高中数学知识点总结及公式汇编.pdf

篇中薮学加四.电总修1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么？注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。3 .注意下列性质：（3）德摩根定律：4 .你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。6 .命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7 .对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）8 .函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9 .求函数的定义域有哪些常见类型？1 0 .如何求复合函数的定义域？义域是。1 1 .求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？1 2 .反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互换x、y；注明定义域）1 3 .反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线y=x 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；1 4 .如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？）1 5 .如何利用导数判断函数的单调性？值 是（）A.O B.1 C.2 D.3.a 的最大值为3）1 6 .函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f（x）定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。1 7 .你熟悉周期函数的定义吗？函数，T是一个周期。）如：1 8 .你掌握常用的图象变换了吗？注意如下“翻折”变换：19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？的双曲线。应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系一一二次方程求闭区间 m,n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？20.你在基本运算上常出现错误吗？21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）22.掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？（x,y）作图象。27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面一一先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。28.在解含有正、余弦函数的问题时，你 注 意（到）运用函数的有界性了吗？29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：图象？30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。A.正值或负值 B.负值 C.非负值 D.正值31.熟练掌握两角和、差、倍、降暴公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幕公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。34.不等式的性质有哪些？答案：C35.利用均值不等式：值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。（移项通分，分子分母因式分解，X的系数变为1,穿轴法解得结果。）3 8 .用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始3 9 .解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论4 0 .对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）证 明:l f（x）-f（a）l=l（x 2 -x +1 3）-（3 2 -a +1 3）1（按不等号方向放缩）4 2 .不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）4 3 .等差数列的定义与性质0的二次函数）项,即：44.等比数列的定义与性质46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求 差（商）法解：n=l时，la =2x1+5,/.a-142 i 练习（2）叠乘法a a a 1 2 n-1 .a 1解：2-,5-.n-=,.