高考数学复习- 等差数列与等比数列.pdf

第七章数列7.1 等差数列与等比数列零 命 题探究骨数列是高考每年必考的一个知识点，每年的高考试题中或者有1 道解答题或者有2 道客观题，数列基础题一般具有小巧活的特点，考查热点一是等差数列与等比数列基本量的计算，二是等差数列与等比数列的性质，三是与数列有关的数学文化试题.求解数列基础题要注意方程思想的应用，即把所求问题转化为利用解方程求基本量.:真题归纳题型一.等差数列的基本运算及性质1.（2 0 1 9 新课标I I I）记 S 为等差数列 斯 的前几项和.若4 3=5,7=1 3,则 S i o=100.【解答】解：在等差数列 如 中，由“3=5,“7=1 3,得=等苧=苧=2,.小=。3 -2 d=5 -4=1.则S i。=1 0 x 1 +1 0 x 2=i o。.故答案为：1 0 0.2.（2 0 2 0 新课标U）记 S 为等差数列 “的前项和.若m=-2,及+。6=2,则 S i o=2 5【解答】解：因为等差数列 “中，a=-2,。2+。6=2 4=2,所以0 4=1,3 d=4 -m=3,即 d=l,则 S i o n l O m +d=1 0 x （-2）+4 5 x 1=2 5.故答案为：2 53.（2 0 1 9 新课标I I I）记 S”为等差数列伍“的前项和.若小视,a2=3ai,则 包=4 .S5【解答】解：设等差数列 的公差为力 则由 1 和,2=3 m 可 得,d=2ai,.S i o _ 1 0（%+。1 0）_ 2（2 al+9，）_ 2（2%+1 眄）_4*S5 5（a1+as）2 at+4 d 2 a1+8 a1故答案为：4.4.(2017新课标I)记和为等差数列 的前项和.若。4+。5=24,56=4 8,则 如 的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8【解答】解：S”为等差数列 ”的前项和，“4+45=24,贷=48,+3d+&+4d=24 ,6 x 5 /c 96al 4 d 48解得 m=-2,d=4,，所 的公差为4.故选：C.5.(2019江苏)已知数列 (W N*)是等差数列，S 是其前项和.若。245+。8=0,5 9=2 7,则 S8的值是 1 6【解答】解：设等差数列 的首项为m,公差为d,+d)Q i+4d)+Qi+7d=0 _ _(-则。上9X8，9 7，解得已i=1 5.9%+d=27 Id=2AS8=8a1+Ly =8 x (-5)+56=16.故答案为：16.6.(2018新课标I)记 为 等 差 数 列 而 的前几项和.若3s3=S2+S4,m=2,则 5=()A.-12 B.-10 C.10 D.12【解答】解：S 为等差数列。的前项和，3s3=S2+S*m=2,A3 x(3%+詈d)=m+m+d+4m+芋d,把1=2,代入得d=-34 5=2+4X(-3)=-10.故选：B.7.(2016新课标I)已知等差数列 丽 前 9 项的和为27,a io=8,则 m o o=()A.100 B.99 C.98 D.97【解答】解：等差数列 珈 前 9 项的和为27,S9=式 号 3 =号 =9.5.95=27,。5=3,又.。10=8,：d=1,J a 1 oo=a5+95d=98,故选：C.8.(2015新课标I)已知 板 是公差为1 的等差数列,S为 的前几项和，若S8=4S*则 m o=(）17A.219B.2C.10D.12【解答】解：是公差为1 的等差数列，58=454,.o.8x7 1 一 ,4x3、8 id 2-x l4x（4aid 一）,解得a=i.i i Q则 aio=5+9 x l=m 故选：B.9.(2013新课标I)设等差数列伍 的前“项和为S”，若 S=-2,Sm=0,S”+1=3,贝 U?