福建省泉州市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题含答案.pdf

高一数学试题 第1页（共 8 页）20202222-20202323 学年度学年度下下学期泉州市学期泉州市高中高中教学质量教学质量监监测测 202307 高 一 数 学 本试卷共本试卷共 22 题，满分题，满分 150 分，共分，共 6 页。考试用时页。考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1已知复数i(1 i)z=+，则|z=A2 B2 C3 D32为贯彻国家体育总局提出的“阳光体育”运动要求，某校举行了全校大课间跑操比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩,得到以下统计表,由统计表可得这20个比赛成绩的第80百分位数是成绩 6 7 8 9 10 班级数 53444A8.5B9 C9.5D103已知向量(cos120,sin120)=a，(1,0)=b，则a在b上的投影向量为 A32bB12bC12bD32b保密启用前 高一数学试题 第2页（共 8 页）4从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同数字，则这两个数字乘积为偶数且它们的和大于 5的概率为 A710B35C12D255 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱 台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为 A9 2 B6 5 C3 10D96已知向量(1,0)=a，(1,3)=b，若向量c与a的夹角等于c与b的夹角，则c可以是 A3+ab B+ab C2+ab D2 ab 72022 年 6 月 5 日，神舟十四号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于 12 月 4 日成功返回地面.本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻.如图，神州十四号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为2392 m的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC在水平地面上的投影为D，D和观测点A在同一水平线上.在遥控观测点A处测得点B的仰角为45，线段BC的视角（即BAC）的正弦值为7 226，则此时返回舱底端离地面的高度约为 A23m B50m C70m D105m 求解示意图 高一数学试题 第3页（共 8 页）8已知O为ABC的外心，4AB=，6AC=，1469AOABAC=+，则ABC的面积为 A12B12 3C6D6 3二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。在每小题给出的选项中，有多项符合题。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9已知直线a，b与平面，则/的充分条件可以是A，B，Ca，a Da，ab，b 10下图是2018年和2022年小明家庭各项支出的比例分配图，其中每年用于房贷的支出费用相等，则 A总支出2022年比2018年增长25%B用于饮食的支出费用2022年与2018年相等 C用于交通的支出费用2022年与2018年相等 D用于娱乐的支出费用2022年比2018年增长6%高一数学试题 第4页（共 8 页）11在ABC中，2AB=，6AC=，o60BAC=，D是边BC上的一点，则A6AB AC=BABC外接圆的半径是2 73C若2DCBD=，则3122ABADAC=D若AD是BAC的平分线,则3 32AD=12如图，正三棱柱111ABCABC的上底面上放置一个圆柱1OO，得到一个组合体，其中圆柱的底面圆O内切于ABC，切点M，N分别在棱AB，BC上，1NN为圆柱的母线已知圆柱的高为2 cm，侧面积为24 cm，棱柱的高为6cm2，则 A11AN平面1CC MB11AMB NC组合体的表面积为2(46 39 2)cm+D若三棱柱的外接球面与线段1NN交于点P，则AB与平面ACP所成角的正弦值为3010三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。将答案填在答题卡的相应位置。分。将答案填在答题卡的相应位置。13在ABC中，o45A=，3AB=，2AC=，则BC=142022 年 8 月 16 日，航天员的出舱主通道问天实验舱气闸舱首次亮相某高中为了解学生对这一新闻的关注度，采用按比例分配的分层抽样方法从高中三个年级中抽取了 45 人进行问卷调查，其中高一年级抽取了 18 人，高二年级抽取了 12 人，且高三年级共有学生 1200人，则该高中的学生总数为 人 15设复数1z，2z满足123zz=，122 2izz=+，则12zz=16在三棱锥PAOB中，24PBOA=，PA平面AOB，OAOB，45POA=，则OA与BP所成的角为 N1NMO1OB1BAA1CC1高一数学试题 第5页（共 8 页）四、四、解答题：本解答题：本大大题共题共 6 小题，共小题，共 70 分。