5.3.2 极大值与极小值.docx

极大值与极小值【学习目标】1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握 函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.【导语】同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化 趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中， 各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底 虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值. 一、函数极值概念的理解问题1如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？提示 在XI,月，用处是山峰，在工2，X4处是山谷.问题2你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？提示 以山峰X=X1处为例来研究，在=汨处，它附近的函数值都比它小，且在处的 左侧函数是单调递增的，且有/。）0,在X=X1处的右侧函数是单调递减的，且有，（力0, 函数图象是连续不断的，f（幻的变化也是连续不断的，并且有/（A-1） = O.【知识梳理】极值的概念一般地,若存在於0,当工£（笛一3,即+首时,都有则称危|）为函数Ar）的一个 极大值;当入七。2 ,也+ 3）时，都有4 1）2凡 12），则称心?）为函数而的一个极小值.函数 的极大值、极小值统称为函数的极值一注意点：（1）把函数取得极大值时的X的值称为极大值点，把函数取得极小值时的X的值称为 极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质； （3）函数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部, 端点不能是极值点；（6）若f（的）=0,则向不一定是极值点，即f（的）=0是7U）在x=xo处 取到极值的必要不充分条件，函数），=/。）的变号零点，才是函数的极值点.例1函数y=/W的导函数的图象如图所示，给出下列判断：所以 x=3£(al，。+1),所以 a- l<<a+ 1,解得一支加又 a120,所以1W*|.8 .已知函数yU)=at+e'没有极值点，则实数。的取值范围是.答案0, +8)解析7(%)="+&'的定义域为R,且/ (x)=a+e当。20时，/。)>0恒成立，/U)在R上单调递增，无极值点；当。<0 时，由/ (x)<0,得 x<ln(a),由 / (x)>0,得 x>ln(a),则函数外)在(-8, ln(一°)上单调递减,在(加(一4), +8)上单调递增，有极小值点，不符合条件.因此，实数。的取值范围是0, +8).9 .设函数/(x)=Hn x+*+|x+l,其中a£R,曲线y=yU)在点(I, /(I)处的切线垂直于1y 轴.求。的值；(2)求函数_/u)的极值.解(iy* u)=24-|(x>0).由题意知，曲线在x=l处的切线斜率为0,即/ (1)=0, 1 3从而 4-1+=。，解得a= - 1.I 3由知外)=In x+：4-p + 1 (.v>0), 1133a22a- I (3x+ l)(x 1)=-2?-=2r2.令/ (x)=0，解得 M = l，M=一|(舍去).当 xe(o,i)时，f a)<o,故_/U)在(o,i)上是减函数；当 x£(l, +8)时，/ (X)>O,故凡¥)在(1, +8)上是增函数.故7U)在工=】处取得极小值，极小值为火1)=3,无极大值.10.设a为实数，函数(1)求危)的极值;(2)当。在什么范围内取值时，曲线)，=仆)与x轴仅有一个交点？ 解(1 才(x)=3x2-2.x-.令 f (x)=0,得 x= g或 x= 1.当X变化时，f(X),40的变化情况如下表:X(8,11C3 )13(r 01(1, +°0)f U)+00+/极大值极小值/；”)的极大值是W)=焉+ ，极小值是.*1) = 41.(2)函数 fix)=3 x2 x+4=(X- l>(x+ 1) +。- 1 ,由此可知，X取足够大的正数时，有凡6>0,工取足够小的负数时，有yu)<o,曲线y=_/U)与x轴至少有一个交点.由(1)知_/u)根大值=/(-9=磊+。，以)收小值=川)=4-1.丁曲线y=/U)与a轴仅有一个交点，7/U)骁大*<0或火幻校个仅>0,即熹+。<0 或 a1>0, 5 f <一万或a>, 当8, U (1 , +8)时，曲线)，=逃”)与X轴仅有一个交点.n综合运用ii.设函数_/u)在r上可导，其导函数为/ 数y=xf(X)的图象可能是()(x),且函数_/U)在=2处取得极小值，则函答案C解析因为凡I)在工=一2处取得极小值，所以当xV2时，J(x)为减函数，即/ (幻<0；当x>一2时，<x)为增函数，即/ (x)>0.