广东省珠海市2022-2023学年高二下学期期末数学试题含答案.pdf

高二数学 第 1 页（共 6 页）启用 前注 意保 密珠海 市2022-2023 学年第 二学期期末普通高 中学生学业质量监 测高 二数学 本试卷 共6 页，22 小题，满分 150 分，考 试用 时 120 分钟。注意事 项：1.答 卷前，考 生务必 用黑 色字 迹钢 笔或 签字笔 将自 己的 姓名、班 级、考场 和座位 号填写在 答题 卡上，将 条形 码横贴 在每 张答 题卡 右上 角“条 形码 粘贴 处”。2.作答 选择 题时，选出 每 小题答 案后，用 2B 铅 笔把 答题卡 上对 应题 目选 项的 答案信息点 涂黑;如 需改 动，用 橡皮擦 干净 后，再选 涂其 他答案，答 案不 能答 在试 卷上。3.非选 择题 必须 用黑 色字迹 钢笔 或签 字笔 作答，答案 必须 写在 答题 卡各 题目指 定区域内 相应 位置 上;如需 改 动，先 划掉 原来 的答 案，然后再 写上 新的 答案，不 准使用铅 笔和 涂改 液。不按 以上要 求作 答的 答案 无效。4.考生 必须 保持 答题 卡的 整洁。考试 结束 后，将试 卷和答 题卡 一并 交回。一、选择题:本题共 8 个 小题,每小题5 分,共 40 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。1.3254AC A.66 B.54 C.26 D.142.已 知离 散型 随机 变量 的 分布 列 如 下 表，则其 数学 期望()E 1 2 4 P 0.2 m 0.6 A.1 B.0.2 C.2.8 D.33.已 知等 差数 列 na 的前n 项和 为nS,且2612 aa,418 S,则3a A.5 B.4 C.3 D.24在 杨辉 三角 中，每一 个 数值是 它肩 上面 两个 数值 之和.这个 三角 形开 头几 行如 下 图，若第n 行 从 左到 右 第 12 个数 与 第 13 个数 的比 值为 2，则n 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 A.15 B.16 C.17 D.18高二数学 第 2 页（共 6 页）5.下 列导 数运 算正 确的 是A.cos sin xx B.21logln 2xx C.22xx D.211xx 6.已 知等 比数 列na 的前n 项和 为nS,且 22nnS,则 A.4 B.3 C.2 D.17.已 知定 义在(0,3 上的 函数()fx 的 图象如 图,则不 等式 1()0 x f x 的解 集为A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(0,1)(1,2)8.设 函数111()sin 2xxf x e e x,实数,ab 满 足 不 等 式(3)(1)0 f a b f a,则下列不等 式成 立的 是 A.21 ab B.21 ab C.43 ab D.43 ab 二、选择题:本题共4 小 题，每小题 5 分，共20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的 得 5 分,部分选对的得2 分,有选错的得0 分。9.设 数列na,nb 的前n 项和分 别 为,nnST，则 下列 命题 正确 的是 A.若12()nna a n N,则数 列na 为等差数 列B.若12()nnb b n N,则 数列nb 为等 比数 列 C.若 数列na 是等 差数 列,则*2 3 2,()n n n n nS S S S S nN 成等差 数列D.若数 列nb 是等比 数列,则*2 3 2,()n n n n nT T T T T nN 成等比 数列10.某 超市 设有 电子 抽奖 机,每 个奖 盒外 观完 全相 同,规 定每 个会 员只 能用 一个账 号登 陆,且每次只 能随 机选 择一 个奖 盒开启.已 知会 员第 一次 抽奖盒,抽 中奖 品的 概率 为27,从 第二 次抽奖 盒开 始,若前 一次 没抽中 奖品,则 这次 抽中 的概率 为12,若前 一次 抽中 奖品，则这 次抽中 的概 率为13.记 会员 第n 次抽 奖盒,抽 中奖 品的 概率为nP,则 高二数学 第 3 页（共 6 页）A 21942P B 数列37nP 为等 比数 列 C 1942nP D 当 2 n 时，n越大，nP 越小 11.下列 结论 正确 的有A.若随 机变 量,满足 21,则()2()1 DD B.若 随机 变量2(3,)N,且(6)0.84 P,则(0 6)0.68 P C.已 知随 机变 量X 服从二 项 分布1(,)3Bn,若(3 1)6 EX,则 6 n D.对于 事件,AB,若AB,且()0.3,()0.6 P A P B，则(|)1 P B A 12.