=(）A.3B.4C.5D.6【解答】解:Clm=Sm Sm-1 =2 Clm+=Sm+Sm=3f所以公差 d=C lni+-Um 1，Sm=*产）=0,机-l 0,m 1,因此机不能为0,得 41=-2,所以丽=-2+（；7t-1）1=2,解得m=5,另解：等差数列 ”的前项和为S”即有数列 昆 成等差数列,n则-，&，包 1成等差数列,m-1 m m+1可得2 包=mSm-i+m+1m-1m+13即有0=m1m+lf+解得m=5.又一解：由等差数列的求和公式可得:(m-1)(ai+a,-i)=-2,11-in（ai+a机）=0,一 （ni+1）（m+m+i）=3,22可得 d=am,-2。?+。?+1+。机+1=.+=0,解得m=5.故选：C.10.（2013辽宁）下列关于公差d 0 的等差数列 如 的四个命题：p i：数列 如 是递增数列;P 2:数列 澳 是递增数列；P 3:数列 第 是递增数列：P 4:数列 a”+3 d 是递增数列；其中真命题是（）A.pi,pi B.P3,4 C.P2,P3 D pi,P4【解答】解：,对于公差d 0 的等差数列 “,+i-z=d 0,命题p i：数列 板 是递增数列成立，是真命题.对于数列 ,第+1项与第项的差等于（+1）an+-nan（/?+）d+a,不一定是正实数，故P2不正确，是假命题.对于数列 第，第n+项与第n项的差等于-=加：）的=不一定是正实/n+1 n n（n+l）n（n+l）数，故 p3不正确，是假命题.对于数列。+3加/,第+1项与第项的差等于。+1+3（n+1）d-an-3/?J=4J0,故命题P4：数列。+3/以 是递增数列成立，是真命题.故选：D.题型二.等比数列的基本运算及性质1.（2020新课标 I）设 板 是等比数列，且。1+。2+。3=1,2+。3+4=2,则6+7+。8=（）A.12 B.24 C.30 D.32【解答】解：劭 是等比数列,且1+。2+。3=1，贝I 1 0 2+。3+。4 =4（。1+。2+。3），即 q=2,，6+。7+。8 =，（。1+2+。3）=25X1=32,故选：D.2.（2020新课标II）记 S为等比数列 的前项和.若5-3=12,4 6-4 4=2 4,则1=（）anA.2n-1 B.2-2-n C.2-2,r l D.2,n-1【解答】解：设等比数列的公比为g,V i Z 5 -43=12,ae-4=q (5 -3),q=2,.m 94-山/=12,*1 2 a l =1 2,m=1,：.Sn=-=2-I,an=2n11 z故选：B.3.（2 0 1 9 新课标I I I）已知各项均为正数的等比数列 祈 的前4项和为1 5,且 4 5=3 如+4 0，则“3=（）A.16 B.8 C.4 D.2【解答】解：设等比数列仅 的公比为q（q 0）,则由前4项和为1 5,且。5=3。3+4 卬，有+aq+aI q2+aTq3=15./臼=1lajQ4=3axq2+4ax，（Q =2/.a3=22=4.故选：C.4.（2 0 2 1 甲卷）记 S”为等比数列 a,的前项和.若S 2=4,S 4=6,则 S6=（）A.7 B.8 C.9 D.10【解答】解：为等比数列 a 的前”项 和,52=4,54=6,由等比数列的性质，可知S 2,S4-S2,S 6-S 4 成等比数列，；.4,2,S 6-6成等比数列，；.2 2=4 （56-6）,解得 56=7.故选：A.112 15.（2 019 新课标I ）记 S 为等比数列 的前项和.若4 1=*4 4 2 =06，则 5=二一J3【解答】解：在等比数列中，由的2=4 6,得 q6m 2=q5 0,即 4 o,4=3,则 3书2=苧，121故答案为：6.（2018全国）己知等比数列（如 的前项和为S，54=1,5 8=3,则9+m o+m i+a i 2=（）A.8 B.6 C.4 D.2【解答】解：等比数列 斯 的前项和为止,54=1,58=3,由等比数列的性质得S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列，A L 3-1 =2,S 12 -S8=9+m o+m i+m 2 成等比数列，9+。1。+。11 +。12 =4 .