，.a-=a a a 2 3 n a nI 2 n-1 1（3）等差型递推公式 练习（4）等比型递推公式 练习（5）倒数法47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。解：由 1 =/：1 -1 （dH0）a,a a a+aj d a a）k k+1 k k k k+l 练习（2）错位相减法：（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。练习48.你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利和为：若按复利，如贷款问题一一按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款一一分期等额归还本息的借款种类）若 贷 款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一 期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x元，满足p 贷款数，I利率，n 还款期数49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。(2)排 列：从n个 不 同 元 素 中，任 取m (mWn)个 元 素，按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一列，叫做从n个 不 同 元 素 中 取 出m个元素的一个排列，所 有 排 列 的 个 数 记 为A m.n(3)组 合：从n个 不 同 元 素 中 任 取m (mWn)个 元 素 并 组 成 一 组，叫 做 从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所 有 组 合 个 数 记 为C m.n50 .解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()A.2 4 B.15 C.12 D.10解析：可分成两类：(2)中间两个分数相等相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来，分别有3,4,3种，.有10种。二共有5+10=15(种)情况51.二项式定理性质：(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第表示)52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？的 和(并)。(5)互斥事件(互不相容事件)：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。(6)对立事件(互逆事件)：(7)独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。53 .对某一事件概率的求法：分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生如：设1 0件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。(1)从中任取2件都是次品；(2)从中任取5件恰有2件次品；(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次(每 次 抽1件)，n=1 0 3而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”(4)从中依次取5件恰有2件次品。解析：；一件一件抽取(有顺序)分 清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。54.抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。55.对总体分布的估计一一用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：(2)决定组距和组数；(3)决定分点;(4)列频率分布表；(5)画频率直方图。如：从 10名女生与5 名男生中选6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为 o56.你对向量的有关概念清楚吗？(1)向量-既有大小又有方向的量。在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。(6)并线向量(平行向量)-方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。(7)向量的加、减法如图：(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)的一组基底。(9)向量的坐标表示表示。57.平面向量的数量积数量积的几何意义：(2)数量积的运算法则 练习答案：答案：2答案：58.线段的定比分点.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线面平行的判定：线面平行的性质：三垂线定理(及逆定理)：线面垂直：面面垂直：60.