第38讲数列的综合应用（解析版）.pdf

第38讲 数列的综合应用学校:姓名：班级：考号：【基础巩固】1.(2022辽宁沈阳二中模拟预测)我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为4 8 万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，2 0年还清，贷款月利率为0.4%,设张华第八个月的还款金额为%元，则%=()A.2 1 9 2 B.3 9 1 2-8/7 C.3 9 2 0-8 n D.3 9 2 8-8/7【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2 0 0 0 元，设张华第八个月的还款金额 为%元，则%=2 0 0 0 +4 8 0 0 0 0-(H-1)X2 0 0 0 x0.4%=3 9 2 8-8”，故选：D2.(2022山东泰安一模)已知数列%是首项为。，公差为1 的等差数列，数列 ,满足或=匕”.若对任意的“eN*,都有图热成立，则实数”的取值范围是()A.6 ,5 B.(6,5)C.5 ,4 D.(-5,4)【答案】D【分析】由 等 差 数 列 通 项 公 式 得 再 结 合 题 意 得 数 列 4 单调递增，且满足 0，a,=5 +-1 0【详解】解：根据题意：数列%是首项为。，公差为1 的等差数列，所 以=+a-l,由于数列 d 满足2=j=-+1,an%所以,对任意的 G N 都成立，册 。5故数列 “单调递增，且满足 0，a.=5+。一 10解得-5 tz 2),0-an+ia=S-Sn_l,即“向-4 =a“，=2%,=2(w2).Q q=2,，4=4 =4=2,故a“=，2 5-2,an e(0.2022),1 H2）层，则最下一层放4+（艘-1）根,由等基数列前n 项和公式得：（24+（-1）=132,2c 264,2q=-n+1,n2644 wN，口 为2 6 4 的因数，且旦-+1为偶数,n把各个选项分别代入，验证，可得：=8满足题意.故选：D6.（2022江苏盐城中学高三开学考试）已知数列 q 的前w项和为5“，且（夜-l）S“+4=应（eN*）.记b=a+1,Tn为数列 4 的前 项和，则使7；空 2 成立的最小正整数为（64）A.5B.6C.7D.8【答案】C【分析】根据“之间的关系证明%为等比数列，然后再证明 2 也是等比数列，由此求解出却根据不等式结合指数函数单调性求解出的取值范围，从而确定他的最小整数值.【详解】解析：由（亚-g+4=0,可知（近一1）5间+%=0,（夜 T）（S+i-S ）+4+-q=0,即 0 a I6=时，（及 _ l）q+4=0,q=i,q尸 o,%=/an 2数列%是 以 1为首项，以 它 为公比的等比数列._ +2 _bn 4A+1 4=；又4=44=-y-数列 2 是以 孝 为 首项，以3 为公比的等比数歹!T=虫.,T 6 3 也.f 1 6 3 pnflY 1 jl丫6 4 UJ 6 4 （2）64（2）6.又e N*，”的最小值为7.故选：C.7.（2022山东聊城二中高三开学考试）在正整数数列中，由 1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次 取 1；第二次取2 个连续的偶数2,4；第三次取3 个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续的偶数10,12,14,16；第五次取5 个连续的奇数17,19,21,23,25；按此规律取下去，得到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，则这个数列中第2022个 数 是（）A.39 74 B.39 76 C.39 78 D.39 8 0【答案】D【分析】由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为据此即可求解.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次共取了 1 +2+3+=以 竺 D个数，且第次的最后一个数为“2,2当“=6 3时，63X（63+1）=2 0 6,故到第6 3次取时取了 6 3个奇数，目前6 3次共取了 2016 个数，即第22016 个数为 6 3?