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    高中数学空间角(精练) (提升版).pdf

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    高中数学空间角(精练) (提升版).pdf

    7.3空间角(精练)(提升版)题组一线线角I.(2 0 2 3 全国高三专题练习)已 知 直 三 棱 柱 的 所 有 棱 长 都 相 等,区 为 4G 的中点,则4与8G 所成角的正弦值为()A.叵 B.正 C.如 D.V W3 3 4 4【答案】C【解析】取线段/C的中点。,则3 O _ L/C,设直三棱柱/B C-4 4G 的棱长为2,以点。为原点,而、灰、五7 的方向分别为X、y,z 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则/(0,-1,0)、M(0,0,2)、8(百,0,0)、G(0 ,2),=(0,1,2)所以,S C;=(-73,1,2)cos=痂用 5 历丽|.西 石 x20-4所以,sin(俞,函 =&一 腐 =呼故选:C.2.(2023全国高三专题练习(理)已知正四面体/2 C 2 /为 8 c 中点,N为A D中点、,则直线8N 与直线。/所成角的余弦值为()A.1 B.|C.叵 D.4后63 21 21【答案】B【解析】设该正面体的棱长为,因为M 为 8 c 中点,N 为 中 点,所 以 阿 H 丽 卜 小 _(?1)2=5,因为M 为8 c 中点,N为AD中点、,所以有丽 二 方+而 二 一 方+白 而,2两=丽+丽=加+方+;册=一诟+刘+;证 一 函=一 而 +;万+;丽BN D M一 1 1 1 =(-AB+-AD-AD +-A B +-A C)-1-2 1-1 2 1-1 =AB AD一一AB 一一AB AC一一AD+-A B AD-AC AD2 2 2 4 42 212,2 22 42 42cos 丽,而 =BN D M丽 H网-2 ,27 F V T X-2 22根据异面直线所成角的定义可知直线加与直线。M 所 成 角 的 余 弦 值 为 故 选:B3.(2 0 2 2河南省杞县高中模拟预测(理)如图,四 边 形/为圆台O 0的轴截面(通过圆台上、下底面两个圆心的截面,其形状为等腰梯形),4B=2AA=2Ag,C、D分别为OB,8片的中点,点E为底 面 圆 弧 的 中 点,则 8 与 所 成 角 的 余 弦 值 为()A.B.-C.正 D.-45 3 5【答案】A【解析】不妨设44=2,连接,则CD /OB 因为N 8 =2 4及,所以同耳=/。,又A B、/AO,所以四边形”。片4为平行四边形,所以0与/4,所以4 4 C D,所 以 即 为 8 与4E所成的角(或其补角).作垂足为“,连接HE,AE,则”=1,4=勿42-心=百,H E =飞 O H2+O E2=石所以/E =yjA O2+O E2=2 /2 ,AE =yl AtH2+H E2=2 72在等腰 中,8 s乙 仞 八=正4E 4故选:A.4.(2022浙江嘉兴模拟预测)如图,在矩形48CZ)中,AB f B C,&居G,分别为边A B,BC,CD,D A的中点,将AE8F,AGDH分别沿直线F,G翻折形成四棱锥8-4 EFC,O-4 C G/,下列说A.异面直线 G”所成角的取值范围是(0*B.异面直线E*,G 所成角的取值范围是(呜C.异 面 直 线 网 所 成 角 的 取 值 范 围 是(0,D,异面直线 ,协 所成角的取值范围是10,三【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系,由题意得,因为 AB=6 B C,令 4 8 =,则 BC=2,由比值可知,8 的x,乃z坐标比值为:百 二,所以令坐标为(友后,2 6”B ABCD BB,(因为 在平面 中的投影在 上,所以0,/同理可得 坐标为(2 6-,2-6 ,2 ),(73,0,0),G(6,2,0),尸(0,1,0),(2 6,1,0),则 丽7=s-瓜扬,2 b),GD =(y/3-d,-j3 d,2 d),c o s(E B GD)|丽.现二|到 阿解得cos 国,而百屹,上 31,因为 和 的范围均为所以cos E8,GZ)e(0,l),即夹角范围是。