分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且2 cos2aCbc=（1）求A；（2）求abc+的最小值.18（12 分）在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，E是AB的中点，F是BC边上的三等分点（靠近点B），AF与DE交于点M（1）设AB=a，AD=b，请用a，b表示AF和DE；（2）求ME与MF夹角的余弦值高一数学试题 第6页（共 8 页）19（12 分）泉州，作为古代海上丝绸之路的起点，具有深厚的历史文化底蕴，是全国同时拥有联合国三大类非遗项目的唯一城市为高效统筹整合优质文旅资源，文旅局在“五一”假期精心策划文旅活动，使得来泉旅游人数突破了305.85万人次.某数学兴趣小组为了解来泉游客的旅游体验满意度，用问卷的方式随机调查了500名来泉旅游的游客，被抽到的游客根据旅游体验给出满意度分值T（满分100分），该兴趣小组将收集到的数据分成五段：45,55)，55,65)，65,75)，75,85)，85,95，处理后绘制了如下频率分布直方图（1）求图中a的值并估计500名游客满意度分值T的中位数（结果用分数表示）；（2）已知T在45,65)的平均数为57，方差为104，T在65,95的平均数为77，方差为564，试求被调查的500名游客的满意度分值T的平均数及方差 高一数学试题 第7页（共 8 页）20（12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，底面ABC是等边三角形，侧面11BCC B是矩形，16ABAB=，1ABAB，M是1AA的中点（1）求证：1BB 平面BMC；（2）求1C到平面11ABC的距离 21（12 分）在平面四边形ABCD中，点,B D在直线AC的两侧，3AB=，5BC=，四个内角分别用A BCD，表示，3coscos5BD=.（1）求BAC；（2）求ABD与ACD的面积之和的最大值 MB1BAA1CC1高一数学试题 第8页（共 8 页）22（12 分）如图，在正三棱柱111ABCABC中，12AB=，O为1AB的中点，E，F在1AC上，1233EFAEFC=（1）试在直线1AB上确定点P，使得对于1FC上任一点D，恒有PD平面AOE；（用文字描述点P位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知Q在直线1A A上，满足对于1FC上任一点D，恒有QD平面AOE，P为（1）中确定的点，试求当1APQ的面积最大时，二面角1PACQ的余弦值FEOB1BAA1CC1FEOB1BAA1CC1高一数学试题 第1页（共 24 页）（备用图）20202222-20202323 学年度学年度下下学期泉州市学期泉州市高中高中教学质量教学质量监监测测 202307 高 一 数 学 本试卷共本试卷共 22 题，满分题，满分 150 分，共分，共 6 页。考试用时页。考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1已知复数i(1 i)z=+，则|z=A2 B2 C3 D3【命题意图】本小题主要考查复数的概念、复数的基本运算、模长等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性【试题简析】解法解法 1 1 因为2i(1 i)ii1 iz=+=+=+，所以22|(1)12z=+=.解法解法 2 2 因为|i(1 i)|i|1 i|=122z=+=+=，所以|2z=.故选 B2为贯彻国家体育总局提出的“阳光体育”运动要求，某校举行了全校大课间跑操比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩,得到以下统计表,由统计表可得这20个比赛成绩的第80百分位数是保密启用前 高一数学试题 第2页（共 24 页）成绩 6 7 8 9 10 班级数 53444A8.5 B9 C9.5 D10【命题意图】本小题考查百分位数等基础知识；考查运算求解的基本能力；导向教学对逻辑推理和数学运算素养的关注；体现基础性【试题简析】由20 80%16=，得出第80百分位数是第16和第17个成绩的平均数，所以第 80百分位数为9109.52+=，故选C 3已知向量(cos120,sin120)=a，(1,0)=b，则a在b上的投影向量为 A32b B12bC12b D32b【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、向量夹角、投影向量等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化数学思想；体现基础性与综合性，导向对直观想象、数学运算、数学抽象等核心素养的关注【试题简析】解法解法 1 13(cos120,sin120)(,)22=a，则a在b上的投影向量为 o1cos1202=abb 解法解法 2 由图可得，a在x轴上的投影数量为12，则a在b上的投影向量12b 故选 B 4从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同数字，则这两个数字乘积为偶数且它们的和大于 5的概率为 高一数学试题 第3页（共 24 页）A710B35C12D25【命题意图】本题主要考查古典概型、概率等基础知识；考查运算求解的基本能力；导向教学对数学运算等素养的关注；体现基础性.