2023北京海淀区高二上学期期末数学试题及答案.pdf

海 淀 区 高 二 年 级 练 习 数 学 2023.01数 考 1.本 试 卷 共 6 页，共 3道 大 题，19道 小 题。满 分 100分。考 试 时 间 9 0分 钟。生 2.在 试 卷 上 准 确 填 写 学 校 名 称、班 级 名 称、姓 名。须 3.答 案 一 律 填 涂 或 书 写 在 试 卷 上，用 黑 色 字 迹 签 字 笔 作 答。知 4.考 试 结 束，请 将 本 试 卷 交 回。第 一 部 分(选 择 题 共 40分)一、选 择 题 共 10小 题，每 小 题 4 分，共 4 0分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。(1)在 复 平 面 内，复 数(2-i)(l+3i)对 应 的 点 位 于(A)第 一 象 限(B)第 二 象 限(C)第 三 象 限(D)第 四 象 限(2)经 过 点 P(-1,0)且 倾 斜 角 为 60。的 直 线 的 方 程 是(A)y/3x-y-=0(B)V3x-y+V3=O(C)6 x-y-陋=0(3)已 知 直 线/经 过 点 4(1,1.2)(A)/a(C)1 ua(4)已 知 抛 物 线/=ax上 的 点(A);(B)y(D)x-/3y+1=0,8(0,1,0),平 面 a 的 一 个 法 向 量 为=(-2,0,-4),则(B)/la(D)/与 a 相 交，但 不 垂 直 Jo)到 其 焦 点 的 距 离 是 1,那 么 实 数。的 值 为(C)1(D)2高 二 年 级(数 学)第 1 页(共 6 页)(5)在 平 行 六 面 体 中，点 M 满 足 2押=元.若 襦=%而=6 A=c,则 下 列 向 量 中 与 两 相 等 的 是(A)a-h+c(B)a+h+c2 2 2 2(C)-a+b+c(D)-a-h+c2 2 2 2(6)已 知 直 线/：y=Ax+b,O O：x2+y=l,则 是“直 线/与。相 交”的(A)充 分 而 不 必 要 条 件(B)必 要 而 不 充 分 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(7)在 正 方 体 1 8 C D-4 8 C Q 中，直 线/是 底 面 所 在 平 面 内 的 一 条 动 直 线，记 直 线 4。与 直 线/所 成 的 角 为,则 sina的 最 小 值 是(A)乎(B)y(C)孝(D)坐(8)已 知 4,8(异 于 坐 标 原 点)是 圆(x-2+(y-1尸=5 与 坐 标 轴 的 两 个 交 点，则 下 列 点 历 中，使 得 历/2 为 钝 角 三 角 形 的 是(A)M(O,0)(B)M(4.之&)2(C)A/(2,1-V5)(D)A/(1,3&)(9)“天 问 一 号”是 执 行 中 国 首 次 火 星 探 测 任 务 的 探 测 器，该 名 称 源 于 屈 原 长 诗 天 问，寓 意 探 求 科 学 真 理 征 途 漫 漫，追 求 科 技 创 新 永 无 止 境.图(1)是“天 问 一 号”探 测 器 环 绕 火 星 的 椭 圆 轨 道 示 意 图，火 星 的 球 心 是 椭 圆 的 一 个 焦 点.过 椭 圆 上 的 点 P 向 火 星 被 椭 圆 轨 道 平 面 截 得 的 大 圆 作 两 条 切 线 尸 加，P N,则 乙 M P N 就 是“天 问 一 号”在 点 P 时 对 火 星 的 观 测 角.图(2)所 示 的 0,R,S,7 四 个 点 处，对 火 星 的 观 测 角 最 大 的 是(A)0(B)R(C)5(D)7图 1 图 2高 二 年 级(数 学)第 2 页(共 6 页)(1 0)如 图，在 棱 长 为 1的 正 方 体 中，M,N 分 别 为 BD”当 G 的 中 点，尸 为 正 方 体/8 C D-4&G R 表 面 上 的 动 点.下 列 叙 述 正 确 的 是(A)当 点 P 在 侧 面 AAtDtD 上 运 动 时，直 线 C N 与 平 面 B M P 所 成 角 的 最 大 值 为 方(B)当 点 P 为 棱 4 位 的 中 点 时，CN 平 面 BMP(C)当 点 P 在 棱 BB、上 时，点 P 到 平 面 C N M 的 距 离 的 最 小 值 为 普(D)当 点 尸 N C时，满 足 尸，平 面 NCP的 点 P 共 有 2 个 第 二 部 分(非 选 择 题 共 60分)二、填 空 题 共 5 小 题，每 小 题 4 分，共 2 0分。