2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破：专题23旋转（教师版）.pdf

专题2 3旋转二 一 单元知识点呈现1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。(图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。)如 下 图 所 示：2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角(旋转角大于0,小于360)。3.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。4.中心对称图形与中心对称中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转1 8 0 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。5 .中心对称图形的判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。6 .中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形。(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。飞重难点及方法解读本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习的兴趣。i.中心对称和中心对称图形的区别区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称.成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称.中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。2.坐标系中对称点的特征(1)关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P (x,y)关于原点的对称点为P L x,-y)(2)关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P (x,y)关 于x轴的对称点为P(x,-y)(3)关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P (x,y)关 于y轴的对称点为P(-x,y)3.旋转变换的应用总结(1)求角度；(2)求弧度；(3)求面积；(4)证明线段相等;(5)证明角相等;(6)证明位置关系；(7)综合应用。解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。对点例题解析【例 题 1】(2 0 2 0 枣 庄)如图，平面直角坐标系中，点 8在第一象限，点 4在 x 轴的正半轴上，N A O B=/8=3 0 ,的=2.将/如绕点。逆时针旋转9 0 ,点 8的对应点片的坐标是()A.(-V 3,3)B.(-3,V 3)C.(-V 3,2+V 3)D.(-1,2+V 3)【答案】A【解析】如图，过 点 夕 作 6 轴 于 解 直 角 三角形求 出 H,B 即可.如图，过 点 夕 作 8 轴 于 在 R t Z V I B 中，：A B =2,N 8 A /=60,：.A =/B c o s 600=1,B H A B s i n 600=V 3,二 掰=2+1=3,:.B (-V 3,3)。【例 题 2】(2 02 0黑龙江龙东)如图，在 R t a/比 中，N A C B=90：A C=B C,点、D、分别在/C、比1 边上，D C E C,连接应1、A E、B D,点 收N、。分别是小、B D、袖的中点，连接掰、P N、MN.(1)B E与,即 的 数 量 关 系 是.(2)将笫绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断跖与物有怎样的数量关系？写出你的猜想,并利用图或图进行证明.【答案】见解析。【分析】(1)如图中，只要证明制烈的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题.(2)如图中，结论仍然成立.连接4。，延 长 跖 交4 于 点 也XE C B盥M D C A,推出应=4。，4DA C=A E B C,即可推出 B HV A D,由材、N、分别为/反 B D、的中点，推出 P M/B E,P M=、B E,P N/A D,P N=A D,推出月Q/W N MP N=90,可得应=2/W=2 x与网三注立解：(1)如图中，图 ：ME,A P P B,:.P MB E,P M=&B E,.：B卜 DN,AP=PB,：.PN/AD,4仁%YAC=BC,CD=CE,:AD=BE,:.PM=PN,/力%=9 00,J.ACVBQ:PMBC,PN/AC,:,PM1PN,你的等腰直角三角形，：.MN=五 PM,L 1蟀=五 一 BE,2:BE=V 2 J/V；故答案为BE=MN.(2)如图中，结论仍然成立.理由：连 接 力 ，延长跖交/于点?!