高中数学正、余弦定理（精练） （提升版）.pdf

5.4正、余 弦 定 理（精 练）（提 升 版）题 组 一 判 断 三 角 形 额 形 状 1.（2022四 川 省 峨 眉 第 二 中 学 校）在“4 B e 中，已 知（c-a）（b+c+a）=3 A，且 2cos8sinC=sin/，则/8 c 的 形 状 为（）A.等 腰 三 角 形 B.等 边 三 角 形 C.直 角 三 角 形 D.等 腰 直 角 三 角 形【答 案】B【解 析】由 题 意,sin 4=sin彳 si*4）=（f i i S i n Gas C B 则 2cos E sin C=sin 8 cosc+sin Ceos 5 o sin 8 cosc-cos 8 sin C=sin（8-C）=0，又 一 根 M 则 B=C，由 3+c-a）（b+c+）=3儿 可 得 S+C）2_ 2=3 A,HPb2+c2-a2=bc,所 以 8 s=由/，知 2hc 2 3综 上 可 知 即“IBC的 形 状 是 等 边 三 角 形.故 选：B2.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在 A/。中，角 人，所 对 的 边 分 别 为“，J,若 8 s g=包 a-ccosB sin则“8 C 的 形 状 是（）A.等 腰 三 角 形 C.等 腰 直 角 三 角 形【答 案】AB.直 角 三 角 形 D.等 边 三 角 形 s a l.E U-c c o s A sinB-十 3 e 丁，口 sin B-sin C cos A sinB 击 日【解 析】因 为 百 菽 也 正 弦 定 理 可 得：s i n/-s 屋 嬴 不 整 理 可 得:sin A cos 力=sin 8 cos B，R即 n sin24=sin23，r所 r 以 r.2A=2B 或 者 _ 2A+2B=7 r，r所 r r以 l A=B 或 42+C8=it，2而 当/+8=工 时 则 C=工，所 以 三 角 形 3 C 为 直 角 三 角 形，所 以 C.cos8=a,2 2则 叫=当 中,这 时 c cos8=0,分 母 为 o 无 意 义 所 以 4=8,选：八 a-c c o sB sin J3.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在“8 C 中，已 知。+6=乙+,则“8 C 的 形 状 一 定 是（）tan A tan BA.等 腰 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 边 三 角 形 D.等 腰 或 直 角 三 角 形【答 案】B【解 析】由 正 弦 定 理 得 sin Z+sin 8=包 4+=cos A+cos B,tan A tan B整 理 得:sin A cos A=-sin 5+cos B即&s i n _ j=_&s i n（5 _?），乂 因 为“津 武。/）,所 以 卜 一?卜（一；,弓）小 一 所 以 移 项 得：Z+8=1，所 以 三 角 形 一 定 为 直 角 三 角 形.故 选：B4.（2022 西 藏 拉 萨 中 学 高 三 阶 段 练 习（理）在“。中，8=二，c=0,b=50拒，则 为 6（）A.直 角 三 角 形 B.等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 C.等 边 三 角 形 D.等 腰 三 角 形【答 案】Bb。50 150.73 0 C c2B.sin A s=in B s=in C5-6-7cos2 A+cos2 B cos2 C=1 D.tan A+tan B+tan C 0【答 案】BD【解 析】对 于 A,若 由 余 弦 定 理 可 知 cosC=，W 二 M o,即 角,为 锐 角，不 能 推 出 其 他 lab角 均 为 锐 角，故 错 误；对 于 3 因 为 皿 啦 处,可 得 s i：sin8:sinC=5:6:7,可 得 q：b：c=5：6:7,设 a=5 k,b=6 k,5 6 7c=1 k，k 0,可 得 c 为 最 大 边，c 为 三 角 形 最 大 角，根 据 余 弦 定 理 得 3 0 岁=次+=4始=!0,可 得 C 为 锐 角，可 得 A8 C 一 定 是 锐 角 三 角 形,2ab 2 x5k x 6k 5故 正 确；对 于 C，因 为 c o s?/+cos,B-c o s2 c=1，得 1-sin?