.2.1排列与排列数（原卷版）
排列与排列数.了解排列的意义，掌握常见的排列处理方法，会用排列的相关方法解决简单的排列问题.1 .理解与掌握排列数公式，熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒 等式，求方程的解及不等式的解.2 .能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题.解读：1.通过本节课的学习，要求在掌握排列的意义基础上，能解决简单的排列问题.2.通过本节课的学习，要求能准确判断排列问题，准确用排列数公式表达排列的关系，并能 应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题.宗父城国匕我嫉卓I考演：7.10-二一0知识M);“识点会乐识点金林列加粉嶷iA 励钥制理知识点 排列排列的定义：一般地，从个不同元素中取出2(心)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不 同元素中取出m个元素的一个排列.【微点拨】解决排列问题常用的方法(1)特殊元素优先法:对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素.特殊位置优先法:对于特殊位置的排列问题，一般应先考虑特殊位置,再考虑其他位置.相邻问题捆绑法:对于要求某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个“大” 的元素，与其他元素一起排列，然后再对被“捆绑”的元素内部进行排列.(4)不相邻问题插空法:对于要求某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将不相邻的元5. (1)计算：；(2)解不等式:.1. (2010?重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504 种B. 960 种C. 1008 种D. 1108 种(2010?浦东新区校级模拟)对于正整数和定义其中是满足的最大整数，则 .素插入在已排好的元素之间及两端的空隙即可.可声对支依稀【例题精析11下列问题是排列问题的是()A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B.平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C.集合4生，/，可的含有三个元素的子集有多少个？D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【例题精析2】下列问题中，属于排列问题的有()A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法C.平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线D.从1, 2, 3, 4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数【例题精析3】两个排列相同的充要条件：两个排列的 完全相同，且元素的 也相同.【对点精练11下列问题中，属于排列问题的是()A.有10个车站，共有多少种不同的车票B.有10个车站，共有多少种不同的票价C.平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段D.从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法【对点精练2】给出下列问题：有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ 有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？以上问题中，属于排列问题的是.(写出所有满足要求的问题序号)【对点精练3】给出下列问题:从 2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积?从 2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商?从 2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和?以上问题中，属于排列问题的是.（写出所有满足要求的问题序号）A H伊我理知识点 排列数排列定义：一般地，从展个不同元素中取出2（长）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同 元素中取出m个元素的一个排列.排列数定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取2 个元素的排列数,用Ah表示,即A；，=（一 1）（力-2）（一加+1）,其中加，£N*,且加力.知识点 全排列和阶乘全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.A；=X （- 1） XX3X2X1 = ！，77 排列数公式：A：；=（一l） （-2）（一加+1） ； AZ=-丁,其中/，且Inml!A；=X （一 1） XX3X2X1 = ！【微点拨】1 ,若两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.2.规定0! =1求解排列应用问题的六种常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相隔问题把相邻兀素看作一个整体与其他兀素一起排列，同时注意捆绑兀素 的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法【例题精析1】A. 10A. 10B. 5C. 20D. 4【例题精析2】下列等式中，成立的有OA. A?A. A?A；/=a；D.+【例题精析3】阶乘是基斯顿卡曼(ChristianKramp)于1808年发明的一种运算，正整数的阶乘记为加，它的值为所有小于或等于的正整数的积，即! = lx2x3x x(H-l)xn.根据上述材料，以下说法错误的是()A. 4! = 24A. 4! = 24B.8! = 40320C. 12! = 12xll!D.1心 + 2 +1! 2!n +【对点精练1】【对点精练1】A7计算：十()A3A. A：A. A：B. A；C.C：D. A；【对点精练2】若"'是一种运算符号,并定义：l! = l,2! = 2xl = 2,3! = 3x2xl = 6,则100!98!?的值为()B. 99!?C. 9900?D. 2!?【对点精练3】7x8x9x.xl5可表示为()A. AtB. A2C.或I考用!ts VJ1 ; I 【对点精练4】设5 = 11!+22!+33!+ 加,则S二?小"QI 46*(D有美施同做的计算与证明!拓.无般制条竹的柳题柘有很制条件的树杯及6 定序例题的*袅略拓展棚灯做与几率的尊合同题拓展有关排列数的计算与证明1 .排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.2 .排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：1)当m,n较大时，使用计算器快捷地算出结果；2)对含有字母的排列数的式子进行变形注意常用变形 A： = nA；：；, A：； - A： = nA： (h n /) = U + 1)/ - n !的应用.计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算，这样做可以减少 运算量.中隐含着条件"m,nRN,mWn,A：的运算结果为正整数” .在解含有排列数的方程或不等式时, 要注意未知数的取值范围.解有关排列数的方程或不等式的步骤：转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式求解：求转化后的普通方程或不等式的解或解集检验：代人原方程或原不等式中检验，尤其注意条件n2m,且m,n£N*,对未知数取值的限制【拓展训练1(1)若A&=140A：,则工=；(2)不等式A；6A的解集为.【拓展训练2】解不等式：3P；W2PL+6P；.【拓展训练3】(1)求证：( + 1)! = !；n11(2)求证：闲二万一印市；12 3 Tn(3) 求和 1hL + -1,不伸, 2! 3! 4!5 + 1)!.