2023年中考数学压轴题29圆与相似及三角函数综合问题（教师版含解析）.pdf

挑 战 2023年 中 考 数 学 压 轴 题 之 学 霸 秘 笈 大 揭 秘（全 国 通 用）_ 专 题 2 9圆 与 相 似 及 三 角 函 数 综 合 问 题 典 例 剖 析.【例 1】（2022.四 川.巴 中 市 教 育 科 学 研 究 所 中 考 真 题）四 边 形 4BC0内 接 于 O。，直 径 4c与 弦 BD交 于 点 E,直 线 PB与。相 切 于 点 艮（1）如 图 1,若 B 4=30,且 E。=E A,求 证：84平 分“B D；（2）如 图 2,连 接 O B,若 NDB4=2NPB4,求 证：&OAB s&CDE.【答 案】（1）见 解 析（2）见 解 析【分 析】（1）连 接 O B,根 据 切 线 的 性 质 可 得 NPB4+4AB。=90。，再 由 4PB4=30。，可 得 418。=60。，从 而 得 到 A 40B为 等 边 三 角 形，再 跟 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得 B E 平 分 乙 4B。，即 可 求 证；（2）根 据 切 线 的 性 质 和 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 可 得 NPB4=4OBC=N O C B,从 而 得 到 乙 AOB=2乙 OCB=2&P B A,进 而 得 到 Z710B=N 4 C D,再 由 4840=48。，即 可 求 证.（1）证 明：连 接 08,直 线 P B 与。相 切 于 点 B,乙 PBO=90,/.PBA+B。=90,v.PBA=30,Z.ABO=60,又 OA=OB,.40B为 等 边 三 角 形，又 OE=AE,BE 平 分 N4BO,.,“砥=2 8。=30。,(2)证 明：,直 线 PB与。相 切 于 点 B,/.乙 PBO=90,Z,PBA+CABO=90,F C 为 直 径，ZABC=909：.ZOBC+ZABO=90,：/OBC=/PBA,Y OB=OC,:,乙 PBA=LOBC=LOCB,:.LAOB=2乙 OCB=2(PBA,v Z-ACD=乙 ABD=2乙 PBA,Z.AOB=Z-ACD,又：乙 BAO=LBDC,OAB CDE.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 切 线 的 性 质，圆 周 角 定 理，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 等 知 识，熟 练 掌 握 切 线 的 性 质，圆 周 角 定 理，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 是 解 题 的 关 键.【例 2】(2022广 东 深 圳 中 考 真 题)一 个 玻 璃 球 体 近 似 半 圆 0,4B为 直 径，半 圆。上 点 C处 有 个 吊 灯 EF,EF/AB,CO J.AB,EF的 中 点 为 0,04=4.图 图 图(1)如 图，CM为 一 条 拉 线，M在。8上，。=1.6，。9=0.8,求 CD的 长 度.(2)如 图，一 个 玻 璃 镜 与 圆。相 切，H 为 切 点,M 为 OB上 一 点,为 入 射 光 线，NH为 反 射 光 线，乙 O H M=乙 OHN=45。,t a n。=三，求 ON的 长 度.4(3)如 图，M是 线 段 0B上 的 动 点，为 入 射 光 线，/H 0 M=50。,2 为 反 射 光 线 交 圆。于 点 N,在 M从。运 动 到 B的 过 程 中，求 N点 的 运 动 路 径 长.【答 案】220 ON=y(3)4+日 兀【分 析】(1)由。尸=0.8,。u=1.6,DF|0 B,可 得 出 DF为 COM的 中 位 线，可 得 出。为 CO中 点，即 可 得 出 CD的 长 度；(2)过 N 点、作 ND 0H,交。”于 点 D,可 得 出 A 为 等 腰 直 角 三 角 形，根 据 tan/COH=可 得 出 tanzJVOD 设 ND=3x=D H,则。=4x,根 据 0。+DH=O H,即 可 求 OD 4得 x=%再 根 据 勾 股 定 理 即 可 得 出 答 案：(3)依 题 意 得 出 点 N 路 径 长 为：0 B+Igr，推 导 得 出 NBOT=80。，即 可 计 算 给 出 即 可 得 出 答 案.(1)：DF=0.8,O M=1.6,DF|OB.为 4。0时 的 中 位 线.