设 函数2()()(e)(0)xf x x b a b 在点11,22f 处的 切线 方程为1e(e 1)e2xy.若函 数()fx 图象与x 轴负 半轴 的交点 为P,且点P 处的 切线 方程为()y h x,函数()()()()F x f x h x x R,则 A.11,2ab B.1,02PC.()Fx 存在最 大值，且 最 大 值为102FD.()Fx 存在 最 小 值，且最 小值为102F三、填空题：本题共4 小题,每小题5 分,共 20 分。13.52 x 的展开 式 中2x 的 系 数为（用 数字 作答）.14.已知函数()ln f x x x,若直线l 过点(0,1),且与曲线()y f x 相切,则直线l 的方程为.15.A,B,C,D,E 共 5 位教 师志愿 者被 安排 到 甲、乙、丙、丁 4 所学 校参 加支 教活动,要求每所学校 至少 安排 一位 教师 志愿者,且 每位 教师 志愿 者只能 到一 所学 校支 教,在 A 教 师志 愿者被安 排到 甲学 校支 教的 前提下,甲 学校 有两 名教 师志愿 者的 概率 为.高二数学 第 4 页（共 6 页）16.已知非零数列na,1 2 3 nnb a a a a,点(,)nnab 在函数22xyx 的图象上,则数列(1)2nnnab的前 2024 项 和为.四、解答题:本题共 6 个 小题，共 70 分。解答应写 出文字说明、证明过 程或 演算步骤。17.（10 分）已知数 列 na,满足*11(1)0()nnn a na a n N.(1)证明：数 列 na 是等差 数列;(2)若等差 数列 na 的公差 为 2,1 2 5,a a a 成等 比数 列,求数 列11nnaa 的 前 n 项和nT 18.（12 分）二项式22nxx展开 式前 三项 的二 项式系 数和 为 22.(1)求n 的值;(2)求展 开式 中 的 常数 项及 二项式 系数 最大 的项.19.（12 分）已知函 数()ln()f x x ax a R.(1)当12a 时，求()fx 的极 值;(2)讨论 函数()fx 在定 义域 内极 值点的 个数.20.（12 分）4 月 23 日 是联 合国 教科 文 组织确 定的“世 界读 书日”.为 了解 某地 区高 一学 生阅读 时间的分配 情况,从 该地 区随 机抽取 了 500 名 高一 学生 进行在 线调 查,得到 了这 500 名 学生 的日平均阅 读时 间(单位:小时),并将 样本 数据 分成0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12,(12,14,(14,16,(16,18 九组,绘 制成如 图所 示的 频率 分布 直方图(1)求这 500 名学 生日 平均 阅读时间的 中位 数(保 留到 小数 点后两 位);(2)为进 一步 了解 这 500 名 学生数字媒 体阅 读时 间和 纸质 图书阅 读时间的分 配情 况,从日 平均 阅读时 间在(6,8,(14,16,(16,18 三组内 的学 生中,采 用分 层抽 样的 方法 抽取 了 10人,现 从这 10 人中 随机 抽 取 3 人,记日平均 阅读 时间 在(14,16 内的学 生人数为X,求X 的分 布列 和数 学期望;(3)以样 本的 频率 估计 概率,从该 地区 所有 高一 学生 中随机 抽 取 10 名学 生,用()Pk 表示这 10 名学 生中 恰有 k 名 学 生日平 均阅 读时 间在(8,12 内的 概率,其中 0,1,2,10 k.当()Pk 最大时,写出 k 的值,并 说 明理由.21.（12 分）设有 甲、乙、丙三个不透明的箱子,每个箱中 装有除颜色外其 他都相同的四个球,其中 甲箱有两个黄 球和两个黑球,乙箱有三个红球和 一个白球,丙箱有两个红球和两个白球.完成 以下 步 骤称 为 一次“操作”：先 一次 从 甲箱 中 随机 摸出 两 个球,若从 甲 箱中 摸出 的 两个 球 同色,则 从 乙 箱 中 随 机 摸 出 一 个 球 放 入 丙箱,再 一 次 从 丙 箱 中 随 机 摸 出 两 个 球;若 从 甲 箱 中 摸 出 的两个球 不同 色,则从 丙箱 中随机 摸出 一个 球放 入乙 箱,再 一次 从乙 箱中 随机 摸出两 个球.(1)求一 次“操作”完 成后,最后 摸出 的两 个球 均为 白球的 概率;(2)若一次“操作”最后 摸 出的两 个球 均为 白球,求 这两个 球是 从丙 箱中 摸出 的概率;(3)若摸 出每 个红 球记 1 分,摸 出每 个白 球记 2 分.用X 表示一 次“操作”完 成后,最后摸到 的两 个球 的分 数之 和,求X 的分 布列 及数 学期 望.22.（12 分）已知函 数2()2ln(1)(1)f x x a x,其中 a 为 常数.