高考数学复习05概率与统计.pdf

重难点05 概率与统计【高考考试趋势】统计主要考查抽样的统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，几何概型解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注【知识点分析以及满分技巧】1抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.2 .求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪儿个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.3 .离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.【常见题型限时检测】（建议用时：3 5 分钟）一、单选题1.（2 0 2 1 全国高三专题练习（理）某产品的广告费用X与销售额少的统计数据如下表：广告费用X （万元）23456销售额V （万元）1 92 534384 4根据上表可得回归直线方程为夕=6.3X+&,下列说法正确的是（）A.回归直线k6.3x +a 必经过样本点0，1 9）、（6,4 4）B.这组数据的样本中心点G）未必在回归直线y=6.3x+a C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1 万元，销售额实际增加6.3万元D.据此模型预报广告费用为7 万元时销售额为5 0.9 万元【答案】D回归直线N =6.3x +a ,不一定经过任何一个样本点，故 A错；由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点G ，）一定在回归直线i =6.3x +a上，故B错；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1 万元，预测销售额增加6.3万元，故 C错；-1 1X=（2+3+4+5+6）=4 y=（1 9 +2 5 +34 +38 +4 4）=325 ,5 ,将（4,32）代入歹=6.3x +a可得。=6.8,则回归方程为y=6.3x +6.8,x =7 时，尸 6.3x 7+6.8 =5 0.9,故 口 正确.2.（2 0 2 1 全国高三专题练习（理）以下四个命题：从匀速传递的产品生产流水线上，每 30 分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30 0 0 0 高中男生的身高4（单位：cm）服从正态分布N g ）,且尸（1 72 咐8 0）=.4,那么该市身高高于 1 8 0 c 机的高中男生人数大约为30 0 0；随机交量x 服从二项分布8（i 0 o,o4）,若随机变量y =2x+i,则 丫的数学期望为E（y）=8 i,方差为。（丫）=48：分类变量x与y,它们的随机变量犬2的观测值为 ,当越小，“x与y有关系的把握程度越大其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故应是系统抽样，即为假命题；某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高4（单位：cm）服从正态分布N（172,cr）,旦尸（172180）=-P（172（%）=96 时，力 差 为v 7 v 7；故为假命题；对分类变量x与 丫的随机变量A?的观测值上来说，左越小，“x与 丫有关系”的把握程度越小，故为假命题.故选：A.3.（2021安徽宣城市高三期末（理）如图，在圆心角为直角的扇形。4”中，分别以0 A,0”为直径作两个半圆，在扇形04”内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）1A.711B.2C.万 一 42万71 2D.式【答案】D【分析】如图，题中阴影部分的面积可转化为下面右图的阴影部分的面积,设扇形。4”的半径为r,则此点取自阴影部分的概率 4故选：D.4.（2021全国高三专题练习（理）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概 率（）_ 4 5 2A.3 B.9 C.9 D.3【答案】C【分析】设甲到达的时刻为,乙到达的时刻为y 则所有的基本事件构成的区域 0 x 2 4Q=(X,JJ;7)HI 0K 2 4)；这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域o X,2 4A=(X,JO|,o y 2 4x-y.8这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为：S.1 6 x1 6=5P(A)一 丁 -24X24-9.故选：C乙船到达时间/r。8 24甲船到达时间/r5.(2 0 2 1 全国高三专题 练 习(理)设一个正三棱柱N B C -DER,每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面N8C的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行1 0 次，仍然在上底面的概率为4。，则 为()AKII4B.+21【答案】D【分析】由题意，设第 次 爬行后仍然在上底面的概率为月.2 月 1（2 2）若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为3：若上一步在下面，则第-1步不在上面的概率是1 e-”（2 2）如果爬上来，其概率是。，月=匕-1 +:（1一1-1）Pn+Z两 种 事 件 又 是 互 斥 的,3 3，即 3 3,月一5 -4=可.数 列 1 2 J 是以3 为公比的等比数列，而 3,所以，当=10时，k5.旧+5,故选：D.0 6/一,0 p 2即_ 3 p 2+4 pi,解得 3 P 所 以g机引擎的故障率应控制的范围是I 3人故选：c.9.(202卜江苏常州市高三期末)设随机变量。口 N(M)，函数/(x)=+2x 4没有零点的概率是0$,则p(yi)=()附：若G N 3 b 2),则P Q-b X W +b卜0.6826,P(_2b X +2cr”0.95445=A.0 1587 B.0 1359 C.=1 D,0.3413【答案】B【分析】解：函数/(*)=*+2-6没有零点，,二 次方程+2_4=0无实根，；.=4-4(3)0又:/()=x?