所以当 xV 2 时，y=xf (x)>0；当 x=-2 时，y=xf (x)=0；当一2VXV0 时，y=xf (x)VO；当 x=0 时，y=xf (x)=0；当 x>0 时，y=xf (x)>0.结合选项中的图象知选C.12.若函数./(x)=e'-ax在R上有小于。的极值点，则实数a的取值范围是()A. (-1,0)B. (0,1)C. (一8, -I)D. (I, +8)答案B解析由题意知/ (x)=a.当aWO时，/。)>0恒成立，则人划在R上为增函数，不符合题意;当G>0时，令/ (力=0,解得x=lna,，当 x£( 8, In a)时，/ (x)<0；当 x£(lna, +8)时，/ (x)>0.可知x= In a为./U)的极值点，.lna<0,。£(0,1).13.若函数於)=|一失+3小一32一|在尸3处取得极大值，则常数。的值为()A. 3B. 2C. 3 或 2D. -3 或一2答案A解析次)=各一学+3虎132?:f (x)=2x1+3«2,由题意可得/ (3)=2X975°+3a2=0,整理得/54+6=0,解得a=2或a=3.当。=2时，/ (a)=2r -10x+12=2(a- 2)(.r- 3),令/ (x)>0,得<2 或心>3；令/ (x)<0,得 2<x<3,此时，函数y=/U)在x=3处取得极小值，不符合题意；当 a=3 时，f (x)=2x2- 15x+27=(a-3)(2x-9).9令/ (x)>0,得 或 x<3；9令/ (x)<0,得 3<x<.此时，函数y=/(x)在x=3处取得极大值，符合题意.综上所述，。=3.14 .若函数凡0=3+.必一办一4在区间(一1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为答案1,5)解析(x)=3/+2丫a, 函数次处在区间(一 I)上恰有一个极值点， 即r a)=o在(一1)内恰有一个根.又函数/ (工)=3/+2工一。的对称轴为X=一应满足应满足/' (一1户0, f (1)>0,3 2一底0,3 + 2-a>0,1 Wa<5.;拓广探究.函数+例nx+*(a, £R)有极小值，且极小值为0,则解一b的最小值为()A. eB. 2e答案B解析 由'/U）=f+nx+a2（a, Z?GR）,得 / （x）=2x+§.因为有极小值点，记为ao ,则 2xo+§=o,即6=一2相（工0>0）.A。又yu）=o,所以而+访冲+4=（）,即=一加一Anxo=诏+2诏lnx（）20,所以xoAji.设 a1-b=（.ro） =o+Zroln xo,当 xo#时，g' （xo）=4xo+4xoln x（）>0,所以g（%（）=而+2xBlnxo在#,+8）上单调递增，又g（啦）=e+2eln #=2e, 所以crb的最小值为2e.16.已知函数/）=（f+"2a2+3a）e'QeR）,当实数 时，求函数段）的单调区间与极值.解 f （x）=.r2+（67+2）x-2a2+4ae令，（©=0,解得x=一加或一2,2由 qWq,得一2a¥a2.J分以下两种情况讨论：2若，则一2aV。一 2.当x变化时，/ （x）,贝x）的变化情况如下表：X( 8, 2a)-2a（-2。，一2）a-21a2, +00)f（X）+00+fix)/极大值极小值/所以兀I）在（-8, 267）,（42, +8）上是增函数，在（一2，。-2）上是减函数，函数凡¥） 在工=一2处取得极大值火一2），且|2。）=3讹一加，函数人x）在工=。-2处取得极小值人。 -2）,且人。-2）=（43a>e"-2.2若 a<,则2a>a2.当x变化时，/ （x）, ./U）的变化情况如下表:X(0°, a2)a2(«2, 2a)2a( 2a, 4-°°)f+00+fix)/极大值极小值/所以九0在（一8,。一2）, （-2a,+8）上是增函数，在（一2, 2）上是减函数，函数7U） 在1=。-2处取得极大值逃。一2）,且.44-2）=（434守-2,函数儿6在工=一2处取得极小 值八一2。），且八一2。）=3加一叫函数.y =火幻在区间（3,5）上是增函数；函数=加）在区间（一g，3）上是减函数；函数y=/U）在区间（-2,2）上是增函数；当x=；时，函数尸危）有极大值；当x=2时，函数有极大值.则上述判断中正确的序号是.答案解析 对于，当x£（3,4）时，/。）0, 7U）是减函数，当x£（4,5）时，f （x）0,儿r）是增函数，所以错误；对于，当x一g, 2）时，f （x）0,兀0是增函数，当x£（2,3）时，f （x）0,凡r）是减函数，所以错误；对于，当工£（-2,2）时，/' （x）0, 7U）是增函数，所以正确；对于，由知当x=-g时，/（一§不是极大值，所以错误；对于，由知当x=2时，函数），=/U）取得极大值，所以正确.反思感悟解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图 象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的 导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值：若是由负值变为正值, 则在该点处取得极小值.