(11)若 复 数 z 满 足(1+iA z=F,则 l z l=.(1 2)已 知 直 线 乙：a x-y+2=0,直 线/?：x-(a+1)y-1=0.若 4 J.八 则 实 数。=.(13)已 知 双 曲 线 今-=1的 渐 近 线 为 y=5/2-V,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为.(1 4)已 知 椭 圆 加：,+$=1(a Z 0)的 左、右 焦 点 分 别 是 尸 1,B，/(0,b),且/乃 是 面 积 为 退 的 正 三 角 形.过 E 垂 直 于 4 G 的 直 线 交 椭 圆 于&C两 点，则 4 8 C的 周 长 为(1 5)古 希 腊 数 学 家 阿 波 罗 尼 斯 在 其 著 作 圆 铢 曲 线 论 中，系 统 地 阐 述 了 圆 锥 曲 面 的 定 义 和 利 用 圆 锥 曲 面 生 成 圆 锥 曲 线 的 方 法，并 探 究 了 许 多 圆 锥 曲 线 的 性 质.其 研 究 的 问 题 之 一 是“三 线 轨 迹”问 题：给 定 三 条 直 线，若 动 点 到 其 中 两 条 直 线 的 距 离 的 乘 积 与 到 第 三 条 直 线 距 离 的 平 方 之 比 等 于 常 数，求 该 点 的 轨 迹.小 明 打 算 使 用 解 析 几 何 的 方.法 重 新 研 究 此 问 题，他 先 将 问 题 特 殊 化 如 下：高 二 年 级(数 学)第 3 页(共 6 页)给 定 二 条 直 线 人：y=gx+g,4：y=-gx-g,l3 x=,动 点 尸 到 直 线 A,4 和 的 距 离 分 别 为 4,d,和 d,且 满 足 缗=2,记 动 点 尸 的 轨 迹 为 曲 线 C 给 出 下 列 四 个 结 论：的 5 曲 线 C 关 于 x 轴 对 称；曲 线 C 上 的 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 的 最 小 值 为 苧；平 面 内 存 在 两 个 定 点，曲 线 C 上 有 无 数 个 点 尸 到 这 两 个 定 点 的 距 离 之 差 为 及；4+4 的 最 小 值 为 半.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解 答 题 共 4 小 题，共 40分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、演 算 步 骤 或 证 明 过 程。（16）（本 小 题 10分）已 知 直 线 4：y=l与 直 线：y=-2 交 于 点 4,点 4 关 于 坐 标 原 点 的 对 称 点 为 C,点 8 在 直 线 4 上，点。在 直 线 4 上.（I）当=1时，求。点 的 坐 标；（n）当 四 边 形/be。为 菱 形 时，求 上 的 值.高 二 年 级（数 学）第 4 页（共 6 页）(17)(本 小 题 10分)已 知 曲 线 M 上 的 任 意 一 点 到 点(1,0)的 距 离 比 它 到 直 线 x=-2 的 距 离 小 1.(I)求 曲 线 的 方 程；(n)设 点 E(o,1).若 过 点 4(2,1)的 直 线 与 曲 线 交 于 8,C 两 点，求 E8C的 面 积 的 最 小 值.(18)(本 小 题 10分)如 图，在 四 棱 锥 中，四 边 形 Z8C。是 平 行 四 边 形，点 尸 为 尸。的 中 点.(I)已 知 点 G 为 线 段 8 c 的 中 点，求 证：CF 平 面 R1G；(H)P A=A B=2,直 线 P C 与 平 面 N8C。所 成 的 角 为 30。，再 从 条 件、条 件、条 件 这 三 个 条 件 中 选 择 几 个 作 为 已 知，使 四 棱 锥 P-/BC。唯 一 确 定，求:(i)直 线。到 平 面 尸 的 距 离;(ii)二 面 角 8-4尸-c 的 余 弦 值.条 件：PA J.平 面 ZBC。