弓,故 A,B 错误;同理可得cos产诃,标)-|行(6+-1|4 M),因为异面直线所成角范围是(0,二,则J 8b 之 -2 y5b+1 x,8-2 K d+1 2-*夹角范围是(0仁,即C 正确,D 错误;故选:C.5.(2023全国高三专题练习)如图,四边形/8 C D 中,A B=BD =D A =2,BC=C D =曰 现将沿 即 折起,当二面角一8八一。处于 土,包 过程中,直线“。与所成角的余弦值取值范围是6 6()A.r 5V 2 V 2B.rv2 5V 21-,丁c bf【答案】D【解析】设向 量 而 与 前 所 成角为a,二面角力-8 D-C 的平面角大小为。2,因为 BC?+CD 2 =B D)所以 8 C,C ,又BC =C D ,所以 生,4A D D B=2x2xcos =-2,B D-BC=2x V2xcos =-2,34则 祝=亚+而+前,所以|就 =|1 5 +丽 +瑟 =通 2+丽 2+工 2 +20-2 5 5 +2 -Z +2 5 =2+4Vcosd取 8。中点 E,连接/E,C E,A E L B D,C E L B D,乙4 E C=仇,AE=6,CE=I,在/E C 中,AC2=AE2+CE2-2 AE CE COS02 1 V A C2=4-2 5c o s02所以2+4夜 c o s d=4-2 6 c o s 2,即出。也 一 通 烟&,1 4 4 2n工 四 C 近5 M又因为e 6,6_|,所以cosqe 一 3 一屋,因为直线夹角范围为0,-2,所以直线。与S 0 所成角的余弦值范围是 八 逑,8故选:D.题 组二线面角1.(2023全国高三专题练习(文)如图,在 四 面 体 中,N BCZ)=90。,平面AB=BC=CD,P 为Z C 的中点,则直线8尸 与 所 成 的 角 为()A.-B.-C.-D.-6 4 3 2【答案】D【解析】在四面体/B 8 中,/B J.平面BCZT C D u 平面8 a T 则而/BC=90。,即 8C_LCZ),又 A B cB C =B,/8,8 C u 平面 N 8C,则有 C0J_ 平面/8 C,而 8 P u 平面 N 5C,于是得CD_LBP,因尸为,0 的中点,即-8尸,而/CrtCZ)=C,Z C Q u 平面4cZT则8P_L平面Z C Z T 又Z O u 平面Z C Z T 从而得B P,/。,所以直线8 P 与ZO 所成的角为土2故选:D2.(2022河南省杞县)如图,在三棱柱4 8 C-/4 G 中,/口 平面/8C,ZACB=90 BC=AA、=M/C =l,则异面 直 线 与 C g所成角的余弦值为()【答案】Bc.B2D.乎【解析】把三棱柱补成如图所示长方体,连接 8 Q,C D,则所以NC8Q即为异面直线NG与C4所 成 角(或补角)由题总 uJ 得 CD=AB=yjAC2+BC2=Vl+3=2 B、D=AC,=y/AC2+CCt2=2,CB=/TF3=瓜,所以26%器言制咚故选:B.D3.(2 0 2 2 青海西宁二模(理)如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,异 面 直 线 与 8所成的角为()A.3 0 B.4 5 C.6 0。D-9 0【答案】C【解析】把展开图还原成正方体如图所示,由于且相等,故 异 面 直 线 与 8 所成的角就是C E 和8 所成的角,故N E C D(或其补角)为所求,再由AEC。是等边三角形,可得N E C D =6 0。-故选:C.4.(2 0 2 2,全国高二专题练习)如图,在二棱锥S -N 8c中,A B _ L B C S A =A B=B C=2 ,点 、”分别是 ZC B C 的中点,S O I 底面/B C,(1)求证:8。_ 1平面$。”;(2)求直线AS与平面SOM所成角的大小.【答案】证明见解析(2)巴6【解析】(1)证明:连接。8,由为/C的中点,得0A=()B=O C乂 S O _ L 底面 SA=SB=S C,:点 M 为 BC 的”1点,,S M L B C,又:O M A B,O M L B C,S M H O M 故 BC J _ 平面 SOM-解法:由(1)知平面S Q W,且6M=1,又 AB/0 M AB 又P B L A B,且 Z 8 c8 C =8,Z8,8C u 平面/8C,是得PB 1平面A B C D,而尸8 u平面P BC 所以平面PBC 平面A BCD-(2)在平面4Be。