2022-2023学年上海市杨浦高一年级下册学期开学考试数学试题含答案.pdf

2022-2023学 年 上 海 市 杨 浦 高 一 下 学 期 开 学 考 试 数 学 试 题 一、填 空 题 1.已 知 L G，9 成 等 比 数 列，则 等 比 中 项 G=.【答 案】3【分 析】根 据 等 比 中 项 得 到 G?=1 x 9,解 得 答 案.【详 解】已 知 1 8，9 成 等 比 数 列，则 G?=lx9,G=3.故 答 案 为：3f（x）=,x e-1,112.函 数.一+i 的 值 域 为.（结 果 用 区 间 表 示）1J【答 案】12【分 析】则 一+1叩,2,得 到 7 7?-1,1的 值 域.【详 解】x J T l,则 八 1叩，2 故 小）=川 的 值 域 为/，：111故 答 案 为：12 J3.已 知 等 差 数 列 的 前 项 和 为 S，如 果 S=;则 公 差 d=.【答 案】2【分 析】由 等 差 数 列 的 求 和 公 式 可 得 出 关 于 公 差”的 等 式，解 之 即 可.【详 解】根 据 题 意，由 等 差 数 列 的 求 和 公 式，S.可 得 2 2-=12d _n P=1所 以 12，解 得 卬=2故 答 案 为：2.4.已 知 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 I,把 该 三 角 形 腰 长 V 表 示 为 底 边 长 x 的 函 数，则 该 函 数 为 N=.（要 求：写 出 解 析 式 和 自 变 量 的 取 值 范 围）【答 案/与 卜c.0 X X i1-x f.11y=-0 x 0 0 T8 2.已 知 等 比 数 列 q J 的 前 项 和 为 s“，若,贝 ij!史【答 案】1【分 析】由 等 比 数 列 求 和 公 式 得 出 S,再 求 极 限.得 到 函 数 关 系 式.o x y=f o x 故 2,则 函 数 为 2 I 2.故 答 案 为：16.利 用 二 分 法 计 算 函 数/（*）=1 必-+7在 区 间（9,10）的 零 点，第 一 次 操 作 后 确 认 在（9 9 5）内 有 零 点，那 么 第 二 次 操 作 后 确 认 在 区 间 内 有 零 点.【答 案】（9 9 2 5）【分 析】利 用 二 分 法 的 定 义 即 可 求 解.x 二 乡+受 上【详 解】由 题 意 可 知，取 区 间（9 6）的 中 点 2 一,/（9）=ln 9-9+7=ln 9-2 0.2 0 0f（9.25）=In9.25-9.25+7=In 9.25-2.25 工-0.03 09所 以/（9）X/（9.25）0,所 以 第 二 次 操 作 后 确 认 在 区 间（9 9 2 5）内 有 零 点.故 答 案 为：（9 9 2 5）7.已 知 函 数，=/（）卜 2,2 是 在 定 义 域 卜 2,2 上 严 格 增 的 奇 函 数，若/（2+2 a-3）+/（2-2 a2）0 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 答 案 页 五-2a2+2a-32-242-2/42【分 析】根 据 定 义 域、奇 偶 性 和 单 调 性 得 到/+2。-3-2+202丁 归 让 倚 划，解 不 等 式 组 即 可 得 到“的 取 值 范 围.详 解 函 数=/6)4 卜 2,2 是 在 定 义 域 12,2 上 严 格 增 的 奇 函 数,f(a2+2a-3)+f(2-2a2)0 即/(?+2”3)f(-2+2a2)-2a2+2a-32-22-2a22所 以 3+2 3-2+2限 解 得 回/-。(1，可 故 答 案 为：应 8.等 差 数 列”的 前 项 和 为 S，若。