高中数学平面向量的应用（精练） （提升版）.pdf

10.3平面向量的应用（精练）（提升版）题组一平面向量在几何中的运用1.（20 23全国高三专题练习）已知A/BC的内角4 B，C所对的边分别为。，b,c,且c =6 0。，a =3S,c=苧，则 边 上 的 中 线 长 为（）49A.49 B.7 C.D.7L42【答案】D【解析】因为S“J _ L/s i n C x 3 x b x 3 =，故可得2 2 2 4根 据 余 弦 定 理 可 得 2仍 c o s C =1 9，故。=炳，不妨取 中 点为，故 由=;（与+而），即“8边上的中线长为1.2故选：D.2（20 22 海南模拟预测）在直角梯形“5 8 中，A B C D，AD1AB，且/8 =6，/。=3 若 线 段 上存在唯一的点E满 足 衣,而=4,则线段C Z）的长的取值范围是（）A.工2)B-1,5)C 口,+8)D-5,+o o)【答案】B【解析】如图所示，以X为坐标原点，布 和 而 分别为x 轴和y 轴正方向建立直角坐标系.y则 N(0,0),8(6,0)，设。的长为 x,则 E(x,3),则 在=(x,3)，屉=(x-6,3)，所 以 瓦.屁=x(x-6)+9 =4，解得x =l 或x =5，由题意知：D C x .且点E存在于8 上且唯一，知 8 的长的取值范围是口,5),故选：B.3.(20 22云 南)”8C中，若 4B =4 C =5,叱=6 ,点E满足丽+1 无，直 线 与 直 线 初1 5 5相交于点。，贝“C O S/4D EA.亚1 0B.3屈1 0C._巫1 0D.3 M1 0【答案】A【解析】如图所示，以B点为原点，Be 为x 轴构建直角坐标系，因为 =5,BC=6,所以 8(0,0),C(6,0),4(3,4),C D =xCA+yCB 因为A、B、Z)三点共线，所以x0，j?0 x+y=1 ,C F=LCACB C E D 2L 1因为 15 5,、三点共线，所 以 运=5,%y1 x=-y=-CD=-CA+-CB联 立11=5，解得5,5,5 5x yx+y=1因 为 丽=(-6,0),0=(-3,4),所以而=V，反唁,因 为 瓦=(3,4)，所以 cos Z.ADE=故选：A.4(2022 全国 信阳高中)已知四边形48C。是矩形，AB=2AD，面=BE=pBC 2+=1，A EL AF,则 空=()ADA 恒 B.C.叵 D.3939【答案】c【解析】解 法-如 图，以A为坐标原点，所在直线为x 轴，/o 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设48=2/0 =2，则4(0,0)，8(2,0)，0(0,1)，C(2,l)-AB=(2,0y=(0,1)旅=(0,1)，虎=(2,0)OF=2C =(2A,0)BE=/jBC=(O,p)-AE=AB+BE=(2 y AF=AD+DF=(2A,)-A E V A F 二 荏.万=0，即2x24+xl=0 乂，+=1所以4=-1,/=.313.ND =1 EF V 6 5,_ _ _ _ _ _ _ A D 3故选：C.解法二：JE 7B+BE=JB+BC=JB+(-A.)8CA F=A D +D F=A D +X D C =B C +2.A B -l?=+(l-A)3C (5C +Z A 8)=l +A(l-A)jS.5C +(l-A)|5C|2+A|：!=(1-Z)阿+42阿=0 +32)网.,.A EA F+3。，得 一3尸3团?河+|研EF 隔 旅A D 9 一 亍故选：C.5（20 22湖南张家界）如图，在梯形/8 C。中，”?。，A D =,B C =9,A B =5 ,3B,若2 5M,N 是线段8 c 上的动点，且|必可=1,则 丽.丽 的最小值为（）【答案】C【解析】如图，以点8为原点，8 C 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，9/.4 3,4),。