为 CO的 中 点：C O=A O=4CD=2(2)过 N 点 作 ND_LO，交 OH于 点,:乙 OHN=45,.NHD为 等 腰 直 角 三 角 形，即 ND=DH,XVtanZCOW=,4QAtanz/VOD=,4Atanz/VOD=,O D 4：.ND,OD=3:4,设 ND=3X=D H,则 0 0=4%,；OD+DH=OH,/.3%4-4%=4,解 得 X=%:.ND=-,OD=,7 7工 在 出 NOD中，ON=yjND2+OD2=J(y)2+(y)2=y;(3)如 图，当 点 例 与 点 O 重 合 时，点 N 也 与 点 O 重 合.当 点 M运 动 至 点 A时，点 N运 动 至 点 T,故 点 N路 径 长 为：0 B+毫.:乙 NHO=乙 MHO,乙 THO=乙 MHO,乙 HOM=50.：.ZLOHA=Z.OAH=65.：.Z.THO=65。/T O H=50.B O T=80。，I C“800 16.=2zr X 4 X-=-71,F 360 9 N 点 的 运 动 路 径 长 为：OB+Igj-=4+9 ns故 答 案 为：4+?兀【点 睛】本 题 考 查 了 圆 的 性 质，弧 长 公 式、勾 股 定 理、中 位 线，利 用 锐 角 三 角 函 数 值 解 三 角函 数，掌 握 以 上 知 识，并 能 灵 活 运 用 是 解 题 的 关 键.【例 3】(2022黑 龙 江 哈 尔 滨 中 考 真 题)已 知 CH是。的 直 径，点 A,点 B 是。上 的 两 个 点,连 接。4 OB,点。，点 E 分 别 是 半 径。4 OB的 中 点,连 接 CD,CE,BH,且 乙 4OC=2乙 CHB.(1)如 图 1,求 证：乙 ODC=LOEC；(2)如 图 2,延 长 CE交 于 点 凡 若 CDJ.04,求 证：FC=FH；(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，点 G 是 出 7上 一 点，连 接 4G,BG,HG,0F,若 4G:BG=5:3,HG=2,求 OF的 长.【答 案】(1)见 解 析(2)见 解 析【分 析 1(1)根 据 SAS证 明 COD=COE即 可 得 到 结 论；(2)证 明 NH=NEC。即 可 得 出 结 论；(3)先 证 明。尸 J.CH,连 接 4”，证 明=设 AG=5x,BG=3x,在 AG上 取 点 M,使 得 AM=BG,连 接 M”，证 明 为 等 边 三 角 形，得 MG=HG=2,根 据 AG=AM+MG可 求 出 x=1,得 AG=5,BG=3,过 点”作 HN 1 MG 于 点 N,求 出=g,再 证 HF=2OF,根 据 HB=3OF=g 可 得 结 论.(1)如 图 1.：点 C,点 E 分 别 是 半 径。4。8的 中 点9：0A=OB,：.0D=OE:乙 BOC=2乙 C H B,乙 AOC=2乙 CHB：.AAOC=Z.BOCVOC=OC*COD=COE f：.CDO=LCEOx(2)如 图 2.V C D LOA,J.CDO=90由(】)得 乙 CEO=Z.CDO=90,.sinOCE=-=-O C 2：,z.OCE=30,：4 O E=90-Z.OCE=60VzH=-/.BOC=i x 60=302 2，乙 H=乙 ECO,：.FC=FH(3)如 图 3.：C O=OH,FC=FH：.OF 1 CH：.Z.FOH=90连 接 AH.9：Z.AOC=LBOC=60：.Z.AOH=乙 BOH=120,：.AH=B H,乙 4GH=60。9AG-.BG=5:3设 AG=5x,：.BG=3x在 4G上 取 点 M,使 得 4M=8 G,连 接 MH9Z.HAM=乙 HBG,.A HAM 三 4BG：.MH=GH,MHG为 等 边 三 角 形：.MG=HG=29AG=AM+MG,5%=3%4-2/.x=1,：.AG=5:BG=AM=3,过 点”作 HNJ.MG于 点 NMN=-GM=-x 2=l,HN=HG-sin60=V32 2 M N=MN+x 4 M=4,：.HB=HA=/NA2+HN2=同 VzFOW=90,Z.OHF=30,：.Z.OFH=60 OB=OH,C./-BHO=Z.OBH=30,:乙 FOB=Z.OBF=30：OF=BF,在 Rt。尸，中，乙 OHF=30,：.HF=2OF:HB=BF+HF=3OF=V19,.-.OF=.3【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 圆 周 角 定 理，等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质，等 腰 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理 以 及 解 直 角 三 角 形 等 知 识，正 确 作 出 辅 助 线 构 造 全 等 三 角 形 是 解 答 本 题 的 关 键.