内,过B作 直 线 垂 宜 于 交 直 线c o于邑 有CE=1,BE=如图,则NE 8P为二面角C 4B-/的平面角,平面E BP,于是得C E1PE,RaP E C 中,P C=/,CE=则 P E =/T,在P8E 中,PE-l2 BE=1,尸8=4,由余弦定理得cosNP BE =PB2+BE-PE,=则有“BE=2兀,2PB-BE 2 3显然平面M P J,平面EBP,在 问E B P 内过B作&_L 8 P,则Bz J.平面ABP,以8为原点,分别以射线6 4 8P,8z为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,则 5(0,0,0),N(4,0,0),C(l,-;,斗,(3,当,尸(0,4,0),8/=(4。,。),前=,一;,亭,z=1A BCD n=(x,y,z)设平面 的法向量,则 nB C=x-j 4-z =0 A.2 2 ,v斤 8 4 =4 x =0 =(0,V 3,l),得而 而=(3,-|,亭,设尸 与平面 8 所成的角为,s mgs。,而生迪=汇=巫n P D 2 x 3 0 5所以0 与平面 8 所成的角的正弦值为画.56.(2 0 2 3全国高三专题练习)如图,在直三棱柱/8C-44G中,A C BC,A C=B C =2,CC,3 点。工分别在棱44和棱C G上,且 4 D =1,CE =2.(1)设尸为4G中点,求证:平面8 D E;求直线同片与平面B D E所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)受6【解析】证明:取眸中点G ,连接收、D G则FGI I CCJ I A A、,只尸 6=但=1 1 12 22,所以F G/4。且F G =/Q,所以四边形ZQGE为平行四边形,所以4 F/D G 又 4?u平面BO E,D G a平面,所以 平面BDE 4 尸 BDE(2)解:因为直三棱柱4 B C-4 8 1 G中4 C,8 C,所以以、CB、C g两 两 垂 直.分 别 以、CB国 的 方向为x轴、/轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则8(0 2,0),E(0,0,2),。(2,0,1),4(2,0,0),所以丽=(0.-2,2),丽=(2,-2,1),葩=方=(-2,2,0),设平面出汨法向量为”=(x,y,z),则/上二。,必/):。,即-2y+2z=0,令 尸1,得到平 面 血2x-2y+z=0的一个法卜句量Tg,1,)设直线 固 与平面的 所 成 的角为,则sin。=卜05(/岛4 42 x(-2)+1X2+1X0+1 +1-74+4+04 A华,所以直线 与了血6BDE所成角的正弦 值 为 也.6题 组三二面角1.(2022北京景山学校模拟预 测)如图,正三棱柱中,E,尸分别是棱CC,上的点,平面8尸_1_平面,屈是 的 中 点.(1)证明:CM平面BE%(2)若AC=AE=2 求平面B E F与平面/8 C夹角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)45。【解析】(1)证明:在等边A/B C中,M 为N 8的中点,所以在正三棱柱中,平面Z8C_L平面N 8 B/,平面B C D 平面48用4 =4 8,C M u 平面4 8 C,所以CAfJ平面4 8 8/,过F在平面B E F内作F N 1 BE 垂足为N ,平面 BE F _L 平面 AB B,平面 B M C 平面=B E,,F N 1 平面 A BBA CM/FN,;CM 仁平面 BE尸,F N u 平面 B E F,C M I I BE F(2)解:由题设CF平面48月其,平面FCMTVn平面/S B/=M N,CF/NM,四边形B N 是平行四边形,又M N H A E且MN=-AE,2所以CF=NM=gzE=l,延长E尸,A C,相交于点G,连接8 G,则C、尸分别为/G、EG 勺中点,则 平 面 与 平 面/s c 所成的角就是二面角E _ 8 G _/,可知 CG=4C=8C,BG L A B,所以 BG J平面/B B/,NE BA是二面角E-5G-Z 的平面角,,又 A E =A B,A B 工 A E 所以=45。