3=9,Sg=36,则 当 邑 取 到 最 大 值 时“=【答 案】6【分 析】由%-3-3 6 得 出 2,1，再 由 求 和 公 式 结 合 二 次 函 数 的 性 质 求 解 即 可.f q+2d=9 5 详 解 由 阳+36=3 6,解 得=-5 吗=c-1),s=na.4-人 d即 2 4 4x=-5 2 61y=x H-x因 为 函 数 4 4 的 对 称 轴 为 614-z-=6.1-2x-4故 当=6 时，E，取 到 最 大 值.故 答 案 为：6.f-x2+2x,x0,若 必 上 办 则 的 取 值 范 围 是【答 案】H Q 分 析 分 x 0,=0 和 x。时，由|/(x)|2ax,得|/(x)|-axN0,即|ln(x+I)|-ax2 0因 为 当 x 0 时，ln(x+1)0 所 以 山(工+1)_20,则 ln(x+1)2 or=x+1 2 e=e e”在(0,+勿)上 恒 成 立,当 由 于 指 数 函 数 N=e、的 增 长 速 率 远 远 比 一 次 函 数 y=x+l要 快,所 以 易 得 x+12 e=e C 在（，+0 0）上 不 恒 成 立，舍 去,当。4 0,ln(x+l)0,a x 故 ln(x+D*a x在(0,+s)上 恒 成 立;当 x=0 时，恒 成 立;IM当 x 0 时，由 l/（x）|2 o r,得 x,即 x-，化 简 得 一 卜 一 2|4 4,即 戈 _2 4,而 x-2 1,当（1）为 奇 数 时，=e（0,l）aqI,则 人 为 偶 数，由 19往 回 推，然 后 根 据 q=1 以 及 的 递 推 公 式 逐 项 递 推 可 得 出 后 的 值.【详 解】由 题 设 知，a 0（/,e N）,又 因 为 q=1,且 当 为 偶 数 时，”“1,当（1）为 奇 数 时，一 明,7 型 1 U因 为,所 以，女 为 偶 数，30 30 11 19 8 11 3 8 5 2 3 1 c,Q.-2 1由 19往 回 推 可 得 19 19 11 11 8 8 3 3 3 2 2,1 3 2 5 8 3q=1=%=2=%=彳=彳=%=；=%4=W n。2 8=彳=%9=即 Z Z 3 3 3 o11 8 19 11 30n%8=T 9=7 7=ii8=77=ii9=238=7 7因 此，=238.故 答 案 为：238【点 睛】关 键 点 点 睛：解 本 题 的 关 键 在 于 根 据 数 列 的 递 推 公 式 进 行 逆 向 推 导，确 定 数 列 的 值 取 目 标值 时 的 推 导 过 程，然 后 逐 项 推 导 可 得 的 值.二、单 选 题 1 1.若 以 表 示 不 大 于 X的 最 大 整 数，则 函 数/0）=-”卜 5 的 零 点 个 数 是（）A.0 个 B.1个 C.2个 D.无 数 个【答 案】D【分 析】取 x=k-2,k e Z,凶 rri一 _ L,此 时 f（x=k-2-k 2=0，得 到 答 案.【详 解】取 2,k e Z,则 凶 一，此 时 2 2 2,f（x）=x-k T 即 函 数 2 的 零 点 是 2,k e Z,有 无 数 个.故 选：D+22+,户+22+J.+1）12.用 数 学 归 纳 法 证 明：3（为 正 整 数）从 到 后+1时，等 式 左 边 需 增 加 的 代 数 式 是（）A 左 2+（%+iy B k2+（k+V）2+k2C.（%+l）2 D.2k+l【答 案】A【分 析】取=+l和=%带 入 左 式 相 减 得 到 答 案.【详 解】等 式 左 边 需 增 加 的 代 数 式 是：+22+.+42+（左+1）2+左 2+.+2?+2?+.+左 2+-+2 2+）=k2+（k+l）2故 选：A13.已 知 V=/（x）是 定 义 在 艮 町 上 的 严 格 减 函 数，若 3）=2,/（4）=,那 么 其 反 函 数 好 广（x）是（）A.定 义 在 02 上 的 严 格 增 函 数 B.定 义 在 02 上 的 严 格 减 函 数 C.定 义 在 R 町 上 的 严 格 增 函 数 D.定 义 在 町 上 的 严 格 减 函 数【答 案】B【分 析】求 出 函 数 卜 二。）的 定 义 域，利 用 函 数 与 其 反 函 数 单 调 性 相 同 可 得 出 结 论.