高考数学概率与统计的综合运用（精讲精练）（解析版）.pdf

专题1 0 概率与统计的综合运用【命题规律】概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题.【核心考点目录】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望核心考点二：超几何分布与二项分布核心考点三：概率与其它知识的交汇问题核心考点四：期望与方差的实际应用核心考点五：正态分布核心考点六：统计图表核心考点七：回归分析核心考点八：独立性检验核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题核心考点十：决策型问题核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式【真题回归】I.（2 0 2 2 全国统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1 0 分，负方得。分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X表示乙学校的总得分，求 X的分布列与期望.【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A8,C,所以甲学校获得冠军的概率为P P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2=0.1 6 +0.1 6 +0.2 4+0.0 4 =0.6.（2）依 题 可 知,X的可能取值为0,2 2 0,3 0,所以,p(X=0)=0.5 x 0.4 x 0.8 =0.1 6,p(X =1 0)=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x ().6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2 =0.4 4,尸(X =2 0)=0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2+0.5 x 0.6 x 0.2 =0.3 4 ,X =3 0)=0.5 x 0.6 x 0.2 =0.0 6.即X的分布列为期望 E(X)=0 x 0.1 6+1 0 x 0.4 4 +2 0 x 0.3 4 +3 0*0.0 6 =1 3.X01 02 03 0P0.1 60.4 40.3 40.0 62.(2 0 2 2 全国 统考高考真题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 1 0 0 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间 40,5 0)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间140,5 0),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).【解析】平 均 年 龄 彳=(5 x 0.001+15 x 0.002+25 x 0.012+3 5 x 0.017+45 x 0.023+5 5 x 0.020+6 5 x 0.017+75 x 0.006 +85 x 0.002)x 10=47.9(岁).(2)设 A =一人患这种疾病的年龄在区间120,70),所以P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006 +0.002)x l 0=1-0.11 =0.89.(3)设 8=任选人年龄位于区间 40,5 0)“，C =“从该地区中任选人患这种疾病”,则由已知得：P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,1 0 =0.023 x 10=0.23.则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间140,5 0),此人患这种疾病的概率为P(C =3=P P(B|C)=0.001x 0.23 =海0 0M.3.(2022全国统考高考真题)甲、乙两城之间的长途客车均由4 和 8 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的5 00个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？准点班次数未准点班次数A24020B2103 0n(ad-bc)2(+b)c+d)(+c)(Z?+d)P(K2.k)0.100 0.05 0 0.010k 2.706 3.841 6.6 3 5【解析】(1)根据表中数据，A共有班次26 0次，准点班次有240次,设 A家公司长途客车准点事件为M,贝 1 尸(加)2=40=上1226 0 133共有班次240次，准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,210则 心)=丽7812A家公司长途客车准点的概率为自B家公司长途客车准点的概率为三.O(2)列联表n(ad-bc)2准点班次数未准点班次数合计A2402026 0B2103 024045 05 05 00(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)5 00 x(240 x 3 0-2l 0 x 20)226 0 x 240 x 45 0 x 5 0=3.205 2.706,根据临界值表可知，有9 0%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.4.（2022 全国 统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：n f）和材积量（单位:mD，得到如下数据：10 10 10并 计 算 得=O 3 8，Z)：=L 6 15 8,2x j =0.2474.i=l i=l i=l样本号i12345678910总和根部横截面积占0.040.06 0.040.080.080.050.050.070.070.06 0.6材积量%0.250.400.220.5 40.5 10.3 40.3 6 0.46 0.420.403.9（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.f （王一君（乂 一 歹）_ _ _ _附：相 关 系 数,=J ,71领。1.3 77.1a-君 吃（-寸V i=l i=l【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值于=黑=0.063 9样本中1 0棵这种树木的材积量的平均值歹=子=0.3 9据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 0?,平均一棵的材枳量为0.3 9 m，(2)io io2（%-可（岩-方-io而博-噂（）于 心丫一味堆短一w=0.2 4 7 4-1 0 x_ _0_._ _0_ _6_x_ _0_._ _3_ _9_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0.01 3 4 1 3 4 =0 9 77(0.03 8 -1 0 x 0.062)(1.6 1 5 8 -1 0 x 0.3 92)7 0.0001 8 9 6 0.01 3 7 7则 r *0.9 7（3）设该林区这种树木的总材枳量的估计值为ym3,又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得（r 3 9 =V，解之得 丫=12 09 m .