(1 4),设M(x,O),则N(x+l,0)，其中0 4 x 4 8,9 7=DN=(x-,-4),.0 7、127,63PA/PA=(X-)(X-)+16=X2-8X+=(X-4)2+,”=4 时，OM-DN取得最小值生4故选：C.6.（2022浙江镇海中学）已知平面向量0、0 满足忤一|=一2q=1,则与c-2 所成夹角的最大值是（）A.J B.-C.号 D.甲6 3 3 6【答案】A【解析】设1 2 工 与25夹角为 -町 与1-2 否 所成夹角为夕，Q-4B =(Q-2C)+2(C-2B)所以，卜-叫=卜-2d+4k-2 可 +4|tz-2c|-|c-2ft|cosa=5+4cosa,(-4 孙 卜-23)=(-20)+2(0-2 训.(0-23)=(。-2 9 1-2 3)+2 k-2.=2+cosa 0 乂(4一 43)卜 一 2 3)=,一 4 3|一 25卜 05尸=|a-4.c o sp 0=cosp 0,与联立可得卜/-4qcosP=2+cosa=.一4囚-cos?夕=(2+cosa),(4)联立可得CS2(2+COSQ)cos%-1 1 16cos2Q-25+9 3 5+4cosa 92-J =+-=1 +-；-=+-+-5+4cosa 5+4cosa 16(5+4cosa)8 16 16(5+4cosa)、3.，5+4cosa 9 38 V 16 16(5+4cosa)4当且仅当C O S 彳 时，取等号,c*盛”即时则即%故【布 与 1 2 5 所成夹角的最大值 殿,7（2022 湖南 周南中学）已知边长为2 的菱形4 8 8 中，点F 为 8。上一动点，点满 足 诟=2比万 丽=-2,则力尸,8 E 的最小值为（）32 4A.0 B.-C.-D.23 3【答案】C【解析】由题意知：B E-B C,设乙“力”一 ,3 万.丽=（刀+赤）（力 一 函 =1 5 一 府+：苑 而 一 g 部.在.q 48 8 A 2.八1 八加=4cos0-4 +-cos0=,.cos0=0=,3 3 3 2 3以Z C 与 此 交点为原点，4 c 为x 轴，8 0 为V轴建立如下图所示的平面直角坐标系:力（-。）（2 6 8（0，T）/0，/）T 4 T 1,E,，设，且则=(),诙=(拽，3,赤=2+|f8.(2022江苏无锡市教育科学研究院)点p 是边长为2 的正三角形4 8 c 的三条边上任意一点，则|苏+而+无|的最小值为-【答案】b【解析】不妨假设 尸 在 11/1(0,/3),B(-l,O),C(1,O),如卜图示，所以，尸在y=x +i)IL-1 W W。，设P(x,6(x+1)”则 莎=(-x,-g x)，PS=(-l-x,-V 3(x+l)PC=(l-x,-3(x+l)PA+PB+PC=(-3x,-3y/3x-2y/3)，故 苏+方+时j 3 6（x+；y+3，当X =6 时，曲+方+南的最小值为行故答案为：g9.（2 0 2 2 上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边/BCDEE若正六边形的边长为1,点尸是其内部 一 点（包含边界），则万.元的取值范围为.【答案】0,3【解析】过点C作于M,所以而=加+祝，且 卜|,瓯 卜 也，=而+/=2 而+M C 其中一太义4 1,0 4 AB=，8 c =6，N4BC=150，则 cosNC8)=【答案】叵14【解析】如图以人为原点建立直角坐标系，则 5(,0),C,设心）,BC LCD 仙、1BCA.CD大II而友=|x鸿樽4o,解得，即。（0,3石）,-B C,5 0 =(-1,3 7 3)c o s Z C 5 =3 6 2 用BC BD _2+T附画瓜 而-1 4故答案为：叵.1 4题组二三角形的四心1.（2 0 2 2湖南湘潭高三开学考试）在四边形/BQ）中，G为 8。的重心，AG=2点.在线段/G上，则 刀（砺+反+砺）的最小值为（）A-3C-1D.0【答案】AB-2因为诟=丽+瑟，诟=诙+而，诟=历+而,所 以 幅+反+历 =3砺，丁是 有 京.（而+云+而）=3方.而=_3网 网,又 网.阿 卜 H1 M=1,当且仅 当 囱 一.卜 1时取等号,所以德（丽+反 +/）=3刀 花 2-3故 选:A2.