【详 解】因 为 尸/（X）是 定 义 在 町 上 的 严 格 减 函 数，若/（3）=2,4）=0,则 当 3 4x4 4 时，4/（x）4 2,因 为 函 数、=/（无）在 定 义 域 艮 町 上 的 单 调 性 与 其 反 函 数 y=L（x）在 定 义 域，2 上 的 单 调 性 相 同，故 函 数 y=/（x）是 定 义 在 2 上 的 严 格 减 函 数.故 选:B.14.定 义 在 正 整 数 集 上 的 函 数 x）=k T+2|x-2|+100H-100|,其 最 小 值 是（）A.99010 B.99050 c.99080 D.99160【答 案】C【分 析】计 算 出/G）的 解 析 式 中 绝 对 值 的 个 数，利 用 倒 序 相 加 法 可 知 在 2/G）中，最 中 间 的 两 项 为 卜-71|+卜-71|和 卜-71|+卜-71,利 用 绝 对 值 三 角 不 等 式 可 知，当 x=71时，/G）取 最 小 值，然 后 计 算 出/（71）即 可.心 1+2+3+1。=吧 业 幽=5。5。【详 解】因 为 函 数,口）的 解 析 式 中 绝 对 值 的 个 数 为 2,设“2 6,则 卜-|+卜-42|6-）-6-）=-,当 且 仅 当 6 4 x 4。时，等 号 成 立，j|x 1|+2|x 2|4-,4-100|x 100|/（X）=100|X-100|4-99|X-99|-+|X-1|+可 得 2/（x）=卜-1|+卜-1000+卜-2|+卜-1000+卜-2|+卜-1000+|x-100|+|x-l|,（1+70）x70 50501+2+-+70=-=2485 2525=2 2,所 以,在 2 x）中,最 中 间 的 两 项 为|A 71|+|X-71|和 k-71|+卜-71|,所 以,由 绝 对 值 三 角 不 等 式 可 得 2 小（100-1）+。00-2）+（1。-2）+.+（100-1）当 且 仅 当 x=71时，等 号 成 立，所 以,(71)=l71-l)+2x(71-2)+71x(71-71)+100(*71)=（1+2+-+70）X 71-（12+22+-+702）+（722+732+-+1002）-（72+73+-+100）x71=17649035-116795+216514-177074=99080故 选：C.【点 睛】关 键 点 点 睛：解 本 题 的 关 键 在 于 将 绝 对 值 两 两 配 对，确 定 最 中 间 两 项，结 合 绝 对 值 三 角 不 等 式 求 解.三、解 答 题 15.已 知 函 数/G H x T T,x0,2一,04x41“x）=|（1）请 用 分 段 表 示 法 把 该 函 数 写 为【L（x 2 的 形 式;（2）画 出/（X）的 大 致 图 象 并 写 出/（X）的 单 调 区 间.z、x,0 xl【答 案】2-x,l x 2（2）作 图 见 解 析，函 数/（X）的 增 区 间 为 减 区 间 为 12【分 析】（1）分 04 x41、1%2 两 种 情 况 化 简 函 数/（X）的 解 析 式 即 可；（2）根 据（1）中 函 数/（X）的 解 析 式 可 作 出 函 数/（“）的 图 象，利 用 函 数/G）的 图 象 可 写 出 函 数/（x）的 增 区 间 和 减 区 间.【详 解】解：当 o x i 时,/（x）T k T T T（i）-,当 1 X W 2 时,/0 卜-卜 1|=-1）-1|=卜-2|=2-（、（X,OX1所 以，x（2-x,lx2（2）解：作 出 函 数/（X）的 图 象 如 下 图 所 示：由 图 可 知，函 数/（X）的 增 区 间 为 1,减 区 间 为 1 2.6.己 知 数 列,J 满 足：=1=3%-叱 2）（1）求 证：数 列 I 2 J是 等 比 数 列；（2）求 数 列%的 通 项 公 式 及 其 前 项 和 S”的 表 达 式.