则该林区这种树木的总材积量估计为1 2 09 m 35.（2 02 2 北京统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0m以 上（含9.5 0m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲:9.8 0,9.7 0,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,9.3 5,9.3 0,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.3 6,9.3 2,9.2 3；丙：9.8 5,9.6 5,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【解析】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件4,丙获得优秀为事件4-3P（X=0）=P（444）=0.6 x 0.5 x 0.5 =,P(X=D=P(A 4 A)+P(A4 AJ+p(4 4 A3)Q=0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 =,2 0P(X=2)=p(A 4 A)+p(A 4 4)+P(AAA)7=0.4 x 0.5 x 0.5 +0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 =,2 0/(X=3)=P(A2A,)=0.4 x 0.5 x 0.5 =.X 的分布列为X0123P3208207202203 8 7 7 7 E(X)=0 x +lx +2x +3x =一20 20 20 20 5（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次丙获得9.85的概率为:甲获得9.8的概率为 乙获得9.78的概率为，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.66.（2022全国.统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人（称为对照组），得到如下数据：（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8 表示事件“选到的人患有该疾病畿与然的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为兄(i)证明:P(A|8)尸片)P(AB)P(A B)（i i）利用该调查数据，给出尸（A|B）,P（A|5）的估计值，并 利 用（i）的结果给出R 的估计值.(血-岳)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附 K2P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由已知片=n(ad-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)200(40 x 90-60 xlQ)250 x150 x100 x100=24,乂 P（K2 6.635）=0.01,24 6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为H=P(3|A)P(B A)_ P AB)P(A)P(而)P(A)P(B|A)P(B|A)-P(A)P(AB)P(A)P(AB)所以R=P(A 8)P(B)P(硕 P(初P(B)P(AB)P(B)P(AB)(ii)4 0 -in由已知 P(4|8)=荷，P(A|B)=,-6 0 -9 0又尸 B)=而P(A|B)=-)所以R=2 2=6P(A|B)P(AB)【方法技巧与总结】(-)涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量x的分布列为XXI1 2 Xi PP1P2 Pi Pn称E(X)=与门+七/“为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.称 (X)=f(x,-E I X)”为随机变量x的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，其r=l算术平方根向 方 为随机变量X的标准差.(1)离散型随机变量的分布列的性质 p；.0(，=1,2,)；P 1+P 2+=1 (2)均值与方差的性质若丫=a X+b，其中a力为常数，则y也是随机变量,且 E(aX+勿=aE(X)+b;D(aX+b)=O(X)(3)分布列的求法与排列、组合有关分布列的求法.由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列.与频率分布直方图有关分布列的求法.可由频率估计概率，再求出分布列.与互斥事件有关分布列的求法.弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求 法.先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列.(4)常见的离散型随机变量的概率分布模型二项分布；超儿何分布.2、常见的连续型概率分布模型正态分布.(二)概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题【核心考点】核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算)【典型例题】例1.(2 0 2 2陕西宝鸡统考一模)甲、乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1,2,3号选手与乙队的1,2,3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜(每场比赛只有胜或负两种结果).已知甲队的1号对乙队的1,2号选手的胜率分别是0.5,0.6,甲队的2号对乙队的1,2号选手的胜率都是0.5,甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5,假设每场比赛结果相互独立.(1)求甲队仅比赛3场获胜的概率；(2)已知每场比赛胜者可获得2 0()个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望.