/+1-sin,3-（1-sin?C）=1，整 理 可 得 s i n+sin2 8=sin 2 C，由 正 弦 定 理 可 得/+=/，可 得。为 直 角，故 错 误；对-于 D，因 为.由 工 于，“c、tan A+tanS m tan+tan 5=-tan C+tan A tan B tan Ctan(4+8)=-,整 理 得，1-tan J tan B故 tan 4+tan 8+tan C=tan A tan B tan C,山 tan 4+tan 8+tan C 0 故 tan 4 tan 8 tan C 0 故 A，8，c 均 为 锐 角，8 c 为 锐 角 三 角 形，故 正 确.故 选：BD.6.(2022浙 江 高 三 专 题 练 习)己 知 内 角 A，8，c 所 对 的 边 分 别 为 0，b c，面 积 为 s 若 a sin史=6 sin Z,2S=B A C At 贝 i 8 c 的 形 状 是（）2A.等 腰 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.正 三 角 形 D.等 腰 直 角 三 角 形【答 案】C【解 析】因 为 a sin生=b s i n/,所 以 asin(%-O=b sin N，即 4cosO=bsin/,2 U 2 J 2D由 正 弦 定 理 可 得：sin A cos=sin S sin A,2r asin J 0 g、B.口、.B B因 为，所 以 cos=sm 4=2sincos一,2 2 2因 为。0 生，所 以 c o s。，所 以 2 s i d=l,可 得 s i i=L 所 以 与 解 得 5=g,2 2 2 2 2 2 2 6 3因 为 2 s=6 历 L C/,所 以 2 x 4 c s i n/=6 b c c o s X,即 sinZ=6 c o s/,2所 以 tan4=6,可 得 力=工，所 以 c=7 r-4-8=工,所 以“8 c 的 形 状 是 正 三 角 形，故 选：C.3 37.（2022湖 南 长 沙 一 中）（多 选）在-4 8 c中，角“，&C所 对 的 边 分 别 为。，b,c,以 下 说 法 中 正 确 的 是（）A-若 N 8,则 s in/s in 8B.若 a=4,6=5,c=6,则 为 钝 角 三 角 形 C.若 a=5,6=10,/=生，则 符 合 条 件 的 三 角 形 不 存 在 D若 a c o s/=ZcosB，贝 U“5 c 一 定 是 等 腰 三 角 形【答 案】AC【解 析】若/8,则 所 以 由 正 弦 定 理 可 得 s i n/s i n 8,故 A 正 确：若 a=4,6=5,，=6,则/+/,即 co sC F2二 i 0,所 以 角,为 锐 角，即“尤 为 锐 角 三 角 2ab形，故 B错 误；若“=5,=1 0,月=；,根 据 正 弦 定 理 可 得 加 8=姆 上 1=3 也=&14 a 5 2所 以 符 合 条 件 的 三 角 形 不 存 在，即 C 正 确；若 a c o s/=bcos8,则 sinZ cos4=sin8cos8,即 5苗 2%=5m 28,因 为 2/78（）,）,2（0,），所 以 24=2 8或 2N+2 B，即=8 或/+8=生，所 以 S C 为 等 腰 或 直 角 三 角 形，故 口 错 误.故 选：AC2题 组 二 最 值 问 题 1.（2021安 徽）已 知 四 边 形 N8CZ）是 圆 内 接 四 边 形，AB=4,AD=5,BD=3,则”台。的 周 长 取 最 大 值 时，四 边 形 4 8 8 的 面 积 为（）A 3 B H C.9+3标 D.3+3加 4 4【答 案】A【解 析】Z4BD 中，因 AB2+BD2=25=AD2,则/窃。=90,c o s=-,而 四 边 形 4 8 8 是 圆 内 接 四 边 形，如 图：.A+C=7 T 6,4.3贝 I J,cosC=-cos/l=，sinC=-5 5在 8C。中，由 余 弦 定 理 SC+C D2-2 BC-CD cos C=BD2 得 8c2+CD2+BC CD=9,（BC+CD）2=9+-BC CD 3,所 以 BC=CD=典 时，四 边 形/BC。的 周 长 取 最 大 值，2四 边 形/8C。的 面 积 S=5,80+5 03 18cCQsinZB8=_L.3.4+L 我 画 3=卫.4 2 2 2 2 2 2 5 4故 选：A2.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（文）在/以；中，角 A，B c 的 对 边 分 别 是，b c，且 A，B，C成 等 差 数 列，一”则 分 的 取 值 范 围 是（）1/T-C 4 UA.