湖北省黄冈市高二下学期期中数学试题（解析版）.pdf

高 二 年 级 期 中 质 量 检 测 数 学 试 卷 考 试 时 间：2023年 4 月 1 日 试 卷 满 分 150分 一、单 项 选 择 题（本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0分.）1.在 等 比 数 列 4 中，2,公 比 4=2,则%与 牝 的 等 比 中 项 是（）A.2 B.4 C.2 D.4【答 案】D【解 析】【分 析】先 通 过 等 比 数 列 的 通 项 公 式 计 算。3%，进 而 可 得 其 等 比 中 项.【详 解】解：因 为 a3a5=（%/）=16，所 以 4 与 死 的 等 比 中 项 是 4，故 选：D.2.函 数“X）的 图 象 如 图 所 示，/（X）为 函 数/（X）的 导 函 数，下 列 数 值 排 序 正 确 的 是（）A.0（2）3）/（3）-/（2）B.0 r（3）/（3）-2）2）c.o r（3）r（2）/（3）-/（2）D.o/（3）-/（2）r（2）.r（3）【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 导 数 的 儿 何 意 义 可 对 比 切 线 斜 率 得 到 o/（3）/，将/（3）-/（2）看 作 过(2,/(2),(3,7(3)的 割 线 的 斜 率，由 图 像 可 得 到 斜 率 的 大 小 关 系，从 而 得 出 结 果.【详 解】过 点 A 作 切 线，过 点 8 作 切 线 连 接 得 到 直 线 乙 8,由 图 可 知，乙 的 斜 率 的 斜 率 的 斜 率，即 八 2)八”?2)八$0,即 0/(3)/(2)八 2),故 选:B.3.若 前 项 和 为 S”的 等 差 数 列%满 足%+%=1 2-。9,则 兀-2=()A.46 B.48 C.50 D.52【答 案】C【解 析】【分 析】由 等 差 数 列 性 质 化 简 条 件 求 的,结 合 等 差 数 列 前 项 和 公 式 可 求 5 3,由 此 可 得 结 论.【详 解】由。5+%=12-。9，有+%+。9=12,根 据 等 差 数 量 性 质 可 知 为+佝=2%，所 以 3%=12,故%=4,所 以 S”=13(。；阳)=13%=52,所 以$-2=50.故 选：C.4.“杨 辉 三 角”是 中 国 古 代 数 学 文 化 的 瑰 宝 之 一，最 早 在 中 国 南 宋 数 学 家 杨 辉 1261年 所 著 的 详 解 九 章 算 法 一 书 中 出 现，欧 洲 数 学 家 帕 斯 卡 在 1654年 才 发 现 这 一 规 律，比 杨 辉 要 晚 近 四 百 年.在 由 二 项 式 系 数 所 构 成 的“杨 辉 三 角”中(如 图)，记 第 2行 的 第 3个 数 字 为 q,第 3行 的 第 3个 数 字 为 生，第(22)行 的 第 3个 数 字 为 则 q+%+/+。9=()43106310行 行 行 行 行 行 012345其 我 和 有 的 有 女 尸 出 尸 A.165 B.120 C.220 D.96【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 题 意，由 杨 辉 三 角 可 得=C；,%=C；,%=C：,佝=捆 绑 在 一 起 记 为 H,然 后 将 H、G、F 排 成 一 排,最 后 在 2 个 空 位 中 选 一 个 排 E,共 有 2国 国=24种 排 法，(3)将 C,D,G,F,E 排 成 一 排，且 C,。不 相 邻，E 不 站 两 端 的 排 法 有 72-24=48：综 上，满 足 条 件 的 不 同 排 法 共 有 2x48=96种.故 选：B6.中 国 空 间 站(China Space Station)的 主 体 结 构 包 括 天 和 核 心 舱、问 天 实 验 舱 和 梦 天 实 验 舱.2022年 10月 31日 15：37分，我 国 将“梦 天 实 验 舱”成 功 送 上 太 空，完 成 了 最 后 一 个 关 键 部 分 的 发 射，“梦 天 实 验 舱”也 和“天 和 核 心 舱”按 照 计 划 成 功 对 接，成 为“T”字 形 架 构，我 国 成 功 将 中 国 空 间 站 建 设 完 毕.2023年，中 国 空 间 站 将 正 式 进 入 运 营 阶 段.