%和期是等腰直角三角形,:.CD=CE,CA=CB,/ACB=/DCE=9G,：4ACB-/A C E=/D C E-/ACE,:ACD=4ECB,:.XEC哙XDCA(445),：.BE=AD,ZDAC=ZEBCf ；NAHB=18O0-Q H A分/ABH)=180-(45+/HAC+/ABID=Z180-(45=180-90=90,：.BHA.AD,J、N、户 分 别 为 册BD./9的中点，:PM BE,PN/AD,PN=AD,:.PM=PN,/M P N S ,:BE=2PM=2x 电fN=叵MN.单元核心检测 旋转单元精品检测试卷本套试卷满分12 0分，答题时间9 0分钟一、选 择 题（每小题3 分，共 3 0分）1.（2 019 黑龙江绥化）下列图形中,属于中心对称图形的是（）【答案】C【解析】绕某点旋转18 0。能和原图形重合,则这个图形称为中心对称图形,其中,A 是轴对称图形,B 旋转12 0的整数倍可以重合,D 选项旋转72 的整数倍可以重合,故选C.2.（2 019 辽宁本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】B.【解析】A 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误:B 选项，既是轴对称图形，乂是中心对称图形，故正确:C 选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故错误；D 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误，故选B.3.（2 019 山东枣庄）如图，点 是正方形48（力的边加上一点，把力瓦绕点/顺时针旋转9 0到 班 的位 置.若 四 边 形/的 的 面 积 为 2 0,D E=2,则 丝 的 长 为（）A.4 B.2 75 C.6 D.2娓【答案】1）.【解析】利用旋转的性质得出四边形 附的面积等于正方形/必（力的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案.应绕点顺时针旋转90 到?!跖的位置.四边形4 F的面积等于正方形四龙的面积等于20,:.A D=DC=2 爬,：DE=2,肛/49 中，A E yj2 54.（20 20 苏州）如图，在中，/砌 C=1 0 8,将/式绕 点/按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到.若点夕恰好落在a1 边上，且 4?=,则/。的度数为（）B A.1 8 B.20 C.24 D.28【答案】C【解析】由 旋 转 的 性 质 可 得,A B=A B ,由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得，N B=4 AB B,由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解.,:A B =C B ,:.4 C=2 C A B ,:.Z A B B=N C+N C A B=2N C,.将46。绕点按 逆时针方向旋转得到月C ,:.4 C=4 C,A B=A B ,:.N B=4 A B B=24C,班Z G/O Q 1 8 0 ,.,.3 N C=1 80 -1 0 8 ,，N C=24,/.Z f =Z C=24 .5.（20 20 年浙江绍兴）如图，点。为矩形4 g9的对称中心，点 从点出发沿 夕向点6 运动，移动到点6 停止，延长功交而于点凡 则四边形1 呼 形状 的 变化依次为（）A.平行四边形一正方形f平行四边形一矩形B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形C.平行四边形一正方形一菱形一矩形D.平行四边形一菱形一正方形一矩形【答案】B【解析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形/以 形状的变化情况.观察图形可知，四边形力瓦尸形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行四边形一矩形.6.（20 1 9南京）如图，4 E C 是 由 经 过 平 移 得 到 的，C 还可以看作是/a 经过怎样的图形变化得到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和1 次轴对称；2 次旋转；2 次轴对称.其中所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分.在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角.依据旋转变换以及轴对称变换，即可使4?。与B C重合.先将力比、绕着8，的中点旋转1 80 ,再将所得的二角形绕着B C的中点旋转1 80 ,即 可 得 到R C :先将沿着B C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B C的垂直平分线翻折，即可得到/R C。7.(20 1 9湖北孝感)如图，在平面直角坐标系中，将点尸(2,3)绕原点。顺时针旋转90 得到点户，则P的坐标为()A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)【答案】D.【解析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：3 0。，45 ,60。，90 ,1 80 .作轴于。，如图，把点一(2,3)绕原点。顺时针旋转90 得到点户看作把研?