【答 案】（1）证 明 见 解 析；a=3+-,S,l=y 3+n 2 2.【分 析】（1）由 等 比 数 列 的 定 义 证 明 即 可；（2）由（1）得 出 数 列 的 通 项 公 式，再 由 等 差 和 等 比 的 求 和 公 式 计 算 S”.【详 解】（1）由 题 意 可 知“向 an1 c I 1 1、+-2 3（/一）-=：3，一 所 以 数 列 1 2 J是 以 3为 首 项，公 比 为 3的 等 比 数 列.a-=3n a y+-（2）由（1）可 知，2,即 2。3（1-3）n 3n+-3+=-1-_=-前 项 和 1-3 2 21 7.已 知 a e R,函 数 x e（-8,0 M 0，+8）.判 断/（X）的 奇 偶 性，并 证 明 你 的 判 断；（2）当“5 时，判 断/（X）在 区 间 4+）上 的 单 调 性 并 证 明 你 的 判 定.【答 案】（1）当。=时/（X）为 奇 函 数；当 时/G）为 非 奇 非 偶 函 数；证 明 见 解 析;（2）严 格 增 函 数，证 明 见 解 析：【分 析】（1）判 断 出 当。=时/（、）为 奇 函 数；当。工 0时/（X）为 非 奇 非 偶 函 数，然 后 利 用 函 数 奇 偶 性 的 定 义 可 证 得 结 论 成 立;（2）判 断 出 当 5 时，/（X）在 区 间 L+）上 为 增 函 数，然 后 任 取 为、*口，+）且%，作 差/6）一/（），因 式 分 解 并 判 断/（须）-/（七）的 符 号，结 合 函 数 单 调 性 的 定 义 可 得 出 结 论.【详 解】（D 解：当。=时,（X）为 奇 函 数；当。工 时,（”）为 非 奇 非 偶 函 数，证 明 如 下：当 a=0时，/二，（-8,0）口（0,+8）,/（_x）=丁 一/（x）,此 时 函 数/（x）为 奇 函 数；当 0 时，x）=*,X（-8,0 卜（0收），对 任 意 的 0,X）-X,则/（-x）H/（x）,/（-X）/（X）,此 时 函 数/（X）为 非 奇 非 偶 函 数.综 上 所 述，当。=时/G）为 奇 函 数；当 4 X 0时/（x）为 非 奇 非 偶 函 数，（2）解：当“2 5 时，/（X）在 区 间 口，+8）上 为 增 函 数，证 明 如 下：任 取 X】、1，+8）且 再*2,/（x J-/&）=a x+-a x+=a（x,-x2）（x,+x,）-X）k X2 7 XX2 以 科 2（X+x2）-1 1%2）因 为 X|%221,a-2,则 工 1 2 1,西+工 2 2,所 以，芭-*2,所 以，5/2（斗+/）1,则/（再）一/G A。，即/（七）/（工 2）,所 以，当 时，函 数/（X）在 L+0 0）上 为 增 函 数.1 8.某 市 环 保 部 门 对 市 中 心 每 天 的 环 境 污 染 情 况 进 行 调 查 研 究 后，发 现 一 天 中 环 境 综 合 污 染 指 数 x 3/（%）=2-Q+2“4 s O H、/（X）与 时 刻 X（时）的 关 系 为 X-+1 4,x q o,2 4）,其 中。是 与 气 象 有 关 的 参 数,且 2.若 用 每 天/（X）的 最 大 值 为 当 天 的 综 合 污 染 指 数，并 记 作 S）.X（1）令 一，x e，24）,求，的 取 值 范 围；（2）求“（）的 表 达 式，并 规 定 当“（）4 2时 为 综 合 污 染 指 数 不 超 标，求 当。在 什 么 范 围 内 时，该 市 市 中 心 的 综 合 污 染 指 数 不 超 标.【答 案】归 答 案 见 解 析,1t=-rX 4【分 析】（1）当 x=时，得 到，=0；当 0 x 2 4时，x,利 用 对 勾 函 数 性 质 可 求 得 4 岗，取 并 集 得 到 结 果;3g(t)=t-a+2a+-=（2）由（1）可 将/（X）化 为 33。一，+,0 t a4，+。