北京市2021-2022八下期末试题汇编第一章-三角形的证明解答题（简单题）.pdf

第 一 章-三 角 形 的 证 明 解 答 题（简 单 题）-2022-2023学 年 北 师 大 版 八 年 级 数 学 下 册 培 优 练【北 京 市 2021-2022八 下 期 末 试 题 汇 编】一、解 答 题 1.（2022秋 北 京 怀 柔 八 年 级 统 考 期 末）老 师 布 置 了 如 下 尺 规 作 图 的 作 业：己 知：如 图 A ABC.求 作：B C 边 上 的 高 AM.下 面 是 小 红 设 计 的 尺 规 作 图 过 程：作 法：延 长 线 段 B C:以 点 A 为 圆 心，A C 长 为 半 径 作 弧 交 B C 的 延 长 线 于 点 Q；分 别 以 点 C,力 为 圆 心，大 于 g C D 的 长 为 半 径 作 弧，两 弧 在 C O 下 方 交 于 点 民 连 接 A E,交 于 点 M.所 以 线 段 A M 就 是 所 求 作 的 高 线.根 据 小 红 设 计 的 尺 规 作 图 过 程 和 图 形，完 成（1）（2）两 小 题：（1）使 用 直 尺 和 圆 规，补 全 图 形（保 留 作 图 痕 迹）；（2）将 该 作 图 证 明 过 程 补 充 完 整：由 可 得：A C=.由 可 得：=.（）.（填 推 理 的 依 据）即 A M 是 A A B C 边 B C 上 的 高 线.2.（2022秋.北 京 房 山.八 年 级 统 考 期 末）王 宇 同 学 在 几 何 学 习 过 程 中 有 一 个 发 现：直 角 三 角 形 中，如 果 有 一 个 锐 角 是 30。，那 么 这 个 锐 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半.下 面 是 他 的 探 究 发 现 过 程，请 你 与 他 一 起 用 尺 规 完 成 作 图 并 补 全 证 明 过 程（保 留 作 图 痕 迹）.A B已 知 一 条 线 段 A B,分 别 以 点 4、B 为 圆 心，以 线 段 A B 的 长 为 半 径 画 弧，两 弧 交 于 点 C(点 C 在 线 段 A B 上 方)，作 N A C 8 的 角 平 分 线 交 A B 与。.由 作 图 可 知 A8=C4=BC二 小 8 C 是 _三 角 形 A ZACB=60()平 分 N A C B.CO垂 直 平 分 A8()ZDCB=-ZACB=302A ZCDB=90,BD=-AB2又：BD=；BC即 在 R rBC 中，ZBDC=90,ZDCB=30,则 3)=，8(7.23.(2022秋 北 京 顺 义 八 年 级 统 考 期 末)我 们 定 义：在 等 腰 三 角 形 中，腰 与 底 的 比 值 叫 AD做 等 腰 三 角 形 的 正 度.如 图 1,在 A A B C 中，A B=A C,美 的 值 为 川 1的 正 度.已 知：在 A B C 中，A B=A C,若。是 ABC边 上 的 动 点(。与 A,B,C 不 重 合).(1)若 NA=90。，则 A B C 的 正 度 为；(2)在 图 1,当 点。在 腰 A B 上(。与 A、B 不 重 合)时，请 用 尺 规 作 出 等 腰 ACO,保 留 作 图 痕 迹；若 A C O 的 正 度 是 正，求/A 的 度 数.2(3)若 N A 是 钝 角，如 图 2,A A B C 的 正 度 为 A A 8 C 的 周 长 为 22,是 否 存 在 点 D,使 ACO具 有 正 度？若 存 在，求 出 AC。的 正 度；若 不 存 在，说 明 理 由.4.(2022秋 北 京 延 庆 八 年 级 统 考 期 末)尺 规 作 图：己 知：如 图 1,直 线 M N 和 直 线 外 一 点 P.求 作：直 线 P。，使 直 线 PQ MN.试 卷 第 2 页，共 5 页pM N图 1小 智 的 作 图 思 路 如 下：如 何 得 到 两 条 直 线 平 行？小 智 想 到，自 己 学 习 线 与 角 的 时 候，有 4 个 定 理 可 以 证 明 两 条 直 线 平 行，其 中 有“内 错 角 相 等，两 条 直 线 平 行”.如 何 得 到 两 个 角 相 等？小 智 先 回 顾 了 线 与 角 的 内 容，找 到 了 几 个 定 理 和 1个 概 念，可 以 得 到 两 个 角 相 等.