三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角9,0 9 W90(2)直线与平面所成的角。，0 W。W90(三垂线定理法：人仁(1作或证人8_18于 8,作 8 0，棱于0,连 A O,则 A O,棱/,.NAOB为所求。)三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。练习(1)如图，O A为 a 的斜线OB为其在a 内射影，OC为 a 内过O 点任一直线。(2)如图，正四棱柱ABCDA|B|C|D|中对角线BD|=8,BD1与侧面B|B C J所成的为3 0。求BD1和底面ABCD所成的角；求异面直线B D|和AD所成的角；求二面角CB D B,的大小。(3)如图A B C D为菱形，ZD A B=6 0 ,P D ffi A B C D,且P D =A D,求面P A B与面P C D所成的锐二面角的大小。(；A B D C,P为面P A B与面P C D的公共点，作P F A B,则P F为面P C D与面P A B的交线.)6 1.空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长(如：三垂线定理法，或者用等积转 化 法)。如：正方形A B C D-A|B D|中，棱长为a,则：(1)点C到面AB&的距离为；(2)点B到面A C B,的距离为；(3)直线A|D I到面A B 的距离为；(4)面ABQ与面A R C 1的距离为；(5)点B到直线A|C|的距离为 o6 2 .你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱一一底面为正多边形的直棱柱正棱锥一一底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：它们各包含哪些元素？6 3 .球有哪些性质？(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！(3)如图，。为纬度角，它是线面成角；a为经度角，它是面面成角。(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r=3：l o积 为()答案：A6 4 .熟记下列公式了吗？(2)直线方程：6 5 .如何判断两直线平行、垂直？6 6 .怎样判断直线/与圆C的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。6 7 .怎样判断直线与圆锥曲线的位置？6 8 .分清圆锥曲线的定义7 0 .在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？()的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，对 称 存 在 性 问 题 都 在 下 进 行。)7 1 .会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。7 2 .有关中点弦问题可考虑用“代点法”。7 3.如 何 求 解“对称”问题？(1)证明曲线C：F (x,y)=0关于点M (a,b)成中心对称，设A (x,y)为曲线C上任意一点,设 A，（x，y ）为 A关于点M 的对称点。7 5 .求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）7 6 .对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。高中数学常用公式及常用结论1 .元素与集合的关系x e A x C A t X EC A o x A,u u2 .德摩根公式C (A nB)=C AJ C B;C(AB)=C ACC B.u u u u u u3 .包含关系4 .容斥原理-car d(A)B)-car d(B Q C)-car d(C Q A)+car d(A Q B Q C).5.集合 a,a,。的子集个数共有2“个；真子集有2 -1个；非空子集有2“-11 2 n个；非空的真子集有2 -2个.6 .二次函数的解析式的三种形式(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a H 0)；(2)顶点式 f(x)=a(x-/z)2 +，(aw0)；(3)零点式/(x)=a(x -x )(x -x )(a/0).I 27.解连不等式N /(x)-.f(x)N M-N8.方程/(x)=0在(上 水)上有且只有一个实根，与/(%)f*)0不等价，前者是后1 2 1 2者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程ax 2+bx +c =0(aw0)有且只有一个实根在b k+k(勺 人)内，等价于/(勺)/()0,或 八 阜=0且 勺 五 七 二 ，或/的)=0且k+k bI _2_ 0 时，若=一：J ,/,则/(x)=/(-/)J(x)=/(p),/(q)；2dmin 2 a max maxx =/(x)=/(p)(q),/(x)=/(P),/(7).2Q max max min min(2)当 a 0 时，若 x =-，e p,q ,则 f(x)=m i n /(p),/(q),若x =则/(x)=m ax f(p),f(q),2aJ(x)=m i n /(/?),/().min1 0 .