【例 4】(2022黑 龙 江 绥 化 中 考 真 题)如 图 所 示，在。的 内 接 A AMN中，4M4V=90。，A M=2 A N,作 4 B 1 M N于 点 P,交 0。于 另 一 点 8,C是 制 上 的 一 个 动 点(不 与 4,M重 合)，射 线 MC交 线 段 BA的 延 长 线 于 点 O,分 别 连 接 AC和 BC,BC交 M N 于 点、E.求 证：A C M A S C B D.(2)若 MN=10,M f=ATC,求 BC的 长.(3)在 点 C运 动 过 程 中，当 tanN M D B=时，求 第 的 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)3710【分 析】(1)利 用 圆 周 角 定 理 得 到/C M A=/A 8 C,再 利 用 两 角 分 别 相 等 即 可 证 明 相 似；(2)连 接 O C,先 证 明 MN是 直 径，再 求 出 A P和 N P的 长，接 着 证 明 CO E s B P E,利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 O E和 P E,再 利 用 勾 股 定 理 求 解 即 可；(3)先 过 C点 作 CG_LM N,垂 足 为 G,连 接 C N,设 出 GM=3x,CG=4x,再 利 用 三 角 函 数 和 勾 股 定 理 分 别 表 示 出/,8 和 P G,最 后 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 表 示 出 E G,然 后 表 示 出 M E 和 N E,算 出 比 值 即 可.(1)解：ABA.MN,：.NA/W=90,ND+NDMP=90。,又/DM P+NNAC=180,NMAN=90,/.ZDMP+ZCAM=90,ZCMAZABC,A CM A CBD.(2)连 接 OC,：Z.MAN=90,.A/N是 直 径，；MN=10,OM=ON=OC=5,：AM=2AN,SiAM2+AN2=M N2,：.AN=2V5,AM=4V5,SA M N=A M-A N=M N-A P,：.AP=4t：.BP=AP=4,：.NP=y/AN2-A P2=2,：.OP=5-2=3,Arc=/vc,OC工 MN,：.NCOE=90。,ZBPE=90,J NBPE=NCOE,又：N B E P=/C E O,/.COE S B P E.CO _ O E _ CE.BP 一 PE 一 BE即 三=竺=延 4 PE BE由 OE+PE=OP=3,：.OE=-,PE3 3CE=VOC2+OE2=R+停 J=|倾,BE=yjBP2+PE2=J4 2+=g g,z.e c=I V io+iV io=3V10.D(3)过。点 作 CG_LMM 垂 足 为 G,连 接 CM 则 NCGM=90。,NCMG+NGCM=90。，:M N 是 直 径，NMCN=90。，NCNM+NDMP=90。,VZD+ZDM P=90,/D=/C N M=N G C M,3VtanzMDB=-,43tanzC/VM=tanzGCM=4V ta n z G C M=，设 GM=3x,C G=4x,CM=5x,25x,NM=3M=ON=W：AM=2 4 N,且 4M 2+A N 2=M N 2,A r S V 5.IOA/5.AN=x,AM=-x,3 3-SAMN=AM-A N=M N-AP,：.AP=-x=PB,3:N P=：.PG 16 X-5-X=-113 3 3X,Z CGE=Z BPE=90,Z CEG=Z BEP,CGE&BPE，.CG GE CE,.=,BP PE BEME=5%,NE=ME:NE=3:2【点 睛】本 题 考 查 了 圆 的 相 关 知 识、相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质、三 角 函 数、勾 股 定 理 等 知 识，涉 及 到 了 动 点 问 题，解 题 关 键 是 构 造 相 似 三 角 形，正 确 表 示 出 各 线 段 并 找 出 它 们 的 关 系，本 题 综 合 性 较 强，属 于 压 轴 题.满 分 训 练 一、解 答 题【共 20题】1.（2022.内 蒙 古 内 蒙 古.中 考 真 题）如 图，。是 ABC的 外 接 圆，EF与。相 切 于 点,EF|BC分 别 交 4B,4C的 延 长 线 于 点 E 和 F,连 接 4。交 BC于 点 N,N4BC的 平 分 线 B M 交 4。于 点 M.（1）求 证：力。平 分 4B4C；若 AB:BE=5:2,AD=V14,求 线 段 C M 的 长.