即 平 与 平 面 4 g c 所成的角为45;/I2.(2 0 2 2湖南雅礼中学二模)如图,在正方体力8c中,点E 在线段c q 上,CE =2ED/点、尸为 线 段 上 的 动 点.若 口 平 面 血 汽 求 零 的 值:(2)当尸为Z B中点时,求二面角 _。尸一c 的正切值,【答案】(1)生=1;(2)逐.FB 2【解析】(1)过E 作E G,。于G,连接G 儿则 EGC。|I,|J CD/FA 所以E GE T因为EF/平面4D D A、,EF u平面E F A G,平面E G A FPl 平面4 D D M=G 4,所以E尸 G/所以四边形EG”是平行四边形,所以GE=Z尸因为CE=2町所以2=空.D C DtC所 以 竺=LA B 3二匚A F 1所以一=-.FB 2(2)法一:如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为%,则 0(,),E(0,a,2 a),C(0,3a,0),F,0易知平面DC F的一个法向量1 =(o,o,i),设平面E OF的法向量为元=(x/,z),因 为 而=(34,5,0),瓦=(O,a,2 a),而=36+到=0,什 =。则 2 2 可取n2 D E =ay+2 az=0.0由图知两平面所成角 为锐角,则 其 二即二面角E-OF-C的正切值 为 在.法二:这 E 作 E H L C D D过n,引1余弦值为3。响同=,H M 1 D F 于 M 连接 E M 因为平面CDDG _L平面/8C),EH LCD jAD2+AF2=a21 1 2WS D L D F,M H u D H S D n M H u -a,2 2 V5FH r-tanZEMH=V5.MH即二面角f Q/一 C 的正切值为 退.3.(2022浙江海宁中学模拟预测)如图所示,在四边形/B C D 中,AD/BC 9 AB1AD 9AD=A B=-8c.现将 ABD2沿BD折起,使得点A到E的位置.试在8 c边上确定一点居使得A C IDL J _ L Lr(2)若平面EBD 1平面BCD,求二面角E_BC-D所成角的正切值【答案】(1)尸为8 c中点(2)血【解析】(1)因为,AD=AB=-BC,2所以 48=/Z 08=/)8C=45,BD=ylAB f BC=41BD 所以 ABADS.D C 所以 Z.BAD=NBDC=90 所以 80 JL CD,在四边形4 5 8内过点/作8。于点、M,并延长交8 c于尺/DBME则点”为8。中点,所以尸也为8 c 中点.将 4 8 0 沿B D折起,使得点4 到E的位置时,有 E M 1 BD,M F 1 B D 所 以 此,平面既 跖也为皿平面.,所以80 J_斯,(2)(解法一)过点忖作WBC交5 c 于点N.则M V 48.2则在三棱锥E _8CZ)中,因 为 平 面 平 面 8 8,BN所以E M L)间BCD因为M N J.8C,连接E M则有 E NJ_8C.所以“N M即为二面角E-B C-D的平面角,i A D =A B=-B C =2,则 EM=&,M N =.2匚 匕 卜 六 RtZiE A/V,E M r r所以在 中,tan/E NM=-=V2.M N所以二面角E-8 C-O所成角的正切值为0.(解法二)过点M 作MN L B C 交 B C 于点、从则 MV=1/8.2则在三棱锥E_ BCD中,因为平面80 J_平面BC。,所以E M J.平面BCD所以以M为坐标原点,MF、M D、M E分别为X,V z轴建立空间直角坐标系设 E D =E B=-B C =2,则=M E=M F =五.2所以 E(0,0 形),B(0 r 互 Q),G(2 正 正 0)。(0 万 0).由题可得,平面8 8的一个法向量为蔡=(o,o 0,设平面EBC的一个法向量为G =(x,z),因为 屁=(0,V2,V2),C=(-272,-V 2,V2)h-BE =2 y+V2z=0所以 万.在=-2 42 x-y/2 y+V2z=0 则有 7=(1,-1,1),设二面的平面角为O,0为锐角,口,|人 1则 cos 0=|_|,|=j=-,?V3所以 sin 0=V l-co s20所以tanO=H2e=应cos0所以二面角E-8 C-。所成角的正切值为啦.4.(2022广东惠州高三阶段练习)如图,在 五 面 体 中,-8(7为边长为2的等边三角形,EA A.