【I?)B.(，2 C.1，由 D.。，+)【答 案】A【解 析】在 中，由 A，B C 成 等 差，可 得 28=Z+C，由，得，B=3.由 余 弦 定 理=+c _ 2 QCCOS8,可 得/_2acx；=(a+c _3ac=4 3ac,又 3 a c 0 a+c)、3,当 且 仅 当 5 时 等 号 成 立，即.-.l4-3c4,BP 1 ft2 4 解 得 14 b 2所 以 6 的 取 值 范 围 是 1,2).故 选：A3.(2022陕 西 武 功 县 普 集 高 级 中 学)在“8 c 中，角 4 5；C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,A=-,6 BO的 面 积 为 2,则 当 逆 攻+电 且 取 得 最 小 值 时/=()sinC+2sin5 smCA-85/3 B-20+86 C-20-873 D-2 0【答 案】C【解 析】,血=；小 出/=2,/c-8,由 正 弦 定 理 可 得-2sinC_+sin5=2c+匕 8+4+*_ _ 1 _sinC+2sin5 sinC c+2b c 4+b2 8 2_ J _xi 1 _ l=2，当 且 仅 当 色=+,即=2,c=4 时 等 号 成 立,4+/8 2 2 4+8此 时/=2 2+42_2x2x4cos&=2 0-8 G 故 选：C64.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)在 出 宿 8 c 中，NC为 最 大 角,且 s in/:s in 8:s in C=2:(l+%):2左，则 实 数 人 的 最 小 值 是()A.1 B.2 C.3 D.-3【答 案】A【解 析】由 于“为 最 大 角，贝 产 的 对 边 最 长，贝 4 2 1 2,得 出 发.F=N/+Z 8+N C 4 3 N C,得 2kk+Z C-,由 于 A,。为 锐 角 三 角 形，则 N C&,.工 4 N C 工，则 0 COSN C WL3 2 3 2 2即。/+(+1-(2左 y 1,整 理 得 9-2 人-5 1 35.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)在 8 c 中，是 8 c 边 上 一 点，且=工，亚=！，若。是 8 c 的 中 点,6 BD 2则 生=；若=4百，则 的 面 积 的 最 大 值 为 AB【答 案】叵 4百 3【解 析】若。是 C 的 中 点，则 4。=必=空，B=-2 4 6在 4 8。中，由 余 弦 定 理 可 得 NO?=友）2+4 8 2-2/8.8 COS8即 空=BD2+AB2-24B BDX也，整 理 得 4 8 2-6 4 比 8 0+:8。2=0,4 24即 止 争 X，所 以 所 争。在 A/8 C 中，由 余 弦 定 理 得/C?=8C2+4 8 2-2/8/C-c o s 8o/T 6 7=4BO2+-5)2-2 x 5Z)x25)x=-B O24 2 2 4A C上 2BD力 厂 L BD/T7所 以 哼=专=理 AB g BD 32若 3,吟，,由 上 述”畀 作 山 人 于 点 已 由 Y，知 DE=AD.DA AB作,.A F A.BC于.点,.尸 r，Z/.AsDnB=71所 以 A C 在 C 边 上 的 高 为=丝=且/尸，BF=A B=BD2 4 2 4所 以 SMDC=:4 F CD=BD,CDZ o因 为=C=4 G,NADB=%,所 以 N N O C=2 3 3由 余 弦 定 理 得 AC?=NO?+CD?_ 2/0-C)cosZADCi i i Q即 48=-BD2+CD2+-B D C D=(CD BD)2+-B D C D4 2 2 2当 时，皿 0 有 最 大 值，即 为。=4 8,则 B=322 2所 以&血=BD-CD=x32=4y/3 A D C g 8故 答 案 为：岑，4 66(2022 山 东)如 图，设“8C 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为。、b、。，G(a c o sC+c c o s/)=2bsin 8，且 N C=X.若 点。是“8 C 外 一 点，3 1,3 3,则 当=_时，四 边 形 8 8 的 面 积 的 最 3大 值 为 _【答 案】1 3+乎【解 析】.