【试题简析】从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同数字的样本空间是(1,2)=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个样本点，记事件=A“这两个数字乘积为偶数且和大于5”，则(2,4)A=，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共4个样本点，所以52)()()(=nAnAP故选 D 5 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱 台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为 A9 2 B6 5 C3 10 D9【命题意图】本小题主要考查棱台的体积、几何体的截面等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性【试题简析】解法解法 1 设截去小锥体的高为1h，棱台的高为h，则112142hhh=+，得1hh=由22111114()22828333Vhhhh=+=台，解得3h=所以对角面面积为1(2 24 2)39 22+=故选 A hh1解法解法 2 设截去小锥体的体积为1V，高为1h，则31121()48VVV=+台，高一数学试题 第4页（共 24 页）又28V=台，所以14V=，所以111443hV=，解得13h=所以棱台的高13hh=，所以对角面面积为1(2 24 2)39 22+=故选 A 解法解法 3 如图，设1O，O分别为正四棱台1111ABCDABC D上、下底面的中心，由题意，知等腰梯形11ACC A为棱台的对角面，且1OO既为棱台的高，也为对角面的高；由棱台体积公式，有222211(2244)283OO+=，解得13OO=；所以1 111111()3(2 24 2)9 222ACC ASOO ACAC=+=+=梯形故选 A O1OD1DB1BAA1CC16已知向量(1,0)=a，(1,3)=b，若向量c与a的夹角等于c与b的夹角，则c可以是 A3+ab B+ab C2+ab D2 ab【命题意图】本小题主要考查向量的夹角、向量的数量积、平面向量的分解等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化数学思想；体现基础性与综合性，导向对直观想象、数学运算等核心素养的关注【试题简析】解法解法 1 由向量c与a的夹角等于c与b的夹角即|=c ac bcacb，可得12=c ac b，可得1()02=cab，对于选项 A：可得213(3)()3(1)22+=+ababaa b2131022=b，故选项 A 错误；对于选项B：可得221111()()02222+=+=ababaa bb，故选项B错误；对于选项 C：2211(2)()2022+=ababab，故选项 C 正确；高一数学试题 第5页（共 24 页）对于选项 D：2211(2)()222022=+=ababaa bb，故选项 D 错误 故选 C 解法解法 2 由图可知，向量c与a，b的夹角均为30，即向量mn=+cab在向量a，b方向上分解的长度始终相等，又|1=a,|2=b，故:2:1m n=恒成立，故选 C.72022 年 6 月 5 日，神舟十四号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于 12 月 4 日成功返回地面.本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻.如图，神州十四号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为2392 m的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC在水平地面上的投影为D，D和观测点A在同一水平线上.