【答 案】（1）见 解 析（2）D M=2【分 析】（1）连 接。,根 据 切 线 的 性 质 得 O D L E F,由 EFII8C W O D L B C,由 垂 径 定 理 得 加）=6,进 而 即 可 得 出 结 论；(2)由 平 行 线 分 线 段 定 理 得 ON=竽，再 证 明 B D N-A 0 8,可 得 BD=2,乙 BMD=4DBM,进 而 即 可 求 解.(1)证 明：连 接。交 BC于 点 EF与 O。相 切 于 点。最 后 证 明：.0D 1 EF,，乙 ODF=90,YBC|EF,：.Z.OHC=Z.ODF=90,：.OD 1 BC,.,9=CB,J.LBAD=Z.CAD 即 4D平 分 心 B4C；(2)解：9BC|EF,.B E=-N-D,A E A D：AB:BE=5:2,AD=g,.n D.,N=2V-1-4,79：BAD=乙 CAD,L.CAD=乙 CBD,B A D=乙 CBD,BM平 分 乙 4BC,：.Z.ABM=乙 CBM,：.BAD+乙 ABM=乙 CBD+乙 CBM,，乙 BMD=乙 MBD,：.BD=D M,:乙 NBD=L B A D,乙 BDM=L ADB,BDN AADB,.-N-D=-D-BBD AD：.BD2=ND-AD=Xy/14=4,7：.BD=2(负 值 舍 去)，Z.D M=BD=2【点 睛】本 题 主 要 考 查 圆 的 基 本 性 质，切 线 的 性 质、相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质，平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理，等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质；找 出 相 似 三 角 形，列 相 似 比 求 解 是 解 决 本 题 的 关 键.2.(2022.湖 北 黄 石 中 考 真 题)如 图 CD是。0直 径，A 是 上 异 于 C,D 的 一 点、，点 是 DC延 长 线 上 一 点，连 接 Z B、AC,4 D,且/B4C=N4DB.(1)求 证：直 线 4B是 O。的 切 线；(2)若 BC=20C,求 tan/AOB的 值；(3)在(2)的 条 件 下，作 N C W 的 平 分 线 4P交 O。于 P,交 CD于 E,连 接 PC、PD,若 48=2通,求 AE 的 值.【答 案】(1)见 解 析 当(3)4/2【分 析】(1)如 图 所 示，连 接 0A，根 据 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 得 到 4CMC+/.0AD=90,再 证 明 N04D=4BAC即 可 证 明 结 论；(2)先 证 明 A B。4s BAD,得 到 些=些，令 半 径 0C=04=r,贝 ijBC=2r,OB=3r,AD BA利 用 勾 股 定 理 求 出 48=2y2r,解 直 角 三 角 形 即 可 答 案；(3)先 求 出 CD=2V3,在 Rt/i C4D中，生=在,4。2+4。2=解 得 4c=2,AD=2/,AD 2证 明 得 到 生=，贝 必 E T P=4 C T 0=4.AE AD(1)解：如 图 所 示，连 接 OA,；CD是。直 径，：.Z.CAD=90,BADP：.L OAC+LOAD=90,又.04=0D,.,./.OAD=Z.ODA,：/.BAG=乙 ADB,：./.OAD=/.BAC,：.AC+/.0AC=9 0,即 NBA。=9 0。，：.AB 1 OA,又 04为 半 径，直 线 4B是。的 切 线；(2)解：=4 BAC=4 A D B,乙 B=AB,BCA BAD t.A C _ B C.=,A D B A由 BC=2OC知，令 半 径 0C=04=r,则 8c在 Rt B4。中，AB=y/OB2-OA2=212r,在 R taCA D中，tanz.ADC=A D B A 22r即 tantACB=7；22r,OB=3r,(3)解：在(2)的 条 件 下，AB=2V2r=2V6,.r=A/3,：.CD=2V3,在 RtZCAD中，,AC2+A D2=CD2,A D 2解 得=2,AD=2V2,N P平 分 N CA。,：.CAP=Z.EAD,又 Y Z JIPC=LADE,CAP s 区 EAD,AC AP族 AD9：.AE AP=AC AD=2x2V2=4位.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 圆 切 线 的 判 定，直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角，相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定，解 直 角 三 角 形，勾 股 定 理，等 腰 二 角 形 的 性 质 等 等，熟 知 相 关 知 识 是 解 题 的 关 键.3.