假 设 空 间 站 要 安 排 甲、乙 等 6 名 航 天 员 开 展 实 验，三 舲 中 每 个 舱 中 都 有 2 人，则 不 同 的 安 排 方 法 有()A.72 种 B.90 种 C.360 种【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 分 组 和 分 配 的 方 法 求 得 6 名 航 天 员 的 安 排 方 案.D.540种 C 2 c 2 c 2【详 解】先 把 6名 航 天 员 分 成 三 组，每 组 2人，有 6：2种 方 法;再 把 这 三 组 分 配 到 三 舱 中，每 舱 一 组 有 A；种 方 法.所 以 6 名 航 天 员 的 安 排 方 案 共 有 A；=90 种.故 选：B.7.已 知(1+2x)=+H x+H；+H x,其 中 e N*,2 2,H 为(1+2x)展 开 式 中 x，项 的 系 数，i=0,l,2,.给 出 下 列 命 题:=寓 E”；=3 9”：是 的 最 大 项/=1其 中 正 确 命 题 是 个 数 是()A.0 B.1 C.2 D.3【答 案】C【解 析】9【分 析】求 出“；+2 4=；=2 1 2 6,所 以 正 确；Z M=3 9-1,所 以 错 误；假 设 寓 最 大，解 不/=1H：味”俨 等 式 组 即 得 正 确.【详 解】解：(1+2%)(，=C*；(2x)+,(2%)+(2%)2+C：(2x)=C：+C；2x+C；-22X2+C：2x所 以=2 c H=22。，H：=2C；,所 以+=24C；+2x23C；=24x126,”；=2 C：=2，x l2 6,所 以 正 确;9Z；=；+；+W=2C；+22C；+2C；=(1+2)9-1=39-1,/=!所 以 错 误;,I H：假 设 最 大 所 以 小”2 y-y T 2 y 2 2Ale厂 一 9 12 x-k!(9-ky.9 12 x-k!(9-ky.9!(D!(1 0 A)!9!(A+l)!(8-A)!解 之 得 k,H；,H；的 最 大 项.所 以 正 确.故 选：C8.已 知 函 数/(x)=lnxx xe-*左 恒 有 零 点，则 实 数 上 的 取 值 范 围 是()A.(=0,-1 B.-C.-1-,-1【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 给 定 条 件，利 用 导 数 求 出/(力 的 最 大 值 即 可 求 解 作 答.【详 解】函 数/(x)=lnx-x-xe-Z的 定 义 域 为(0,+8),求 导 得:fx)=-1-(1-x)ex=(1x)(e-x)x xex令 g(x)=e*-x,x 0,贝 i g*)=e X-l 0,即 g(x)在(0,+8)上 单 调 递 增,D.-1-,0eg(x)g(0)=l,因 此，当 0 x(),当 x l 时，f x)0,则 函 数/(x)在(0,1)上 单 调 递 增，在(1,”)上 单 调 递 减，于 是 得 当 X=1时，/(X)max=-l-k,函 数 的 值 域 是(8,-1L 月,e e而 函 数 x)=lnx-xxe-*Z 恒 有 零 点，当 且 仅 当 1 抡 0,解 得 心 一 1一,e e所 以 实 数%的 取 值 范 围 是(00,-1 一 3.e故 选：B【点 睛】思 路 点 睛：涉 及 函 数 零 点 问 题，可 以 通 过 转 化，利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性、最 值 等，借 助 数 形 结 合 求 解.二、多 项 选 择 题(本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.全 部 选 对 的 得 5 分，有 选 错 的 得 0 分，部 分 选 对 的 得 2 分.)9.下 列 说 法 正 确 的 是()A.