一元二次方程的实根分布依据：若/(?)/()0p mI 2(1)方程/(X)=0在区间(加,+8)内有根的充要条件为/(/)=0或或(2)方程/(x)=0在区间(m,)内有根的充要条件为/(加)/()0或/(m)=0nV 0/()=0af(m)0(3)方程/(x)=0在区间(-8,)内有根的充要条件为f(m)0或1 1.定区间上含参数的二次不等式恒成立的号件依售(1)在给定区间(一8,+0 0)的子区间L (形如LB，/(M0/(n)0/?2 -4 0pm -n2p2-4 0p-06 2 0 或，c 0a 0b2-4 ac p,则是“必要条件.(3)充要条件：若 p=q ,且qnp,则，是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然1 6.函数的单呷生(1)设 x -x ela,bx 丰 x 那么1 2 1 2(x )/(x)-/(x )0 o 望 F(2 0o /(x)在 以力 上是增函数；121 2 X-X1 2(x-X)/,(%)-/(%)()/_(32 0,则/(x)为增函数；如果r a)(kx+b)是 y=L f(x)-b 的反函数.K28.几个常见的函数方程正比例函数/(x)=cx,/(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.指数函数/(x+y)=/(x)/(y),/=。NO.对数函数/(x)=log x,/(“)=/(x)+/()，),/=1(。0,a H 1).幕函数f(x)=x a,f(xy)=f(x)f(y),f(l)=a .(5)余弦函数/(x)=cos x,正弦函数 g(x)=sin x,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),A-0 X29.几个函数方程的周期(约定a0)(1)f(x)=f(x +a),则/(x)的周期 T=a；(2)/(x)=/(x +a)=0,或/(x +a)=卷 WO),或/(x+a)=-皋(/(x)*0),f(x)或.+J/(x)_/2(x)=/(x +a),(/(x)e fo,),则 /(x)的周期 T=2a；(3)f(x)=1-i -(/(x)W 0),则/(x)的周期 T=3a；f(x +a)于(x+x )=且/=K/(x )/)-x l 0,tn,iie N*,且 1).C lm_ U L 1(2)a n=N*,且).J 1 LC l n31.根式的性质(1)(而)=a.(2)当”为奇数时，如=。；a,a0-a,a 0当几为偶数时，=1。1=0,r,s G Q).(2)(a)s =ar s(a0,r,s eQ).(3)(ab)r =ar br(a 0,b 0,r eQ).注：若a 0 ,p是一个无理数，则a p表示一个确定的实数.上述有理指数黑的运算性 质，对于无理数指数幕都适用.3 3 .指数式与对数式的互化式lo g N =b=ab=N(a0,a 于 1,N 0)3 4 .旬数的换底公式,lo g Nlo g N =(。0,且。1,加0,且加。1,N 0).a lo g amn推论 lo g bn =lo g 且。1,0,且 N 0).a也 m a3 5 .对数的四则运算法则若 a 0,a W l,M 0,N 0,则(1)lo g (M N)=lo g M+lo g N；a a aM(2)lo g =lo g M-lo g N；a N a a(3)lo g M n =nlo g M(/i w R).3 6 .设函数/(x)=lo g (ax2+6 x +c)(a HO),记=从-4 a c .若/(x)的定义域为mR,则。0,且A 0,/?0,x 0,x w J，则函数y =lo g (bx)a 当a 6时，在(0,_)和(L+o o)上y =lo g (6 x)为增函数.a a“X 当。机 1,p0,a 0,且aw l,则(1)lo g (+/?)lo g n .m+p t nm +n(2)lo g mlog n 2 i2 n n-l40.等差数列的通项公式a=a+(l)d=dn +a-d(n e N*)；n 1 I其前n项和公式为d/1八=_2+(Q-d)n .2 i 241.等比数列的通项公式a=aq n-i=i.q“(jteN*)；n 1 q其前n项的和公式为a-a q ._，q w l或s =,i-q .nn a,q =42.等比差数列1 ：a=q a+d,a=H 0)的通项公式为n n+1 n IZ?+(-l)d,q =1a=bq n +(d b)q n-i d；n-：-，q H 1i q-i其前n项和公式为n b+(一 l)d,(q =1)s =“d、l q d.(b-)-+-小(q x l)-q q-q43.分期付款(按揭贷款)每次还款=(?1 +!b)：n)：元(贷款a元,次还清，每期利率为8).-144.常见三角不等式7 1()若 x (0,),则 s i n x x tan x.若x w(0,),则 1Q)s i n x +co s x 1.45.同角三角函数的基本关系式s i n 2 0 +co s 2 0 =1,tan 0 =Sn-,tan 0 -cotB=1.C O S 046.