由谢力8c CD/AE平面,CD=-A E.2(1)求证:平面BDE工平面NBE;(2)若直线即 与平面ABE所成角的正切值为 四,求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)交2【解析】取8E的中点为A/,的中点为N,连接CN,MN DM因为4E_L平面45C,C N u平 面 地C,故AELC N,而“BC为等边三角形AN=B N 所以4B上CN,又M、N分别为8M 所在棱的中点,所以MN/AE,M N =)_A E2又CD/A E ,C DAE,所以 C,C D =M N ,故四边形6 岭j平行四边形,2所以3 J M D LA E M D 工 A B 又 4 B C 4 E =4,A B,A E u 平面 A B E,所以 A _L 平面 A BE ,而M D u 平面8 )E ,故平面B D E1平面4BE-由 可 知,/。晶 为直线E。与平面E所成角,设 E =,则 EM=_LE2=,DM=02 2则tanZ D电平无解得 =2E M 2法一:向 量 法(通性通法)如图建立空间直角坐标系力_x广,则 E(0,0,2)、8(收1,0)、。(0 2 1).屏=(-瓜-1,2)、丽=卜 石,1,1)B D E n =(x,y,z)n-BE =-y/3 x-y+2 z =0设平面 的法向量,则1 _方 方 仄 八,令y=6 ,解得x=3,Z =2百,则 =(3,石,2 6):4 J 平面N8C,;刈=(o,o,l)是平面A B C的一个法向量所以平面血m与平面4 8 C所成的锐二面角余弦值为 立.法二:几何法:延 长 即 交4 C的延长线于S,连接8 S,则平血8 )Ec平面N 5C =5S山(1)易知 D =D S,“=M8,则 M )8S,所以 B S _L 平山i 4 B E,又力平面/B C 所以8 s l力8 BS 1 BE 故N 4 B E为平面B D E与平面A B C所成的锐二面角,又北=延=2,则 仍=2以故c s 心 理=正BE 2所以平面比石 与平面 S 0所成的锐二面角余弦值为 也.5.(2 02 2 山东聊城三模)已知四边形”8 8 为平行四边形,E为的中点,A B=4,/门户为等边三角 力形,将三角形Z D E 沿NE折起,使点。到达点P的位置,且平面/p 平面/8C E.A rn,_L(1)求证:A P I BE(2)试判断在线段尸 8 上是否存在点F,使得平面/E F 与平面N E 尸的夹角为4 5。.若存在,试确定点F的位置:若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,点厂为线段夕8 的靠近点。的三等分点【解析】证明:因 为 四 边 形 为 平 行 四 边 行,且 为 等 边 三 角 形,所以 N 8C E=I2 O .又E为 C。的中点,所以C E=E D=D A=CB,即 为 等 腰 三 角 形,所 以/。8=3 0。.所以 Z A E B=1 S O-N A E D-/B E C=9。,即 BE A E.又因为平面4 七 尸,平面A BCE,平 面/Me平面 8C E=以 平面/4 0已A rtL C DLL U所 以 平 面 4 P E,又ZPu平面4 P E 所 以 力 汽解:取Z E 的中点0,连接P O,由于八/p 为正三角形,则P O U E,又平面/PEJ_平面Z 8 C E,平面平面48C=E,尸 0 u 平面及 P,所以尸0_L平面/8CE,p cBE=2拒,取 的 中 点 G,则OG/BE,由(1)得所以0G,/瓦以点。为原点,分别以。4 O G,。尸所在的直线为x 轴,夕轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系。则 0(0,0,0),J(1,0,0),5(-1,273,0);尸(0,0网,(-1,0,0),则 第=(2,0,0),3=(0,273,0),丽=卜 1,2 -石),丽=(1,0,6),假设存在点凡 使平面彳 尸与平面/尸的夹角为45,设 所=2,设尸|=四边形4 8 c o 为正方形,Z P C =1 2 0 .