+2%3没有零点的概率是0.5,尸(彳 一1)=0.5由正态曲线的对称性知：二-1,.*(-1,1).=T,b =l 4 一 b =-2,+b=0,.2cr=-3,/+2CT=1P(-2 J 0)=0.6826 P(-3 J 1)=0.9544P(0 1)=-P(-3 /1)一 P(-2 0）图象的影响时，我们发现，系数4对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数。对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数人对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数/0）=$出 的图象经过四步变换得到函数g（x）=2 sin f 2x-+1 I 3 J 的图象，且已知其中有一步是向右平移3个单位，则变换的方法 共 有（）A.6种 B.12种 C.16种 D.24 种【答案】B【分析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移3个单位,所以要求左右平移变换在周期变换之前，4 =1 2所以变换的方法共有力 种，故选：B.二、解答题1 3.（2 0 2 1 北京顺义区高三期末）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了 2 0 0 0名顾客进行回访，调查结果如下表：运动鞋款式ABCDE回访顾客（人数）70 03 503 0 02 5040 0满意度0.30.50.70.50.6注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值：2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度.假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.（1）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是c款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；（2）从4、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X,求X的分布列和数学期望；(3)用“：=1”和“4=”分别表示对4款式运动鞋满意和不满意，用“=1”和“=”分别表示对8款式运动鞋满意和不满意，试比较方差,()与()的大小.(结论不要求证明)【答案】(I)0-105;(2)分布列见解析，数学期望为E(X)=，9：(3)DW D(G【分析】(1)由表格中的数据可知，2 0 0 0名顾客中是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为70 0 x 0.3 =2 1 0.尸=生 =0.1 0 5因此，所求概率为 2000；(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有、1、2,p(x =0)=(1-o.3)x (1-0.6)=0.2 8p(X =l)=(l-0.3)x 0.6+0.3 x(l-0.6)=0.54尸(X =2)=0.3 x 0.6=0.1 8f所以，随机变量X的分布列如下表所示:X012P0.2 80.540.1 8随机变量x的数学期望/(X)=0 x 0.2 8 +l x 0.54+2 x 08=0.9：(3)D(叫 D(G(理由如下：随机变量？的分布列如下表所示:01P0.70.3 =0 x 0.7+1 x 0.3 =0.3 。=(0 -0.3 7 x 0.7+(1 -0.3 7 x 0.3 =0.2 1随机变量的分布列如下表所示：E=0 x 0.5+1 x 0.5=0.5 0)=(0-0.5)2 x 0.5+(1-0.5)2 x 0.5=0.2 5701P0.50.5所以,0 0.)1 4.(2 0 2 1 海南高三二模)甲、乙两人进行投篮比赛，要 求 他 们 站 在 球 场 上 的8两点处投篮，已知甲在N,B两点的命中率均为2,乙在2点的命中率为0,在3点的命中率为1 一 2 2 2,且他们每次投篮互不影响.(1)若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；(2)若甲和乙每人在幺，8两点各投篮一次，且在力点命中计2分，在8点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为X,乙的得分为丫，写出X和 丫的分布列，若E X =E Y ,求。的值.1 5【答案】(I)1 6；(2)分布列答案见解析，P 2.【分析】解：(1)“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，IL所以甲至多命中3次的概率为 1 6(2)X,y的可能取值均为0,1,2,3.X的分布列为X0123P111144441 ,1 c 1 C 3EX x 1H x 2 H x3=一所以 4 4 4 2.y的分布列为Y0123P2P2(1-p)(1-2P2%p)2P3p(l 一 2P2)y=(l_p)(l_2p2)+4p3+3p(l_ 2 p 2)=+2p_ 2P2,3 1+2p-2p=P-由2,解得 2.15.(2021 北京高三期末)某企业为了解职工4款/P P和8款力p p的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用A 款 APP72人48人40人80人B 款 APP60人60人84人36人假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.(1)分别估计该企业男职工使用A款A P P的概率、该企业女职工使用A款A P P的概率;(2)从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款/P P的人数为X,求X的分布列及数学期望；(3)据电商行业发布的市场分析报告显示，N款N P P的用户中男性占52.0 4%、女性占47.96%.8款N P P的用户中男性占3 8.92%、女性占61.0 8%.