等 差 数 列 4 的 前 几 项 和 为 S，则 S8-S4,SI2-S8成 等 差 数 列 B.数 列 4 的 通 项 公 式 为%=26-2，要 使 数 列 6,的 前 项 和 S“最 大，则 的 值 只 能 为 13C.等 差 数 列 4 的 前 项 和 记 为 S.，若 q0,S1()=S20,则 当 且 仅 当 232时，0D.正 数 等 比 数 列 4 前 项 积 为 7,，若 4=1，则 工 1=1【答 案】AD【解 析】【分 析】对 于 选 项 A,方 法 1运 用 等 差 数 列 前 项 和 基 本 量 及 等 差 中 项 法 证 明 即 可，方 法 2：运 用 等 差 数 列 依 次 项 的 和 仍 为 等 差 数 列；对 于 选 项 B,方 法 1：由 数 列。”的 正 负 项 来 判 断，方 法 2：利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 最 大 时 项 数”的 求 法 来 判 断；对 于 选 项 C,运 用 等 差 数 列 的 等 和 性 及 等 差 数 列 的 前 项 和 来 判 断；对 于 选 项 D,利 用 等 比 数 列 的 等 积 性 质 判 断.利 用 等 差 数 列 的 性 质 判 断 AC,B,利 用 等 比 数 列 的 性 质 判 断 D.【详 解】对 于 选 项 A,方 法 1：.等 差 数 列 4,设 首 项 为 生,公 差 为 d,/.S4=44+6d,S8=84+28d,E2=12。+66d,Sg-S&=4q+22d,S&=4q+38d,2(S8-S4)=S4+(SI2-S8)s4,S8-S4,d z-a 成 等 差 数 列.故 选 项 A 正 确；方 法 2：等 差 数 列 的 性 质，若 4 为 等 差 数 列，则 S,S2ll-S,S3-52Z,L,eN*成 等 差 数 列.故 选 项 A 正 确；对 于 选 项 B,方 法 1：.数 列 4 的 通 项 公 式%=26-2，.4=26 2=24,an-=(26-2n)-26-2(rt-1)=-2,，数 列%是 首 项 为 24,公 差 为-2 的 等 差 数 列,当 a“NO 时，”W13且 eN*，当/0,；.al5 0,%0,S30=15(4+生 30)=15(。”+46)=，S3+%)=31。6；当 时，5”0.故 选 项 错 误；对 于 选 项 D,.正 数 等 比 数 列 为 前 项 积 为,若 4=1，则 泉=q x q x xa”=&=1,故 选 项 D正 确.故 选:AD.10.已 知(1 2x)7=ao+4(x-l)+a2(xT1+7(%-1)71 下 列 结 论 正 确 的 有()A.%=-84B.4+UC.4+幺+q+牛=00 2 22 27D.a,+2a2+3a3+7a7=-14x36【答 案】AD【解 析】【分 析】由 赋 值 法 判 断 BC；令 X-1=/,由 二 项 式 定 理 结 合 赋 值 法 判 断 AD.【详 解】因 为 0_2x)7=/+4(1_1)+生(-1)2+q(x-1)7，令 X=2,则-3,=4+。|+。2+%，令 尤=0，则 1=4 4+42+a7所 以%+%+。5+%=-，故 B错 误;令=,则/H-H y+为=1 2 8,故 C错 误：2 2 22 27令 x 1-f 则 x=r+l,所 以（一 1 2r）=%+4，+。,厂+%/，通 项 为 J=C；（1广（2。，所 以 4=C；（炉（一 2=8 4,故 A正 确；令/（，）=（1 2，）=%+4产+6/。厂+CL-ft1,则 r q）=T 4（1 2。6=4+2 卬+7 卬 6,令 1=1,得 q+2a2+7 a7=-14x36,故 D正 确.故 选：AD1 1.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.1 0 x llx l2 x x2（）可 表 示 为 A 2B.6个 朋 友 聚 会，见 面 后 每 两 人 握 手 一 次，一 共 握 手 15次 C.若 把 英 文“5。厂？”的 字 母 顺 序 写 错，则 可 能 出 现 的 错 误 共 有 59种 D.