所以o(o,o,o),c(o,2,o),JO_ L|,F(2,?,O),2 2/平面PCD的,个 法 向 量 加=(2,0,0),所以 诙 0,_1,正),O F =(2,W,0),设平面D E 户 的 个法向量7=(x,y,z),-K 6 c 2=2 =-2 百 x=5 nn DE=-y +z=0 f 令,则,n-DF=2x+my=0m=(6 6,一 2 6,2)因为二面角C H Y平面角 法 7 i 2 _ B A -D A _ 1 _所以 c s|.|2 V W+I 2 +4 5,1 山3解得 3,所 以=_ 3 一 2.A B 2 37.(2 0 2 2贵州贵阳一中高三阶段练习(理)如图,四棱锥产一 B C D 中,平 面,平 面 4 8 C Z FA B/CD,A B 1 A D ,A B=3,力。=6,A P=C D =2 Z P A B=6 0 -是 中 点,N 是 P B 上一点、.(1)是否存在点N使得M V平面尸/。,若存在求W的长.若不存在,请说明理由;(2)二面角p _ AAMM _ N 的余弦值为34,求 空P N的 值.5 P B【答案】(1)存在;理由见解析;PN=3【解析】(1)存在.理由如下:方法一:如图,在P上B 取 点N,且满足尸N=g1P 3,D再过N 作BA的平行线交尸/于点Q,则 N 0/8,F LNQ =;/8 =1,又8 祕 且.是的中点,M D C D =X ,2:.NQ/MD,NQMD _ 4 5 G A 的棱长为a,E是 棱 的 动 点,若E为OR的中点,则直线8 g 平面4 8 O三棱锥G-瓦。石的体积为定值g/E为。的中点时,直线用 与平面CDDC所成的角正切值 为 平过点与,C,E的截面的面积的范围是2 ,A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】如图,以/为原点534244,所在直线为x,y z轴建立空间直角坐标系,则仇a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),4(0,0,a),S,(a,0,a),(0,a,a)所 以 率=(-a,a-),而=M-a),B D=(a,a,0).对于:当E为 叩 的中点时,/(。以 设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 。/),则产 空=a x-a z =0 ,不妨令x=l,则 =),1万 ,B D =-ax+a y =0所以平面A l B D的一个法向量为”=(1 J 1).又因为/率“a +a +t S -WHO,所 以 与 瓦石不垂直,所以宜线片/平面4班 不成立.故错误;对于:三棱锥-ACE的体积等于三棱锥 _(?1 8 c的体积.2 3乂 S s c r=ax a=2 ,同为 4,所以,8 r =X 2乂 =幺 故错误;A O|(.|-2 2 1_-/_ 3 2 6对于:当为乌的中点时,E(o,4,g.平面cG的个法向量为“0 =(,。,),而 BE =.C D D 3 7D-RE a2 2设直线S E与平面 所 成 的 角 为,所以s m9=/百 百=工 一 =.a2a所以co s =Jl-s in?。=(0 6 )1 所以1at。=平,3 2 C U、C z J即直线与“与平面CDAG所成的角正切值 为 苧.故正确;对于:设 E(0,a,z),(04 z a)因为 麻=(O,a,-q),C =(a,O,-z)E C麻 瓦.麻|az所以 在 上 得 到 投 影 为1 1=7丁=三.网 C|y/2 a 2所以点E到直线B 的距离为方=j反 一屋=FT7Z.当z=0,即。、E重合时,截面为矩形,其面积为。乂 缶=缶2.当0 za时,截面为等腰梯形.设截面交44于五所以怛同=/g _z),所以/,(z)=(z-a)3-/0,所以/(z)在 0,上单调递减函数,所以f(a)4/(z)4/(。),Hp-a4/(z)2a4.4因为所 以 与2 s 缶22当z=a,即。八E重合时,截面为边长为缶的正三角形,其面积为_ L x 0ax 0ax 3=叵22 2综上所述:且.2 4 s 4缶2.故正确.2故选:B2.(2023全国高三专题练习(理)在矩形4 8 C 0中,A B=2 3 =2百,沿对角线/C将矩形折成一个大小为的二面角一一,若co s 0=,则下列结论中正确结论的个数为()四 面 体 外 接 球 的 表 面 积 为16%点B与点。之间的距离为2 G四 面 体 的 体 积 为 递3异面直线/C与8。