正弦、余弦的诱导公式/河 (-l)2 S i n a,(n 为偶数)s in(+a)=八啊蚁/2/八0(n为奇数)(-1)2 cos a9/河、(-l)2 co s a,co s(+a)=0)的周期7=；函 数)=tan(C O x+(p),xwKi+不_次EZ (A,3,(p 为常数，旦 Aco2E 7 1W O,3 0)的周期 T =.co51 .正弦定理s i n A s i n B s i n C52 .余弦定理Q 2 =/72 +C 2 -2bc co s A ;拉=c2 +。2 2ca co s B；C 2 =Q 2 +从 一 2ah co s C .53.面积定理(1)S=ah=-bh=c h (h h h 分别表示 a、b、c 边上的高).2a 2b 2c a b c(2)S=abs in C=be s in A =eas in B.2 2 2(3)5=1 J(OA OB)2-(OA OB)2 .OAB 2 Y54.三角形内角和定理在ABC 中，有 A +B +C =7t=。=兀 一(A+B)=2一4+8 0 2c=2兀 一2(A+8).2 2 255.简单的三角方程的通解sin x=x=攵兀+(-1)&arcsin a(k G Z,l 6f l 1).cosx=a o x =2kn arccos ak G Z,l a),tan x=a n x=k兀+arctan a(k w Z,a w R).特别地,有sin a =sin p a =ATI+(1 0(%e Z).co set=cos P a=2kTt P(A EZ).tan a =tan p=a =攵兀+p(女 E Z).56.最简单的三角不等式及其解集sin x a(aY)x E(22 兀+arcsin a,2kJt+兀-arcsin a k e Z .sin xa(a a(al)x e (2 上冗-arccos a,2 上冗+arccos a),k e Z .cos x a(al)x e(2kn+arccos a,2%兀+2兀一 arccos a),k e Z .71tan x a(a e/?)=x G(k 兀+arctan a,kit+),k e Z .2兀tan x x G(攵兀 一，kit+arctan a k e Z.257.实数与向量的积的运算律设入、u为实数，那么(1)结合律：A(y a)=(X u)a;第一分配律：(X 4-u)a=Xa+u a;(3)第二分配律：X (a+b)=X a+X b.58 .向量的数量积的运算律：(1)a b=b-a(交 换 律)；(2)(九 a)b=九(a b)=X a b=a (九b);(3)(a+b)c=a c+b c.59.平面向量基本定理如 果 e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且1 2只有一对实数入、入，使得a=X e+X e.不共线的向量、e：叫做表示这平面内所有向量的一组基底.60 .向量平行的帽标表示设 a=(q,)：),b=(x,y,),且 b HO,则 a|b(b#O)=上 一 患=0.53.a b 的数量装械内积)a,b=I a|b|co s 0 .61 .a,b 的几何意义数量积a-b 等于a 的长度lai 与 b 在 a 的方向上的投影I blco s 0的乘积.62 .平面向量的坐标运算 设 a=(x,y ),b=(x ,)，则 a+b=(x +x ,y +y ).1 I 2 2 12 1 2(2)设 a=(x ,y ),b=(x ,y ),则 a-b=(x -x ,y -y ).1 1 2 2 12 12设 A(x ,y ),B(x ,y ),则 A B =Oa-OA =(x -x ,y-y).1 1 A 2 2 2 1 2 1(4)设 a=(x,y),入e R,则入a=(入 x,入 y).设 a=(x,y ),b=(x ,y),则 a b=(x x +y y).I 1 2 2 12 1 263.两向量的夹角公式COS0X X +)，1 2 -J 2收+”小 千 i64.平面两点间的距离公式(a=(x,y),b=(x,y2).d AB=J A B A BA,B=J(x,_q)2+():)2 (A (q,1),B (x,y,).6 5.向量的平行与垂直设 a=(x,y ),b=(x ,y ),且 bwo,则1 1 2 2A|b b=Xa=x y -x y=0.1 2 2 1a _L b(a W 0)=a b=0 x x +=0.1 2 1 26 6.线段的定比分公式设 P(x,y),Px,y),P(x,y)是线段PP的分点，九是实数，且P P =%P P ,则III 2 2 2 I 2 1 2=。户=/。尸+(1。尸(r =L).1 2 1 +A6 7 .三角形的重心坐标公式 A B C 三个顶点的坐标分别为A(x ,y )、B(x ,y )、C(x ,y )，则A A B C 的重心的坐1 1 2 2 3 3的曰小 产+%+%+)+y、标是 G(-l-2-3-,-I_-2-3-).6 8 .点的平移公式X=x+h OP=OP+PP.y=y-k注：图 形 F上的任意一点P(x,y)在平移后图形p 上的对应点为PU,y),且 P P,的坐标为(力,火).6 9 .“按向量平移”的几个结论 点 P(x,y)按向量a=(力/)平移后得到点P-(x+h,y +k).(2)函数y =/(x)的图象C按 向 量 a=(，外平移后得到图象。，则。的函数解析式为 y =/(x-/?)+h(3)图象。