将 4 名 医 护 人 员 安 排 到 呼 吸、感 染 两 个 科 室，要 求 每 个 科 室 至 少 有 1人，则 共 有 18种 不 同 的 安 排 方 法【答 案】BC【解 析】【分 析】根 据 排 列 数 的 计 算 公 式 可 判 断 A；两 两 握 手，即 随 便 选 出 两 人 握 手 的 所 有 可 能 结 果 数，通 过 计 算 即 可 判 断 B；先 对 进 行 排 列，再 将 r 放 入 位 置 中 即 可，列 出 式 子 计 算 即 可 判 断 C；分 3人，1人 一 组,和 2人，2人 一 组 两 种 情 况，分 别 求 出 对 应 的 安 排 方 法，相 加 即 可.【详 解】因 为 A；：=l l x l 2 x l 3 x x 2（）,故 A错 误；因 为 6人 两 两 握 手，共 握 C；=15（次），故 B正 确；先 在 5 个 位 置 中 选 出 3个 位 置，对 进 行 全 排 列，剩 下 两 个 位 置 将 放 入 即 可，故 有：A；=5 x 4 x 3=60（种），而 正 确 的 共 有 1种，所 以 可 能 出 现 的 错 误 共 有 6 0-1=59（种），故 C 正 确；因 为 4=1+3=2+2,当 按 3,1分 组 时，先 选 1人 单 独 一 组，剩 下 3人 为 一 组，再 将 两 组 分 配 到 两 个 不 同 科 室 中：共 C；A；=8（种）分 法，当 按 2,2分 组，在 4 人 中 选 出 2 人 到 呼 吸 科，剩 下 2人 自 动 去 感 染 科，故 有：C；=6(种)分 法，故 共 有 8+6=14(种)安 排 方 法，故 D 错 误.故 选：BC12.已 知 函 数 fix)在 R 上 可 导，其 导 函 数 为 f x),若“X)满 足：(x-1)尸(x)-/(x)0,/(2-x)=/(x)e2-2 则 下 列 判 断 一 定 不 正 确 的 是()A./(I)e2/(O)C./eRO)D./(4)e4/(0)【答 案】ABD【解 析】【分 析】构 造 函 数，根 据 题 意，求 得/(左)的 单 调 性，利 用 函 数 的 对 称 性，可 得 F(l)F(O)=F(2)F(3)：/(力,e e e导 函 数 f W 满 足 数-1)/(x)-f(x)0,当 x 1时 F(x)0,F(x)在 1,小)上 单 调 递 增.当 x 1时 F(x)F(x)关 于 x=1 对 称，从 而 F(l)尸(0)=F(2)F(3)F(4),即 F R(0),”*3)e3 0),故 C 正 确；F(4)F(0)即”/毕,二/(4)e4 0),故 D 错 误；故 选：ABD.【点 睛】本 题 考 查 了 利 用 函 数 的 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 基 本 方 法，恰 当 构 造 函 数 是 解 题 的 关 键，属 于 较 难 题.三、填 空 题（本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.）13.1 21a+b）7的 展 开 式 中，03b4的 系 数 为（用 数 字 作 答）.【答 案】-35【解 析】【分 析】将 展 开，利 用 二 项 式 定 理 处 理 即 可.【详 解】由（1-2）。+町-2（。+匕）7,设，（。+3 7 的 展 开 式 的 通 项 为 7；川=弓 匕 6-,2（。+”的 展 开 式 的 通 项 为=-2C；/-,分 别 令 加=3,=4,可 得 含 足/的 项 分 别 为 c M%4,-2（3拉 力 4,所 以 的 系 数 为 C；-2C；=-35.故 答 案 为：-35.14.由 于 受 到 疫 情 影 响，某 校 决 定 实 施 学 生 佩 戴 口 罩、间 隔 而 坐 的 策 略.已 知 一 排 有 9个 座 位，每 两 名 同 学 之 间 至 少 间 隔 1个 空 位.若 一 排 要 坐 4 名 同 学，则 不 同 的 坐 法 有 种.【答 案】360【解 析】【分 析】先 排 5张 空 椅 子，然 后 将 4 名 同 学 进 行 插 空，进 而 可 求 结 果.【详 解】先 排 5张 空 椅 子，然 后 将 4 名 同 学 进 行 插 空，共 有 A：=360种 不 同 坐 法.15.