 有 一 个 未 知 数(元)，未 知 数 的 次 数 都 是 1,等 号 两 边 都 是 整 式，这 样 的 方 程 叫 做 一 元 一 次 方 程。2.标 准 形 式:方 程 以+人=0(其 中 X是 未 知 数,4、人 是 已 知 数，并 且 叫 做 一 元 一 次 方 程 的 标 准 形 式。温 馨 提 醒 一 元 一 次 方 程 中 未 知 数 所 在 的 式 子 是 整 式，即 分 母 不 含 未 知 数。一 元 一 次 方 程 只 具 有 一 个 未 知 数，未 知 数 的 次 数 都 为 1。如 _!_=3,1+丁=6,炉+x+2 一 6=0 都 不 是 一 元 一 次 方 程。例 1:下 列 方 程 中，哪 些 是 一 元 一 次 方 程?哪 些 不 是？(1)5+4x=l l;(2)2 x+y=5;(3)x2-5 x+6=0;(4)=3;(5)2Z 1+2=1。x 2 3二.移 项 1.定 义:把 等 式 一 边 的 某 项 变 号 后 移 到 另 一 边，叫 做 移 项。2.示 例:解 方 程 3x 2=2x+5时,可 在 方 程 的 两 边 先 加 2，再 减 2x,得 3x 2+2 2x=2x+5+2-2 x,即 变 形 为 3x-2x=5+2。与 原 方 程 比 较，这 个 变 形 过 程 如 下：3x 2|=2x|+53.rP2|=52l(温 馨 提 醒 移 项 的 原 理 就 是 等 式 的 性 质 1。_ 7 移 项 所 移 动 的 是 方 程 中 的 项，并 且 是 从 方 程 的 一 边 移 到 另 一 边，而 不 是 方 程 的 一 边 互 换 两 个 项 的 位 置。移 项 时 一 定 要 改 变 所 移 动 的 项 的 符 号，不 移 动 的 项 不 能 变 号。如 解 方 程 3x=5x-10,若 移 项，得 5x 3x=10就 犯 错 了，因 素 是 被 移 动 的 项“5x”的 符 号 没 有 改 变，而 改 变 了 没 有 被 移 动 的 项“3x”的 符 号。在 移 动 时，最 佳 先 写 左 右 两 动 不 移 动 的 项.再 写 移 来 的 项。/例 2：下 列 各 题 中 的 变 形 为 移 项 的 是()。A.由 4(x+2)=l,得，x+l=l2 2B.由 5x 3=7x+5,得 7x+5=5x-3C.由-x 5+2x=6,得 2x-x-5=6D.由 x 5 8 x，得 x+x=8+5三.去 括 号 与 去 分 母 解 一 元 一 次 方 程 的 最 终 目 的 是 要 得 到“x=a”这 一 结 果。为 了 达 成 这 一 目 的，方 程 中 有 括 号 就 要 根 据 去 括 号 法 则 去 掉 括 号,即 为 去 括 号；方 程 中 有 分 母 的,根 据 等 式 性 质 2 去 掉 分 母，即 为 去 分 母。馨 提 醒(1)解 具 有 括 号 的 一 元 一 次 方 程 时，去 括 号 时 一 般 遵 循 去 括 号 的 基 本 法 则。但 在 实 际 去 括 号 时，应 根 据 方 程 的 结 构 特 点 运 用 一 些 方 法 技 巧，恰 本 地 去 括 号，以 简 化 运 算。对 于 一 些 特 殊 结 构 的 方 程，可 采 用 以 下 去 括 号 的 技 巧：先 去 外 再 去 内。即 在 解 题 时，打 破 常 规，不 是 由 内 到 外 去 括 号，而 是 由 外 到 内 去 括 号。整 体 合 并 去 括 号。有 些 方 程，把 具 有 的 某 些 多 项 式 看 作 整 体，先 合 并，再 去 括 号，往 往 会 简 1 3朴。如,解 方 程 一 x(x8)=(x 8)时，可 把 8看 作 整 体 先 合 并，再 去 括 号。2 2(2)去 分 母 时，在 方 程 两 边 要 同 时 乘 以 所 有 分 母 的 最 小 公 倍 数，不 要 漏 乘 不 含 分 母 的 项。当“母 时 小 数 时，需 要 把 分 母 化 整。