在遥控观测点A处测得点B的仰角为45，线段BC的视角（即BAC）的正弦值为7 226，则此时返回舱底端离地面的高度约为 求解示意图 高一数学试题 第6页（共 24 页）A23m B50m C70m D105m【命题意图】本小题主要考查球的表面积公式，正弦定理等基础知识，考查运算求解能力、数学应用能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学运算，直观想象，数学建模等数学核心素养，体现基础性与应用性【试题简析】解法解法 1 设半球半径为R米，则214=3922R，则=14R，所以5=70BCR=，因为仰角=45BAD，则=45ABD，又7 2sin26BAC=，所以在ABC中，sinsinACBCABCBAC=，所以702sin=130sin27 226BCACABCBAC=，因为217 2cos1sin26BACBAC=，则 225sinsin(45)cossin2213CADBACBACBAC=，所以在直角ACD中，5sin13050 m13CDACCAD=，故选 B 解法解法 2 设半球半径为R米，则214=3922R，则=14R，所以5=70BCR=，因为仰角=45BAD，则=45ABD，又7 2sin26BAC=，所以在ABC中，sinsinACBCABCBAC=，所以702sin=130sin27 226BCACABCBAC=，因为217 2cos1sin26BACBAC=，则2222cosACABBCAB BCB=+所以2222130702702ABAB=+，即270 2120000ABAB=可得(50 2)(120 2)0ABAB+=可解得120 2AB=，所以cos45120BDAB=，则50 mCDBDBC=，故选 B 8已知O为ABC的外心，4AB=，6AC=，1469AOABAC=+，则ABC的面积为 A12 B12 3C6 D6 3【命题意图】本小题主要考查三角形外心定义、向量的投影、向量的数量积运算、向量的模、正弦定理等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化高一数学试题 第7页（共 24 页）数学思想；体现基础性与综合性，创新性，导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注【试题简析】由O为ABC的外心可得，3 618AO AC=，14()69AO ACABACAC=+214116696AB ACACAB AC=+=+，故12AB AC=，又|cos46cos12AB ACABACBACBAC=，可得1cos2BAC=，故3sin2BAC=，则ABC的面积为113|sin466 3222ABACBAC=,故选 D 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。在每小题给出的选项中，有多项符合题。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9已知直线a，b与平面，则/的充分条件可以是A，B，Ca，a Da，ab，b【命题意图】本小题主要考查空间中直线和平面的位置关系、平面与平面平行的判定等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学抽象等核心素养，体现基础性、综合性与创新性【试题简析】对于选项 A：已知，由平行的传递性可得/；对于选项 B：已知，联想到“墙角模型”，可知无法推出/；对于选项 C：已知a，则可找到内的两条相交直线,l m，有al,am，过a,l构造一平面交于直线l，又a，则al，所以ll；同理mm，所以/；对于选项 D：已知a，ab，b，等价于a，a，由选项 C 可知结论正确故选择 ACD 10下图是2018年和2022年小明家庭各项支出的比例分配图，其中每年用于房贷的支出费用相等，则 高一数学试题 第8页（共 24 页）A总支出2022年比2018年增长25%B用于饮食的支出费用2022年与2018年相等 C用于交通的支出费用2022年与2018年相等 D用于娱乐的支出费用2022年比2018年增长6%【命题意图】本小题主要考查扇形统计图的基础知识；考查数学问题与统计图表的阅读理解能力，数据处理、运算求解能力；体现基础性，导向对数据分析等核心素养的关注.【试题简析】对于选项A：因为每年用于房贷的支出费用相等，设为a，则2018年总支出为2a，2022年总支出为2.5a，故选项A正确；对于选项 B：2018年与2022年饮食支出分别为0.5a，0.625a，故选项 B 错误；对于选项 C：2018年与2022年交通支出分别为15%20.3aa=，12%2.5a 0.3a=，故选项 C 正确；对于选项 D：2018年与2022年总支出不一样，故选项 D 错误；故选AC 11在ABC中，2AB=，6AC=，o60BAC=，D是边BC上的一点，则A6AB AC=BABC外接圆的半径是2 73C若2DCBD=，则3122ABADAC=D若AD是BAC的平分线,则3 32AD=【命题意图】本小题主要考查向量的数量积、爪子型三角形中向量的表示、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性【试题简析】对于选项A：o1cos602 662AB ACAB AC=，故选项A正确；高一数学试题 