=39 6 9,=6 4 时，依次为 39 70,39 72,39 74,39 76,39 78,39 8 0.第2022个数为39 8 0.故选：D.q8.（2022江苏高三专题练习）若数列%的前项和为S“，则称数列低 是数列%的“均值数n列.已知数列 2 是数列 6,的“均值数列”且通项公式为仇=,设数列|的前八项和为7,若7；,3病_*1对一切“可恒成立，则实数优的取值范围为（）A.（-1,3）B.-1,3C.（,-1）U（3,-H）D.（,-1 U 3,-H）【答案】D【解析】根据题意，求得$“=/，进而求得数列的通项公式为4=2 -1,结合裂项法求得数列的前和T,得出不等式;加一L i 2；,即可求得实数册的取值范围.【详解】由题意，数列 4 的前项和为S.,由“均值数歹厂的定义可 得 手=,所以S,=2,当 =1 时，q =1=1 ；当“22 时，a=Sn-Sn=n2-（n -1）2=2/7-1,q =i 也满足4=2-1,所以%=2 一 i,以。“+（2 九 一 1）（2 +1）22n-1 2 +J 一“（1 1 1 1 1 1T.1 、1所以=-1-1-1-1-=1-,”2（3 3 5 2-1 2 +D 212n +lJ 2又北|I nC.1 对任意eN.都成立 D.at-a2 a3 t z9 4 e【答案】B C D 分析根据所给数列性质利用肥生尸*ln ,-ln%判断A,由函数不等式x-l 2 I n x,推导出I n +|2；ln a.可判断B,利用B中结论递推可判断C,由对数运算及数列求和后放缩可判断D.31r 详口解号】r1i,1!a一-i 3,。2-1 一1 =4,I na2=y =,lna3=-0，显然（I n o j r l n q.l n%,则 i n q 不是等比数列，A；由x-lNln x,当且仅当x =l时等号成立，由 4“为正项数列，得21n a 向=a“-121n a.，故 I n +|2；I n 4,，故 B 正确；由 B 知 i n a“2（/）”I n q =（；产 I n 4 n 2 3 1，故C正确;ln（q 4 2a 3 4 9）=111。|+I n a,+I n a3 H-1-I n a9+（；）+（g）2+（；）ln 4 =（2-J）1n 4 则a a.y -a3.%4 28=4 x 4 2 4 x 4 4 4 e 故 D f h确.故选：B C D1 0.（多选）（20 22江苏苏州市第六中学校三模）在数列 4中，若端T=。（.2,eN*,p为非零常数），则称%为“等方差数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A.（-1）是等方差数列B.若正项等方差数列 4的首项4=1,且0,七,为是等比数列，则C.等比数列不可能为等方差数列D.存在数列 4既是等方差数列，又是等差数列【答案】BC【分析】根据等方差数列定义判断A,由等方差数列定义及等比数列求判断B,根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C,由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.【详解】设4=（-1），则 片-。3 =1-1=0,P=0不满足为非零常数，所以（T）不是等方差数列，故A错误；由题意a；=l+（-l）P，则=+p,%=1+4 p ,即l+p =Jl+4p,解得P=2或p =0 （舍去），当p =2时，a：=2-l满足题意，故B正确;设数列 凡 为等比数列，不妨设,=“，则所以片-%_|=c 2尸若0 2六一 2（/7）为常数，则4 =1,但此时c 2/i（q 2 _）=o,不满足题意，故C正确；若数列%既是等方差数列，又是等差数列，不妨设d-a,3=P，（.2,eN,p为非零常数），an-an-=d（d o）,所以（4,+a“_|）d=0，即 a“+a,_|=3，所以 2a“-d =与，即,=?+（,所以 “为a a 2d 2常数列，这与4-a T=d（H 0），。“2一%2=（0）矛盾，故D错误.故选：BC3I L（2022浙江高三专题练习）已知桶4中盛有2升水，桶4中盛有1升水.现将桶4中的水的 和桶413综中的水的;倒入桶4中，再将桶4与桶综中剩余的水倒入桶4中；然后将桶片中的水的一和桶片中的4 4水 的:倒 入 桶&中，再将桶A与桶4中剩余的水倒入桶层中；若如此继续操作下去，则桶4,（eN*）中的4水比桶纥（N*）中的水多 升.