（2022全国课时练习）平面内“BC及一点。满 足 力.砺=丽.双=觉.次，则点。是“8CA.内心 B.外心 C.重心 D.垂心【答案】D【解析】O A.O B =O B-O C =O B.（O A-O C）=0=;O B C A =OOB r C A同理可得 反 _L 0,E _L而,所以点。是dBC垂心，选 D.3.（2021湖南怀化市第三中学）已 知.8C，/为三角形所在平面上的一点，且点/满足：“耳+6 历+c元=0,贝打点为三角形的A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心【答案】D【解析】在上分别取点，E 使 得 亚=至 近=，则|而|=|/卜 1,作菱形。照，则由c b箫=9+9=垂+三所以为的平分线因为“万+人.厉+。而二，所以c b Z 4 +6(Z 4 +ZB)+C-(Z 4 +C)=6所 以 万=-AB+-ACa+b+c a+b+che(AB 就、-1-a+b+cy c b,尻 万,所 以 三 点 共 线，即/在/8/C的平分线上一同理证 得,在其它Q+b+C两角的平分线上，由此求得尸是三角形的内心.，故选D.4.（2022全国高三专题练习）己知。是三角形8C的外心，若+AB丝 就.而=2m（而）且sin8+sinC=K，则实数加的最大值为（）A.3 B.-C.-D.-552【解析】如图所示:【答案】D设/8 =c AC=b NBAO=9 ZCAO=a 1由 吟 屈 利 嘿 而 而=2相（可bc得c/O c o s e +bZ O cosa=2m-AO2 3 3 2 1A.-B.r C.-D.74 5 3 4【答案】A【解析】设三角形NBC的外接圆半径为及，因为。是三角形48C 的外心，故可得J o 卜 R,化简侍 b cos e+c cos a=2m A0由。是三 角 形 的 外 心 可 知，。是三边中垂线交点，得cose=J,cosa=2AO 2AO代入上式得心，.小杀根据题意知，。是三 角 形 外 接 圆 的 半 径，可得Sin3=2 _,sinC=J2A0 2AO代入sin 8+sin C=V5 得 b+c=2&。b-c当且仅当“时，等号成立.故选：D.5.（2022江西 高三阶段练习（理）已知。是三角形N8C的外心，若些 瓦 9+电1就 彩=2?（彩 产，且 2sin8+sinC=6,则实数加的最大值为（）AB M C|且 而 衣 号 画 注2 AC AOC 一22=%故 四 而.前+四%.粉=2皿 粉）2,AB AC即;|/3|M q +g|/即/C|=2mR2,也艮产=2”町则,=挤乂2sin3+sinC=A/5，由正弦定理可得:2b+c=2 R ,则 R2 _（26+C）2,-126bc 6 6 6 3m=-=-c-“8 4一+工 +4 2 J+4c b V c b当且仅 当 竺=,即c=2b时取得最大值3.c b 4故选：A.6.（2022辽宁沈阳市第一中学）已知。为锐角三角形Z 3C 的外心，2方+3丽+43=6,则cos乙4c8的 值 为（）A.叵 B.返 _ C,1 D,-4 4 4 4【答案】A【解析】设锐角三角形/8 C 的外接圆的半径为K，即O4=08=OC=/?，-_-2-2-2-2CM+3O8+4OC=0n 4 O C =-（2CM+3OB）=16OC=404+9OB+120408167?2=4/?2+9A2+12-?/?.cosZ05=cosZ?IO5=-0 ,显 然 是 锐 角，4因为O为锐角三角形/B C的外心，所以在锐角三角形4 8 c 内部，由圆的性质可知：Z A C B =-ZAOB,显然“C 3 是锐角，2c osZ A O B =-2 c os2 Z A C B-=-c osZ A C B =或 一 画 舍去，4 4 4 4故选：A7.