4.4 二项式定理（练习） - 解析版.docx
4.4二项式定理（练习）解析一.单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，,只有一项是符合 题目要求的.）（2-x）5的二项展开式的第三项为A. 10x2B. 40x3C. -40x3D. 80x2【答案】D【解析】（2 x）5的二项展开式的第三项为A+I =C；23（一x）2 =80/故选D.2 .已知（l+x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A. 29B. 210.C. 2"D. 212【答案】A【解析】由题意知C；=C：,所以 = 10,所以奇数项的二项式系数和为2、故选A.3 .已知（2x + 4）（x-的展开式中的各项系数之和为一3,则该展开式中的常数项为A. -200 B. -120.C. 120D. 200【答案】B【解析】令x = l,可得的展开式中所有项系数和为（2 +。）（1 2）5=3,解得4 = 1.1 2所以（2x + ）（x ）5展开式中的常数项为：2 1?2% 。沅（）3 + _ （）2 = _ 160+40 = 120 .故选 B.XXX.已知（6 2）的展开式的常数项为60,则= XA. 5B. 6C 7D. 8【答案】B0n-3k【解析】（G-与 的展开式的通项7；句=（.X令一3 左=0,得n = 3k,所以（一2）。/=60 .又 wN*, Z: e N , 0<k<n9可得左=2, n-6.故选 B.4 .设加为正整数，（x+y）2'展开式的二项式系数的最大值为Q,（X+>）2用展开式的二项式系数的最大值为力，若13。= 7，则/% =A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】由题意知，= c：“，b= C-+1= C-：,又13。= 7乩所以13cM=7a；用，即 13(2")！ =7(2"z + l)，即 13(%+1)= 7(2根+1),解得根=6.故选 C.m!(2m - m)! m(2m +. (/+尤+ 1)的展开式的所有项的系数和为243,则展开式中/的系数为A. 20B. 21C. 31D. 51【答案】D【解析】令x = l,得3=243,所以几=5.由题意知(f+x + l)5即5个(J+x + l)相乘，每个因式里都有% 1可以选择，得到工5 有三种情形：(1) 5个因式都选择工； (2) 1个因式选择了2, 3个因式选择x, 1个因式选 择1； (3) 2个因式选择1个因式选择X, 2个因式选择1.所以含/的项为 Cfx5+ C1x2C%3 + C/(x2)2 Cx = 51x5.故选 D.二.填空题(每小题5分，共6小题.) ?1.在(X - -的二项展开式中，一的系数为. XX【答案】409【解析】(x -)5的展开式的通项T川=C7e(_2汇2)=(-解"G* 产， x令5 3 = 1,解得r=2,故1的系数为(一2)2。；=40.7 .已知(2x + l)5 =旬 + ax + a2x2+ +a5x5,贝ij (4 + a2 +a4)2一 (q +a3 +tz5)2 =【答案】-243解析令 x 1,得 4 +。 + % + 4 + % + as = 3，= 243,令 X 1 ,得 / 4 + % + 4 。5 = - 1 ， 所以（4。+ & + 4 > （。1 +。3 +。5 产=(6Zq + W + % ) +(6Z)+ 4 + % ) (a。+ 6?2 + % ) (% + 3 + % )=(Q()+q + / + % + % )()-+ 2 - 3 + 4 一 5)= 243 .8 .已知£N且<5,且62021+能被5整除，则 =【答案】4r 窑刀久2021 ,_ /< . 1 2021 _ 厂0:2021 .厂 1:2020 .厂2020 < .厂2021 .【解析】由 6+ 几=(3 + 1)= C202i *3+ C202i 3+ ,+ C202i e3 + C202i + n=C；)02i - 52021 + C；02i . 52020 + + C-5 + l + n ,其中 Cj021 .52021 + C；02i 52020 + + 嚼; 5 能被5 整除, 要使得62021+能被5整除，只需1 +能被5整除，所以 =4.9 .已知为正整数，则 C： + 2C；+3C；+- +"：=.【答案】2t【解析】记S = 0C： + C； + 2C； + +（几一l）C；l十几C：,（1）则 5 = nC：+ （I）CT + （九 - 2）C；-2+ + C+ 0C；=+ 5 1）C： + 5 2）C； + + CT + 0C；（2）由（1） + （2）,得2S“ = C + "C + 盘+ + c：i += （C： + C； + C： +C；-1+C；） = n-2所以 s = 2'I,即 C； + 2C： + 3C； + + C： = 2t .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）.（本小题满分10分）已知"2+木的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为;.（1）求m的值；（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.【答案】（1） 7 ;（2）.141o 5r【解析】（1）展开式的通项为7 =.，产厂（2工一=C2C，所以展开式中第4项的系数为C23,倒数第4项的系数为C；-3 - 2机一3所以C3 -23111C：洋.2t= 5，即定=5,所以机=7.（2）展开式共有8项，由（1）可得当2根一5r为整数，即 = 0,2,4,6时为有理项，共4项,*万 J所以由插空法可得有理项不相邻的概率为一等=W 1412.（本小题满分12分）已知(2x-l)= 4+ (% 1) + 2(工一1)2 + +4?(X 1)，£N*,其中。2 = 60.(1)求为+4+42+的值;（2）求处 （其中 =0, 1,，几）的最大值.【答案】(1) 729;(2) 240.【解析】（1）令工一1 = 1,则龙=，+ 1,所以原式可化为（1 + 2，）" = 4 +印+。2/+ antn .因为2为（1 + 2。的展开式中产的系数，所以g=4C：=60,所以C；=15.即妁!_ = 15 ,所以( + 5)(九一6) = 0 ,又eN",所以 =6.因此(1 + 2。6 = 4+/ +。2/ + + a6t6, 令/ = 1,可得(1 + 2)6 = 4+4+。2 + * +&,即。()+4+%+ +&=729.（2）因为（r=0, 1,，6）表示（1 + 2。6的展开式中"的系数，所以2 =。2.设（1 + 2。6的展开式中的系数。2最大,鼠2C2C； 才三C72鼠2C2C； 才三C72r+l即-2,三_2rl r!(6-r)!(r-l)!(7-r)!6!.2,三r!(6- r)!2r+1(r + l)!(5-r)!r7 尸1114,解得一WrW,又0W/W6,且rwN,所以尸=4.1、1 c336 L、6 一 厂 r + l因此ar的最大值为a4=C24 =240 .另：因为/（r=0, 1，6）表示（1 + 2。6的展开式中的系数，所以q, = c；2r.因为 C：2WC；22WC；23 =160, C24 =240, C-25=192, C26=64.比较可得，此句的最大值为240.