百(QCOSC+CCOS/)=2bsin B，由 I上 弦 定 理 可 得 G(s in/c o s C+c o s/sin C)=2sin2 B 所 以，2sin2 5=/3sin(?1+C)=V 3 sin(-B)=/3sinB N C/8=/0,L 考，所 以，A/8 C 为 等 边 三 角 形，设。则 0 2_2/0-C D cose=1 0-6 co s。，S。/ARC=g.兀 _ 氏（c 公 573 35/35 Z。sin,彳（1。-6 cos。）=-cos 31 3S ACD=2 AD-CD2sinO=s in 0，所 以，四 边 形 8 的 面 积 为 s=s.g+s，s c=T sin e+乎 一 乎 cose=3sin（e-2）+W，：00 7V 71 八 冗 2 乃，0，3 3 3所 以，当。-生=三 时，即 当/）=0=至 时，四 边 形 8 8 的 面 积 取 最 大 值 3+亚.3 2 6 2故 答 案 为：济 3+迫.6 27.（2021上 海 市 进 才 中 学）在 锐 角 3 c 中，f一 心 桃,则 广 二-丁 二+2加/的 取 值 范 围 为【解 析】./一=6 c，利 用 余 弦 定 理 可 得:I）2+c2-2bccosA-b2=bc 1c2 一 2bc cos A=b c c-2b cos A=b由 正 弦 定 理 可 得:s in C-2 s in 3 c o s/=sin8/.sin(J+)-2sin Bcos A=sin即 sin A cos 5-sin 5 cos 4=sin 5，即 sin(4-B)=sin B乂 春 台。为 锐 角 三 角 形，./一 3=夕 E|J A=2B7 1 7 1 n 冗 冗/九 0 2 5-A-2 6 4 3 2，7 10 7 r-3 B-2.，-，+2sin，=sin，叽 2 s i n/J n(2 8-3 2 s i n/=，+2sin/tan 8 tan J sin B sin A sin B sin J sin J“，则/)=；+2，傍，1由 对 勾 函 数 性 质 知，%)=；+2,在,七 停,1 上 单 调 递 增,8.(2022 河 南)如 图 所 示，在 平 面 四 边 形”8 8 中，已 知 加)=2,C D=4,Z)=,c o s S=-,则 叱 3 4的 最 大 值 为 一【答 案】56【解 析】中，AC2=A D2+D C2-2AD-DCcosD=4+6-2x2x4cos=28,3 A B C 中，由 得 3 3 I28=AB2+BC2-2 A B B C X-2 A B B C-A B B C=-A B B C,4 2 2所 以&5 C 4 5 6,当 且 仅 当/3=3 C 时 等 号 成 立，所 以 ZB S C 的 最 大 值 为 56.故 答 案 为：56.9.(2022湖 南 长 沙 一 中 高 三 阶 段 练 习)在 A 4 8。中，内 角 N,B,C 的 对 边 分 别 为“，b,c,且 sin C+cos C=sin 5+sin Csin A(1)求 角 4(2)若/B C是 锐 角 三 角 形，且 c=4,求 b 的 取 值 范 围.【答 案】（号 Q，8）.【解 析】,G sin C+cosC=s in 8+s in C,.6 s in-s i n C+s in 4 c o s c=sin8+sinCsin JVJsin Zsin C+sin A cos C=sin（Z+C）+sin CV3 sin 4 sin C+sin A cos C=sin J cos C+cos/sin C+sin CG sin/sin C=cos Jsin C+sinCv C e（O,-）s i n C 0/3sin J=cos/l+l V Jsin力 一 cos力=1 2sin（力 一 工）一 1 sin4一 工）=!6 I 6,6 J71 _ T l 6 6,式.=A.=3 M g e c T，;.c咛 为.4 8 C 是 锐 角 三 角 形，.0 C&n 0 2-8（生 n 工 8 生，2 3 2 6 2同 理，工 C 工.根 据 正 弦 定 理 得,6 2b e 4 sin 5 4sin（4+C）=n b=；-=-；-sin 5 sinC sinC sinC-4 h_ _c_o_s _C_ _+-siJn C=2+m厂 sin C tan C-C=0 e（2,8）.6 2 y/j tanC、10.（2022宁 夏 石 嘴 山 一 模（理）在 A/B C 中，角 4 B，C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,D 为 的 中 点,右 2b cos C=2a+c 求/B S 若 a+c=6，求 8。