同 时 注 意 分 母 化 整 只 与 这 一 项 有 关，而 与 其 他 项 无 关 必 与 去 分 母 区 分 开。例 3:下 列 方 程 去 括 号 对 的 的 是()oA.由 2x 3(4 2幻=6 得 2x12-2x=6B.由 2x 3(4-2%)=6 得 21一 126工=6C.由 2x 3(4 2x)=6 得 2x12+6x=6D.由 2x3(4-2x)=6 得 2x 3+6x=6例 4：方 程 3x+三 二=3-三 2,去 分 母 对 的 的 是()。3 2A.18x+2(2x 1)=18 3(x+l)B.3x+(2x 1)3(x+1)C.18x+(2x 1)=18(x+1)D.3x+2(2x 1)=3 3(x+1)四.解 一 元 一 次 方 程 的 一 般 环 节 环 节 具 体 做 法 变 形 依 据 去 分 母 在 方 程 的 两 边 同 乘 各 分 母 的 最 小 公 倍 数 等 式 性 质 2去 括 号 先 去 小 括 号，再 去 中 括 号，最 后 去 大 括 号 去 括 号 法 则、分 派 律 移 项 把 具 有 未 知 数 的 项 移 到 方 程 的 一 边，其 它 各 项 都 移 到 方 程 的 另 一 边(记 住 移 项 要 变 号)等 式 性 质 1合 并 同 类 项 把 方 程 化 为 ax=b(a 0)的 形 式 合 并 同 类 项 法 则 系 数 化 为 1在 方 程 的 两 边 都 除 以 未 知 数 的 系 数。，b得 到 方 程 的 解 元=a等 式 性 质 2(温 馨 提 醒、1.解 一 元 一 次 方 程 的 五 个 环 节,有 些 也 许 用 不 到,有 些 也 许 反 复 使 用，不 一 定 按 顺 序 进 行，根 据 方 程 的 特 点 灵 活 运 用。2.在 解 方 程 的 不 用 环 节 有 各 自 不 同 的 注 意 事 项，分 别 如 下：去 分 母(1)分 子 是 多 项 式 的，去 分 母 后 要 加 括 号；(2)不 要 漏 乘 不 含 分 母 的 项Y例-5 7解 二 元=次 方 程-E WI i 三 幺 7 r三 _ 名 in x3 2去 括 号(1)括 号 前 的 数 要 乘 括 号 内 的 每 一 项；(2)括 号 前 面 是 负 数,去 掉 括 号 后，括 号 内 各 项 都 要 变 号 移 项(1)移 项 时 不 要 漏 项；(2)将 方 程 中 的 项 从 一 边 移 到 另 一 边 要 变 号,而 在 方 程 同 一 边 改 变 项 的 位 置 时 不 变 号 合 并 同 类 项 按 合 并 同 类 项 法 则 进 行,不 要 漏 乘 且 系 数 的 符 号 解 决 要 得 当 系 数 化 为 1(1)未 知 数 的 系 数 为 整 数 或 小 数 时，方 程 两 边 同 除 以 该 系 数；(2)未 知 数 的 系 数 为 分 数 时,方 程 两 边 同 乘 该 系 数 的 倒 数 掌 握 方 法 一.一 元 一 次 方 程 概 念 的 应 用 原 方 程 为 一 元 一 次 方 程，即 未 知 数 的 次 数 为 1,系 数 不 为 0,由 此 来 拟 定 原 方 程 中 待 定 字 母 的 值。例 1:若 2xm-2+1=2 是 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程，则 m=;(2)若 方 程(加 一 4)x+2014=2015是 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程，则 机=。二.运 用 合 并 同 类 项 与 移 项 解 方 程 的 方 法(1)合 并 同 类 项 时，不 能 用 连 等 号 与 原 方 程 相 连。(2)几 个 常 数 项 也 是 同 类 项，移 项 时 应 当 把 它 们 放 到 一 起。(3)移 项 时 把 某 项 改 变 符 号 后 移 到 等 式 的 另 一 边,而 不 是 等 式 一 边 的 两 项 互 换 位 置。