按 向 量 a=(%)平移后得到图象。，若。的解析式y =/(x),则 C 的函数解析式为y =/(x+/)-A.(4)曲 线 C :/(x,y)=0按 向 量 a=(h,k)平 移 后 得 到 图 象。，则C的方程为f(x-h,y-k)=O.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).7 0.三角形五“心”向量形式的充要条件设。为A46c所在平面上一点，角 A,B,C 所对边长分别为a,0,c,则(1)。为 A A B C 的外心 O A2=OB-=O C2.(2)。为 A A B C 的重心=。4 +。月 +O C=0.(3)。为 A A B C 的垂心 o O A -OB=O B -O C O C -O A.(4)。为 A A B C 的内心=a O A+6 砺+c、O C=0.(5)。为 A A B C 的 N A 的旁心o aCMu匕 O E+c O C.7 1.常用不等式：(1)a,b&R =a 2+bi2ab(当且仅当 a=b 时 取=”号).-a+b i(2)a,b/?+=y/ah(当且仅当 a=b 时 取“二”号).(3)6/3+/?3 4-C 3 3 abc(a 0,Z?0,c 0).(4)柯西不等式(5)p|-b a+b 0(或 0),如 果。与O2+X+C同号，则其解集在两根之外：如果4与4 X2+法+。异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.X x x o (x-x )(x-x )0(X X)；I 2 I 2 12X x (x-x )(x-x )0(X 0时，有凶 。=X2 。2 o -a x a.同=或 x o“(X)J g(x)Og(x)2 0 ./(x)g(x)7W 0(2)”(x)g(x)=,g(x)2 0 或，/(x)g(x)27(x)0(3)(x)0 .J(x)l 时，af M agM=/(x)g(x)；7(%)olog /(x)log g(x)o -g(x)0 ./(x)g(x)/U)0g(x)0 当0 a ag(x)f(x)X-X 1 2 111 2 2 2 1 22 12 1X V截距式 一+；=1(。、分别为直线的横、纵截距，。、工0)a b(5)一 般 式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若 个 产+彳,/:y=k x+b22 2/11/o k=k,b 芋 b1 2 1 2 1 2,/I Q k k=1.1 2 1 2(2)若/:Ax+8 y +C=0,/+5 y+C=0,且 A,、BB,都不为零,iii 1 22 2 2 1212A/11/O-LI 2 A2B C=L*L;B C2 2/1/0 AA+B B=0；1 2 I 2 I 280.夹角公式k-k(l)tana=l_u4-1.1 +Z k2 1(l:y=k x+b,/:y=k x+b,k k w-l)I I I 2 2 2 I 2X(2)tan a =1 AB-A B x.2-2 u Ii AA+BB1 2 1 2(/:Ax+By+C=0,Z:A x+B y+C=0,A A+B B wO).1 1 i 1 2 2 2 2 1 2 1 2,7 1直线/1/时，直线乙与4的夹角是R.12 1 2 281.I到/的角公式1 2(l)tana=勺 j.l+-k2 I(/:y =女 x+b,/:y=k x +b,k k w-l)I I I 2 2 2 1 2AB-A B(2)tan a =1_2-a _uA4+B B,1 2 1 2(/:A x+B y+C=0,/：71 x+B y+C=0,A A +B B wO).I 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2n直线时，直线4到4的角是5 8 2.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点尸(九，y)的直线系方程为y-y =%(%-工)(除直线0 0 0 0 0 x=x)，其 中 左 是 待 定 的 系 数；经 过 定 点P a ,y)的 直 线 系 方 程 为00 0 0A(x x )+B(y-y)=0,其中A,8是待定的系数.0 0(2)共点直线系方程:经过两直线/:Ax+B y +C =0,1-.Ax+B y +C=0的交点1 1 1 1 2 2 2 2的直线系方程为(Ax+8 y+C)+MA x +3 y+C )=0(除/),其中人是待定的系数.I I 1 2 2 2 2(3)平行直线系方程：直线)，=丘+匕 中 当 斜 率 k 一定而b变动时;表示平行直线系方程.与直线Ar+8y +C =0平行的直线系方程是4+为，+入=0(九。0),人是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax+5)，+C =0 (A#0,BW 0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+A.=0,人是参变量.83.点到直线的距离dL!。(点 P(x,y )，直线/：Ax+By +C =O).JA2 +B2 0 08 4.4+6)+。