【答案】【分析】根据题意，得到4，B,之间的关系，然后用数列知识求解.3 1【详解】根据题意可得，4+8“=3,4 =（4-+；B,3 1 1 3 =44-|+7（3-4-|）=2A,-|+4，；=即数列 4,一 是以4-1 =1 4+:为-5 =:为 首 项,g为公比的等比数列,乙 乙 乙 NJ N q T/今.3 1 1 1 .3 1,4-5=屋西=尸=4 =5+西，3 14=3-4 =5-西，1-4-4=击 x 2=M（w e N）故答案为：!12.（2022江苏金陵中学高三阶段练习）数列 叫 通 项 公 式=|2-3|.若等差数列出 满足：N+，都有q4 a向，则数列出 的通项公式瓦=.【答案】2n-l【分析】根据题意求出4,进而求出4；当 22时设2=1 +5-10,根 据%4 2 4用列出关于d的不等式，进而得出2-1 4”4 2,利用不等式的性质求得d=2,结合等n-差数列的通项公式即可得出结果.【详解】当”=1时，a1=|2x l-3|=l,当”2 2时，an=|2/z 3|=2n-3,由4,4 4 a“+i，当=1 时，4 4 4 4 a 2,又。2=2X2-3 =1,所以故伉=1；当 N2 时，,即 2-34 d 4 2(+1)-3,整理，得2-34 24 2-1,又 依 为等差数列，设=l +(-l)d,即 27?-3 l+(-l)(/2n-l,2整理，得2-d 2,对“2 2 恒成立2由“2 2,知0 4 2-0,a=,。向=普，neN*若产”+1 /In1 2-,1,数列 g递增，则。“的 最 小 值 为 故 只 需，4笔.故答案为：逑.1514.（2022江苏省响水中学高三阶段练习）已知数列 4的前项和S，对任意 CNS.=（-1）4+泉+-3且他向-p）（a“-p）0恒成立，则实数P的取值范围是.3 11【答案】（）4 413【详解】试题分析：由5=（一1）”4+9+一3,得.=一 巳；当2 2时，244 =S a-S i=（-1）0n+*+n-3-（-iy*-11-T-（n-l）4-3=（-1 1 an+（-l）0H_j-5 +1,若n为偶数，则a z=*-l，1 a“=击 一1（为 正奇数）；若n为奇数，贝ij=一 为 一 +1=-4 3-1）一/+1=3-或-4 =3-5（”为正偶数）.函数1 3 1=产T （n为正奇数）为减函数，最大值为.=一；，函数4二3m（为正偶数）为增函数,最小值为42=U.若（,+P）（a-M 0恒成立，则即一，p U.故答案为2 4 4 4 4 415.（2022湖南长郡中学高三阶段练习）已知数列 4对任意的 c N,都 有%eN，,且34+1,凡为奇数会4为 偶 数,当 I=8 时，02022=若存在机eN.,当根且a,为奇数时，。“恒为常数P,则尸=.【答案】2 1【分析】根据通项公式确定 凡 的周期性即可求“2侬，山题设可得q+2=即，讨论4+2的奇偶性确定后续数列出现奇数项与相等，列方程求尸的值.【详解】由题设通项公式,可得4=8,%=4,%=2,%=1,%=4,%=2,故从第:项开始形成周期为3的数列，而20 22-1=673 x 3+2,故。2。2 2 =2.当，时，,为奇数时 4+产3 4+1为偶数，故4*2=智=合1；若为+2为奇数，由4=即/，故4 =7,不满足；若4-2为偶数，则/3 =券=直到为奇教，有a.=3*e N*,故a =?e N*,当A=2时满足条件，此时4=1,即P=l，故答案为：2,116.（20 22江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知“是公差为1的等差数列，且劣，出，对成等比数列.（J）求 4 的通项公式；（）求 数 列 作 的前项和.【解】由题意得、”。，二（4+1）2=4（4+3）,故4=1,所以 6 的通项公式为=.（2）设数列C的前项和为S“，则 1 2 3 ns、+牙+牙+g s“=襄+券,两式相减得g s=g+惇+*/+/）一 券-1 1-1一三一户,所以S,=2-*17.（20 22山东日照高三开学考试）已知数列 加,加,5 中,4=4=0=l,c“=。向一a=-c（n e N*）.（）若数列 加 为等比数列，且公比4。，且4+么=6也，求夕与 丽 的通项公式；（）若数列 加 为等差数列，且公差0,证明：q+c?+%0,所以解得g=；,所以b=n 2”l1所以黑2=白，故g+1=与=4 2 卜 川,CI1 I T(.i i f f i i W i “1 (i i所以 C1+C2+L+q,=1 +-+-+L+-I d八 瓦b2)g hJ 3仇 用由于 d O,=l,所以田 0,所以(1 +J)1即 q +J +c v 1 +2 ,nsN*.1 8.