；条 件：AD=2y2-条 件：平 面 P4B _L平 面 PAD.高 二 年 级(数 学)第 5 页(共 6 页)（19）（本 小 题 10分）已 知 椭 圆 E：+W=l（。60）的 焦 距 为 2,长 轴 长 为 4.a b（I）求 椭 圆 E 的 方 程；（11）过 点（-3,0）旦 与 x 轴 不 重 合 的 直 线/与 椭 圆 E 交 于 不 同 的 两 点&C,点 5 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 9.问：平 面 内 是 否 存 在 定 点 尸，使 得 夕 恒 在 直 线 尸 C 上？若 存 在，求 出 点 尸 的 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由.高 二 年 级（数 学）第 6 页（共 6 页）海 淀 区 高 二 年 级 练 习 数 学 参 考 答 案 2023.01一、选 择 题(共 10小 题，每 小 题 4 分，共 40分)(1)A(2)B(3)B(4)D(5)C(6)A(7)A(8)D(9)A(10)C二、填 空 题(共 5 小 题，每 小 题 4 分，共 20分)(11)(12)-2 2(13)&(14)8(15)注：第 15题 少 选 项 得 2 分，错 选 或 未 作 答 均 为 0 分。三、解 答 题(共 4 小 题，共 40分)(16)(本 小 题 10分)解：(1)当&=1时，直 线 4 的 方 程 为 y=x-2.由 得 厂=3，y=x-2 y=l.所 以 点 A 的 坐 标 为(3,1).2 分 因 为 点 A 关 于 坐 标 原 点 的 对 称 点 为 C,所 以 点 C 的 坐 标 为(一 3,-1).3 分(II)由 题 意 知 LwO.所 以 点 A 的 坐 标 为(关,1).4 分 因 为 点 A 关 于 坐 标 原 点 的 对 称 点 为 C,所 以 点 C 的 坐 标 为(-3,-1).5 分 k因 为 四 边 形 ABCO为 菱 形，所 以 A C L B D,CD/AB.数 学 参 考 答 案 第 I 页(共 5 页)所 以 点。的 纵 坐 标 为-1.由 点。在 直 线 4 上，6 分 所 以 点。的 横 坐 标 为,，即 点。的 坐 标 为 d,T).7 分 k k在 菱 形 ABC。中，点。，点 3 关 于 坐 标 原 点 对 称，所 以 点 8 的 坐 标 为(-L 1).8 分 k由 AC J _ B 可 得 1 1=-1.k k k k所 以 k=G，即 k 的 值 为 士 G.10分(1 7)(本 小 题 10分)解：(I)因 为 曲 线 M 上 的 任 意 一 点 到 点(L 0)的 距 离 比 它 到 直 线 x=-2 的 距 离 小 1,所 以 曲 线 M 上 的 点 均 位 于 轴 上 或，轴 的 右 侧.所 以 曲 线 M 上 的 任 意 一 点 到 点(1,0)的 距 离 等 于 它 到 直 线 x=-l 的 距 离.所 以 曲 线 M 的 方 程 为 V=4 x.4 分(H)设 直 线 8 c 的 方 程 为 x=z(y-l)+2,3(%,必)，C(x2,y2).5 分 由|y-4x,得 y2 _4冲+-8=0.6 分 x=/n(y-1)+2因 为=16机 2一 16 7+32 0,所 以 必+为=4 6，)”2=4 L 8.7 分 因 为 点(0,1),点 A(2,l),所 以 ESC的 面 积 S=g|A E H y%l=4/m2-m+2.9 分 当 机=；时，EBC的 面 积 取 得 最 小 值 2近.10分 数 学 参 考 答 案 第 2 页(共 5 页)(1 8)(本 小 题 10分)解：(I)取 尸 4 的 中 点 E,连 接 E F,EG.因 为 点 尸 为 尸。的 中 点，所 以 EF/AD,EF=-AD.1 分 2因 为 四 边 形 ABC。是 平 行 四 边 形，所 以 BC/AD,BC=AD.因 为 点 G 为 线 段 B C的 中 点，所 以 CG=-BC.2所 以 EF/CG,EF=CG.所 以 四 边 形 EFCG是 平 行 四 边 形，所 以 FCH EG.因 为 E G u平 面 PAG,FC/2,0),D(0,2/2,0).