小 智 又 回 顾 了 三 角 形 的 知 识，也 发 现 了 几 个 可 以 证 明 两 个 角 相 等 的 定 理.最 后，小 智 选 择 了 角 平 分 线 的 概 念 和“等 边 对 等 角”.画 出 示 意 图：根 据 示 意 图，确 定 作 图 顺 序.(1)使 用 直 尺 和 圆 规，按 照 小 智 的 作 图 思 路 补 全 图 形 1(保 留 作 图 痕 迹);(2)完 成 下 面 的 证 明：证 明：平 分:./PAB=/NAB.VBA=PQ,J.ZPABZPQA（）.N A B=/P Q 4.：.PQ/MN（）.（3）参 考 小 智 的 作 图 思 路 和 流 程，另 外 设 计 一 种 作 法，利 用 直 尺 和 圆 规 在 图 2 中 完 成.（温 馨 提 示：保 留 作 图 痕 迹，不 用 写 作 法 和 证 明）PN图 2M5.（2022秋 北 京 顺 义 八 年 级 统 考 期 末）“三 等 分 角”是 被 称 为 几 何 三 大 难 题 的 三 个 古 希 腊 作 图 难 题 之 一.如 图 1所 示 的“三 等 分 角 仪”是 利 用 阿 基 米 德 原 理 做 出 的.这 个 仪 器 由 两 根 有 槽 的 棒 外，P 8组 成，两 根 棒 在 尸 点 相 连 并 可 绕 点 P 旋 转，C点 是 棒 附 上 的 一 个 固 定 点，点 A,。可 在 棒 B4,P B内 的 槽 中 滑 动，且 始 终 保 持 O A=O C=PC.ZAOB为 要 三 等 分 的 任 意 角.则 利 用“三 等 分 角 仪“可 以 得 到 NAPB我 们 把“三 等 分 角 仪”抽 象 成 如 图 2 所 示 的 图 形，完 成 下 面 的 证 明.己 知：如 图 2,点 O,C分 别 在 NA PB的 边 P 8,南 上，S.OA=OC=PC.求 证：NAPB=；NAOB.6.（2022秋 北 京 大 兴 八 年 级 校 考 期 末）如 图，等 边“W C中，C 平 分 NA CB,DE/B C,求 证：DE=CE.解：是 等 边 三 角 形.A ZACB=（）,/CO 平 分 NA CB,Z _=Z _=-ZACB=30,2：DE/BC,试 卷 第 4 页，共 5 页，NEDC=NDCB=30。,：.Z=NECD,7.(2 0 2 2秋 北 京 平 谷 八 年 级 统 考 期 末)用 直 尺 和 圆 规 作 一 个 45。的 角.作 法：作 直 线/,在 直 线/上 任 取 一 点。；以。为 圆 心，任 意 长 为 半 径 作 弧，交 直 线/于 两 点；分 别 以 为 圆 心，大 于;M N 的 同 样 长 为 半 径 作 弧，两 弧 在 直 线/的 上 方 交 于 点 P,作 直 线 O P；作 Z P O N 的 角 平 分 线 OA；所 以 N A O N即 为 所 求 作 的 45。角.(1)利 用 直 尺 和 圆 规 依 作 法 补 全 图 形(保 留 作 图 痕 迹)；(2)完 成 下 面 的 证 明.证 明：连 接 P M,PN：P M=P N,点 户 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上()(填 推 理 的 依 据).O M=ON,点 O 在 线 段 M N 的 垂 直 平 分 线 上.，直 线 O P 是 线 段 M N 的 垂 直 平 分 线.O P 1 M N.：.Z/O V=90：OA 平 分/P O N,：.ZAON=-Z P O N=45.2参 考 答 案：1.（1）见 解 析；（2）A D；CE-,D E；A E是 C。的 垂 直 平 分 线；与 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 在 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 上【分 析】（1）根 据 题 中 作 法 作 图 即 可；（2）根 据 垂 直 平 分 线 的 作 法 即 可 证 明.【详 解】解：（1）如 图，根 据 题 中 作 法 作 图 即 可 得;（2）由 可 得：AC=AD,（均 为 圆 的 半 径）由 可 得：CE=D E,（相 同 圆 的 半 径）.AE是 CD的 垂 直 平 分 线（到 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 在 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 上）.