(4)移 项 必 变 号，不 变 号 不 能 移 项。1 3例 2：解 方 程：(1)3 x+7=322 x;(2)-a-6=-a-la2 4三.运 用 去 分 母 解 方 程 的 方 法 运 用 等 式 的 性 质 2,在 方 程 的 两 边 同 时 乘 各 分 母 的 最 小 公 倍 数，将 分 母 去 掉，把 系 数 为 分 数 的 方 程 转 化 为 系 数 为 整 数 的 方 程。(1)分 数 线 具 有 括 号 的 作 用，分 子 假 如 是 一 个 多 项 式,去 掉 分 母 后，要 把 分 母 后，要 把 分 子 放 在 括 号 里。(2)去 分 母 时，不 能 漏 乘 不 含 分 母 的 项。例 3：解 方 程 土 二 1+3=2。2 3四.含 小 数 的 一 元 一 次 方 程 的 解 法 将 小 数 化 成 整 数，是 根 据 分 数 的 基 本 性 质 把 含 小 数 的 项 的 分 子、分 母 乘 同 一 个 适 当 的 数,而 不 是 方 程 所 有 的 项 都 乘 这 个 数。小 数 化 成 整 数，是 对 分 母 含 小 数 的 项 的 恒 等 变 形。局“”3 0.4%-9 x-5 0.03+0.02%例 4：解 万 程：-=-,0.5 2 0.03五.有 关 同 解 方 程 的 解 题 方 法 假 如 两 个 方 程 的 解 相 同，那 么 我 们 把 这 两 个 方 程 称 为 同 解 方 程。已 知 两 个 一 元 一 次 方 程 是 同 解 方 程，求 其 中 待 定 字 母 的 取 值,重 要 有 两 种 常 见 题 型，其 解 法 有 所 不 同。（1）在 两 个 同 解 方 程 中，假 如 只 有 一 个 方 程 中 具 有 待 定 字 母，一 般 先 解 不 含 待 定 字 母 的 方 程，再 把 未 知 数 的 值 代 入 具 有 待 定 字 母 的 方 程 中，求 出 待 定 字 母 的 值。（2）假 如 在 两 个 同 解 方 程 中 都 具 有 相 同 的 待 定 字 母，一 般 是 分 别 解 两 个 方 程，用 这 个 待 定 字 母 分 别 表 达 两 个 方 程 的 解,并 建 立 等 式,形 成 关 于 这 个 待 定 字 母 的 方 程，求 出 该 待 定 字 母 的 值。例 5：已 知 方 程 2（x-l）+1=x 的 解 与 关 于 x 的 方 程 3（x+附=m-1的 解 相 同，求 m 的 值。十 一 元 一 次 方 程 列 一 元 一 次 方 程 解 应 用 题 夯 实 基 础 一.列 一 元 一 次 方 程 解 应 用 题 的 一 般 环 节（1）审：弄 清 题 意 和 题 目 中 的 数 量 关 系。（2）设:用 字 母 表 达 题 目 中 的 一 个 未 知 量。（3）找:找 出 可 以 表 达 应 用 题 所 有 含 义 的 一 个 相 等 关 系。（4）列:根 据 这 个 相 等 关 系 列 出 方 程。（5）解：解 所 列 的 方 程，求 出 未 知 数 的 值。（6）验:检 查 方 程 的 解 是 否 符 合 问 题 的 实 际 意 义。（7）答：写 出 答 案。二.设 未 知 数 的 几 种 方 法 设 未 知 数 的 方 法 有 三 种：（1）直 接 设 未 知 数：题 目 求 什 么 就 设 什 么 为 未 知 数。（2）间 接 设 未 知 数:对 于 一 些 应 用 题，假 如 直 接 设 所 求 的 量 为 未 知 数,也 许 不 容 易 列 方 程，这 时 可 以 间 接 地 设 一 个 或 几 个 与 所 求 的 量 有 关 系 的 量 作 为 未 知 数，进 而 求 出 所 求 的 量。（3）设 辅 助 未 知 数：假 如 前 两 种 方 法 都 行 不 通，便 可 设 某 个 量 为 辅 助 未 知 数，辅 助 未 知 数 仅 作 为 题 目 中 量 与 量 之 间 关 系 的 一 种 桥 梁，一 般 情 况 下，解 方 程 时 不 需 规 定 出 这 个 量。