的 最 小 值【答 案】（1）8=如（2）33 2【解 析】解：由 双。sC=2a+c,利 用 L弦 定 理 J得：2sinBcosC=2sin N+sinC 2cosSsinC+sinC=0 s in%。，；.cos人，.8=网 2 3AC _ 1 _ _（2）由。为 的 中 点，访=（现+於），,4B D=BA+BC2+2BA BC=c2+a2+2accosB=（a+c）2-3ac 1又.a+cW2 疝，4（丁，：-4BD2（a+c）2=9,当 且 仅 当”=c=3时，|丽|取 最 小 值 3.2题 组 三 三 角 形 解 的 个 数 1.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）（多 选）下 列 在 解 三 角 形 的 过 程 中，只 能 有 1个 解 的 是（）人 a=3 h=4 4=30。0。=3 6=4 八 3A.,H.,COS D 5C-a=3 6=4，C=30 D-a=3，6=4，8=30。【答 案】BCD【解 析】根 据 题 意，在 A 条 件 下 N=ml=sin3=&xsin/=2,因 为.2=2v3,cos=,5=60;u-【答 案】ABD【解 析】对 于 4 大 边 对 大 角，而。1，无 解；对 于 C，由 cos/=也 可 得 sinZ=2 叵，正 弦 定 理 求 出“，再 由 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 可 求 出;有 解;5 5对 于 D,由 和 通 过 余 弦 定 理 可 得 cosC=0，H c=60矛 盾，无 解 故 选：ABD3.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 AZ 8 C的 内 角 力，B,C所 对 的 边 分 别 为 明 h,c,若=0，6=2,A=,则 满 足 条 件 的 A B C（）6A.无 解 B.有 一 个 解 C.有 两 个 解 D.不 能 确 定【答 案】C【解 析】因 为 a=&b=2,A=J,6由 正 弦 定 理 可 得 一 三=勺，所 以 sin8=2sinN=E，sin A sinB Q 2因 为 B为 三 角 形 内 角，所 以 生 因 此 8=1 或 8=史，6 6 4 4若 8=9,则。=上 符 合 题 意；若 8=包，则 C=三，符 合 题 意；4 12 4 12因 此 A/8 C 有 两 个 解：故 选：C4.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）在“S C 中，c o s/=，若 角 C 有 唯 一 解，则 实 数”的 取 值 范 13围 是（）A.M B.岛 1 C.副 唱 D.（0,割 3 1【答 案】D【解 析】在 8 C 中，c o s/=,S i n 5=W,若 有 唯 一 解，则 8 C 有 唯 一 解，13设 内 角 A，B C 所 对 应 的 边 分 别 为 Q，b由 c o s/=乜，则 A为 一 确 定 的 锐 角 且 Sin4=工，所 以 q=也=工，13 13 6 sin 8 13机 如 图 以 C 为 圆 心，a 为 半 径 画 圆 弧，当 圆 弧 与 边 4 8 有 1个 交 点 时 满 足 条 件，如 图 示：即 圆 弧 与 边/A 相 切 或 与 圆 弧 与 边 4A相 交 有 2 个 交 点，A b A D其 中 一 个 交 点 在 线 段 的 反 向 延 长 线 上（或 在 点 八 处），ttLa=bsinA=-b a-b,13叫 二 言，即。合，得 拿 或 e C，解 得 I 或 0 4 B 0 x-4 C”D.8 石 a.D-J 4 x 4 x 3 3【答 案】D【解 析】如 图:CD LABB DB因 为 三 角 形 ZB。小 两 解，所 以 C Q 8 c%c，所 以 b s i n/c a S所 以 3 x 4 x，得 4 x Ja2+b2-2 a b cos400=725-2 4 cos40由 正 弦 定 理：和 扁 J，有：一 三 sin A4 j2 5-24cos40sin B sin 40可 以 求 出 角 4、3,45c 唯 一 确 定；故 B正 确.g 工 厂=3,6=4,4=40 a b 士 3对 十 c：由 正 弦 定 理：i=有：诉 4sin B._ 4xsin 40 sin B=-3V a=3,6=4,a b*40=A B,这 样 的 角 B 有 2 个，所 以 力 5 c 不 唯 一，故 C 错 误.