故选：C.17.（2015新课标H）己知等比数列 a 满足m=了，3。5=4 （CM-1）,则42=（）1 1A.2 B.1 C一 D.-2 8【解答】解：设等比数列 的公比为q,V。3。5=4（。4-1 ）,C）2xq6=4（#1）,化为才=8,解得夕=2则 2=4 X 2=i故选：C.8.（2017江苏）等比数列”“的各项均为实数，其前项和为S”已知5 3=；,$6=竽，则“8=32【解答】解：设等比数列 如 的公比为#1,7 63.%（1-勺 3）7%（1_勺 6）63 S3-7 f 3 6=7 4 4 1-q 4 1-q 4解得m=,，q=2.则“8=1 x 27=32.故答案为：32.9.（2020新课标 H ）数列 中，4 1=2,C lm+n=C lmC ln右次+1+以+2+以+10=2”-2 ,则 攵=（）A.2B.3C.4D.5【解答】解：由1=2,且?+=。以 ，取 2=1,得 C ln+=C lC ln=2cin，A-=2,则数列 即 是以2为首项，以2为公比的等比数列，an则纵+i =2 -2k=2k+1,9 忆+1_*7 1 、ak+1 +cik+2+.+ak+10=-=211+k-2f c+1=215-25,1-L.,.A+l=5,即 k=4.故选：C.10.(2 02 1甲卷)等比数列 a”的公比为q,前项和为S.设甲：q 0,乙：5 是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解答】解：若 a i=7,q=,则 5=m=-”，则&是递减数列，不满足充分性；Sn=1 1(-q),则 S+1=1 L (1 -(f+,),1 q 1 q f5n+i -Sn=(q-)=m q,若 S 是递增数列，.*.5+1-Sn=aqfQ,则 a i 0,q0,满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：B.题型三.数列中的最值问题1.(2 02 0北京)在等差数列“”中，a i=-9,。5=-1.记 T =a i a 2 2,.),则数列 方()A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【解答】解：设等差数列 如 的公差为d，由 m=-9,5=-1,得 =等 毕=二 空 刃=2，D-1 4：.an=-9+2（H-1）=2n 11.由 即=2 -1 1=0,得 =，而 GN*,可知数列“”是单调递增数列，且前5 项为负值，自第6 项开始为正值.可知 7 1=-9 0,73=-3 1 5 0 为最大项，自 75起均小于0,且逐渐减小.数列 有最大项，无最小项.故选：B.2.（2019北京）设等差数列 劭 的前 项和为品，若“2=-3,55=-1 0,则。5=0,S,的最小值为 210.【解答】解：设等差数列他 的前项和为%，42=-3,55=-10,+d=-3，L,5x4,s，5 al dQ-d=-10解得 a=-4,d=,，5=Qi+4d=-4+4x1=0,尸 九 四+攻 尸 d=4什 攻 尹=818-X2JZ9-2一n=4 或=5 时，S取最小值为S4=S5=-10.故答案为：0,-10.3.（2017全国）设等差数列 的 的前“项和为S”m=4,55S4S6,则公差”的取值范围是（）A.-1.-18 B.-1,-14 C.-18,-14 D.-1,0【解答】解：等差数列“的前项和为S”，m=4,S5S4S6,.（S（c.5x4,4x3s S4 a1-d 4 a1+-dS，4 S6o f,*（4.%,+4x3d、2 二6 Q I,+6X5d:,4 -4 d，t-8 9 d，解 得-lWd 1.公差d 的取值范围是-1,-1.故选：A.4.（2016天津）设 ”是首项为正数的等比数列，公比为必 则M 0”是 对任意的正整数，2一 1+。20”的（）A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：近 是首项为正数的等比数列，公比为q,若q0”是 对任意的正整数n,。