【解析】（1）甲 队 1,2,3号选手与乙队I,2,3号选手比赛获胜的概率分别为0 5 0.5,0.5,甲队比赛3 场获胜的概率为2=0.5 x 0.5 x 0.5 =0.1 2 5 ；（2）X所以可能取得值为0,2 0 0,4 0 0,6 0 0,8 0 0；p（X =0）=0.5 3=0.1 2 5,P（X =2 0 0）=C；0.5 x 0.52 x 0.4 x 0.5 =0.6 *0.53=0.0 7 5,P（X=4 0 0）=C j O.5 X0.52X（0.6 x 0.5+0.4 x 0.5）+C,x 0.53 x 0.4 x 0.5 =2.1 x O.53=0.2 6 2 5 ,P（X=6 0 0）=0.53+C；0.53 x 0.6 x 0.5+C；x 0.53（0.6 x 0.5+0.4 x 0.5）=3.4 x 0.55=0.4 2 5,P（X =8 0 0）=C j 0.53 x 0.6 x 0.5 =0.9 x 0.53=0.1 1 2 5.即所以（X）=0 x 0.1 2 5 +2 0 0 x 0.0 7 5 +4（X）x 0.2 6 2 5 +6 0 0 x 0.4 2 5 +8 0 0 x 0.1 1 2 5 =4 6 5.X02 0 04 0 06 0 08 0 0P0.1 2 50.0 7 50.2 6 2 50.4 2 50.1 1 2 5例 2.（2 0 2 2 春 云南昆明 高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加.甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为:的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过 ,且他直到第二次O N9测试才合格的概率为 以，乙教师3 次测试每次测试合格的概率均为彳2，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立.（1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P；（2）设甲教师参加测试的次数为?，乙教师参加测试的次数为，求4 =?+的分布列.【解析】（1）由甲教师3 次测试每次合格的概率组成一个公差 为:的等差数列，O又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P,故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是尸+：、2+!，8 4由题意知，（1-P）P+：=j解得P =；或尸（舍），o）32 4 8所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为5.4（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是J、；，O 乙山题意知，g的可能取值为2,3,4,5,6,由题意可知=2)=P(m=1,=1)=，x 2 =,4 3 6P(J=3)=P(m=l,n=2)+P(m=2,=1)=x|x)4-|x|x =,4 13 3八4 8)3 14 4P(J=4)=P(m=l,n=3)+P(m=2,=2)+P(m=3,n=1)5 814 4P化=5)=P(/n=2,n=3)+P(m=3,=2)139 6P(=6)=P(=3)=生|卜、x|嗑所以4的分布列为:423456P_63514 45 8U4139 659 6例 3.（2 0 2 2 春云南曲靖高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满30 0 元的顾客可以免费抽奖一次,抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10 个小球，其中：红色小球1 个，白色小球3 个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3 个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的3 个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球2个白球；B：3 个白球；C：恰 有 1个黄球；D：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.（1）写出顾客分别获一、二、三等奖时所对应的概率;（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为X,求 X的分布列和期望.r2 3 1 1 1【解析】（1）由题意可得：P（4）=片=而=而，尸 仍）=k=而，网 0=3=而=而，P（Z）=1-P（A）-P（B）-P（C）=-1 N U 1 U D1 1 3所以中一等奖的概率为 志，二等奖的概率为 亲，三等奖的概率为日（2）记事件E为顾客摸出的第一个球是白球，事件尸为顾客获得二等奖，1则 P 仍|)=-=-J)1OI 1 3 1（3）由（1）知一名顾客中奖的概率为尸=商+茄由题意可得，X，所 以P(X=,)=c g)(|)=1,2,3,4,5)则分布列为X012345P32243802438024340243102431243E(X)=5x；=g核心考点二：超几何分布与二项分布【规 律 方 法】超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.一 般 地，在 含 有 件 产 品 的N件产品中，任 取 件，其 中 恰 有X件 次 品，则 事 件 X=k 发生的概率为 p(X=k)=5 H C .V -MCN(无=0,1,2,m),其中z =minM,且N,n,M,N wN,*,称为超几何分布列.一般 地，在次独立重复试验中，用X表 示 事 件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为 尸，则P（X=Q=C：p*（l-p）Y#=0,l,2,n.此时称随机变量X服从二项分布，记 作X 3（,p）,并 称p为成功概 率.此 时 有b=印,。*=叩（1-）.【典型例题】例4.（2022春 北京高三北京铁路二中校考阶段练习）2022年2月2 0日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运 动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了 100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分50,60(60,70(70,80(80,90(90,100频率0.10.10.30.30.2（1）如果规定竞赛得分在（80,90为“良好”，竞赛得分在（90,100为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使 用 分 层 抽 样 抽 取10个学生，问各抽取多少人？（2）在（1）条件 下，再 从 这10学 生 中 抽 取6人进行座谈，求至 少 有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；（3）以 这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现 从 该 校 学 生 中 随 机 抽 取3人，记竞赛得分为“优秀”的 人 数 为X,求随 机 变 量X的分布列及数学期望.【解析】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0 5,共50人，抽样比为益=（,所以成绩为“良好”的抽取1 0 0 x 0.3x!