第9页（共 24 页）对于选项 B：由余弦定理，得2o43622 6 cos6028BC=+=，解得2 7BC=，由正弦定理，得ABC外接圆的半径是o1122 72 sin6023BC=2 213=，故选项 B 错误；对于选项 C：因为2DCBD=，所以12BDDC=，所以2133ADABAC=+，则3122ABADAC=，故选项 C 正确；对 于 选 项D：由 等 面 积 法，得ooo1112 6sin602sin306sin30222ADAD=+即46 3AD=，解 得3 32AD=，故选项 D 正确；故选ACD 12如图，正三棱柱111ABCABC的上底面上放置一个圆柱1OO，得到一个组合体，其中圆柱的底面圆O内切于ABC，切点M，N分别在棱AB，BC上，1NN为圆柱的母线 已知圆柱的高为2 cm，侧面积为24 cm，棱柱的高为6cm2，则 A11AN平面1CC MB11AMB NC组合体的表面积为2(46 39 2)cm+D若三棱柱的外接球面与线段1NN交于点P，则AB与平面ACP所成角的正弦值为3010【命题意图】本小题主要考查组合体、空间位置关系、表面积、直线与平面所成的角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、应用意识和创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性 N1NMO1OB1BAA1CC1高一数学试题 第10页（共 24 页）【试题简析】对于选项 A：由题意，可知切点M，N分别为AB，BC的中点，作出平面1CC M截组合体所得截面，如下图 1：由图可知，1A，1N分别在截面的两侧，故选项 A 错误；对于选项 B：由题意，可知圆柱底面半径为1cm，所以棱柱底面边长为2 3 cm；如下图 2：分别取BN，11BC的中点D，E，连接AN，MD，1AE，DE，NE，则1DMANAE，所以D，E，1A，M四点共面，又12B EENNDEN=，所以1ENDB EN，所以1DEB N，因为1AE 平面1BC，所以11AEB N，又1DEAEE=，所以1B N 平面1AED，因为1AM 平面1AED，所以11AMB N，故选项 B 正确；对于选项 C：由于圆柱的下底面与棱柱的上底面有重叠部分，因此表面积 62243 2 32SSS=+=+圆柱棱柱22132(2 3)249 26 3(cm)22=+，故选项 C 正确；对于选项 D：如下图 3：取111ABC的中心2O，则2OO的中点3O为棱柱的外接球球 心，连 接21O B，31O B，由 勾 股 定 理，得 外 接 球 半 径22316()24RO B=+704=；连接ON，在平面1ONN内过3O作31O FNN，垂 足 为F，则3O FON=1=，由 勾 股 定 理，得22703 6()144PF=，所 以62PNPFNF=，所 以226423()22AP=+=，2263 2(3)()22CP=+=，由余弦定理，得6cos6ACP=，所以30sin6ACP=，所以3 52ACPS=；设B到平面ACP的距离为d，AB与平面ACP所成的角为，由B ACPP ABCVV=，有ACPABCSdSPN=，即3 563 322d=，解得3 105d=，所以sindAB=3010=，故 D 正确故选 BCD 高一数学试题 第11页（共 24 页）N1NMO1OB1BAA1CC1EDN1NMO1OB1BAA1CC1PFO3O2N1NMO1OB1BAA1CC1图 1 图 2 图 3 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。将答案填在答题卡的相应位置。分。将答案填在答题卡的相应位置。13在ABC中，o45A=，3AB=，2AC=，则BC=【命题意图】本小题主要考查余弦定理等基础知识，考查推运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性【试题简析】因为22222cos9223252BCABACAB ACA=+=+=，所以5BC=142022 年 8 月 16 日，航天员的出舱主通道问天实验舱气闸舱首次亮相某高中为了解学生对这一新闻的关注度，采用按比例分配的分层抽样方法从高中三个年级中抽取了 45 人进行问卷调查，其中高一年级抽取了 18 人，高二年级抽取了 12 人，且高三年级共有学生 1200人，则该高中的学生总数为 人【命题意图】本小题主要考查按比例分配的分层抽样方法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性【试题简析】从高中三个年级抽取 45 人组成样本，分别从高一年级、高二年级和高三年级抽取了 18 人，12 人，15 人，样本结构比为高一：高二：高三18:12:156:4:5=，所以该高中的学生总数为51200360015=人，所以应该填3600 15设复数1z，2z满足123zz=，122 2izz=+，则12zz=【命题意图】本小题主要考查复数的模、复数的四则运算、几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学抽象等核心素养，体现基础性与应用性 