2人|+。2 0,+（-1）=i 0；而“对任意的正整数，。2 一|+2 0”，前提是“g0”,则“4 0”是“对任意的正整数n,1+。2”0,公差d0,公差d0,2 7+2 100,4 Z 8 0,又 7+“10=4 8+4 9 0，.*.t Z 9 0,.等差数列 而 的前8项为正数，从第9项开始为负数，.等差数列 念 的前8项和最大，故答案为：8.7.（2 014江西）在等差数列”“中，a i=7,公差为“，前项和为S”，当且仅当=8时S”取得最大值,则d的取值范围为（-1，一:）.【解答】解：.$=7 +%2乙 当且仅当=8时S”取得最大值，.炉 品，即4 9 +2 1d56+2 8 d,解得：产二，（S9S8 l63 +3 6d56+2 8 d（d 244 *+*23+5=1 *2+1 22+a2a-24+ak-2k+3,.,.co(8+5)=o+m+A+2.*.*4/2+3=ao+ai234-*+0 (i=l,2,，2),匕 p/=l,定义 X 的信息嫡 H(X)=p,log2/2(.()A.若=1,则 H(X)=0B.若=2,则”(X)随着p i的增大而增大C.若 p，=：(i=l，2,.n),则”(X)随着 的增大而增大D.若”=2?，随机变量y 所有可能的取值为1,2,，?，且 尸(y=j)=pj+p2m+i-j(j=l,2,相)，则 H(X)H(r)【解答】解：A.若=1,则 P l =l,故 (X)=-pil og 2 pi=-l xl og 2 1=0,故 A 正确；B.若 =2,则 pi+p2=l,H(x)=-(pil og 2 l+p2 1 0 g 2 P 2)=-|/?l l og 2 pi+(1 -pi)I og 2 (1 -pi),设/(p)=-pl og 2 p+(1 -p)l og 2 (1 -p),O V pV l,则/(P)=log2p+P-，。2(1 -p)+(1 -p)-(i以仇21=l9 2 忐，令f(p)0,解得OVp V*,此时函数f(p)单调递增，故 B错误；1 1 1C.若Pt=兀。=1，2,，n),则”。)=f 品0。2 向=/。2 几，由对数函数的单调性可知，H(x)随着的增大而增大，故 C正确；D.依题意知，P(y=i)=pi+p2%P(丫=2)=p2+p2】i，P(Y=3)=p3+，2 i -2,.，P(Y m)=pm+pm+1，:.H(Y)=-I (pi+p2 m)I og 2 (pi+2 m)+(p2+/72 w-1)1 0 g 2 (p2+p2,-l)+.+(pm+pm+l)1 0 g 2(pm+p+l)，又 H(X)=(1 1 0 g 2 pi+p2 1 0 g 2 2+.+p/H og 2 p?+.+2 J og 2 p2/),.H(Y)f(X)=P 1log2 瑞+P 2log2 后 晟 1 +p2tnlog2 席 区,又 1,1,，0 2m 1,Pl+P2m P2+P2m-1 Pi+P2m：.H(y)-H(X)H(y),故。错误.故选：AC.笆模拟预测一.单选题1.记等差数列 4 的前 项和为S”,5 1 7=2 72,则 4 3+4 9+4 1 5=()A.2 4 B.3 6 C.4 8 D.6 4 解答】数歹IJ an是等差数列，其前“项和为S”,5 1 7=2 72=x 1 7=等 x 1 7=1 79,所以4 9=1 6,所以。3+9+。1 5 =3 9 =4 8,故选：C.2 .已知数列。为等比数列，前”项和为S“若则=-3 1 3 1A.B 一 C一 D.一1 0 5 7 2【解答】解：；数列 ”为等比数列，；.S3,5 6 -S3,S9-S6,S1 2-S9,也成等比数列，.且一工 S6 3，.S3,5 6 -S3,S9-S6,S1 2-S9 的公比为 2,故 Sb S3=2 S3,S9 -5 6 4 S3 Si2 -S9=8 S3,；.S6 =3 S3,S9 =7S3,S1 2=1 5 S3,.S6 3 s3 1.0 2-1 5 s3 -5 故 选:B.3 .