0或 0或 0或0或 0所表示的平面区域上下两部分；2 2 2(Ax+B y +C)(A x+By +C)0).x=a+rco s0(3)圆的参数方程,.y =rsi n B(4)圆 的 直 径 式 方 程(xx)(x-x)+(y -y y )=0 (圆的直径的端点是1 2 1 2A(x,y )、B(x,y ).I 1 2 28 7.圆系方程 过 点 A(x,y ),B(x,y)的圆系方程是1 1 2 2=(x-x)(i-x)+(y-y )(y-y )+X(ax+y +c)=O ,其中 ax+Z?y +c=0 是 直 线1 2 1 2A B 的方程，入是待定的系数.(2)过直线/:Ar+8y +C =0与圆C ：元 2 +尸+x+y +尸=0的交点的圆系方程是冗2 +产+6+E y +/+九(Ax+By +C)=0,X是待定的系数.(3)过圆。：1 2 +产+。工+；+尸=0与圆。：1 2 +,2+。+；+尸=0的交I I I 1 2 2 2 2点的圆系方程是1 2 +广+。工+/+入*2 +丁 2+。x+E y +F )=0 ,X是待定的1 1 1 2 2 2系数.88.点与圆的位置关系点 P(x,y )与圆(x a)2 +(-。)2 =厂 2 的位置关系有三种0 0若 a=J(a-X )2 +3 -y )2 ,则V 0 0 r 0点尸在圆外；d =r o点P在圆上；d r o 相 离=()；d=r o 相切 =()；d ().|Aa+Bb+C l其中4 二 一！.勿2+6 29 0.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为Q,0,半径分别为rr9，O O dd r +r。外 离=4条 公 切 线；1 2=；+1 =外 切。3条 公 切 线；r-r d r+r 相交 2 条 公 切 线；1 1 21 1 2d=r -r 内 切 1条 公 切 线；1 I 210 J 0 0)的参数方程是 j.八.ai b2 I y =Z?si n UX2 V29 3.椭圆一+J=1(。匕 0)焦半径公式Q2 b l|P F j =e(x+?),|P F j =e(?_ x).9 4 .椭圆的的内外部九 2 V2 X2 V2(1)点尸(X ,y )在椭圆+=1(。6 0)的内部+o o。2。2。2 b2X2 V2 X2 V2(2)点P(x,y )在椭圆一+二=1(。8 0)的外部o j +。a 2 b 2。2 b i9 5 .椭圆的切线方程。0)上一点P(x,y )处的切线方程是=a 2 b 2 0 0 Q2/72%2 V2(2)过椭圆一 +J=l(a b 0)外一点P(x,y )所引两条切线的切点弦方程是a 2 b 2 0 0-a+a_ =1.Q2 b lr2 V2(3)椭 圆 一+厂=1(。8 0)与 直 线 Ar+6)，+C =0 相 切 的 条 件 是Q2/72A2Q2+B 2b2=C2.Y?丫29 6 .双曲线一 一1=1(。0/0)的焦半径公式吗=l e(x+2)l,|”|=l e(-x)l.9 7.双曲线的内外部Y2 V2 Y2 点P(X,y )在双曲线-=1(0,&0)的内部o 3一0 0 a 2 b 2 Q2Y2 V2 元2 点P(X,y )在双曲线 一丁=1(。0/0)的外部o 二一0 。2 次。29 8.双曲线的方程与渐近线方程的关系X2 V2 X2 V2 4(1)若双曲线方程为一一 J=l=渐近线方程：-=0 y =-x.。2 1)2 Q2 Z72 aiY y Y2 y 2(2)若渐近线方程为=2*0一：=0n双曲线可设为一一。一=入.a a b a 2 b工X2 V2 X 2 V 2 ,(3)若双曲线与一 -=1 有公共渐近线，可设为 一5 _ =九(九 0,焦 点 在x4 2 匕 2。2 02轴上，入0/0)上一点P(x,y )处的切线方程是q-*L=l.Cl2 b 2。o Q2。2Y2 V2(2)过双曲线 J =1(Q0力 0)外一点P(x,y )所引两条切线的切点弦方程是a 2 b 2 oox/y y 0 0 =1.Q2。2X2 V2(3)双 曲 线 一 一二二13 08 0)与 直 线 Ax+8y +C =0 相 切 的 条 件 是A2Q2 一比儿二。2.1 0 0.抛物线丁2二2 P x的焦半径公式抛物线 V2=2 P x(p 0)焦半径|C F|=%+过焦点弦长|C|=、+：+七+：=、+p.1 0 1.抛物线 2 =2 p x 上的动点可设为p,y )或 P(2 p,2 pf)或 p(x,y),其中oy 2=2 px.1 0 2 .二次函数 y =o x2+x+c=a(x+E)2+而 一(a H 0)的图象是抛物线：(1)b A-dc Z?2 b A-cic Z?2 +顶点坐标为(一丁,一-)；(2)焦点的坐标为(一丁,)；(3)准线方程是2a 4a 2a 4a4ac-h2-11 0 3.抛物线的内外部 点P(x,y )在抛物线户=2 px(p 0)的内部=2 0).0 0点 P(x,y )在抛物线 2 =2Px(p 0)的外部 o y 22Px(p 0).0 0(2)点P(X ,y )在抛物线尸=一2庶50)的内部=y2 0).0 0点 P(x,y )在抛物线2=-2 2、(。0)的外部02一2 2武。0).0 0 点P(X ,y )在抛物线2=2 0火，0)的内部o x 2 0)的外部 o x2 2 py(p 0).0 0 点(),)在抛物线X2=2py(p 0)的内部。4 0).点 P(x ,y )在抛物线 X2=-2py(p 0)的外部o x 2一2