(2022湖南长沙一中高三阶段练习)已 知 数 列 满 足 4%-。=2-2 为，e N .(1)证明：数列 占 是等差数列，并求数列 ,的通项公式;记 7；=q/L a“，neN 5“=邛+叶.证明:当2【解】(1)当 =1 时，4=2-2 q,a=-当“2 2 时，4 4=2-2%；4a 2 a.1=2-2。“_ 1相除得整理为：丁 匚-K2),即 7-=1(2 2),!-1 一%1为等差数列公差片,所以7 =3+(-1)=+2,整理为：4 =土二1 -n+21 2 e N*时,-5 an+-n G N,经检验，符合要求.+1 由 得 i=不42n+2 4n G N-T；=-5-+-2 7-(-+-2-)-5-+-3-)=4n+2+3 =邛+4+工:4|H-1 -(3 4 n+2 n+31 24 1-+3 31 n+2 2 _ 2 一二一三=“+|三，4 n+3 3 31 2所以，当c N 时，-5Z,an+l-【素养提升】1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知对 知。3，。4成等比数列,且q+2+%+。4 =l n（q+/+%）,若6 1，则A.B.a a3,a2 aA C.a4 D.a a3,a2 aA【答案】B【分析】先证不等式x N l n x +l,再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令f（x）=x l n x 1,则/（X）=l-L 令r（x）=0,得x =l,所以当X 1 时，f M 0,当0 x l时，r(x)0,则4+/+%+4 4+4+。3 皿4+4+4)，不合题意;若公比,则 6 +生+。3+。4=4(1 +/(1 +/)In 67)0 ,即 4 +4+%+4 Ol n(%+出+3)，不合题意；因此T q aq2=a3,a2 a2q2=a4 0 ,选 B.2.(2 0 2 2湖北天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列 的首项是4=1,前项和为5“，且Sz=2 S,+3+l(e N*),设=1%4%+3),若存在常数 A,使不等式 左、,；(”)恒成立，则Z的取值范 围 为()A-?d B.A+o o)C.七,.D.【答案】C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列 4 的递推关系。向=2。“+3,再构造等比数列。“+3,求数列 4+3 的通项公式，进一步求出数列 4 的通项公式，从而可求数列&通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出 厂 基 一的最大值，从而求出人的(n +1 6)c (+1 6)c“范围.【详解】由S“M=2S,+3+1 ,则当“2 2时,得 E,=2S“T+3(-1)+1,两 式 相 减 得%=2 4+3,变形可得:%+3=2 4+3),又4 +3 =4 ,a+a2=S2=25,+3 x 1 +1 =6 ,所以a.=5 ,a2+3=2(%+3),:数列 ,+3 是以4为首项、2为公比的等比数列，故q+3 =4 x 2=2向，所以 c.=l o g 2(a“+3)=+l,c -1 _ n _ n _ 1 0,则当“2 2时，下列判断不一定正确的是()A.an B.an+2-a+l an+l-anC.9这与 乎 D.存在正整数左，当时，为4+1恒成立【答案】c/X /1、【分析】对于A,由己知可得.一(+1)=。”-+-1 =&-)1-一，有基本不等式可得当22an 7 an/时.,%】，从而可判断；对于B,利用放缩法可得3=1+41+=,即可得L n2,再根据 “,=一,即4 4%4,可判断；对于C,利用放缩法举出反例即可判断；n c .对于D,由4+1=。“+,得4+：=。“2 +:+2 4。“2+2”+1,再利用放缩法可得4,a2n2-4 +a22从而可求得左得范围，即可判断.n【详解】解：对于A,因为。+1=。+(H GN*),(n 所以 a“+|一(+l)=a“-+-1 =(-)1-(%)I aJ当“2 2时，a=a_,+2 l,an-i所以4+1-(+1)与4一”同号,因为a,-2=(q-1)(1-，=-.