(2022 湖 北 襄 阳 中 考 真 题)如 图，AB是 半 圆 O的 直 径，点 C在 半 圆。上，点。为 鸵 的 中 点，连 接 AC,BC,AD,AO与 相 交 于 点 G,过 点。作 直 线。E|B C,交 A C的 延 长 线 于 点 E.(1)求 证：OE是。O的 切 线；(2)若 至=反 0,CG=2 V 3,求 阴 影 部 分 的 面 积.【答 案】见 解 析 二 2【分 析】(1)连 接。,根 据 己 知 条 件，由 OOJ_BC,DEWBC,证 明 O O LO E即 可；(2)根 据 前 1=劭 相 等，再 由(1)中 前=劭 可 得，AC=CD=B D,从 而 得 到 ZCAD=BAD=Z AfiC=30,在 R/ZMCG中，利 用 锐 角 三 角 函 数 求 出 AC、4 G的 长，从 而 求 出 AC AG的 面 积，在 肋 AA BO中 利 用 锐 角 三 角 函 数 求 出 AQ的 长，根 据 QEIIBC可 得 A C G-A A D,利 用 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 求 出 又 初=竿，进 而 即 可 阴 影 部 分 的 面 积.(1)证 明：连 接。，如 图 所 示，点。为 此 的 中 点,:.O D LBCV DEQBC,：.ODLDE.是。的 切 线.(2)连 接 B D,如 图 所 示,:AC=9 BD=AC,点。为 此 的 中 点,：.CD=孙：.AC=CD=9,：.ZCAD=ZBAD=30.9：A B是 半 圆。的 直 径，J ZACB=ZADB=90,在 心 ACG 中，tmZ-CAD=,sxz.CAD=：.CA=-,A G=-；,tan300 sin30V CG=2V3,Z.C/4=2/3 X V3=6,AG=4V3,：.BD=CA=6,SACG=qCG-AC=6/3）在 Rt&ABD 中,tanZB/lD=,:DE BC,：./C A G/E A D,.J=（丝）2,SAE AD即 L=i,S&E A D 9 3阴 影 部 分 二 力 D-3-CG=Y【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 切 线 的 判 定 定 理、垂 径 定 理、圆 周 角 定 理 以 及 相 似 三 角 形 的 性 质,解 直 角 三 角 形，掌 握 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.4.(2022.辽 宁 鞍 山 中 考 真 题)如 图，。是 AABC的 外 接 圆，4 8为。0的 直 径，点 E为。上 一 点，EFIL4c交 力 B的 延 长 线 于 点 尸，CE与 AB交 于 点 D,连 接 B E,若 NBCE=：N4BC.(1)求 证：EF是。的 切 线.(2)若 BF=2,sinzBEC=|,求。的 半 径.【答 案】(1)过 程 见 解 析(2)3【分 析】(1)连 接 O E,先 根 据 圆 周 角 定 理 及 已 知 条 件 得 出/A 8 C=N B 0 E,进 而 得 出 OE|BC,再 由 E F II C 4 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出 N FE O=N A C 8,然 后 根 据 直 径 所 对 的 是 直 角，即 可 得 出 答 案；(2)先 说 明 AFE O A A C B,再 设。的 半 径 为 r,并 表 示 尸 0,AB,B C,然 后 根 据 对 应 边 成 比 例 得 出 整=2 根 据 比 例 式 求 出 半 径 即 可.B C A B(1)证 明：连 接 OE.加 沁 小 乙 B C E=3乙 BOE,：./A B C-B O E,：.0E|BC,：.ZO E D=ZB C D.V EF|CAf；NFEC=NACE,NOED+/FEC=NBCD+NACE,ZFEO=ZACB.:A B是 直 径，ZACB=90,ZFEO=90,：.FE LEO.七 0 是。0的 半 径，E/是 O。的 切 线.(2)VEF I I AC,/.FEO ACB.:BF=2,sinzBEC=设。的 半 径 为 r,.FO=2+r,AB=2r,BC=1r.,EO _ FO BC A B.r 2+r芍 P解 得 r=3,，。0的 半 径 是 3.