=6人，成绩为“优秀”的抽取1 0 0 x 0.2x：=4人.JD（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良,故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率P=1 94 2（3）由题意知，X的可能取值0,1,2,3.7 0 1由题可知，任 意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为4=汽=：,竞赛得分不是“优秀”的概率为1 0 0 D6=1-6=1-（4.若以频率估计概率，则X服从二项分布3,）2P（X=0）=C；5喂;尸（x=51掾吵=2）=呜闾脸故X的分布列为X0123P6 41 25481251 21 2511 251 3数学期望E（X）=3x y =例5.（20 22浙江模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以3的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2,，7的球槽内.D O O)00(O O O（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6 号球槽的概率;（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消 费 1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入机号球槽得到的奖金为X（元），其中X=|160-40N.（i）求一次抽奖的奖金X（元）的分布列及数学期望E（X）；（i i）己知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为丫（元），求 E（y）.【解析】（1）记事件4小球落入6 号球槽，需要在6 次碰撞中有1 次向左，5 次向右.所以 尸 =叱）必噎（2）（z）记 随 机 变 量 小 球 掉 入机号球槽，则 M 的可能取值为：1,2,3,4,5,6,7.由题意可得 P（M=1）=P（M=7）=C：；164=2)=P(M=6)=C：尸（M=3）=尸（M1564P（M=4）=C：2064所以M 的分布列为:MI234567P164664156420641564664164因为X=|16。-40叫=40|4-川，所以X 的可能取值为:0,40,80,120.20 30其中 P（X=0）=P（M=4）=,P（X=40）=P（M=3）+P（M=5）=,P（X=80）=PM=2）+P（M=6）=,P（X=120）=PM=1）+PM=7）嗑.所以一次抽奖的奖金X（元）的分布列为：X04080120P2030122I64646464所以数学期望为仪*)=0*710+40X310 +80*苣1?+120*看9=彳7S.（n）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2 次，所以他所得的奖金为y=2X.75 75因为E（X）=,所以 E（y）=2E（X）=2x =75.例 6.（2022春四川绵阳高三绵阳中学校考阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒 的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.|频率0.30 k.-I-11 2 3 4 5 6购买量/kg（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5 户.若抽取的5 户中购买量在 3,6（单位:kg）的户数为2 户，从 5 户中选出3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在13,6（单位：kg）的户数为求 g 的分布列和期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值.【解析】（1）随机变量4 所有可能的取值为0,1,2.则e）答=，p（4=2）=等4，4012%)110353io所以E =以|+2 得、.（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.5x0.10+2.5x0.30+3.5x0.25+4.5x0.20+5.5x0.15=3.5（kg）则购买甲类生活物资为 迫切需求户”的购买量为 4,6,从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为 p=0.2（）+0.15=0.35.若从小区随机抽取10户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则*8。0,0.35）,若上户的可能性最大，则 P（X=A）=C：o/（l-p）g ,=（）,10P（X =k）P（X=k-l）?丁（0.35）（0.65广*2 C/（0.35广（0.65广P j X=k）2 尸，X=Z+J 同 g o（0.351（0.65厂”Cf；1（0.35）*+1（0.65）9-*即卜I（K +lj1 7（10-k）解得2,5,，*3.8 5,由于AeN*,Hlk=3.核心考点三：概率与其它知识的交汇问题【规律方法】在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容,除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇.求解此类问题要充分理解题意.根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化.这类题型具体来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题.求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解.2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和.【典型例题】例 7.（2022春 上海长宁高三上海市延安中学校考期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或 6时得2 分，掷得的点数为2,3,4,5 时 得 1 分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；（1）设投掷2 次骰子，最终得分为X,求随机变量X 的分布与期望；（2）设最终得分为的概率为乙，证明：匕-月-为等比数列，并求数列 勺 的通项公式；【解析】（1）X 的可能取值为2,3,4,2 2 4P（x =2）=-X =,7 3 3 9P（x =3）=2 x g x g q,P（x =4）=-x-=,7 3 3 9 X 的分布列为数学期望 E(X)=2 x +3 x，+4 x 1 =q.9 9 9 J2 1 ,(2)由题意知2=唠+*(2 3),-Pn P,-2)，此-襦,仍T 是以t为首项，为公比的等比数列，（2 2）,当2 2 时,。=片+（2 幻+化 一刊）+优-&）t +l?I 当”=1 时，上式也成立,综上：得=5-4n-例 8.（2 0 2 2 春 湖南长沙高三校联考阶段练习）如图，一只蚂蚁从单位正方体A8CD-A4GR的顶点A出发，每 一 步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点A的概率P.