(1)若 1 a,求函 数()fx 在其定 义域 内的单 调区 间;(2)证明：对 任意nN,都有：22 1 12lnnnnn;(3)证明：对 任意nN,都有：2 2 23 5 2 1 2123 1nnn n.数学试题答案第 1 页（共 6 页）启用前注意保密珠海市 2022-2023 学年度第二学期期末学生学业质量监测 高二数学试题 答案 一、选择 题:本题 共 8 个 小题,每小 题 5 分,共 40 分。在 每小题 给出 的四 个选项 中,只 有一项 是符 合题目 要求 的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C B C D A 二、选择 题:本 题共 4 小 题，每小 题 5 分，共 20 分。在每 小题 给出 的选 项中,有多项 符合 题目 要求。全部 选对 的得 5 分,部分选 对的 得 2 分,有 选错的 得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 AC ABC BD ABD 三、填 空题：本题 共 4 小题,每 小题 5 分,共 20 分。题号 13 14 15 16 答案 10 1 yx 252023122025 2 四、解 答题:本题 共 6 个 小题，共 70 分。解答 应写 出文字 说明、证明 过程 或演算 步骤。17.(1)证明：由*11(1)0()nnn a na a n N,得 11(1)nnn a na a,1 分 2 1 1(1)nnna n a a,2 分 两式相减,得122()n n nna n a a,3 分 即122()n n na a a n N,4 分 所以数列 na 是等差数列.5 分(2)解：由等差数列 na 的公差为 2,得2 1 1 5 1 12,4 8 a a d a a a d a,6 分 1 2 5,a a a 成等比数列,22 1 5a a a,即 21 1 1(2)(8)a a a,解得 11 a,7 分 1(1)2 1na a n d n,8 分 11 1 1 1 1(2 1)(2 1)2 2 1 2 1nnn n n aa n,9 分 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1nnTn n n 10 分 数学试题答案第 2 页（共 6 页）18.解：(1)展开式 前三项的二项式系数和为 22，0 1 2C C C 22nnn，2 分 242 0 nn，3 分 6 n 或 7 n（舍），故n 的值为 6.4 分(2)由题可得,展开式 中最大的二项式系数为36C 20，5 分 展开式中二项式系数最大的项为第 4 项，6 分 即 33332462C 2 1280 T x xx;8 分 设展开式中常数项为第 1 r 项，即 366621 6 62C 2 C 2rrrr r rrT x xx，10 分 令 3602r，得 4 r，11 分 644 1 62 C 960 T，故展开式中的常数项为第 5 项，即 960.12 分 19.解：(1)当12a 时，1()ln2f x x x,1 分 函数()fx 的定义域为(0,),且1 1 2()22xfxxx,2 分 令()0 fx,得 2 x,3 分 于是当x 变化时,(),()f x f x 的变化情况如下表：x(0,2)2(2,)()fx 0()fxln 2 1 5 分 故()fx 在定义域上的极大值为(2)ln 2 1 f,无极小值.6 分 数学试题答案第 3 页（共 6 页）(2)由题可知,函数()fx 为(0,),且11()axf x axx,7 分 当 0 a 时,()0 fx 在(0,)上恒成立,即()fx 在(0,)上单调递增,8 分 此时函数(0,)在定义域上无极值点;9 分 当 0 a 时,当1(0,)xa 时,()0 fx,当1(,)xa 时,()0 fx,10 分 故函数()fx 在1xa 处有极大值,11 分 综上所述,当 0 a 时,函数()fx 在定义域上无极值点;当 0 a 时,函数()fx 在1xa 处有一个极大值点.12 分 20.解：(1)设中位数 为x,则由频率分布直方图,得1 2 3 4(0.02 0.03 0.05 0.05)2 0.3 0.5 f f f f,且1 2 3 4 50.3 0.15 2 0.6 0.5 f f f f f,1 分 0.3(8)0.15 0.5 x,2 分 解得 289.333x.3 分(2)由频率分布直方图,得这 500 名学生 中日平均阅读时间在(6,8,(14,16,(16,18 三组内的学生 人数分别为：500 0.05 2 50,500 0.04 2 40,500 0.01 2 10,若采用分层抽样的方法抽取了10 人,则 从日平均阅读时间在(14,16 内的学生中抽取4010 450 40 10人,4 分 从这 10 人中随机抽取 3 人,则X 