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 切 线 的 性 质 和 判 定，解 直 角 三 角 形，熟 练 掌 握 相 关 定 理 是 解 题 的 关 键.5.(2022辽 宁 朝 阳 中 考 真 题)如 图，AC是。的 直 径，弦 交 AC于 点 E,点 F为 BD延 长 线 上 一 点，NDAF=NB.(1)求 证：A尸 是。的 切 线；(2)若。的 半 径 为 5,4 0 是 AA E F的 中 线，且 A D=6,求 4 E的 长.【答 案】(1)见 解 析【分 析】(1)由 圆 周 角 定 理 得 NAOC=90。，则 N4C0+NQAC=9O。，从 而 说 明。A l 4尸，即 可 证 明 结 论；(2)作。H 1 4 C于 点”，利 用 AOH A C Q,黑=黑，求 出 A”的 长，再 利 用 直 角 三 角 AC AD形 斜 边 上 中 线 的 性 质 得 出 利 用 等 腰 一 角 形 的 性 质 可 得 答 案.(1)证 明：A C是 直 径，ZADC=90,N A C 0+N ZM O 90。，：NACD=NB,NB=NDAF,：.ZDAF=ZACD,.ZD AF+ZD AC=90,/.OA 1AF,.AC是 直 径，A/是。的 切 线；(2)解：作 DH J.AC于 点 H,.AC=10,V ZAHD=ZADC=90f NDAH=/CAD,：.A A D H&ACD,.AD _ AH AC ADf：.AD2=A H A Cf,.AD=6,/M W=-=-,10 5 A D是 A E F的 中 线，N E 4尸 二 90。，:AD;ED,AE=2AH=.5【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 圆 周 角 定 理，切 线 的 判 定 定 理，相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质，等 腰 三 角 形 的 性 质 等 知 识，根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 求 出 4”的 长 是 解 题 的 关 键.6.(2022.山 东 荷 泽.中 考 真 题)如 图，在 AABC中，以 A 8为 直 径 作。交 AC、8 c 于 点。、E,且。是 A C的 中 点，过 点。作 DG J.BC于 点 G,交 B A的 延 长 线 于 点 H.(1)求 证：直 线”G是。的 切 线；(2)若 用 4=3,cosB=|,求 CG 的 长.【答 案】(1)见 解 析？【分 析】(1)连 接。,利 用 三 角 形 中 位 线 的 定 义 和 性 质 可 得 O D IIBC,再 利 用 平 行 线 的 性 质 即 可 证 明；(2)先 通 过 平 行 线 的 性 质 得 出 4 B G=乙 H O D,设。=。4=。8=r，再 通 过 解 直 角 三 角 形 求 出 半 径 长 度，再 利 用 三 角 形 中 位 线 定 理 和 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 分 别 求 出 BC,BG的 长 度，即 可 求 解.(1)连 接 OD,v DG 1 FC,乙 BGH=90,。是 4 C 的 中 点，4 8 为 直 径,ODBC9 乙 BGH=Z.ODH=90,直 线 G 是。的 切 线;(2)由(1)得 O 0 I B C,：.Z-H B G=(H O D,2v CQSLHBG-2/.c o s z.H O D=5设。=O A=O B=r,v H A=3,:.O H=3+r,在 R t A H O D 中，Z-H D O=9 0,OD r 2 CGS乙 H O D=一,OH 3+r 5解 得 r=2,：.O D=O A=O B=2,O H=5fB H=7,。是 A C 的 中 点，A 8 为 直 径，.B C=2 O D=4,乙 B G H=Z-O D H=9 0,O D H&B G H,.OH _ OD pr l5 _ 2BH BG 7 BG.B G=514 6 CG=8 C-B G=4-匕=35 5【点 睛】本 题 考 查 了 切 线 的 判 定，三 角 形 中 位 线 的 性 质，平 行 线 的 判 定 和 性 质，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 及 解 直 角 三 角 形，熟 练 掌 握 知 识 点 是 解 题 的 关 键.7.(2 0 2 2.贵 州 黔 西.中 考 真 题)如 图，在 A B C中，A B=A C,以 4 5 为 直 径 作。0,分 别 交 B C 于 点 D,交 A C 于 点 D H 1 A C,垂 足 为“，连 接 O E 并 延 长 交 8 4 的 延 长 线 于 点 F.