所成的角为60A.j B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】对于,取/C的中点 ,连接“8、MD,则/c =1次+次=4 因为4 8 c =N4C=90O,所以,MB=MD=L AC=MA=MC=2,2所以,为 四面体/B e。的外接球球心,球M的表面积为47rx22=16%,对;对于,过点)在平面4 内作。0,/(,垂足为点0,过点O作QEJ.4C交8 c于点E,则二面角B-/C _。的平面角为NDO E =0,在RtzXZC。中,AD=2y/3 AC LOE ODcOE=O,NCJ.平面 OOE,以点.为坐标原点,OE、o c所在直线分别为x、了轴,平面ODE内过点O且垂立于0 E的垂线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,因为cosO=L 则(0,T 0)、川 后,-2,0)、40,1,0)、0 2后33 3叫I +(-2-0)2+0-=2&,错,S B C=-AB-BC=2 ,/&2 6、侦=逑,对,/.D-AU L 3 3 3=(0,4,0)(2 G 26DIJ-,Z,-不 泰 AC-BD 8&y BD 45。cos=研阿广=彳,故异面直线 与 所 成 角 为,错.故选:B.3.(2022北京首都师范大学附属中学三模)如图,在正方体48。-4 用 2 中,E 为棱8 c 上的动点,尸为棱用8 的中点,则下列选项正确的是()A.直线4 A与直线E尸相交B.当E为棱8 c上的中点时,则点E在平面/R尸的射影是点尸C.存在点E,使得直线/乌 与直线E尸所成角为30。D.三 棱 锥 尸4nk的体积为定值【答案】D【解析】A:由题意知,A D、“B、C、,B g u平面4G C 8,4)1z平面4GC8所以4 R/平面q C|CB,又EFu平面5 C C 3,所以与EF不相交,故A错误:B:连接D国、4F A E CB,如图,当点E为8 c的中点时,E F CB,乂/R _LC q,所以若点E在平面40尸的射影为尸,则EE_L平面/。尸,垂足为F,所以EF,/7,设正方体的棱长为2,则4后=/尸=后,E F=42 ,在 A/E 尸中,A F2+E F2 A E2 1(2,0,0),F(l,0,2),C(0,2,0),At(2,0,2),则 E F=(-1,-1,2),麴=(0,0,2),n=(-2,2,0),:EF AC =2-2 +0=0:.E F 1 A C故C正确.cos/(/F,JT4A )=E F-A A r4 -振 ,故M Dc 不h正 r”确./E F-A A J 6X2 3故选:C5.(2 0 2 2江苏如皋市第一中学)(多选)在四边形 BQ)中(如图1),A B=A D,NA BD =45,BC=B D =C D =2,将四边形 8 C Z)沿对角线8。折成四面体/-88(如图2所小),使得n/8 c =9 0 E,F,G分别为5 C,H ),W 8的中点,连接ECG,0为平面8。内一点,则D图1BA.三棱锥”-8 8的体积为变3B.直线石 与CG所成的角的余弦值为拽15C.四面体力,_8 8的外接球的表面积为8万D.若 =1,则。点的轨迹长度为毡7 r3【答案】ABD对于A,如图,取3。中点O,连接ZQCO,易得4 0 1 8D,CO 1 8。,又WOcCO=O,4 0,C 0 u平问HOC,则5。J,面HOC,AO=LBD=l,OC=d K,A B =&A C =/m =&,W JCOsZAOC=1 +3-6=-则22xlxV3 3sin ZAOC=3S4.A.(07 CC=2-xlxV、3x3=2-则兀4-o,CB/JC/i=0V-/B1 C./.Co c+U V-A O C.oc=3 -AS C./C.o c BD=3 A 正确;A)对 于 B,EFEB+BD+DF=-B C +BD+-DA=-B C +Bb+-(BA-BD=-BC+-B b +-B A,2 2 2 2、222,,2 1 ”2 1 2 1 -2 1 _ _ 1 1 1-.-1 .则=-BC+BD+BA BC BD BC BA+BD,BA4 4 4 2 2 2则 同=乎,CG=CB+BG=-BC+B A,则 帚=交-品.研+;而?