故 答 案 为：AD-,C E；D E；AE是 的 垂 直 平 分 线；到 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 在 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 上.【点 睛】题 目 主 要 考 查 垂 直 平 分 线 的 作 法 及 证 明，理 解 题 意，熟 练 掌 握 作 图 方 法 是 解 题 关 键.2.图 见 解 析，等 边；等 边 三 角 形 每 个 角 都 是 60。；等 腰 三 角 形 顶 角 平 分 线 与 底 边 高 线、中 线 重 合【分 析】根 据 题 意 作 图 即 可 解 答.【详 解】解：如 图 所 示：C，“U5C是 等 边 三 角 形，二 ZACB=60（等 边 三 角 形 每 个 角 都 是 60。）平 分 答 案 第 1页，共 7 页，C 垂 直 平 分 48（等 腰 三 角 形 顶 角 平 分 线 与 底 边 高 线、中 线 重 合）.【点 睛】本 题 考 查 作 图，等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质，线 段 垂 直 平 分 线 的 判 定，解 题 关 键 是 掌 握 等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质，线 段 垂 直 平 分 线 的 判 定.3.（1）（2）图 见 解 析，44=45。（3）存 在，正 度 为 由 或 工.2 5【分 析】（1）当 NA=90。，AABC 是 等 腰 直 角 三 角 形，故 可 求 解；（2）根 据 小 人。的 正 度 是 受，可 得 AC。是 以 AC 为 底 的 等 腰 直 角 三 角 形，故 可 作 图；23（3）由 ABC的 正 度 为 不，周 长 为 22,求 出 ABC的 三 条 边 的 长，然 后 分 两 种 情 况 作 图 讨 论 即 可 求 解.【详 解】（1）V ZA=90,则 ABC是 等 腰 直 角 三 角 形：.AB=AC,：AB2+AC2BC2:.BC=&,AB.二 ABC的 正 度 为/-=变 V2AB 2故 答 案 为：，但；2（2）;AC。的 正 度 是 注，由（1）可 得 AC。是 以 AC 为 底 的 等 腰 直 角 三 角 形 2故 作 COLAB 于。点，如 图，AC。即 为 所 求；图 1 AC。是 以 4c 为 底 的 等 腰 直 角 三 角 形?.ZA=45；(3)存 在,3 ABC的 正 度 为，.AB _ 3-，BC 5设：AB=3x,8c=5x,则 AC=3x,答 案 第 2 页，共 7 页 ABC的 周 长 为 22,.A B+B C+A C=22,即：3x+5x+3x=22,；.x=2,.A8=3x=6,B C=5 x=10,AC=3x=6,分 两 种 情 况：当 A C=C O=6时，如 图 A：A B=A C,:.B E=C E=；B C=5,:C D=6,：.D E=C D-C E=,在 Rt4 ACE 中，由 勾 股 定 理 得：A E=后 二 手=JTT，在 RtA AED 中，由 勾 股 定 理 得：A D=A E2+DE2-2/3.心 的 正 度=笨=嘉=3 当 A=CD时，如 图：A D=C D,答 案 第 3 页，共 7 页，DE=CE-CD=5-AD,在 R d A O E 中，由 勾 股 定 理 得：AD2-DE2=AE2,即:AD2-(5-AD)2=11,1 Q解 得：A D=,18 ACD 的 正 度=4。J 3.AC65综 上 所 述 存 在 两 个 点，使 具 有 正 度.A A B O 的 正 度 为 后 或【点 睛】此 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质，解 题 的 关 键 是 理 解 正 度 的 含 义、熟 知 勾 股 定 理 与 等 腰 三 角 形 的 性 质.4.（1）图 见 解 析（2）等 边 对 等 角；内 错 角 相 等，两 直 线 平 行；（3）图 见 解 析【分 析】（1）根 据 题 意 即 可 尺 规 作 图 进 行 求 解；（2）根 据 角 平 分 线 与 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到 内 错 角 相 等，故 可 求 解；（3）作 于”点，再 作 PH_LPQ即 可.