高一数学试题 第12页（共 24 页）【试题简析】由复数1z，2z满足123zz=可知，复数1z，2z对应于复平面的点,A B位于圆心在原点，半径为3的圆上，又122 2izz=+，可知12zz+对应于复平面的点(2 2,1)C也位于圆心在原点，半径为3的圆上根据平行四边形法则和条件|3OAOBOC=，知在AOB中，o120AOB=，OAOB=，ADBD=，所以o2sin603 3ABOA=，则12|3 3zzBA=，故答案应为3 3.16在三棱锥PAOB中，24PBOA=，PA平面AOB，OAOB，45POA=，则OA与BP所成的角为 【命题意图】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性、应用性【试题简析】如图，以OA，OB为邻边将AOB补成矩形OACB，连接CP，则PBC（或其 补角）为OA与BP所成的角由PA平面AOB，得PABC，又ACBC，PAACA=，所以BC 平面PAC因为PC 平面PAC，所以BCPC又21cos42BCPBCPB=，所以60PBC=故OA与BP所成的角为60 CBAPO四、四、解答题：本解答题：本大大题共题共 6 小题，共小题，共 70 分。分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。17（10 分）高一数学试题 第13页（共 24 页）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且2 cos2aCbc=（1）求A；（2）求abc+的最小值.【命题意图】本小题主要考查解三角形的正、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性【试题简析】（1）因为2 cos2aCbc=，由正弦定理得 2sincos2sinsinACBC=，1 分 又sinsin()sincoscossinBACACAC=+=+，2 分 所以2cossinsinACC=，3 分 又sin0C，所以cos12A=，4 分 而A(0,)，所以A=3.5 分（2）解法解法 1 1 因为2sinsinsinsin()3BCBB+=+6 分 33sincos22BB=+3sin()6B=+，7 分 所以sin3sinsin2 3sin()6aAbcBCB=+，8 分 因为B2(0,)3，所以sin()6B+的最大值为 1，9 分故abc+的最小值为12.10 分 解法解法 2 2 因为222222cosabcbcAbcbc=+=+，6 分 所以2222222231()22abcbcbcbcbcbcbcbc+=+，7 分 又因为222bcbc+，所以223332224bcbcbcbcbcbc=+，8 分 高一数学试题 第14页（共 24 页）所以221()4abc+，当且仅当bc=时取等号，9 分 故abc+的最小值为12.10 分 18（12 分）在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，E是AB的中点，F是BC边上的三等分点（靠近点B），AF与DE交于点M（1）设AB=a，AD=b，请用a，b表示AF和DE；（2）求ME与MF夹角的余弦值【命题意图】本小题主要考查平面向量基本定理、向量的数量积运算、向量的夹角运算等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化数学思想；体现基础性与综合性，导向对直观想象、数学运算等核心素养的关注【试题简析】解法解法 1（1）由图可得：13AF=a+b 2 分 12DE=a-b 4 分（2）由于ME与MF的夹角等于DE与AF的夹角 6 分22|10DEADAE=+=7 分 22|5AFABBF=+=8 分 2211151(132263AF DE=a+ba-ba-a b-b）=10 分 DE与AF夹角的余弦值为1210|105DE AFDEAF=，即ME与MF夹角的余弦值为210 12 分 解法解法 2 由于ME与MF的夹角等于DE与AF的夹角 6 分高一数学试题 第15页（共 24 页）建立如图所示坐标系可得，(0,0)A，(2,0)B，(2,3)C，(0,3)D，(1,0)E，(2,1)F 7 分 故(2,1)AF=，|5AF=8 分(1,3)DE=，|10DE=9 分 231AF DE=10 分 DE与AF夹角的余弦值为1210|105DE AFDEAF=，即ME与MF夹角的余弦值为210 12 分 19（12 分）泉州,作为古代海上丝绸之路的起点，具有深厚的历史文化底蕴，是全国同时拥有联合国三大类非遗项目的唯一城市.为高效统筹整合优质文旅资源，文旅局在“五一”假期精心策划文旅活动，使得来泉旅游人数突破了305.85万人次.