试分析该企业职工使用A款4 P p的男、女用户占比情况和使用8款/p p的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.1 4【答案】(1)3；(2)分布列答案见解析，数学期望：1 5；(3)该企业职工使用8A P P的情况与官方发布的男、女用户情况更相符：(1)由所给数据可知，男职工使用/款N P P的人数为72,72 _ 3用频率估计概率，可得男职工使用京东/P P的概率约为1 2 0 5,40 _ 1同理，女职工使用4款/尸尸的概率约为1 2 0 3；(2)X的可能取值为0,1,2,p(x=o)=1-51-33-5 X的分布列为:X012P41 58T?5L/叱、c 4 ,8 c 1 1 4E（X）=0 x F 1 x F 2 x =x的数学期望 1 5 1 5 5 1 5.（3）样本中，/款/P尸的男、女用户为7 2 +4 0=1 1 2（人）,6 4.3 3 5.7其中男用户占U 2%;女用户占1 1 2%,样本中，8款/P P的男、女用户为6 0+8 4 =1 4 4（人）,其中男用户 占 言I,女用户占 58.3%,该企业职工使用BAPP的情况与官方发布的男、女用户情况更相符.16.（2021陕西西安市高三月考（理）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万.从1 岁 到 101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示.签约率（）0 18-30 31-50 51-60 61-70 71-80 81 以上 年龄段乙（1）估计该地区年龄在7180岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在7180岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在7180岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X,求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差.【答案】（1）56万：（2）这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为0441,数学期望2 1,方差 S63.【分析】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在7卜80岁的居民人数为0.004x10 x2000=80万.由图）知.年龄在7180岁的居民签概率为0 7所以该地区年龄在7180岁且已签约家庭医生的居民人数为80 x0.7=56万.（2）由题知此地区年龄段在7180的每个居民签约家庭医生的概率为尸=07,且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在7180岁居民中随机抽取三人”为事件B,随机变量为X,这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为P（X=2）=C；（O.7）2（l-0.7）=0.4 4 1E（X）=3 x0.7=2.1,一 Z）（X）=3x0.7x0.3=0.63数字期 7,方差,7.17.（2021北京海淀区高三期末）某公司在20132021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数（单位：万台）345669101()a年返修台数（单位；台）3238545852718075b年 利 润（单位：百万元）3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c_ n注：年返修率 加（表示年返修台数，机表示年生产台数）（1）从20132020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从20132020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求二的分布列和数学期望；（3）记公司在20132015年，20162018年，20192021年的年生产台数的方差分别为T,s；,若s m a x g；,s；,其中max 表 示,学,这两个数中最大的数.请写出。的最大值和最小值.（只需写出结论）S2=L（X 1 _三）2+（X2-亍J+L（X“一亍）x X（注：L，其中X为数据玉，声,，Z的平均数）9【答案】（1）8 7 5；（2）分布列见解析，；（3）最大值为1 3,最小值为7.【分析】解：（1）由图表知，20132020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有 2015 年，2016 年.所以从20132020年中随机抽取一年，-=0.75该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为8（2）由图表知，20132020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013,2015年，所以4的所有可能取值为1,2,3.。仁=1)=牛=上 )C 28O%=2)1528r 3ro尸抬=3)=等C8514以所以4的分布列为123P3281528514C()=1XA+2X+3XA=2故4的数学期望 28 28 14 4（3）。的最大值为1 3,最小值为7.1 8.（20 21 全国高三专题练习（理）据某市地产数据研究院的数据显示，20 1 8 年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，1 0 月份开始房价得到很好的抑制.;二a-a田之匕?3I.I 2 9 4 9 6 7 II 9 10 II 12（1）地产数据研究院研究发现，3 月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x 的回归方程（系数精确到0.0 1）,政府若不调控，依据相关关系预测1 2月份该市新建住宅销售均价；（2）地产数据研究院在20 1 8 年 的 1 2个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x,求 x 的分布列和数学期望.555 _ _Ex-上 工（七一幻（乂 丁）参考数据：i=i=25,/=,=5.36,/=,=0.6 4.回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:-E Xa -xy E（X,-x）（B-y）力=耳-=,-一 （x）2（苍7）2/=1a=y-b x1 36【答案】（1）y=0.0 6 x+0.7 5,1.4 7 万元/平方米；（2）分布列见解析，5 5 （）由题意月份X34567均价V0.9 50.9 81.1 11.1 21.20_ _ 5 _x-5,y =1.0 7 2,2（为一工）？