温 馨 提 醒 采 用 直 接 设 未 知 数 的 方 法，原 则 是 使 分 析 条 件 更 方 便，列 方 程 更 简 朴,这 样 比 较 容 易 得 到 方 程，同 时 还 要 兼 顾 所 得 到 的 方 程 求 解 时 难 易。直 接 设 未 知 数，好 处 是 容 易 选 取 未 知 数，并 且 在 解 方 程 时 可 以 直 接 得 到 问 题 的 解。假 如 题 目 里 涉 及 的 几 个 量 存 在 某 种 数 量 关 系 或 某 种 比 例 关 系，多 采 用 间 接 设 未 知 数 的 方 法，间 接 设 未 知 数 是 在 直 接 设 未 知 数、分 析 条 件 或 列 方 程 感 到 困 难 的 时 候 才 采 用 的 方 法。其 优 点 是 列 出 方 程 和 解 方 程 的 过 程 都 比 较 容 易。假 如 应 用 题 涉 及 的 量 较 多，各 量 之 间 的 关 系 又 不 明 显，若 能 设 立 适 当 的 辅 助 未 知 数，把 不 明 显 的 关 系 表 达 出 来，就 可 以 顺 利 地 列 出 方 程 或 方 程 组。例 1:通 讯 员 原 计 划 5 h 从 甲 地 到 乙 地，由 于 任 务 紧 急，他 每 小 时 比 原 计 划 快 3km,结 果 提 前 1 h 到 达，求 甲、乙 两 地 间 的 距 离。解 析：解 法 一：直 接 设 未 知 数。设 甲、乙 两 地 间 的 距 离 为 xkm。运 用 速 度 间 的 关 系 作 相 等 关 系：原 计 划 速 度+3=实 际 速 度，得 2+3=上，解 得 x=60。5 5-1解 法 二：间 接 设 未 知 数，设 原 计 划 的 速 度 为 x km/h,则 实 际 的 速 度 为（x+3）km/ho运 用 路 程 关 系 作 相 等 关 系：原 计 划 的 路 程=实 际 的 路 程，得 5x=（5 l）-（x+3）,解 得 x=1 2,甲、乙 两 她 的 距 离 为 5x=5xl2=60（如 力。答：甲、乙 两 地 的 距 离 为 60km。例 2：一 只 船 在 逆 水 中 航 行，船 上 的 一 只 救 生 圈 掉 入 水 中，5 分 钟 后，发 现 救 生 圈 落 水，船 掉 头 去 追 赶 救 生 圈，几 分 钟 可 以 追 上 救 生 圈？（船 掉 头 的 时 间 忽 略 不 计）解 析：（设 辅 助 未 知 数）设 船 在 静 水 中 的 航 行 速 度 为 4 米/分，水 流 速 度 为 8 米/分，f分 钟 后 船 可 以 追 上 落 水 的 救 生 圈。根 据 题 意，得（a+b）t-b t 5 b+5（a-b）o at=5a,t=5 答：5 分 钟 后 船 可 以 追 上 落 水 的 救 生 圈。三.一 元 一 次 方 程 应 用 题 的 常 见 类 型 内 容。题 中 涉 及 的 数 量 关 系 及 公 式 等 量 关 系 注 意 事 项 和、差、倍 分 问 题 增 长 量=原 有 量 X 增 长 率 现 有 量=原 有 量+增 长 量 现 有 量=原 有 量-减 少 量 由 题 可 知 弄 清“倍 数”关 系 及“多”“少”关 系 等 等 积 变 形 问 题 长 方 体 体 积=长 又 宽 乂 高 圆 柱 体 积=乃/（力 为 高，为 底 面 圆 半 径）变 形 前 后 体 积 相 等 要 分 清 半 径、直 径 行 程 问 题 相 遇 问 题 路 程=速 度 X 时 间 时 间=路 程+速 度 速 度=路 程+时 间 快 车 行 驶 路 程+慢 车 行 驶 路 程=原 距 离 相 向 而 行,注 意 出 发 时 间、地 点 追 及 问 题 快 车 行 驶 路 程-慢 车 行 驶 距 离=原 距 离 同 向 而 行,注 意 出 发 时 间、地 点 航 行 问 题 顺 水 速 度=静 水 速 度+水 速 逆 水 速 度=静 水 速 度-水 速 路 程=速 度 X 时 间 注 意 两 地 距 离,静 水 速 度 