的可能取值为 0,1,2,3,36310C 1(0)C6PX,1246310CC 1(1)C2PX,2146310CC 3(2)C 10PX,34310C 1(3)C 30PX,6 分 所以,X 的分布列 为 X 0 1 2 3 P16123101307 分 数学期望1 1 3 1 6()0 1 2 36 2 10 30 5EX.8 分 数学试题答案第 4 页（共 6 页）(3)5 k.9 分 原因如下：由频率分布直方图,得 2(0.02 0.03 0.05 0.05 0.15 0.05 0.04 0.01)1 a,解得 0.10 a,10 分 所以,学生日平均阅读时间在(8,12 内的概率 为 0.15 2 0.10 2 0.5,从该地区所有高一学生中随机抽取 10 名学生,日平均阅读时间在(8,12 内的 学生人数Y 服从二项分布1(10,)2YB,11 分 所以 10 1010 101 1 1()C 1 C2 2 2kkkkPk,由组合数的性质,得当 5 k 时,()Pk 最大.12 分 21.解：(1)设“从甲箱 摸出两个球为 同色”为事件 A,“从乙箱摸出一个球为红色”为事件 B,“从丙箱摸出一个球为红色”为事件 C,“一次操作完成后，最后摸出的两个球均为白色”为事件 D,1 分 则 222224CC 1()C3PA,2()1()3P A P A,1314C 3()C4PB,1()1()4P B P B,1214C 1()C2PC,1()1()2P C P C,2223222 2 25 5 5CCC 1 3 1 2 1 1()3 4 C 4 C 3 2 C 12PD.4 分(2)设“这两个球是从 丙箱中摸出”为事件 E，则2 23 22255C C 1 3 13 4 C 4 C()3(|)1()512P DEP E DPD.6 分(3)由题意知,X 的所有可能值为 2,1,4,7 分 22 2233 242 2 2 25 5 5 5CC CC 1 3 1 2 1 1 23(2)3 4 C 4 C 3 2 C 2 C 60PX,8 分 1(4)12PX,9 分 23 1 8(1)1(2)(4)160 12 15P X P X P X,10 分 数学试题答案第 5 页（共 6 页）所以X 的分布列为 X 2 1 4 P236081511211 分 所以23 8 1 1()2 1 460 15 12 10EX.12 分 22.(1)解：若 1 a,则2()2ln(1)(1)f x x x,此时()fx 的定义域为22 2(2)|1,()2(1)11xx x f x xxx,2 分 令()0 fx 得 2(2 xx 舍）,3 分 故当(1,2)x 时,()0 fx,此时()fx 单调递增;当(2,)x 时,()0 fx,此时()fx 单调递减;故()fx 的单调递增区间为(1,2);单调递减区间为(2,).4 分(2)证明：当 1 a 时,2()2ln(1)(1)f x x x,5 分 此时()fx 的定义域为222|1,()2(1)011xx x f x xxx,当 1 x 时,()fx 始终单调递增,6 分 当 0 x 时,()(0)f x f,即22ln(1)(1)1 xx,即 当 0 x 时,22ln(1)2 x x x,7 分 故令1()x n Nn,得21 2 12lnnnnn,即 对于任意的nN,都有22 1 12lnnnnn 成立.8 分(3)证明：由(2)可知,对于任意的nN,22 1 12lnnnnn 均成立,2 2 23 3 5 4 2 1 11 2ln 2,2ln,2ln,2ln2 2 3 3nnnn,2 2 23 5 2 1 3 4 11 2ln 2 2ln 2ln 2ln 2ln(1)2 3 2 3nnnnn,9 分 接下来只需要证*ln(1)()1nn n Nn,方法一：令1()2ln,h t t tt 其中 11 tn,222 2 22 1 2 1(1)()1t t thtt t t t 恒小于 0,10 分 当 1 t 时()ht 单调递减,即()(1)2ln1 1 1 0 h t h,11 分 于是,当 1 t 时12lnttt 恒成立,即*ln(1)()1nn n Nn 恒成立.*2 2 23 5 2 1 21()23 1nnnNn n.12 分 数学试题答案第 6 页（共 6 页）方法 二：令2()2 ln 1,1 1 h t t t t t n 其 中,2()2ln 2 2,()2 h t t t h tt,10 分 当 1 t 时2()2 0 htt,()(1)2ln1 2 2 0 h t h,当 1 t 时()(1)2ln1 1 1 0 h t h,11 分 于是,当 1 t 时22 ln 1 t t t 恒成立,即*ln(1)()1nn n Nn 恒成立.*2 2 23 5 2 1 21()23 1nnnNn n.12 分