【拓展训练4】解方程：医用=140芍拓展 无限制条件的排列问题求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语; 正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有 依次做完各个步骤，事情才算完成解决排列应用题的基本思路：【拓展训练513张卡片正、反面分别标有数字1和2, 3和4, 5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数，则可以得到多少个不同的三位数？拓展 有限制条件的排列问题在解有限制条件的排列应用题时，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，当限制条 件较多时，要抓住关键条件(主要矛盾)，通过正确分类、分步，把复杂问题转化为基本问题.特殊元素，特 殊位置优先考底常见类型有：在与不在：在的先排，不在的可以排在别的位置，也可以采用间接相减法； 邻与不邻：邻的用“捆绑法”，不邻的用“插空法”；间隔排列：有要求的后排(插空).1 .捆绑法【拓展训练6】4 B, C,。四人并排站成一排，如果力与3相邻，那么不同的排法共有()A. 24 种B. 24 种C. 12 种D. 48 种E. 36 种【拓展训练7】【拓展训练7】由3个2,1个0,2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为()A. 3A. 3B. 6C. 9D. 24【拓展训练8】【拓展训练8】3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法()种A. 120A. 120B. 24C. 48D. 96【拓展训练9】3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有种站法.插空法【拓展训练10】2022年11月30日，神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天河核心舱合影留念.假设6人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有O种A. 72B. 144C. 36D. 108【拓展训练11】红楼梦是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名着之一，红楼梦第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社.诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、 史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、 贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有()A. 1440B. 2400C. 14400D. 86400【拓展训练12】 某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的 3概率为木，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序 固定，则共有 种不同的站队方法.【拓展训练13】 有4名男生3名女生共七人排成一排照相，要求3名女生各不相邻的排法有 种.2 .优先排序法【拓展训练14】 某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜 班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为.【拓展训练15】 用数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数, 这样的四位数一共有 个.【拓展训练16】 某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排 在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有 种不同的排法【拓展训练17】 由1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位， 则这样的六位数共有 个.【拓展训练18】2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评 剧6个剧种的各一个片段.对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，则该戏曲节目的演 出顺序共有 种.【拓展训练191(1)星期一上午某教师要上3个班级的课，每班1节.若上午规定限排4节课，且要求3节课不能连排，则这天上午该教师的课程表有儿种不同的排法？(2)某天的课程表要排入政治、语文、数学、外语、劳技、体育6门课，每门课排1节.若第1节不能排体育课，第6节不能排数学课，则共有几种不同排法？拓展 定序问题的求解策略“n个不同元素排列中有m个元素定序”的问题一般采用分类法解决。n个不同元素的全排列有A；种排法，m个元素的全排列有种排法.因此4；种排法中，关于m个元素的An不同分类有勺;类，而且每一类的排法数是一样的.当这m个元素顺序确定时，共有瑞种排法【拓展训练20】 书架上某层有6本不同的书，新买了 3本不同的书插进去，要保持原来6本书的原有顺 序，问有一种插法.拓展 排列数与概率的综合问题【拓展训练21】 “仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、 义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排，“仁”排在 第一位,且“智、信”相邻的概率为.刍齐夫田谱&从个不同元素中取出Wn）个兀 素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从。个不同元素中取出6个元素的I排列h一个排列从n个不同元素中取出W几）个元素的所有不同排列的个数，叫做从几排列数 个不同元素中取出刖个元素的排列数，排列与组合表示为A：排列数公式A： 二r（八一 1）（八一2） （n-m+1）=n!（m,nEN 且mWn）三今反性依1. （2022春?盐城期中）若3ct =56，则整数=（）A. 8B. 9C. 10D. 11（2022春?双鸭山期末）若用=12c则等于（）A. 8B. 4C. 5 或 6D. 3 或 408/103.(2022春?海阳市校级月考)4x5x6x.x( 1) = ()A. *A. *C. (一4)!D.A；4.（2017春?通渭县校级期中）若看=2大,则z的值为（5.5.A. 5B. 3C. 6D.18xl7xl6x.x9x8等于()B.Ac. A1?D.6.世界华商大会的某分会场有A, B,C,将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台,每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（）A. 12 种B. 10 种C. 8 种D. 6 种.若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有（）A. 180 种B. 360 种C. 15 种D. 30 种.甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A. 72 种B. 54 种C. 36 种D. 24 种.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为一.7 .航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和 2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为一.8 . （2011?祁阳县校级模拟）一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2） 3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法?（3） 3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？展力相或.下列等式中，错误的是( )A. ( + l)A：=A*B. - = (h-2)!nn -1)1 .若相=1!+2!+3!+4!+5!+3+2014!+2015!,则加的个位数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4.计算！.2 . （1）解方程：；（2）解不等式：.