不 变 型 内 容 题 中 涉 及 的 数 量 关 系 及 公 式 等 量 关 系 注 意 事 项 调 配 问 题 从 调 配 后 的 数 量 关 系 中 找 等 量 关 系 调 配 对 象 流 动 的 方 向 和 数 量 比 例 分 派 问 题 所 有 数 量=各 种 成 分 的 数 量 之 和 把 一 份 数 设 为 X年 龄 问 题 大 小 两 个 年 龄 差 不 会 变 由 题 可 知 年 龄 增 长 一 年 一 岁，人 人 如 此工 程 问 题 工 作 量=工 作 效 率 X 工 作 时 间 工 作 效 率=工 作 量+工 作 时 间 工 作 时 间=工 作 量+工 作 效 率 两 个 或 几 个 工 作 效 率 不 同 的 对 象 所 完 毕 的 工 作 量 的 和 等 于 总 工 作 量 一 般 情 况 下，把 总 工 作 量 设 为 1利 润 率 问 题 商 品 的 利 润 率=鹦 需 X100%商 品 进 价 商 品 利 润=商 品 售 价-商 品 进 价（成 本 价）由 题 可 知 打 几 折 就 是 按 售 价 的 十 分 之 几 销 售 数 字 问 题（涉 及 日 历 中 的 数 字 规 律）设 a、。分 别 为 一 个 两 位 数 的 个 位、十 位 上 的 数 字，则 这 个 两 位 数 可 表 达 为 10b+a由 题 可 知 对 于 日 历 中 的 数 字 问 题 要 弄 清 日 历 中 的 数 字 规 律；设 间 接 未 知 数 储 蓄 问 题 利 息=本 金 X 利 率 X 期 数 本 息 和=本 金+利 息=本 金 X（1+利 率 X 期 数）由 题 可 知 分 清 利 息 和 本 息 和 浓 度 问 题 溶 液 质 量=溶 质 质 量+溶 液 质 量 百 分 比 浓 度 溶 液 质 量 溶 质 质 量 二 溶 液 质 量 X 比 例 浓 度 加 水 前 溶 质 质 量=加 水 后 溶 质 质 量 加 水 前 含 水 量+加 水 量=加 水 后 水 量 注 意 加 水 前 后 溶 齐 IJ、溶 液 的 变 化 掌 握 方 法 列 一 元 一 次 方 程 解 决 配 套 问 题 在 现 实 生 活 中 常 见 到 一 些 配 套 组 合 问 题，如 螺 栓 与 螺 母 的 配 套，盒 身 与 盒 底 的 配 套 等。解 决 此 类 问 题 的 方 法 是 抓 住 配 套 比，设 出 未 知 数，然 后 根 据 配 套 比 列 出 方 程，通 过 解 方 程 解 决 问 题。例 1：某 场 共 有 120名 生 产 工 人，每 名 工 人 天 天 可 产 生 螺 栓 5 0 个 或 螺 母 20个，假 如 一 个 螺 栓 与 两 个 螺 母 配 成 一 套，那 么 天 天 安 排 多 少 名 工 人 生 产 螺 栓，多 少 人 名 工 人 生 产 螺 母，才 干 使 天 天 生 产 出 来 的 产 品 配 成 最 多 套？二.用 列 表 法 解 决 增 长 率、数 字 等 问 题 解 复 杂 的 问 题 时，可 借 助 表 格 来 拟 定 等 量 关 系。先 找 出 已 知 量、未 知 量，并 用 含 已 知 量 或 未 知 量 的 式 子 把 中 间 的 那 些 起 桥 梁 作 用 的 量 表 达 出 来，同 时 运 用 表 格 显 示 出 等 量 关 系。例 2:已 知 甲、乙 两 种 商 品 的 原 单 价 和 为 1 0 0 元，因 市 场 变 化，甲 商 品 降 价 1 0%,乙 商 品 提 价 5%,调 价 后，甲、乙 两 种 商 品 的 单 价 和 比 原 单 价 和 提 高 了 2%,求 甲、乙 两 种 商 品 的 单 价 各 是 多 少 元。三.用 图 示 法 解 决 行 程、工 程 等 问 题 有 关 工 程、行 程 问 题，经 常 运 用 图 示 表 达 题 目 中 各 量 间 的 关 系，揭 示 出 潜 在 的 条 件，使 问 题 清 楚 明 了，能 迅 速 列 出 方 程，求 解 问 题。