已知等差数列 如 的前项和为S”“6+制=6,S 9-S6=3,则使取得最大值时”的 值 为（）A.5 B.6 C.7 D.8【解答】解：设等差数列 的 的公差为d,.Z6+a8=6,S9-S6=3,2 ai+1 2 J=6 3 ai+2 1 d=3,联立解得：ai=1 5,d-2,：.an=15 -2 （n-1）=1 7-2n.1令即=1 7-2 佗0,解得於8+宗则 使 取 得 最 大 值 时 的值为8.故选：D.1 14 .已知等差数列 的前项和为S，且9=皮 0 2+6,6/2=4,则数歹!丁 的前2 0 项的和为（）/Sn1 9 2 0 2 1 2 2A.B.C.D.2 0 2 1 2 2 2 3【解答】解：由 9=；。1 2+6 及等差数列通项公式得4 1+5 d=1 2,又 4 2=4=m+d,ci=2=d,S=2+%辿 x 2=/+小 2_ L 工 i Sn n(n+l)n n+1 *数列 的前20项的和为1 -+一 +/一 东=1-4 =霁故选：B.5.已知等比数列 如 中，数=3,44a7=4 5,则%二2的 值 为()a5 a7A.3 B.5 C.9 D.25【解答】解:根据题意,等比数列 中，45=3,a447=45,则有6=竽=15,a5则 夕=乎=5,a5,a7-a9 a5-q2-a7q2、则 工 =才=25；5 a7 一 07故选：D.6.等比数列伍 的各项均为正实数，其前项和为S.若。3=4,0246=6 4,则 S 6=()A.32 B.31 C.64 D.63【解答】解：设首项为m,公比为夕，由a2a6=g2=64,解得6/4=8,又 43=4,所以q=2,又因为“2=4,所以(7 1 =1,所以 56=63.故选：D.7.已知数列 为等比数列，首项a i=4,数 列 也 满足bn=log 2的 1，且加+历+加=12,则 44=2 5 6.【解答】解:因为数列 而 为等比数列，首项。1=4,数列%满足bn=log 2an 且 bl+02+b3=log2m+log2 2+log2 3=12,所以 log2(aia2a3)=12 即 010243=2%因为数列伍,为等比数列，所以“14243=a23=212,所以 42=16,4=4,则“4=256.故答案为：256.8.已知正项等比数列“的前”项和为S,且 S 8-2 S 4=5,则 a9+G0+mi+ai2的最小值为（）A.10 B.15 C.20 D.25【解答解：”是等比数列，VS8-2 5 4=5,即 S8-S4=S4+5:.S4,58-54,S12-S8 也是等比数列，且 512-S8=9+aio+an+ai2./.（58-54）2=S4（S12-S8）.可得：512-58=5 4 2+督4+25=|+S4+10 2 x S4+10=20.当且仅当54=5时取等.*.a9+aio+ai 1+12 的最小值为 20.故选：C.9.已知数列 ”为正项的递增等比数列，41+45=82,及5=8 1,记数列0 的前项和为力”则使不等式an2019|7；-1|1 成立的正整数的 最 大 值 为 6.【解答】解:数 列 即 为正项的递增等比数列,“1+45=8 2,。204=。2%4=81,即 解 瞰】二,则公比 g=3,.a“=3f _1_则%=孑+|+/+岛=2 x=3（1-京），1 1/.2 0 1 9|7；-1|1,即2019X 1,得 3”0 B.4 8=0C.S 1 5 O D.5 7、S 8 均为S”的最大值【解答】解：由伍 是递减的等差数列，得 d 0由题意可得。8 =0,所以5 7,S 8 均为S”的最大值，选项。正确.（a 9 V o故选：B D.（多选）2.已知等差数列“”的前项和为S”若 S i 4 0,5 1 5 0,则下列判断正确的是（）A.a i QB.a i 0,J 0,S 1 5 0,。8 0,d 0.。8 -8 0,a 8 V 0，数列中绝对值最小的项是。8,故选项C正确；S”的最大值是S 7,故选项O 正确.故选：B C D.