“康 托 尔 尘 埃”是 数 学 理 性 思 维 的 构 造 产 物，具 有 典 型 的 分 形 特 征，其 过 程 如 下：在 一 个 单 位 正 方 形 中，首 先，将 正 方 形 等 分 成 9个 边 长 为-的 小 正 方 形，保 留 靠 角 的 4 个 小 正 方 形，记 4 个 小 正 方 形 面 积 之 和 为 S,：3然 后，将 剩 余 的 4个 小 正 方 形 分 别 继 续 9等 分，分 别 保 留 靠 角 的 4 个 小 正 方 形，记 16个 小 正 方 形 面 积 之 和 17为$2；操 作 过 程 不 断 进 行 下 去，以 至 无 穷，保 留 的 图 形 称 为 康 托 尔 尘 埃,若 岳+S2+S N,则【解 析】【分 析】由 已 知 得 5“=（：，再 由 等 比 数 列 的 求 和 公 式 建 立 不 等 式，由 函 数/（力=0 的 单 调 性 即 可 得 答 案.1 1 4【详 解】解：5 是 边 长 为 的 4 个 正 方 形 的 面 积 之 和，故$=3 x 4=2；31 32 9凡 是 边 长 为 g j 的 42个 正 方 形 的 面 积 之 和，故 邑 2 2以 此 类 推 得：s“=2+从 而 E+S2+S“J+=4 1-4、9,54、所 以 土 39 20关 于 x 单 调 递 减,函 数 十）=信 7且=2 时,4216 3,=3 时，43=64 0 恒 成 立，则 实 数。的 最 小 值 为【答 案】2e【解 析】X【分 析】根 据 题 意，不 等 式 转 化 为 2x-e2-ln en7,构 造 函 数 x)=x g(x 0),利 用 导 数 得 单 调 a性，再 转 化 为 解 不 等 式 InaNlnx-2x,再 构 造 函 数 g(x)=lnx-2Mx0),利 用 导 数 求 最 大 值，进 而 即 可 得 到 结 论.X【详 解】由 题 意，不 等 式 转 化 为 2恁 2、N i n,即 2x-e2*ln2=ln e叱，a a a a构 造 函 数/(x)=x e*(x 0),则/(x)=(x+1)e 0 恒 成 立，所 以，/(x)在(0,+8)上 为 单 调 递 增，所 以，即 不 等 式 2x2性 土 In2=ln e叱，转 化 为 2x)之,a a a x则 有 2x2 In=Inx-In。，BP Inalnx-2x fai i o r设 g(x)=lnx_2x(x0),则 g(x)=2=-,当 0 x0,则 g(x)在 区 间 上 单 调 递 增，在 区 间(g,+8)上 单 调 递 减，故 g(尤)的 最 大 值 为 g(g=lng l=l n?，所 以，In a 2 In-,即 a N-,故 实 数。的 最 小 值 为 2e 2e 2e故 答 案 为：.【点 睛】本 题 考 查 不 等 式 的 恒 成 立 问 题，考 查 转 化 思 想 及 函 数 思 想，属 于 中 档 题.四、解 答 题(本 题 共 6 小 题，共 7 0分.)17.(1)已 知 函 数+2x-31ar,求 用 x)0解 集；(2)设 曲 线 y=e2am在 点(0,e)处 的 切 线 与 直 线 2x ey+1=0 垂 直，求 的 值.【答 案】(1)x|xl；(2)a.【解 析】3【分 析】(1)由 题 可 得 r(x)=x+2-(x0),然 后 解 不 等 式 即 得；X(2)根 据 复 合 函 数 的 导 数 可 得 fx)=2ae2ax+i,然 后 根 据 导 数 的 儿 何 意 义 及 直 线 的 位 置 关 系 即 得.【详 解】(1)由 题 可 得 r(x)=x+2-2(x 0),X由/(x)0 可 得 了 2+2%一 3 0=x l,又 因 为 x 0,故 不 等 式 的 解 集 为 x|x l；(2)由 题 可 得/(x)=2ae23i,依 题 意：/(0)=2ae=I，所 以 a=41 8.已 知 二 项 式(3x+j=)的 展 开 式 中 各 二 项 式 系 数 之 和 比 各 项 系 数 之 和 小 2 4 0.求:(1)的 值；(2)展 开 式 中 x 项 的 系 数；(3)展 开 式 中 所 有 含 x 有 理 项.