例 3:甲、乙 相 距 40km,甲 先 出 发，1.5 h 后 乙 再 出 发，甲 在 后，乙 在 前，两 人 同 向 而 行，甲 的 速 度 是 8 k m/h,乙 的 速 度 是 6 k m/h,问 甲 出 发 多 久 后 追 上 乙？例 4：一 项 工 程，甲 队 单 独 做 1 0小 时 完 毕，乙 队 单 独 做 1 5小 时 完 毕，丙 队 单 独 做 2 0 小 时 完 毕。开 始 时 三 队 合 作，半 途 甲 队 另 有 任 务，由 乙、丙 两 队 完 毕，从 开 始 到 工 程 完 毕 共 用 6 小 时，问 甲 队 实 际 做 了 多 少 小 时？四.列 一 元 一 次 方 程 解 决 销 售 利 润 问 题 常 见 数 量 关 系 注 意 事 项 利 润=售 价-进 价 打 儿 折 就 是 按 原 价 的 百 分 之 几 十 出 售 利 润 率=售 可 以 价 X100%进 价 分 清 利 润 与 利 润 率 例 5:书 店 里 每 本 定 价 1 0 元 的 书，成 本 是 8 元。为 了 促 销，书 店 决 定 让 利 10%给 读 者，问 该 书 应 打 多 少 折？五.列 一 元 一 次 方 程 解 决 比 赛 中 的 积 分 问 题 解 决 比 赛 中 积 分 问 题 要 注 意 问 题 中 积 分 多 少 与 胜 负 的 场 数 相 关，同 时 也 与 比 赛 积 分 规 定 有 关，需 先 规 定 胜 一 场 积 几 分，平 一 场 积 几 分，负 一 场 积 几 分。这 类 问 题 中 的 基 本 等 量 关 系 有：比 赛 总 场 数=胜 场 总 数+平 场 总 数+负 场 总 数 比 赛 总 积 分=胜 场 总 积 分+平 场 总 积 分+负 数 总 积 分 例 6：某 班 一 次 数 学 小 测 验 中，出 了 选 择 题 和 填 空 题 共 2 0 道，总 分 为 1 0 0分，现 从 中 抽 出 5 份 试 卷 进 行 分 析，如 下 表 所 示：试 卷 对 的 个 数 错 误 个 数 得 分 A 1 9 1 94B 18 2 88C 17 3 8 2D 14 6 64E 10 10 40(1)某 同 学 得 7 0分，他 答 对 了 多 少 道 题？(2)有 一 同 学 H说 他 得 8 6 分，另 一 个 同 学 G说 他 得 7 2 分，谁 在 说 谎?六.列 一 元 一 次 方 程 解 决 储 蓄 问 题 解 决 储 蓄 问 题，一 方 面 要 弄 清 以 下 几 个 概 念：顾 客 存 入 银 行 的 钱 叫 本 金，银 行 付 给 顾 客 的 酬 金 叫 利 息，本 金 与 利 息 的 和 叫 本 息 和，存 入 银 行 的 时 间 叫 期 数,每 个 期 数 内 的 利 息 与 本 金 的 比 叫 利 率。根 据 上 述 定 义，每 个 期 数 内 利 息 本 金=利 率，所 以 利 息=本 金 X 利 率 X 期 数,这 个 公 式 是 解 决 储 蓄 问 题 时 常 用 的 等 量 关 系 式。例 7：某 公 司 存 入 银 行 甲、乙 两 种 不 同 性 质 用 途 的 存 款 共 2 0 万 元，甲 种 存 款 的 年 利 率 为 5.5%,乙 种 存 款 的 年 利 率 为 4.5%,该 公 司 一 年 可 获 利 息 共 95 0 0 元，求 甲、乙 两 种 存 款 分 别 为 多 少 元。七.列 一 元 一 次 方 程 解 决 等 积 变 形 问 题 解 等 积 变 形 问 题 的 关 键 是 准 确 牢 记 有 关 图 形 的 体 积、面 积、周 长 公 式。抓 住 两 个 等 量 关 系:形 变 体 积 不 变;有 时 形 变 引 起 体 积 变 化,但 质 量 不 变。例 8:要 锻 造 一 个 底 面 直 径 为 7 0mm,高 为 45mm的 圆 柱 形 零 件 毛 坯，需 要 截 取 底 面 直 径 为 50mm的 圆 柱 钢 材 多 长？(不 算 加 工 余 料)