（2022全国高三专题练习）若“为 8 C 所在平面内一点，且 网,+国 =|而 +同 =匹 卜 网 2则点H 是AABC的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【答案】D 解析|/4|+陷=阿 +|CJ|n 网 +（3H+HC）呻叫+（C H+FL 4）,得丽阮=丽屈=阮屈=0，即 近 _L京网2 +|珂=时2 +|珂=网2 +（丽 +硝2 =函2 +（丽+丽）2 ,B H-HC =A H HB -A C =0 即 丽，就；阿+|引 匕 匹 卜 河 2 =阿 2 +（丽+9）2 =匹 十（丽+而）2 ,C H-HA =A H H BH A C B =O H A V C B 所以 为A/8 C 的垂心.故选：D.8.(2 0 2 2 安徽蚌埠模拟预测(理)已知点尸是ANB C的重心，则下列结论正确的是()A-(s i n 2 y4)P 3 +(s i n 2 5)PB+(s i n 2 C)P C =6B-(s i n N)苏+(s i n 8)而+(s i n C 匹=0C,(ta n/)P/+(ta n 8)尸 8 +(ta n C)P C =0D-PA+PB+PC=O【答案】D【解析】如图，。是8c边中点，则共线且Z P =2 P。，PB+PCPD+DB+PD+DC=2PD=-PA 所以 方+而+定=0，D正确，由于选项A B C 均不能保证苏，丽,无 系 数 相等，故不正确.故选：D.9.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知是平面上的一定点，/,B c是平面上不共线的三个点，动点P满足 丽=_ _ (_ _ 、OB+OCAB AC2 cosB|j c|c o s CA G(O.+a)P B C,则动点 的轨迹一定通过 的()A.重心【答案】BB.夕 卜 心C.内心 D.垂心【解析】设s c 的中点为因为OP=OB+OC AB!AC2|jfi|COSB|/1C|COSC_ _ _ AD A r所以OP=OD+4 尸 半 +产 毕 J 叫 cos5|?!C|cosC_._75 A C即0P=4 +,两端同时点乘力 8 cosH L4C cosC/_ _ _ _ cnK 1 i AB BC AC BC所以 D P6C=/l 7=1-+7=；-,闿 cosB|/1C|cosCJ网罩严 际C ,K8 cos8|JC|cosC J I I I 1/所以 OP_L5C，所以点P 在 8 c 的垂直平分线上，即P经过“BC的外心.故选：B.10.（2023 全国高三专题练习）己知A/B C是圆心为。，半径为火的圆的内接三角形，是 圆。上一点,G 是A/BC的重心 若 两，而，则 而 2 +而 2+丽 2=-【答案】6R2【解析】AM =AG+Gd+0 M 则+2AGOM +2GOOM.2 /2.2 /2 .2AM=(4 G+GO)+OM+2(AG+GOyOM=AO+OMOMLOG 则 而 丽=0,-2-AM=1R2+2AG-OM同理可得：BM2=2R2+2BG-OM CM2=2R2+2CG OMAM+BM+CM=6R-+2AG+BG+CGyOM；G是8C的重心，则B +无+沅=6 即 兹+就+质=6,一2 2 2,AM+BM+CM=6R2故答案为:6 H 2 .题组三 三角形的面积比1.（2 0 2 3 全国高三专题练习）尸是力BC所在平面内一点，若丽:A-1:4 B-1:3 C.2：3【答案】A【解析】由题设，3PA=CB+BP=C P,故C,P,/共线且C P =3 P Z,3PA+PB 则 S人 版p:S ABC=（）2:1如下图示：所以SIHP：S.BC=:4-故选：A2.（2022吉林桦甸市第四中学高一期末）已知点尸是 所 在 平 面 内 的 一 点，若 后=；方+（近，则沁=_ _ _ _ _ _ _ _ _.,APB【答案】i【解析】如图，设/为的中点，o 为/尸的中点，后为Z C 的中点，.1 1 因为 4P=L B+）C,所以可 得 后=”+而）+”+定），整理得一 一 一 .又 ,PA+PB+2PC=0 PA+PB=2PF所 以 方=-无，所以s“c=s 的，1q 又S叩所以沁=，故答案为3I入，曲 一3.（2023全国高三专题练习）点尸为力内一点，-R，则“PBQZPO BPC的面积PA+3 PB+4PC=0之比是.