(1)求 证：。”是。的 切 线；(2)若 七 为 A”的 中 点，求 黄 的 值.【答 案】(1)见 解 析 1【分 析】(1)连 接 0。，证 明。D I I A C,由。H l A C,可 得。4 1。),即 可 证 明 结 论；(2)连 接 A D和 B E,由 圆 周 角 定 理 可 以 得 出 N4D8=Z.AEB=9 0,可 以 得 出 Z)H|BE,0D|A C,进 而 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 推 出 8D=CL,C H=H E,根 据 E 为 A”的 中 点，可 得 出 AE=EH=CH,AE=A C,根 据。4 c 且 0 D=1 4 C,可 以 得 出 入 4 E F。，根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 勺=君 将 A E,。代 入 即 可 求 出 答 案.F D O D(1)连 接。，贝 1。=。8.：.Z-0DB=/-ABC.=AC 9Z.ABC=Z.C.:乙 ODB=Z.C.：.0D AC.:乙 DHC=乙 HDO.9：DH LA C,，乙 DHC=Z.HDO=90.：.DH 1 OD.是 O 0 的 切 线.(2)连 接 A D和 BE.T A B是。的 直 径，A OA=O B,乙 ADB=Z.AEB=90.U：OD|AC.OB BD y.=1OA CD：.CD=BD.：.OD/ACROD=AC.：0D|A Ef：.Z.AEF=AODF.,:乙 F=乙 F,：.FAE-LFOD.FE AE=-.FD OD:乙 DHA=Z.BEA=90：.DH|BE.CH CD 1.=1HE BD：.CH=HE.为 A H 的 中 点，：.AE=EH=CH.：.AE=-AC3.FE AE 2.=-=*-=f d d y c 3【点 睛】本 题 考 查 了 切 线 的 判 定 和 性 质，圆 周 角 定 律，平 行 线 分 线 段 成 比 例，三 角 形 相 似 的 判 定 与 性 质 等 知 识，熟 练 掌 握 以 上 判 定 和 性 质 是 本 题 解 题 的 关 键.8.(2022 贵 州 安 顺 中 考 真 题)如 图 是。的 直 径，点 E是 劣 弧 上 一 点，NPAD=ZAED,S.DE=V2,AE平 分 NBA。，4E与 80交 于 点 F.(1)求 证：PA是。的 切 线；(2)若 tan/IME=y,求 EF的 长；(3)延 长。E,4B交 于 点 C,若 OB=8 C,求。的 半 径.【答 案】(1)见 解 析(2)1(3)2【分 析】(1)根 据 是。的 直 径，可 得 乙 4DB=90。，即 ND4B+4D8A=90,根 据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等，以 及 已 知 条 件 可 得 NPAO=448。，等 量 代 换 后 即 可 得 NP4B=90。，进而 得 证；(2)连 接 O E,E B,根 据 角 平 分 线 的 定 义，以 及 等 边 对 等 角 可 得 A D IIO E,根 据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 可 得 W 4E=W B E,由 垂 径 定 理 可 得 DE=EB=夜，进 而 可 得 tan/EBF=手 即 可 求 解.(3)过 点 B作 8Gll4 0,根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例，求 得 DG=2a,设。的 半 径 为 X,则 GB=0E=x,证 明 CGB CDA,可 得 4。=|x,在 中，AD2+DB2=AB2,勾 股 定 理 建 立 方 程，解 方 程 即 可 求 解.(1)证 明：.N B是。的 直 径，AADB=90,/.DAB+/.DBA=90,AD=AD,AED=Z.ABD,/.PAD=Z.AED,Z-PAD=乙 ABD,4BAD+/.PAD=乙 BAD+乙 ABD=90,即 NPAB=90,.P 4是。的 切 线，,4E平 分 NB/W,:.Z-DAE=4 BAE,：.DE=BE=2.O E 1 B Dv OA=OE,.Z.OEA=Z-OAE,:.