【答 案】(1)4(2)54(3)第 1项 8 1 x 3 第 3项 5 4 x,第 5项 x-2【解 析】【分 析】(1)由 题 可 得 2+240=4,解 方 程 即 得；(2)利 用 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式，即 得；3(3)利 用 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式，令 4-r e Z,即 求.【小 问 1详 解】由 己 知，得 2+240=4,即(2 一 2 240=0,所 以 2=16 或 2=-1 5(舍)，H=4.【小 问 2 详 解】设 展 开 式 的 第+1项 为*=C；(3 x)j t=3 母.3令 4 r=l9得 厂=2,2则 含 X项 的 系 数 为 32-C；=54.【小 问 3 详 解】3由（2）可 知，4-r e Z,则 有 厂=（）,2,4,所 以 含 x 的 有 理 项 为 第 1项 8 1/,第 3 项 54x,第 5 项 r2.19.已 知 正 项 数 列,中，q=3,2S,+2S,i=a；-3（N2）.（1）求 4 的 通 项 公 式；（2）若 喙，求 也 的 前 项 和 小【答 案】（1）an=2n+【解 析】S,/?=1【分 析】（1）根 据%=。C 计 算 即 可 得 解；lS-S_l,n 2（2）利 用 错 位 相 减 法 求 解 即 可.【小 问 1详 解】当=2 时，2sl+2S=-3=2a2+4q=2凡+12,a?0,解 得 4=5,由 当 2 2 时，2Sn+2S“_=a；-3,得 当 2 3 时，25 T+2S _2=Q；T 3,两 式 相 减 得 2（a“+a,i）=a；-即 2（/+%）=（4+的）（4 一%），又。“0,所 以=2（23）,又%-4=2 适 合 上 式，所 以 数 列 a“是 以 3 为 首 项，2 为 公 差 的 等 差 数 列，所 以=2+1；【小 问 2 详 解】nl_.3 5 2n+l则 7；=4+3+，=+级+1.3 55 空=中+2n-2+1+一 妨 1 T 3 2 2 2 2H+1两 式 相 减 得=耳+乎+百+牙-牙 7 r_ 1 1 2n 2+1-2+7-1 2 l2_ 5 2n+5 2 一 2向，所 以=5竽 20.如 图 所 示，某 风 景 区 在 一 个 直 径 AB 为 400m的 半 圆 形 花 园 中 设 计 一 条 观 光 路 线，在 点 A 与 圆 弧 上 一 点 C 之 间 设 计 为 直 缱 较 小 路，在 路 的 吧 刎 边 缘 种 植 绿 化 带；从 点 C 到 点 B 设 计 为 衿 用 弧 BC 时 弧 形 小 路，在 路 的 二 刎 边 缘 种 植 绿 化 带.（注:小 路 及 绿 化 带 的 宽 度 忽 略 不 计）（1）设 NB4C=8（弧 度），将 绿 化 带 总 长 度 S（。）表 示 为。的 函 数;（2）试 确 定 8 的 值，使 得 绿 化 带 总 长 度 最 大，并 求 最 大 值.【答 案】S(e)=(800cos6+400e)m,0|；(2)0=-；(4005/3+)m.6 3【解 析】【分 析】（1）连 接 OC,BC,利 用 直 角 三 角 形 边 角 关 系 及 弧 长 公 式 列 式 计 算 作 答.（2）由（1）的 结 论，借 助 导 数 求 解 函 数 s（e）的 最 大 值 作 答.【小 问 1详 解】连 接 OC,BC,如 图,o 1 3由 A B 是 半 圆 直 径 得 Z A C B=90 而 AB=400m,A B A C=3,则 A C=4(X)cos0,Z C O B=2/B A C=2 0，则 圆 弧 BC 长 为 40(矽，所 以 S(e)=800cos8+4009(m),O 0.【小 问 2 详 解】由(1)知，S(8)=800cos6+400e,0 0 1,求 导 得：S(e)=400(l 2sin8),当 o o,当 工。