-S O,k aJ 4所以q-之。，所以当22时，故A正确;n,n对于 B,由“+i=”+一,得。+i-4=一，an%山 ，n.n +1因为?，所以-=1+1 +=-,4 an n n +1 n所以-之一，%所以。+2一 川2 川一见,对任意”N 2都 成 立,故B正确;n,a a .几。之对于 C,由 ”+=“+，得-=1+-,%+=+y+2，an%an&L-1+2 L,1 ,2.2/2%一 1 +4 2 a：丁 -1 *婷4 +a：T，命题&乜W也可化为 斗 ，“向 4用 4所以纣2号，即4+乂 ,(*),a；+1 当+”时，（*）成立，考虑较小时，若此时 较 大，则（*）不成立，比如，出=10,J?2+34 1,，故c错误；104 102 2n对于D,由%+1=为+7，川得 4+；=。：+2 4 2+2+I,4所以a；a j +2n-a,J+?-1）+（2-3）I2a+l成立的的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _【答案】27【详解】设。“=2,贝 l JS“=(2x l-l)+(2x 2-l)+(2-2i-l)+2+22+2为2i(l +2x 2i-l)+2(1-2*)=产一2 +方2 1-2由 S 1 2a,得22*-2+2*+|-2 1 2(2*+1),(21 )2-20(21)-1 4 0,2卜,25,k6所以只需研究2、,1 6.由 nr+25+|-2 1 2(2m +1),nr-24m+5 0 0,m22,n=m +527得满足条件的最小值为27.5.(20 22福建厦门模拟预测)已 知 数 列 与 数 列 4二 的前项和分别为S“E，则2/7-1 2 +1;若 S-7；+1)(+1 6)对于v c N*恒成立，则实数九的取值范围是【答案】30TT2 n2【分析】设=J，可得出q-,由裂项相消法可求出S“-,不等式可化为2-1 2/?+14 1 1 6“Z 16 ”恒成立，求出cn=2n+的最小值即可H-F33 n22【详解】设4=,6,=,2n-l 2/J +1,2n2 1 1 1 1 If 1则 41-bn=4 n;2-l =2 2(X 2-1)-(-2-+-1r)=2 1 4(-2-1 2n +l J所以S”-=3-4)+(4-匕2)+(4-么)1 1 A n2+n2 4(3 3 5 2n-l 2n +l)2+130所以4-77由 一(+1)5+16),得-=-=-即(2+1)(+16)2n2+33n+16 2+1 6+3 3 对 于 弘 6*恒成立，n设 c =2+，n因为2+3 2 2/2 3=8a,当且仅当2=3，即 =2 0 时等号成立,n n n乂 CN*，且。2=12,。3=可，则所以(q?)m in=，所以 34,2=而,即实数2 的取值范围是 三,+8二-+33 133)3v7故答案为：YY：TT，+(z,y11 1 1J J J6.(2022上海华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习)设函数“力=/-(3%+24)x+3 h 2 3 x eR(1)若/(1)4 0,求实数A的取值范围；(2)若左 为正整数，设 x)4 0 的解集为求4+生+%+4 及数歹M%的前2 项和$2,；(3)对 于(2)中的数列 6,设,=上 D _,求数列 的前”项和7”的最大值.a2n-a2n【解】(1)：1)4 0 即 1一(3人 +2*)+3左 。，(1_3%)(1_2)40 即(3&_1)(2_1)0,j3A:-l02*-1 0 2*-l 00 A:-；3(2)由 /(x)4 0 即(x-3)(x-21)V 0 的解集为 如 _%，24-1 +a2k=3左 +2*,a2 k-i a2k=3 k-2*%=1 时，+6r2=3-1 +21=5,%=2 时，+a4=3-2+22=10,4+4 +%+%=5+10=15,S2n=at+a2+a3+a4+-+a2n=(4+%)+(%+%)+(%,-+电“)=(3-l+2)+(3-2+22)+.-+(3-n+2z,)=3(1+2+”)+(2+2?+.+2)(3)T=bl+b2+.+b,2 2时，5n-2为奇数时，北一，1 0,即笃 4，T5T4,T7T6，Tn 0,即q 7；,T4T3,T6T5，TnT,I的最大值必为%的偶数项，故当为偶数时（“24）时，_1+1 小=%+2 =3（n-l）x2-+3nx2=3n（n-l）x2n 为偶数时，亿 为递减数列，），四=n=一七