+3,a t,1/42,得 到 的 单 调 性 后，可 1知 最 大 值 在 f=或 2 处 取 得；分 别 在 0 4 7 a 4 和 42 两 种 情 况 下 确 定 g（）的 最 大 值，即（），由 得 到 不 等 式，解 不 等 式 求 得 结 果.【详 解】（1）当=时，=1t=-rX H-当 0%2X1x=（当 且 仅 当 x,即 工=1时 取 等 号），又 x 一 0 时,1X+-+0 0X1 人、.-.X+-G 2,+00)1-rX 4-X综 上 所 述:t G 0,2X(2)由(1)知：令 x?+l,则 t G 0,2a G 0,L 2 时,3f(x)=g(t)=t-a+2a+-=33a-1-,0 t a43,1f+aH,a/W 当 4 2当/时，g（）单 调 递 减;t eaI 2 时,g（/）单 调 递 增 0 a 当 4 时,g(O)=3a+-又 4,ga+；.g(O)-g2a-22 a-025a+4（3由（a）。得：“用 C l 0,一 4 当 1-4时 1-2-1-23A/(rz)=g(0)=3a+5 fl 5心。得：丘.”一，司 a e 0,综 上 所 述：当 L 12 时，综 合 污 染 指 数 不 超 标【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 给 定 函 数 模 型 求 解 实 际 问 题，涉 及 到 函 数 值 域 的 求 解、根 据 函 数 性 质 求 解 不 等 式 等 知 识，考 查 学 生 分 析 解 决 问 题 的 能 力，属 于 中 档 题.19.数 列“中，已 知 4=1，2=。，。=4(见+4+2)对 任 意”14*都 成 立，数 列%的 前 项 和 为 SB.c,1a=5,k=(1)若 2,求 数 列 超/的 通 项 公 式；,1a=l,k=c(2)若 2,求 4)23的 值；(3)是 否 存 在 实 数“和，使 数 列 是 公 比 不 为 1的 等 比 数 列，且 任 意 相 邻 三 项 明 M,%+2按 某 顺 序 排 列 后 成 等 差 数 列？若 存 在，求 出 所 有 实 数。和 人 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】(1产=4-3；(2)-2021；1 c,2a=a=-2,k=(3)存 在，2 或 5.【分 析】(I)确 定 是 等 差 数 列，得 到-4=4,再 求 出 通 项 公 式;求 出 生=-3,确 定 限+限=%+%,$2。23=%+1011(。2+%),计 算 得 到 答 案;(3)根 据 条 件，可 得 明=7 出 二 屋 4+2=。，考 虑%刊，%,%+2分 别 为 等 差 中 项 三 种 情 况，计 算 得 到 答 案.W 1(1)k=2，a+=2 n+a+2 即 2%=%+限，所 以”是 等 差 数 列,又 q=l,公 差=出 一 q=5-1=4,所 以%=4-3a=,k=-a t=-(a+a 2)(2)当 2 时，2即 2。+1=一 白 一。+2,所 以 勺+2+=-(%+1+/),所 以 6,+3+4+2=-(%+2+勺+1)=4,+1+an又 2出=-%-。3,所 以 阻=-3所 以 2 0 2 3=1+“2+a 3+”2 0 2 3=%+1011（%+“3）=1一 2022=2021狐)狐)4，%,=优 1，品+1=4，？,+2=4”(3)数 列 出 力 是 等 比 数 列，则 伊 一 公 比 若 凡 川 为 等 差 中 项，贝|2。,田=4+%+2,2am=am+a-,即 2 2+,解 得”=1（舍 去）;若%为 等 差 中 项，贝 匹%=。，向+。皿，2a=a-+am,即 2=/+,解 得 a=-2（=1 舍 去）,k=_ 2此 时%+4”+2 a-+am+a2 5.若“M+2 为 等 差 中 项，则 2%+2=%+%用，2am+=a+am,即 2 a J 1+4,解 得*2（。=1舍 去），n i rk=%+i _ a_=a _ _ _ _此 时 _（+%+2-。“+。出 _1+/_ 5,1 c,2a=a=-2,K=综 上 所 述，2或 5.