(工 时，s(e)(),即 s(e)(0,四)上 单 调 递 增，在(色,二)上 单 6 6 2 6 6 2调 递 减，则 当 6=2 时，S(6)1rax=S(三)=4006+型 叨(m),6 6 3所 以 6=工 时，绿 化 带 总 长 度 最 大，最 大 值 为(400百+3 业)m.6 321.已 知 等 比 数 列 4 的 公 比 为 4,且,3%,%+2 8 成 等 差 数 列，又 数 列 也 满 足 e=0,=(a-l)(a-1)2,e N)且 数 列 也 的 前 项 和 为 S,.(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)若 5“根(4-1)对 任 意 22,eN*恒 成 立，求，”的 最 小 值.【答 案】(1)an=416(2)675【解 析】【分 析】(1)根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式 结 合 等 差 中 项 运 算 求 解，即 可 得 结 果；(2)根 据(1)利 用 裂 项 相 消 法 可 得 换 元%=1 可 得 原 题 意 等 价 于 3 仁-3c；)2,/7eN,恒 成 立，根 据 恒 成 立 问 题 结 合 二 次 函 数 运 算 求 解.9【小 问 1详 解】若%,3%,%+28 成 等 差 数 列，则 6a2=4+(6+28),即 24q=q+(16q+28),解 得 q=4,故 4=4x4T=4.【小 问 2 详 解】,当 2 2 时，由(1)可 得：一 an 1)-(4T 41)(4 1)一(4T1 一 一 平 1 S”加(4,一 1)，即 7 k MD I D 4 I/令 C.E(1/e N*)、，即 4(出 1 一 六 丁 m，可 得 去 g-3qj4/，故 原 题 意 等 价 于-3c；)加 对 任 意“2 2,e N*恒 成 立,y=(%-3%2)的 对 称 轴 为 x=：,注 意 到 数 列%(2 2,e N)为 递 减 数 列,且 q,Q=W 0时，g(X)0,求 实 数 的 取 值 范 围；(3)设 0 m x，证 明：-.x-m x-n【答 案】(1)递 减 区 间(0,1),递 增 区 间(1,+8)；(2)a l；(3)证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】求 出/(X)的 导 函 数 尸(X),求 解 制 x)0或 r(x)0的 X 取 值 区 间 即 可 作 答.(2)等 价 变 形 不 等 式，构 造 函 数 并 求 其 最 大 值 推 理 作 答.(3)化 简 变 形 所 证 不 等 式 的 两 边，利 用(2)中 信 息 结 合 不 等 式 的 性 质 推 理 作 答.【小 问 1详 解】函 数/(x)=xlnx-x的 定 义 域 为(0,+8),求 导 得：/(x)=lnx,当 0 x l 时，/)l 时，八 龙)(),即 函 数/(力 在(0,1)上 递 减，在(1,”)上 递 增,所 以 函 数/(x)的 递 减 区 间 是(0,1),递 增 区 间 是(1,”).【小 问 2 详 解】当 x0 时，=Inx+1,令 h(x)=+1,x 0,贝!|(x)=,X X X当 O v x v l 时，砥。)0,当 X 1 时，(%)0,即 函 数 以 尤)在(0,1)上 递 增，在(1,中 2)上 递 减，当 工=1 时，/i(x)max=/z(l)=1,则 有。之 1,所 以 实 数。的 取 值 范 围 是 QN1.【小 问 3 详 解】n 土 依 耳 页 产/(x)-/(m)_ xlnx-mlnm-(x-m)_(x-/n)nx+m(nx-nin)-n x 1+mx m x-m x-m-1mln/同 理，)一)=hix-lT-,而 0 m v x 0且 x w l 时，lnxvx 1,于 是 得 0ln 1,l n-一 一 l0,m m n n.X.X.X.X.X.XIn-In In-In In In 因 此，1,即 有,则 lnx-l+lnx-l+冷，/7 I、x-m x-n【点 睛】关 键 点 睛：涉 及 不 等 式 恒 成 立 问 题，将 给 定 不 等 式 等 价 转 化，构 造 函 数，利 用 导 数 探 求 函 数 单 调 性、最 值 是 解 决 问 题 的 关 键.