跟踪训练I已知函数），=儿0的导函数.y=/'（幻的图象如图所示,则函数）=/（©在区间（。，b） 内的极小值点的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案A解析由图象，设/。）与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c,乩其中cd,知在（一8, C), 3，力)上/ (x)20,所以此时函数7U）在（一8, C）, 与上是增函数，在（°, ）上，f a）o,此时/U）在（c, d） 上是减函数，所以x=c时，函数取得极大值，x=d时，函数取得极小值.则函数y=/（x）的极小值点的个数为1.二、求函数的极值（点）例2 （1）关于函数儿0=缶的极值点，下列判断正确的是（）A.火幻只有1个极值点，且该极值点为极小值点3B.凡1）有2个极值点，且工=一方为极值点c.火彳）只有1个极值点，且该极值点为极大值点3D.火幻有2个极值点，且x=为极大值点答案A的班r/ F（2a.+3）解析.于（X）（x+）2 *3:.当XV5时f （x）0, fix）为减函数；3当一1,尤1时/ （x）o,凡丫）为增函数.故函数只有一个极值点，且工=3-2（2）求函数人丫）=339一9戈+5的极值.解函数的定义域为R./ （x）=3.F6x9,令 f （x）=0,即 3/一放一9=0,解得 X = - 1» X2=3-当X变化时，/U）, 的变化情况如下表:X(一 8,-)-1(-1,3)3(3, +8)f（X）+00+於）Z极大值X极小值/，当X= -1时，函数=凡¥）有极大值, 且1- 1）=10；当x=3时，函数y =_/*)有极小值，且人3)=-22.反思感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程/ (x)=0的根.(3)用方程/。)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由/。)在方程/ (x)=0的根左右的符号，来判断人力在这个根处取极值的情况.跟踪训练2 (1) %>2”是“函数儿1)=("一。)炉在(0，+8)上有极值”的( )A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析 Vy(x)=(x-fl)ev,则/ a)=(x-a+l)e 令/ (x)=0,可得x=a1.当广。一1 时，/ (x)<0；当 1 时，f (X)>O.工函数y=yu)在x=a处取得极小值.若函数y=y(x)在(0，+8)上有极值，则一1>0,a>l.因此“。>2”是“函数/(x)=(xa)e'在(0,+8)上有极值”的充分不必要条件.(2)求函数yu)=r一工的极值.解 函数儿丫)的定义域为R.令/。)=0,得3/1=0,解得x=一乎或1=乎.当x变化时，/U)和/ (1)变化情况如下表：XL，邛)_龙 3(邛,用近 3停，+8)f (A)+00+於)/2小 9_2小一 9/贝X)在x=一坐处取得极大值在x=坐处取得极小值一耳2三、由极值求参数的值或范围例3 (1)已知函数人工)=_?+0?+/状+27在x= -1处有极大值，在x=3处有极小值，则a =，b=.答案一3 -9 解析 f (x)=3x2+2at+b.由题意知，一1,3是3/+20¥+=0的两个根，.*.«=3, =-9.(2)已知函数於)=9一：(机+3)x2+(?+6)x(x£R,机为常数)，在区间(1, +8)内有两个极 值点，求实数m的取值范围.解 f (x)=f(?+3)x+机+6.因为函数/U)在(i, +8)内有两个极值点，所以J" (x)=f(?+3)x+/+6在(1,+8)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.j/=(?+3)24(?+6)>0,所以(1)=一(，+3)+加+6>0, ?+3解得机>3.故实数?的取值范围是(3, +8).反思感悟已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导 数值为0,极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要脸证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题， 即转化为f (x)20或/ (x)W0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否 成立.跟踪训练3若函数,/U)=gp叔+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点，则实数a的 取值范围是.答案(4蜀解析 vy(x)=|x34x+4,:.f (x)=f4=(x+2)(x-2).令，(x)=0,得 x=2 或 x=-2.当x变化时，f (a),儿。的变化情况如下表:X(00, -2)-2(-2,2)2(2, +8)f+00+於)/极大值极小值/当”=一2时，函数取得极大值4-2)=了；4当x=2时，函数取得极小值42)=一?