对 于 D：a=3,b=4,8=40由 正 弦 定 理：步 扁 二 袅,有：总 4sin 40.3 x sin 40 sin A=-,4,*a=3,b=4,:a 3 时，=0 B.当 人=3时，=1C当 0 41 时，=o D.当 时，=2【答 案】C【解 析】作 出 A/8 C 外 接 圆 如 图 所 示，因 为=8 c=2 6 所 以 ANBC的 外 接 圆 半 径 为 二 二=地=3 2sinN V3因 为/=工，所 以 乙 BOC=也，=1,3 3所 以 当 Z8=/C 时，最 大 为 3,此 时“/B e 是 唯 一 的，所 以 B 正 确，A 正 确，当 o a时，由 圆 的 对 称 性 可 知，此 时 一/所 以 c 错 误，D 正 确，故 选：C8.（2022云 南 师 大 附 中 高 三 阶 段 练 习（文）A/B C的 内 角“，B，C 的 对 边 分 别 为 m b,c,已 知/=30。,6=12，若 A4 8 C有 两 解，写 出。的 一 个 可 能 的 值 为【答 案】7（满 足 a e（6,12）均 可，答 案 不 唯 一）【解 析】由 于 满 足 条 件 的 布 有 两 个，则 即 6”12 故 答 案 为：7（满 足 a e（6,12）均 可，答 案 不 唯 一）.题 组 四 几 何 中 的 正 余 弦 定 理 1.（2022湖 南 株 洲 一 模）如 图，在 四 边 形 C D 中，=2 4,且 4 0=1,8=3 6AB C 求 A C 的 长；(2)若,求 的 面 积.从 4。=生，BC=W 这 两 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 上 面 问 题 中 并 作 答.3【答 案】(1)26(2)选 时：$_ 9亚+6力：冼 时:S“BC=3五 3 ABe-【解 析】由 cosB=，得 cos28=2cos?8-1=-L*,cosD=-,3 3 3在 A/O C 中，由 余 弦 定 理 得：AC2 A D2+D C2-2AD-DC cos D=12 AC=243,选 ZB。=工 时:由(1)可 知 0=2近，3cos8=3,二.sin8=巫,3 3sin Z.BAC=sin(5+/.BCA)=snBcosZ.BCA+cos B sin Z.BCA3+V66在“8 C 中,_ AB 36sinfi s i n N 5 a 三:.S A B C=-AB-ACsm Zg/jC-x X 2/3X3+=“Be 2 2 2 69/2+6/3.-,4选 四 指 时:由 可 知 3 浮 等在 A/BC 中，由 余 弦 定 理 得 cos B=BC2+-,即 3=6+”2 7 2,AB=3 0,2BC-AB 3 2瓜 AB:.S,r=-/1S-5CsinS=-x3V2xV6x=3-*BC 2 2 32,（2022山 西）在 A/BC 中，D E 分 别 在 线 段 上，且 N4CD=NDCE=NBCE=37 CE=4,3sin37=j）（1）若 8c=5，求 证：C EL AB（2）设 乙 CDE=，且。45。,60。，求 的 最 大 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）最 大 值 为 28.【解 析】（1）由 sin37Q=士 可 得 cos370=-.5 5由 余 弦 定 理 可 得 8炉=8C2+CE2-28C-CE-COSZ8CE=25+1 6-2 X5X 4 X9=9,BE=3 BE2+CE2=B C2，N8EC=90即 C E L 4 8：CDE CE DE 4 DE“12-=-U L L,=-（2）在 中，由 正 弦 定 理 可 得 sinNCOE sinZDCE,BP sin3 3,故 5sin0，5同 理 s Jsin（O+37。）.如/必 加 37。3CD 12sin（0+37。）sin。sin（0-37）5 sin（0-37）5sin0sin（0-37）由 条 件 可 得 4co与 M E 的 面 积 之 比 恰 好 等 于 AD:D E，-C-Csin372即-CCZ）sin372ADDE，ACCE即 ADDE 4AD 4sin（6+37）_ 4sin0cos370+4cos0sin37 _ 16sin0+12cos0DE sin（。-37。）sin 0 cos 37-cos 0 sin 370 4sin0-3cos0_ 16tan6+12 _ 4（4tan6-3）+24 _ 4t 244 tan 0-3 4 tan 0-3 4 tan 6-3.