（/）分别写出P 1，P 2 的值;（）设顶点A出发经过步到达点C的概率为/，求 P“+3%的值；（/）求 P”.P i =0,p,=3 x i x-=-【解析】（I）-3 3 3.（2）由于顶点A出发经过n步到达点C的概率为,则由A出发经过n步到达点片,D,的概率也是q ,并且由A出发经过n步不可能到A,B,G这四个点,所以当为奇数时P,=%=0，所以P”+3%=0 ；当为偶数时，P“+3%=1.1 1 7（3）同理，由C,4分别经2步到点A的概率都是2X：X（=5，由A出发经过再回到A的路径分为以下四类：由A经历-2 步到A ,再经2 步回到A,概率 为:p,_ 2；2由A经历-2 步到C,再经2 步回到A ,概率为,/_ 2；_2由A经历 2 步至I J 4,再经2步回到A,概率为4“_ 2；2由A经历 一 2 步到A，再经2 步回到A,概率为,/.2；一 1 2所以=3 P n2+5 一 2 ,又 P+3%=1,所以 “二g P -2 +1 ，-2 =p“_ 2 +1，即外 一:中*一;）,所以化 一1故 p“=；i+ar综上所述，p-前十&n=2k0,=2&-1例 9.(2 0 2 2 春 山东高三校联考阶段练习)某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品a分为两类不同剂型必和a 2 .现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂因和夕 2 合格的概率分别为二3 和：3，第二次检测时两类试剂区和由合格的概率分别为4三 和29.已知两次检测过程相互独立，4 5 5 3两次检测均合格，试剂品a才算合格.(1)设经过两次检测后两类试剂因和合格的种类数为X,求 X的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品a进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感 染 高 危 户 设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P(0 P D 且相互独立，该家庭至少检测了 3 个人才确定为“感染高危户”的概率为/(p),若当时，/5)最大，求见的值.3 4 3【解析】(1)剂型/合格的概率为：=剂 型%合格的概率为：j3 x j2 =12.由题意知X的所有可能取值为0,1,2.贝”(X=0)=p(X =|)=11 32 5P(X=2)=|X|=A,则 X的分布列为X012P62 51 32 562 5数学期里E(X)=0 x 假+l x 导2 x 卷=1.(2)检测3 人确定“感染高危户”的概率为(1-2)2 2，检测4人确定“感染高危户”的概率为(l-p)3 p,令 X =1 -P，因为 O v v l,所以 O v x v l,原函数可化为 g(X)=x 2(l-f)(O X l).因为六)八H l,当且仅当丁=1-，即x=e时，等号成立.2此时p=l-,所以=1 一理.2。2核心考点四：期望与方差的实际应用【规律方法】数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度.现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案.(1)若我们希望实际的平均水平较理想，则 先 求 随 机 变 量 2 的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还 需 要 用 乙 来 比 较 这 两 个 随 机 变 量 的 方 差，确定它们的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近.(3)方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断.【典型例题】例10.(2 0 2 2 春河南高三期末)根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则 没 有 该 病 毒.对 于 份 样 本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验次；二是混合检验，将 k 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这发份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则 k 份检验的次数共为&+1 次，若每份样本没有病毒的概率为4(0 p l),而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.(1)若取得8 份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为/(p),求 f(p)的最大值点P o;(2)若对取得的8 份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组 4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.若“方案二”比“方案一”更“优”，求 p的取值范围(精确到0.0 1).【解析】(1)根据题意可知，每份样本检测结果为阴性的概率 为 折(0 P 1)，则阳性概率为1-加则 8份样本，采用逐个检测，发现恰有2 个样本检测结果为阳性的概率f (P)=C 所(1-师=2/_ 2p：+1 7即 f(p)=28 p 2-2p，+p 5,所以fr(p)=28 2P+;庐 二14 p 5 4 p G -72+3j =4 3 4p-1,因为o p l,所以14 户 户-l 0当4/3 3 0,所以/(p)在 ，图上单调递增；当4)-3 0,即时，/(P)。，所以P)在 图，1 上单调递减；所以，(P)在 p =(：j时取得最大值，即/(P)的最大值点为=g j=羲.(2)若采用方案一，则需要检验的次数为8次，即检验次数的期望值E(X J =8；若采用方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，则每组检测结果为阴性的概率为七万=p,则为阳性的概率为1-P ；所以检验次数X 2 的所有可能取值为2、6、10；当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2 次，则 p(X 2=2)=/；当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6 次，则 p(X 2=6)=C；p(l-p)；当两组检测结果全为阳性时，检验次数为10 次，则 p(X 2=10)=(l-p)2；此时，方案二的检验次数的期望值E(X 2)=2/+6 x C；p(l-p)+10(l-p)2=10-8 p；若“方案二”比“方案一”更“优”，则E(X,E(X,),即 10-即 8,得0.25/?A)小-警卜竽4 i=l 49 E(Xj 白 E(X.)nE(X)=E -X-=-(2)(2)由参考公式，LT t 1D(X)=E(X-E(X)2)=与-J+2 2“小”这。(曾，用到*)=o阚)故。(X),%n0.4n?4,0.01 0.16/当 =160时，p(xii).bJ)(X)=(0-0.3)2 x0.72+(1-0.3)2 x0.26+(2-0.3)0.02=0.25.(3)由题意可得X=