所 以 通=(2,0,0),AF=(0,x/2,l).AC=(2,2/2,(),通=(0,2 0,0).设 平 面 A8尸 的 法 向 量 为 二*。,%,4),则 数 学 参 考 答 案 第 3 页(共 5 页)n-AB=0,即 12工 0=。，n-AF=0,V 2y0+z0=0.令 Yo=也,则 z0=-2.于 是 篦=(0,0,2).6 分 设 平 面 4 C E的 法 向 量 为 m=(5,y,Z 1),贝 I fm-A C=0,即 卜 百+2虚 y=0,-AF=0,x/21+Z j=0.令 y=正，则 Z=-2,x=-2.于 是 帆=(一 2,虚,一 2).7 分(i)直 线 C。到 平 面 A B F 的 距 离 为 上=.8 分 n 3(ii)因 为 cos(n,m)=-/l-=4 5.1 1山 5所 以 二 面 角 8-A尸-C 的 余 弦 值 为 誓.10分 选 择 条 件：因 为 P A L平 面 4 8 8,直 线 P C与 平 面 A 8C D所 成 的 角 为 30。，所 以 ZPCA=30,PAJ.AB.4 分 因 为 PA=2,所 以 AC=2瓜 因 为 平 面 尸 A 8_L平 面 尸 A),8 4 u 平 面 P A 8,平 面 PAB D 平 面 PAO=,所 以 8A _L平 面 PA).所 以 BAL AD.因 为 四 边 形 A BC D是 平 行 四 边 形，所 以 四 边 形 A 8 C D是 矩 形.因 为 AB=2,所 以 B C N A C-A B。=2&.5 分 以 下 同 选 择 条 件.选 择 条 件：同 选 择 条 件 或 选 择 条 件.数 学 参 考 答 案 第 4 页(共 5 页)（19）（本 小 题 10分）解：（I）因 为 所 以 所 以 所 以 椭 圆 E 的 焦 距 为 2,长 轴 长 为 4,C=1,4=2.Z?2=iz2 c2=3.椭 圆 E 的 方 程 为 5+1=1.4 3（I I）存 在 定 点 尸（-0），使 得 8 恒 在 直 线 P C上.理 由 如 下：3设 直 线/:工=/盯 一 3,8（内,切），C（x2,y2）,则 8（玉，-y）.所 以 PC=（x2+,y2）,西=（再+g f）.由 X2 y2 _彳+石=1，得（3疗+4）/-1 8 叼+15=0.x=my-3所 以 因 为 所 以?18/n 15 二 48（3-5）0,y+y2=；，Jiy2=5 73m+4 3m+4X=my-3,x2=nry2-3（芭+*2+=2 mMy2-：（%+%）.15 5 18/w=2m x-x-3m2+4 3 3/+4=0.,3分 4 分 6 分 8 分 所 以 所 以 P C/P B.点 B，P,C共 线.10分 数 学 参 考 答 案 第 5 页（共 5 页）V北 京 高 考 在 线 专 覆 吐 京 裔 中 介 学 关 于 我 们 北 京 高 考 在 线 创 办 于 2014年，隶 属 于 北 京 太 星 网 络 科 技 有 限 公 司，是 北 京 地 区 极 具 影 响 力 的 中 学 升 学 服 务 平 台。主 营 业 务 涵 盖：北 京 新 高 考、高 中 生 涯 规 划、志 愿 填 报、强 基 计 划、综 合 评 价 招 生 和 学 科 竞 赛 等。北 京 高 考 在 线 旗 下 拥 有 网 站 门 户、微 信 公 众 平 台 等 全 媒 体 矩 阵 生 态 平 台。平 台 活 跃 用 户 4 0 W+,网 站 年 度 流 量 数 千 万 量 级。用 户 群 体 立 足 于 北 京，辐 射 全 国 31省 市。北 京 高 考 在 线 平 台 一 直 秉 承“精 益 求 精、专 业 严 谨”的 建 设 理 念，不 断 探 索 K12教 育+互 联 网+大 数 据”的 运 营 模 式，尝 试 基 于 大 数 据 理 论 为 广 大 中 学 和 家 长 提 供 新 鲜 的 高 考 资 讯、专 业 的 高 考 政 策 解 读、科 学 的 升 学 规 划 等，为 广 大 高 校、中 学 和 教 科 研 单 位 提 供“衔 接 和 桥 梁 纽 带 作 用。平 台 自 创 办 以 来，为 众 多 重 点 大 学 发 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