同 45。,60。,.匕 皿 虫 可，.J。的 最 大 值 为 28.3.（2。22全 国 高 三 专 题 练 习）如 图,在 梯 形 小 8 3 2,（1）若 4C=2不，求 梯 形 45。的 面 积;。）若 AC t B D 求 tan NABD-【答 案】（1）7色（2）tan48D=辿 3【解 析】设 S C，在 8 C 中，由 余 弦 定 理 叱=族+心-2 A B BC cos/A B C28=22+x2-2.2.x.c o s,即/+2%-2 4=0,而 口，解 得 一 3得:所 以*4,则“8 C 的 面 积 小 好 呢 皿 4 2 4*2 5梯 形 8 8 中，/B/C。，AZ 8C与“。C 等 高，且 c,=%生 2所 以“D C的 面 积 以 皿=应 亚=5 6，则 梯 形 的 面 积 S=S*+S ADC(?)在 悌 形/B C D 中，设 4 8 D=cT 例 4 C J.5。，则.Z.BDC=a,N/DBAAC=-7-1-c c NDBC-2-7-r-ci,/B心 C-A=a-7-1,2 3 6 B C AB _ BC 2 _ BC在 由 正 弦 定 理 sinZ S。=sin Z 5 4 c 得:sin(a_)-sin(_a)BDC CD _ BC 5 _ BC在 中，由 正 弦 定 理 sinNZZBC sin Z.BDC f J：s in/%a)s i n a，2 sin(-a)两 式 相 除 得：-5 s in(a-)、，向 J 2(c o sa+sina)sina、2 2s in(-a)5.(当 sin a 一;cos a)sinacos a格 里 得 5 G sin2 a 7 sin a cos a-2 百 cos2 a=0 1 5 6 tan2 a-7 tan a-2百=0解 得 ta n a考 或 t a n a*，因 为 由 钙),则 2 考,M a n皿4.（2022云 南）如 图，a/B C 中，点。在 上 且 满 足：AD=AB=y/24AD sin A=BD sin B在 8=3,/c D/=工，.，_ 在 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 题 设 中，求 BC的 面 积 4 in-丁（注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分）【答 案】6.【解 析】在 8 中，由 正 弦 定 理 得，一 ADsinA CDsinZACD,sinzf ACD s ig在 8 中，由 正 弦 定 理 得，=3 n 8 D s i n 8 CD sin Z BCD,sin BCD sinB JDsin A=Dsin B 9CD sin ZACD=CD sin ZBCD）即 sin/ZCD=sin Z 8cD 则 乙 4CD=NBCD，即 a）是 4 c 8 的 角 平 分 线;AD=AB=6 n AD=6，8。=3夜，AB=4,4在 A/8 C 中，由 4sinN=8Z）sinB 及 正 弦 定 理 得，AD BC=BD AC.二&8C=3&Z C，即 8 c=3ZC-若 选：CD=3-在 A/O C 中，由 余 弦 定 理 得，cos J=小+心-必-2 A D A C(+/2-3 2242 ACAC1-1242AC在 A 3 c 中，由 余 弦 定 理 得，c o s=痛+2-B=3 2-8/,2AB-AC 8 V L ic4 c z-7 3 2-8 Z C，=AC=f5-2y2AC=8714 cBC=3AC=3 亚 则 cos/=32 8 x(南 872x75sin A=V l-co s2 A=1=Vio=J C-J 5 sin?!=x 75 x4/2 x 1=6.2 2 M若 选：ZCDA=-.4“DC ZACD=0 cAri _ JY 乙 i Q.in八 w=-1-在 中，设，由 正 弦 定 理 得 正=布，则 A C，TCD Z4CB,.，-八 小,2是 的 角 平 分 线，故 c o s 4 c 8=cos26=l-2 sin 0=l-rAC2在 A/8 C 中，由 余 弦 定 理 得，AC2+BC2-A B2=2 A C-B C-cos ZACB=10AC2-3 2=6AC2解 得“C=石，s in=4=,B C=3A C=3后,V52 3 4故 cosN/C 8=l-=/.sin ZACB=-AC2 5 5则 S-8 c=；4 C-3 C s in/4 C 3=6.若 选：sinZACD=-5设 NZC。