=4十;=函 卜 孚,又乔石什+厚+源”+那=/7 7 _ EF CG 2 _4而 EF CG 475则cos(ECG片厨同=而不方=一百一,即直线 与 所成的角的余弦值为了丁,B正确;YXT对于 c,易得 AABC=AADC,N/8C=90,则 NHDC=90,取ZC 的中点 M,连接易得MA =M C =M B =M D=J2#B C D 屈则四面体 的外接球的半径为吃,则外接球表面积为4万-F =6兀,C 错误;4I z对了 D,作H N_LCO父CO延长线十N,由A 选项知,HNJL5。,乂 8nC0=0,8。,。0=十面8 c则/N L”面8CZT变,则/w=逅,又 0 =1,则N Q =即。点的轨迹为以为圆心,立 为半径的圆,则。点的轨迹长度为2 叵乃,D 正确.3 3故选:ABD.6.(2022江苏常州市第一中学)(多选)如图,在菱形N88中,A B=2,Z BA D=60,将48。沿对角线8D 翻折到尸8。位置,连接P C,构成三棱锥p_8CZ).设二面角尸一&)_(?为 6,直线尸8 和直线8 所成角为a,在翻折过程中,下列说法正确的是()PDA.PC 与平面BCD所成的最大角为45。B.存在某个位置,使得P 8 L C DC.当。三k?丝7rl 时,cosCZ 的最大值为三53 3 8D.存在某个位置,使得8 到平面PDC的距离为由【答案】BC【解析】取 8。的中点。,连接。、0 C,则。尸1BD,OC_L8。,又。尸cO C =0 可得B D,平面O P C BD u平面B D C 所以平面OPC_L平 面 皿 C,与平面8 8 所成的角为N PC,当小=百 时,OPC为等边三角形,此时2 代。=60。45。,故 A 错误:由上可知NPOC为P-3Z)_C的平面角即Z.P OC=0 因 为 方=砺-而,而=历-历,所 以 丽.丽=(无-丽)(历 _ 灰)=砺.而 一 砺 灰-历.历+而 灰 =-l+3cosO,当 cosO=1 时,PB C D=O,即 P B C D,故 B 正确;3I /-、RB;CD|-1+3COS0|又 cos a=|cos(P B,CD)=得同=L 4 J,当Oe 时,3 3COS 0 G ,一 ,1 +3 COS 0 G2 2C T +3cosMGr D 对.DJ/i)c j 3 Z-J/I|zc I 3 、3 3故选:A C D.8.(2 0 2 2 山东德州)(多选)如图,菱形/8 C Z)边长为2,Z BA D=60,E为边N8的中点,将 N OE 沿DE折起,使/到 0,连接48,A C 且/O_ L OC,平面“卫后与平面/CD的交线为人 则下列结论中正确 的 是()A.平面WQE_ L 平面/B E B-CD/1C.8 c 与 平 面 所 成 角 的 余 弦 值 为:D,二面角“一 8一。的余弦值为且【答案】A B D【解析】在菱形中,为 边 的 中 点,所以4B,D E,因为C D U B E 所以 E0_LO C,因为4。,。,4DCDE=D,所以co i平面“D E,因为C D B E,所以8E平面因为8Eu平面所 以 平 面 平 面8E,故A正确;因为C D “B E,CZ)平 面 E B Eu平面4 B E ,所以CD平面/8 E,又平面48E与平面4 8的交线为/,所以。/,故B正确;由A知,8E1平面4O E,则BE1H,又菱形N88边长为2,Z BA D=60,为 边 的 中 点,所以D E l A E,又B E C D E=E,所以4EJ.平面8ED,以E为原点,分别以E 8,E D.E A 为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系:则 8(1,0,0)/(0,0,6(7(2,抬,0),(0,百,0)所以m=(i,百,0),7 =(0,0,1),7 5 =(0,6,-1),方=(1,0,-1”由上可知:co,平面40乙设平面AD E的一个法向量为:函=(-2,0,0),BC C D -2 1则so 二同同口工咨丁;所以有sin%两=J l-c o/反,的=#,因此选项C 不正确;显然平 面/的 一个法向量为:3=方=e,6,0),设平面 即 的一个法向量为:蔡=(x j,z)7fi-w =0 fx-z =0则有则 布 而 3叫 岛 一=。,所以m 二 (g j,百)/-_ m n _ 75 _ v/所以c s/六 丽=j3 +l+3 x j3=下,所以选项D 正确,故选:ABD.

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