-1 0计算可得：曰Z（x,-x）（K-y）B=J=0.0 6 4.1（菁7）5=，米=0.7 5 2 ，.从3月至IJ 7月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75,当x=1 2时，代入回归方程得y=1.47.即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米.（2）X的取值为1,2,3,=4P3 55P（X=1）12,=27尸（X=3）/5 5,27尸（X=2）=1PC=1）PC=3）=55,X的分布列为X123P155275527551 27 27 136(M =1X 55+2X 55+3x 55=55.19.（2021陕西宝鸡市高三一模（理）自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次 共11次累计确诊人数（万）.日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13（1）将 4 月 9日作为第1 次统计，若将统计时间顺序作为变量X,每次累计确诊人数作为统计时间顺序X123456累计确诊人数y43.3118.817 9.4238.837 7.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1911/14统计时间顺序X7891011累计确诊人数6 46.07 44.78 8 8.9118 7.416 7 3.7变量y，得到函数关系y=e （a,6 0）.对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作1 II一 2肛=5.9 8近似处理的一些统计量的值V =6 03.09,11 tII 11 _ IIZ(X j-x)(-y)=158 35.7 0，Z(X i-x)qn j;-l n y)=35.10 (x,.-x)=110/=!号(i n y-访 了 =11.9 0#7,/J 5 7.9 7,e407 58.56,e4*59.15根据相关数据,确定该函数关系式（函数的参数精确到S 0 1）.（2）经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过 15秒，就有可能传染病毒.如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3,在一次36 人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X,求丫=左最有可能（即概率最大）的值是多少.【答案】上 =57.9 7 6。3 2*日 0【分析（1）因为、=四 反（。,60）,所以l n y=b x +l n ji）=由已知得2 a-x)(ln%-lny)i=；=i35.10110=0.32,I n a =1”0.32 亍=5.98-0.32x6 4.0 6,a=e40 6*57.97所以所求函数方程为V =57.97e 32(2)设余下35人中被感染的人数为瓦则 38(35,0.3),P(X =k)=C*50.3A x 0.735,要使 p(x=k)最大P(X=k)P(X=k-1),P(X k)P(X k +yf Tn iC*0.3*x 0.735-i C g O.31 x 0.736-J C 0.3*xO.7%-*C；：0.3 i X O.7M 40.3 0.7左!(35_/)！_(1 _1)!(36 左)!0.7 0.3 !(35-5)!-(1 +1)!(34 左)!1 0.8-0.30.7Z:化简得 0.71 +0.7 71 0.5-0.3后解得9.8K k W 1 0.8,k e N,:.k=10,所以X=%x-k最有可能（即概率最大）的值为Q 1 0.20.（20 21云南昆明市昆明一中高三月考（理）某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步 健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于1 4千步的人为“超健康生活方式者”，其他为 一般健康生活方式者某日，学校工会随机抽取了该校30 0 名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数（单位：千步，且均在 4,20 内），按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的30 0 名教职工日行步数的平均数（每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数）.（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数。服从正态分布其中，为（1）中求得的平均数标准差的近似值为2,求该校被抽取的30 0 名教职工中日行步数J e （1 4,1 8）的人数（结果四舍五入保留整数）.（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2 人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人。元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人1 0 0 元；“超健康生活方式者”奖励金额每人20 0 元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：若随机变量4 服从正态分布N（b）,则P（-。4,4 +6=0.6827,P（N一 2c r J”+2 a）0.9545 PQL3O +3c r）0.9973【答案】（i）1 2;（2）47.（3）分布列答案见解析，数学期望：21 6【分析】（1）依题意得x=0.0 1 x 5+0.0 1 x 7+0.0 8 x 9+0.58 x 1 1+0.22x13+0.06x15+0.03x17+0.01x19=11.68*12因为所以尸(14 J18)=尸(12+2 J 12+3x2)=P(6 18)-P(10 0.1 x 0.88=0.176P(X=400)=0.F=0.01所以X的分布列为X0100200300400p0.00040.03520.77840.1760.01E(X)=0 x 0.0004+100 x 0.0352+200 x 0.7784+300 x0.176+400 x0.01=216