乙 DAE=乙 AEO,.ADWOE,48是 0 0 的 直 径，:.AD 1 DB,AE 1 EB,BPZADF=ZBEF=90,DE=DE.Z.DAE=乙 D BE,tanzFF F=tanZ.DAE=立,2,EF _y2*EB 2，EF=EB=1；2(3)如 图，过 点 B作 8 G lim由(2)可 知 4DII0E,OEWBG,AO=OB=BC,:.DE=EG=GC,设 O O 的 半 径 为,则 GB=O E=gx,4D|BG,CGB CDAf C D AD9AD=3GB=-x,2V OE 1 DB.DB GB,v DE=V2,DG=2DE=2V L在 Rt DBG 中，DB2=DG2-G B2=8-Q x）2,在 RtZiMCB中，AD2+DB2=AB2,即（|/+8 _（汨 2=（2幻 2,解 得：x=2（负 值 舍 去），.O。的 半 径 为 2.【点 睛】本 题 考 查 了 切 线 的 判 定，圆 周 角 定 理 的 推 论，平 行 线 分 线 段 成 比 例，相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定，解 直 角 三 角 形，综 合 运 用 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.9.（2022山 东 枣 庄 中 考 真 题）如 图，在 半 径 为 IOCVH的。O 中，A B是。O 的 直 径，C 是 过。上 一 点 C的 直 线，且 于 点。，A C平 分 N 8 A D,点 E是 8 c 的 中 点，OE=6cm.（1）求 证：C C是。的 切 线；求 A O的 长.【答 案】（1）见 解 析（2）AD=【分 析】（1）连 接。C,由 A C平 分 OA=O C,可 得 N D 4C=N O C A,ADOC,根 据 A D L D C,即 可 证 明 C D 是 O 的 切 线：（2）由 O E是 A 4 8 C的 中 位 线，得 A C=1 2,再 证 明 4 c s,即 丝=工,AC AB 12 20从 而 得 到 AD=y.D(1)证 明：连 接 O C,如 图：、-/：AC平 分 NBA。，.ND 4C=ZCAO,：OA=OC,：.Z C A O=ZOCA,：.ZDAC=ZOCA,J.ADWC,：ADDC,.COLOC,:o c 是。的 半 径，.C。是。的 切 线；(2)解：是 BC的 中 点，且。4=。8,；.O E是 的 中 位 线，AC=2OE,OE=6,A A C-12,是。的 直 径，/A C B=9 0 o=/4 O C,又/O A C=N C A B,：.DAC/CAB,即”=上，A O=军.AC AB 12 20 5【点 睛】本 题 考 查 圆 的 切 线 的 判 定 定 理，相 似 三 角 形 的 判 定 及 性 质 等 知 识，解 题 的 关 键 是 熟 练 应 用 圆 的 相 关 性 质，转 化 圆 中 的 角 和 线 段.10.(2022 山 东 济 宁 中 考 真 题)如 图，在 矩 形 ABC。中，以 A 8的 中 点。为 圆 心，以 OA为 半 径 作 半 圆，连 接。交 半 圆 于 点 E,在 E 1 上 取 点 F,使 施=笄，连 接 8尸，DF.(1)求 证：O F与 半 圆 相 切；(2)如 果 4 8=10,B F=6,求 矩 形 ABC。的 面 积.【答 案】(1)见 解 析【分 析】(1)连 接。凡 证 明 ADA。WADFO(SAS),可 得 NCAO=4DF。，根 据 矩 形 的 性 质 可 得 ZDA。=9 0,进 而 即 可 得 证；(2)连 接 A F,根 据 题 意 证 明 4。F F B A,根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 求 得。，进 而 勾 股 定 理 4。，根 据 矩 形 的 面 积 公 式 即 可 求 解.(1)证 明：连 接。：AE=邸，Z.DOA=Z-FOD.v AO=FO,DO=DO,/.DAO=DFO(SAS)DAO=乙 DFO.四 边 形 ABCD是 矩 形,/.DAO=90 Z.DFO=90.解：连 接 A尸,v AO=FO.Z-DOA=Z.DOF,DO 1 A F,AB为 半 圆 的 直 径，Z.AFB=90,BF L A Ff.DO|8尸.Z.AOD=AABF.v Z.OAD=Z.AFB=90,AOD FBAAO DO:.一=一,BF AB56 DO一=-，10.DO=3在 R M 4 0 D中，AD=y/DO2-A O2=J 偿 J-52=g.矩 形 ABCD的 面 积 为 g x 10=竿.【点 睛】本 题 考 查 了 切 线 的 性 质，相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定，勾 股 定 理，矩 形 的 性 质，掌 握 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.11.（2022青 海 西 宁 中 考 真 题）如 图，在 R tA A B C中，NC=90。，点。在 A B上，以 B D为 直 径 的。与 A