6,则 cosN4CB=cos26=l-2sin2 0=3,sinZ.ACB-,5 5在.4 台。中，由 余 弦 定 理 得，1 QAC2+BC2-A B2=2 A C B C COSZ A C B 0 A C2-32=AC2,5解 得 AC=45 B C=3 AC=3y5,则 S-Bc=；ZC-8C sin NZC8=6.5.(2022山 东 聊 城 一 模)如 图，在 四 边 形 8 中，瓦)3 哈 一/可/，=；求“(2)若 AB=y3,AD=3,CD=,ZC=2ZCBD 求 四 边 形 8 C。的 面 积【答 案】(l)N/=&(2)速.6 4【解 析】因 为 6 乙 4)+(3+4)=，所 以 s i n g 4)=c o s.+NZ所 以 s i n(-N/b o s.+N/)=；可 化 为 sin2 g-乙，=；由 二 倍 角 公 式 可 得：cos仁-2 4）=；因 为 孙 皿 所 以 4 1 0 目，所 以 仔-2 4 卜 卜 宗 引，所 以 生 _ 2 4=%,解 得 4=工.3 3 6 在 4 8。中，3=右,0=3/=工，由 余 弦 定 理 得:6心 皿”,即*3=32所 以 3。=5在 8 8 中,由 正 弦 定 理 得|=岩=百,所 以=又 因 为 NC=2N C8。所 以 cos/CBO=3 2又 因 为“8。（0,乃）,所 以/0 3。=工,从 而/。=2/。6。=工，所 以 N8DC=工,.6 3 2因 此 枳 心 心 9.D.C D=H 不 6.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，四 边 形/8 C。中，乐 血,C=G,cos Z 5 C=3B 求 sin N 8 N C 的 值；若 ZSN）=90 BD=C D 求 以 的 长【答 案】sin的 C=；（2）-27 2【解 析】（1）由 余 弦 定 理，/。2=力 炉+8 C 2 _ 2 4 8-3 C COSN力 5C=3 则 38c2+SBC-3=(3BC-1)(8C+3)=0,所 以 6C=13X sin ZBC=-3旦=-=3 G,所 以 sin ZBAC-sin ZBAC sin ZABC sm”西 Q)过。作 CE_L4。J E/BAC=。乂/BAD=90”A Bi 742所 以 4E=4C sin6=2,CE2=AC2-A E2=9 81令 BD=8=则 E,故 DE=4 D f E=E j在 中，即 Rt DEC CD2=CE2+DE2 2 242x=-4-81(4X 2-)2=X2+4 X 2所 以 X=叵，即 C D的 长 为 叵.2 27.(2022全 国 模 拟 预 测)在 8 c 中，角 4 B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且(J(2a+c)c o s(/+C)+b=2b cos2 求 民(2)如 图，若。为“C 外 一 点，且 4 8 陪 4 B L 4 D,AB=1,AD=K,求/C【答 案】人 争 2心 后 前【解 析】山(2a+c)c o s(/+C)+6=2/?cos2g,得(2a+c)cos氐 2eo8)=b(2 y即-(2a+c)cos8=6 c o sC，由 正 弦 定 理，2 sin J+sin C)cos B=sin 5cosC f 整 理，得 2 sin 4 co s6=sin C co sB+s in 6 c o s C，,-2 sin A cos 5=sin(5+C)=sin A 又 4 4。兀),s i n),.co s5=又 3 w(U),.二 生 2 3(2)连 接 8。，因 为 AB=1 AD=拒，所 以 BD J AB?+AD?=+(6)=2，tan Z.ABD=力=也，所 以 4 3。=百，所 以 NCBD=N4BC N4BD=三.3 377r 7 1又/B C D=,所 以/B D C=式 一/B C D NCBD=,12 12ABCD BD BC 2 BC在 中，由 正 弦 定 理 可 得 sin/B C Q sinNBQC,1 1.7兀 兀 一 二 一 sin sin 12 122 sin 71 2 sin所 以 8C=普=.7nsin 12在 A/8 C 中，由 余 弦 定 理 可 得 AC2=AB2+BC1-2AB-BCcos ZABC=f+(4 _ 2/3)2-2 x 1 x(4-25/3 jc o s-y=33-1 8,所 以 NC=J 3 3-1 8百,BQ T 廿，-1 廿 口 士、二 4r”nn、士 3 1/43CQ r+i