【答案】4:3:1 -【解析】因为R 4+3夕8+4尸。=0 ,所以尸4+尸。=一3（尸8+尸。），设厂为中点，G为8c中点，。F为三角形8C的中位线，则G八“8,-因为P A+P C =2 P F,P B+P C =2 P G ,可 得,所以尸、P G三点共线，且P F =3 P G，P F=-3 P G3 3 1 1则尸产=一6/二 一 力8,P G =-G F =-A B,484 8刀”设s 小 去 火s，sA P F=C P G 二S3,S B P G=S 4，由图可知，S,=s2,s3=s4，吟唱号所以李 吟笔j所以邑=_31所以2/p c =S +S?=2 S =，S/xs尸c =S 3+S 4 =2 S 4 =，所以 Sc：S Apr-S K P C=S:-S:S=4:3:1,ZXJI4LA a L I ，W z即AAPBQAPCQBPC的面积之比等;4:3 :1 ,故答案为:4：3：r5 1s4.（2 0 2 1黑龙江哈尔滨三中高一阶段练习）已知。是“8 C内部一点，且3方+2而+反=0,则O B C的面积与 A B C的面积之比为.【答案】1已【解析】因 为 京+2而+历=6,所以2例 +函 +a+方 =0，如图：设 的 中 点 为E，zc的中点为所以4怎+2砺=0，l!|J O F-2 O E 所以点。在三角形/B C的中位线E F上，所以点到s c的距离是点A到8 c的距离的一半,所以AOBC的面积是A/18C的面积的一半，即 q C 2s A B C -=i1 -乙7.故答案为：.25.（2022山 东）已知点P 为ANBC内一点，2 9+3而+5定=6，则“心，P C,A8PC的面积之比为.【答案】5:3:2【解析】因为2万+3万+5斤=0，所以2（苏+定）=-3（而+定），设尸为4 c 中点，G 为3 C 中点，因 为 方+定=2而,而+定=2万，可得2万=一 3所，所以尸、0三点共线，且2G F为三角形A B C的中位线S.伊。f PC%h pF 3所以产-=常=京=3，S.BPC Lxpc xh2 h P G 2h而lS 屋1 c/6C，所g以、i P BQAPCQBPC 的面积之比u 等依于丁 5:3:2故答案为：5 3,2A6.（2 0 2 3 全国高三专题练习）已知P为A/B C 内一点，2强+3万+5斤=0，则/PC，8 PC的面积之比为.【答案】|【解析】如图所示，由2万+3 P8 +5定=6,得2（莎+可=-3（而+斤取厂为NC中点，G为8c中点，贝12而=_3而，Sy C P F 3所 以 年T/二而六.3故答案为：7.（2 0 2 2 i Ll f f i ）若点。在z V4 8 C内，且满足2瓦i-6及+9反=0，设%0c为A 5 O C的面积，8 c为.8 c 的面积，则 邑 蟠=.ABC【答案】大2 解析|125J-6S C +9OC=0 可得：2（OA-OB）-6（OC-OB）+9OC=2OA+4OB+3OC延长OA,OB,0 C,使0D=20A,0E=40B,0F=30C,如图所示：2a+3而+4反=。，,OD+OE+OF=0即0 是4D E F 的重心，故0(),EOF,ZDOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则AAOB的面积为！，BOC的面积为-I,AOC的面积为1，8 12 6故三角形AOB,ABOC,AOC的面积之比依次为：-：1=3：2：4,8 12 6SABOC _ 297故答案为：98.（2 0 2 2 江西南昌县莲塘第一中学高一期末（文）点”是18 c 所在平面内一点，若AM=-1B +-AC ,则：S BC=4 4【答案】1：4M A R C-3 1 .点 是 所 在 平 面 内 一 点，且满足+4 4点M在边BC上且CW =3 B M -S6MsM SA A B C =BM:BC=A故答案为：.4题组四平面向量的综合运用1.在平面直角坐标系x Oy中，已 知 圆C-,x +y-及 圆C内的一点P（l,2）,圆C的过点P的 直 径 为M N，若 线 段A B是 圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则（而_丽）.