某数学兴趣小组为了解来泉游客的旅游体验满意度，用问卷的方式随机调查了500名来泉旅游的游客，被抽到的游客根据旅游体验给出满意度分值T（满分100分），该兴趣小组将收集到的数据分成五段：45,55)，55,65)，65,75)，75,85)，85,95，处理后绘制了如下频率分布直方图：（1）求图中a的值，并估计500名游客满意度分值T的中位数；（2）已知T在45,65)的平均数为57，方差为104，T在65,95的平均数为77，方差为高一数学试题 第16页（共 24 页）564，试求被调查的500名游客的满意度分值T的平均数及方差.【命题意图】本题考查频率分布直方图、平均数、中位数、方差等基础知识；考查数据处理、运算求解等基本能力；导向教学对数据处理、数学运算等素养的关注；体现基础性、应用性.【试题解析】解：（1）由频率分布直方图可得：(0.0050.025 20.01)101a+=，解得 0.035a=.2分 由频率分布直方图，(0.0050.025)100.30.5+=(0.0050.0250.035)100.650.5+=.3分 因此，中位数落在区间65,75)内，.4分0.50.349565 100.357+=.5分 可以估计500名游客满意度分值T的中位数为4957.6分（2）把T在45,65)的平均数记为x，方差记为2xs；T在65,95的平均数记为y，方差记为2ys；T在45,95的平均数记为z，方差记为2s.7分 由题得，57x=，2104xs=，77y=，2564ys=，T在45,65)的频率为(0.0050.025)100.3+=，T在65,95的频率为(0.0350.0250.1)100.7+=则0.30.70.3 570.77771zxy=+=+=.9分 高一数学试题 第17页（共 24 页）由222220.3()0.7()xyssxzsyz=+.10分 可得2220.3 104(5771)0.7 564(7771)510s=+=.12分即被调查的500名游客的满意度分值T的方差为510.12分高一数学试题 第18页（共 24 页）20（12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，底面ABC是等边三角形，侧面11BCC B是矩形，16ABAB=，1ABAB，M是1AA的中点（1）求证：1BB 平面BMC；（2）求1C到平面11ABC的距离 【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直、棱锥的体积、点到平面的距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力和应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性、应用性【试题简析】（1）由M为等腰直角1ABA斜边1AA的中点，得1145MBABA A=在三棱柱111ABCABC中，11AABB，所以11145ABBBA A=，所以190B BM=，即1BBBM.2 分 因为侧面11BCC B是矩形，所以1BBBC，.3 分 又BMBCB=，BM 平面BMC，BC 平面BMC，所以1BB 平面BMC.4 分（2）解法解法 1 连接1BC交1BC于点O，连接1AO，则O为1BC的中点，所以1C到平面11ABC的距离等于B到平面11ABC的距离，设此距离为d 由（1）知1BB 平面BMC，又11AABB，所以1AA 平面BMC，因为CM 平面BMC，所以1AACM，.6 分 所以16ACACAB=又3AM=，所以22(6)(3)3CM=，所以2226CMBMBC+=，所以BMCM，又1AABMM=，1AA 平面11ABB A，BM 平面11ABB A，所以CM 平面11ABB A.8 分 因为1116ABAC=，所以11AOCB，又221(6)(2 3)3 2BC=+=，MB1BAA1CC1高一数学试题 第19页（共 24 页）所以3 22OC=，所以2213 26(6)()22AO=，所以1 1111163 33 22222A B CSBC AO=.10 分 由1 11 1B A B CCA B BVV=，得1 11 11133A B CA B BSdSCM=，所以13 3112 3333232d=，解得2d=即1C到平面11ABC的距离为2.12 分 OMB1BAA1CC1解法解法 2 连接1BC交1BC于点O，连接1AO，在平面1BC内过点1C作11C DCB，垂足为D，则O为1BC的中点.5 分 因为111ACACABAB=，所以11AOBC.6 分 由（1）知1BB 平面BMC，又11AABB，所以1AA 平面BMC，因为CM 平面BMC，所以1AACM，所以111ACACABAB=，所以11AOBC又11BCBCO=，1BC 平面1BC，1BC 平面1BC，所以1AO 平面1BC.8 分 因为1C D 平面1BC，所以11C DAO，又11CBAOO=，1CB 平面11ABC，1AO 平面11ABC，所以1C D 平面11ABC.10 分 又221(6)(2 3)3 2BC=+=，由111111122BC C DBCCC=，得1113 262 322C D=，解得12C D=即1C到平面11ABC的距离为2.12 分 DOMB1BAA1CC1高