且凡丫)在(一8, 2)上是增函数，在(一2,2)上是减函数，在(2, +8)上是增函数.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，4 2X结合图象知一.-课堂小结-.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(3)函数极值的应用.1 .方法归纳：方程思想、分类讨论.2 .常见误区：容易混淆为导数值等于零时此点为极值点.随堂演练1.(多选)函数«!)的定义域为R，它的导函数)=/的部分图象如图所示，则下面结论正确 的是()A.在(1,2)上函数./U)是增函数B.在(3,4)上函数段)是减函数C.在(1,3)上函数儿0有极大值D. x=3是函数次幻在区间1,5上的极小值点 答案ABC解析 根据导函数图象知，x£(l,2)时,/ (x)>0； x£(2,4)时，/ (x)<0,X£(4,5)时，/"。)>0. 工段)在(1,2), (4,5)上是增函数,在(2,4)上是减函数，x=2是於)在1,5上的极大值点,x=4 是极小值点.2.(多选)已知函数40=21+,*+36入-24在x=2处有极值，则该函数的一个增区间是()A. (一8, 2)B. (3,+8)C. (2, +8)D. (一8, 3)答案AB解析"(x)=6.F+2ar+36,且在x=2处有极值，：.f(2)=0,即 24+44+36=0,解得(=-15,：.f (x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由 / (x)>0 得 xV2 或 x>3.3.设函数则()x=为人幻的极大值点a. x=i为大幻的极小值点x=为丫)的极大值点C. x= 为儿t)的极小值点答案D解析令/ (x)=e'+x- ev=(l +x)ex=0,得尸一1.当 xV-l 时，/ (x)<0；当 x>l 时，f (x)>0.故x= - i为的极小值点.24.已知曲线人¥)=3+加+加+1在点(1, 7(1)处的切线斜率为3,且是)，=儿6的极值点，则 4=, b=.答案2 -4解析 f(%)=3/+2ax+b,/ (1)=3,由题意知A2AV回交1r3 + 2a+=3,4-3+-4-3 11 P身4-3+-4-3 11 P身解得:;经验证知符合题意课时对点练基础巩固.下列函数中存在极值的是（）A.B. y=x-eAC. y=2D.），=9答案B解析对于 y=xe y1 =1e',令）/ =0,得 x=0.在区间（一8, 0）±, y' 0；在区间（0, +8）上，0.故当工=0时，函数），=上一寸取得极大值.2 .设函数7U）在R上可导，其导函数为了'（X）,且函数），=/（X）的图象如图所示，则下列结论 中一定成立的是（）A.函数./U）有极大值2）和极小值人1）B.函数有极大值人2）和极小值11）C.函数7U）有极大值火2）和极小值/（一2）D.函数凡。有极大值火-2）和极小值式2）答案D解析 由题图可知，当工一2时，/ （a）0；当一201 时，/ （,v）0；当 142 时，f （x）0；当 x2 时，/ （x）0.由此可以得到函数«r）在x=-2处取得极大值, 在x=2处取得极小值.3 .函数y（x）=（xl）e'的极小值点为（）A. (0, -1) B. (0,0) C. -1 D. 0答案D解析由题意得/ U)=er+(% 1 )ev=xcx,故人工)在(一8, 0)上是减函数，在(0, +8)上是增函数，故当x=。时，/(x)的极小值为<0)=1,故极小值点为0.4 .已知。是函数7U)=3-12k的极小值点，则。等于()A. -4 B. -2 C. 4 D. 2答案D解析:(.v)=3x212,令/' (x)=o，则为=-2, X2=2.当 x£(8, -2), (2, +8)时，/ (X)>O,则_/U)是增函数；当x£(2,2)时，/ (x)V0,则/U)是减函数，7/U)的极小值点为4=2.5.函数人力=9+加+加+/+。在x=l处有极值为7,则。等于()A. -3 或 3 B. 3 或一9 C. 3 D. -3答案C解析 / (x)=3/+2at+/?,川)=1+/+。=7,*1/ (l)=3+2a+b=O,4 = 3,a= -3,解得解得或 b=-9b=3, 当 =3, h=-9时，/ (x)=3x2+6a-9=3(x-l)U+3),当一3<rl 时，f (x)<0；当 x> 时，f a)>o, x=是极小值点；当。=一3,方=3 时，。)=3/64+3 = 3。-1)220, x=l 不是极值点.*, 4 = 3.6 .(多选)已知函数儿0=9+幺2+S+6求+I有极大值和极小值，则实数。的值可以是()A. -4 B. -3 C. 6 D. 8答案AD解析 由题意知/ (x)=3.+2flx+(a+6)=0有两个不相等的根，所以/=42 |2(a+6)>0,解得d>6或v3.7 .若函数4x)=2r2lnx+3在其定义域内的一个子区间31,。+1)内存在极值，则实数a 的取值范围是.答案1，D解析由题意知函数的定义域为(0, +8),1 4 d1f (x)=4x-在(a1, a+1)上有零点， 人人