【详 解】（1）如 图 1,尸。即 为 所 求；（2）证 明：TAB 平 分/以 N,:./PAB=NNAB.：PA=PQ,：.ZPAB=-ZPQA（等 边 对 等 角）.A ZNAB=ZPQA.：.PQ/MN（内 错 角 相 等，两 直 线 平 行）.故 答 案 为：等 边 对 等 角；内 错 角 相 等，两 直 线 平 行;（3）如 图 2,P Q 为 所 求.答 案 第 4 页，共 7 页【点 睛】此 题 主 要 考 查 尺 规 作 图 的 运 用，解 题 的 关 键 是 熟 知 等 腰 三 角 形 的 性 质、平 行 线 的 判 定、垂 直 平 分 线 的 作 法.5.见 解 析【分 析】由。4=O C=P C,得 出 APOCAAOC为 等 腰 三 角 形，由 外 角 的 性 质 及 等 量 代 换 得 NC4O=2 N A P B,再 次 利 用 外 角 的 性 质 及 等 量 代 换 得 ZAO8=3Z A P B,即 可 证 明.【详 解】解：.OA=OC=P C，:.POCAOC为 等 腰 三 角 形，ZAPB=NCOP,AACO=ZCAO,由 外 角 的 性 质 得：ZACO=ZAPB+NCOP=2ZAPB,Z C A O-2 Z A P B,再 由 外 角 的 性 质 得：ZAOB=ZAPB+ZCAO,：.ZAOB=3ZAPB,ZAPB=1/A O B.3【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形、外 角 的 性 质、解 题 的 关 键 是 掌 握 外 角 的 性 质 及 等 量 代 换 的 思 想 进 行 求 解.6.6 0,等 边 三 角 形 的 性 质，ECD（AC。），BCD,E D C,等 角 对 等 边【分 析】依 据 题 目 的 证 明 思 路 结 合 等 边 三 角 形 的 性 质、平 行 的 性 质 等 知 识 作 答 即 可.【详 解】从 山。是 等 边 三 角 形.NACB=60（等 边 三 角 形 的 性 质）CD平 分/A C B,答 案 第 5 页，共 7 页/.ZECD=ZBCD=L ZACB=30。，2D E/BC,，NEDC=NDCB=30,：.ZEDC=NECD,:.DE=CE（等 角 对 等 边）故 答 案 为：6 0,等 边 三 角 形 的 性 质，ECD（AC。），BCD,E D C,等 角 对 等 边.【点 睛】本 题 考 查 了 等 边 三 角 形 的 性 质，角 平 分 线 的 定 义 以 及 平 行 的 性 质 的 知 识，掌 握 两 直 线 平 行 内 错 角 相 等 是 解 答 本 题 的 关 键.7.（1）见 解 析（2）到 线 段 两 端 点 距 离 相 等 的 点 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上【分 析】（1）根 据 题 意，补 全 图 形，即 可 求 解；（2）连 接 PM,P N,由=可 得 点 P在 线 段 MN的 垂 直 平 分 线 上，继 而 得 到 O P是 线 段 的 垂 直 平 分 线，可 得 NPQV=9O0,再 由 0 4平 分 N P Q V,即 可.【详 解】（1）解：补 全 图 形 如 下：（2）证 明：连 接 PM,PN,：PM=PN,点 尸 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上（到 线 段 两 端 点 距 离 相 等 的 点 在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上）OM=ON,.点。在 线 段 MN的 垂 直 平 分 线 上.OP是 线 段 的 垂 直 平 分 线.O P1M N.：.O N=90,:OA 平 分 NPON,：.ZAON=-ZP O N=45.2答 案 第 6 页，共 7 页【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 尺 规 作 图，线 段 垂 直 平 分 线 的 判 定，熟 练 掌 握 作 已 知 线 段 的 垂 直 平 分 线，作 已 知 角 的 平 分 线 的 作 法 是 解 题 的 关 键.答 案 第 7 页，共 7 页