益的值 为（）A.8B.16C.4D-4V3【答案】B【解析】由题意可知A B A.M N，圆C的 半 径 为r=3，O P =45-N M-A B =O ,A B =2 户一op?=4 ,故答案为：B.2.（2022 河南模拟）已知平行四边形ABC D中，A B =AD=2，Z D A B =6 0 ，对 角 线AC与B D相交于点。，点M是 线 段BC上一点，则QM-C M的最小值为（）A._ 2.B.2 C._ 1 D.116 16 2 2【答案】A【解析】如图所示，以B D的中点为坐标原点，以B D所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系,则 5(-1,0),C(0-7 3)所以宜线B C 的方程为y=_ _ 6，咬 点 A/(x,-瓜一 J 5)，(-1 4 x 4 0)，所以 OM=(x,-43x-y/3)CM =(x-V 3x)，所以 OM-CM=X2+3X2+3X=4X2+3X 当x =_3时，O M-CM 取到最小值_2.8 16故答案为：A.3.(2 0 2 2东海模拟)已知点A,B,C均位于同一单位圆O上，且 BA-BCA,若 PB PC=3,则|苏+方+定|的 取 值 范 围 为.【答案】5,7【解析】由 BA-BC=AB 可得：BA-(AC-AB)=BA-AC+AB2=AB,所以BA AC=0 所以BALAC 即线段BC为 单 位 圆 的 直 径 以圆心为原点，以B C所在宜线为x轴建立平面直角坐标系，如下图:则 5(-1,0),c(i,o)设 P(xj),则 PB=(-l-x,-y),P C =(l-x,-y)由 PB PC=3 可得：x2+/=4 所以点P在以原点为圆心 半径为2的圆上运动,内 为 PA+PB+PC=Pd+OA+Pd+OB+Pd+OC=3Pd+OA 所以 PA+PB+PC=3Pd+OA=3 P d +m)2=y/9Pd2+6PO-OA+OA2=13 7 +12 c o s所历，4-1 cosPO,OA 1 所以 V3 7-12|4 +Pf i +PC|V3 7 +12 ,即：5|4 +P5 +PC|-xy=x2 4-y2-4/=4 r2=（x +y）2-xy 2 xy由得r 2 =1 一 子,从而=尸2 g孙=1 一 中，x y G （0 1 因为（5-万）（万 一 B）=0,所以即点C在以A B为直径的圆E上.：c-a-b c-(a +b)0 E +E C-20E =Ed +EC 当且仅当时，即 盯=i时等号成立.故答案为：+125.（2022高一下南阳期末）易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这 是 易经中记载的几何图形一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则（沙+丽）（而+PF）的最小值为【答案】12-8 0【解析】【解答】如图，以z为原点建立直角坐标系，则4(0,0),8(2 0),过H作轴，因为正八边形ABCD E F G H,所 以 是 等 腰 直 角 三 角 形，所以AM=H M=旧同理，过。作CN _ L x轴，则3 N =J5，过尸作尸。，G，则QG=J5，所以E(2,2+2/(02+2，设尸(X，歹),则 P4 =(-x,-少)P8 =(2-x -y),所以0Z +P6=(2-2x,-2y),P E =(2-x,2 +2,y2-y)丽=(一%2+2血一丁)，则而 +而=(2-2x,4 +4&-2 y),所以（用+而）（匠+而）=（2 _ 2x）2_ 2y（4 +4及 _2y）=4 （x-l）2+（y-l-V 2）2-12-8 V 2 其中（一1）2+（尸1 向2表示点。可 到点（1,1 +匈 的 距离的平方，因为点（1,1 +V 2）在正八边形ABCD E F G H内，所以（x-+（y -1 一 的最小值为0,所以（/+P 8）（PE +P/7）的最小值为-12-8 J 5.故答案为：-12-8万