绕原点。顺时针旋转 90 得到，利 用 旋 转 的 性 质 得 到Q 0=90 ,A QOQ=90 ,P Q =P Q=2,OQ =OQ=3,从而可确定点的坐标.作 图，y 轴 于 0,如图，,:P(2,3),.J g 2,O Q=4,点。(2,3)绕原点。顺时针旋转9 0 得到点相当于把/绕原点。顺时针旋转9 0 得到,Q ,OD=B D=2,：.D(0,2),C(4,3),作关于直线OA的对称点E,连接E C 交处 于A则此时，四边形如比1周长最小，E(0,2),直线O A的解析式为y=x,设直线用的解析式为y=kx+b,b=24k+b=3解得：b=2，直线比1 的解析式为尸 工 2,49.（20 1 9 河南）如图，在的6中，顶点（0,0）,4（-3,4）,B（3,4）,将的8与正方形4腼 组 成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转9 0 ,则第7 0 次旋转结束时，点的坐标为（）A.(1 0,3)B.(-3,1 0)C.(1 0,-3)D.(3,-1 0)【答案】D.【解析】先求出4 6=6,再利用正方形的性质确定（-3,10）,由于70=4X 17+2,所以第70次旋转结束时，相当于的6与正方形4式组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次旋转90,此时旋转前后的点。关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点。的坐标.A （-3,4）,B（3,4）,18=3+3=6,四边形MCD为正方形,:.A/5 B=6,：.D（-3,10）,70=4X17+2,.每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于的6与正方形4%力组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次旋转90,二点的坐标为（3,-10）.10.（2020年浙江嘉兴）如图，正三角形4比1的边长为3,将45。绕它的外心。逆时针旋转6 0 得到A B C,则它们重叠部分的面积是（）C-|V 3 D.&【答案】C【分析】根据重合部分是正六边形，连 接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形,据此即可求解.解：作 4法 L 8C 于 M,如图：重合部分是正六边形，连 接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形.,/比是等边三角形，A MI.B C,1 2:.A B=B C=3,B M=a f=B C=,N8411=30,2 2二 /XA B C 的面积=B C X A M=X3X 巨=之 巨,2 2 2 4.重叠部分的面积=2 胸的面积返=C返9 9 4 2B 二、填空题(每空3分，共30分)11.(2019海南省)如图，将/的斜边46绕点力顺时针旋转d(0 rf90)得到,直角边4C绕点力逆时针旋转6(0 a90)得 到/凡 连 结 环 若46=3,4c=2,且H6=N6,则好=.【答案】V13【解析】由旋转的性质可得=/Q3,然=,=2,由勾股定理可求用的长.由旋转的性质可得/J Q 4 Q 3,A C=A F=2,./班/胡 0=9 0 ,且加1=/反二 /劭 C+5=9 0.,.Z 4A=9 0oF=VAE2+AF2=限1 2.（20 1 9 湖南邵阳）如图，将等边/如放在平面直角坐标系中，点力的坐标为（4,限，将等边/庞 绕 点。顺时针旋转1 8 0 得到0 B,则点B的 坐 标 是.点 6在第一象【答案】故答案为（-2,-2 V 3）.【解析】作用/_ Ly 轴于，如图，.0 1 6 为等边三角形，：.0H=A H=2,N B（M=60,.,.掰=遂 加=2仃二6点坐标为（2,2）,丁等边孔 绕 点。顺时针旋转1 8 0 得到OB ,二点 的 坐 标 是（-2,-2）.故答案为（-2,-2丑）.1 3.（20 1 9 山西）如图，在Zk A BC 中，ZBA C=9 0 ,A B=A C=1 0 c m,点 D 为a A BC 内一点，ZBA D=1 5 ,A D=6 c m,连接BD,将A A B D 绕点A逆时针方向旋转，使 A B与 A C重合，点 D 的对应点E,连接DE,DE交 A C于点F,则 CF 的长为 c m.【答案】1 0-27 6【解析】过点A作 A G L D E 于点G,由旋转可知：A D=A E,Z DA E=9 0 ,Z CA E=Z BA D=15:./A ED=4 5 ；在4 A EF 中：Z A F D=Z A ED+Z CA E=6 0 在 R t Z X A DG 中：A G=DG=AD72在 R t Z X A F G 中：GFAG=A F =2FG=2 屈=3叵：.C F =AC-AF=10-2A/6故答案为：10 2 代14.(2 0 19 山东淄博)如图，在正方形网格中，格点/比1 绕某点顺时针旋转角d (0 a x+/3 +1 -3x +y 2/3 +2-2/3 x +yX V K Q=O F2 G+2-2?3 x +y =2x +y/.2石+2=x(2+2：.x =l,即 P K=1XV Z P OA =30.0P=2,24.(9分)如 图，将小旗A CD B放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A (-6,12),B(-6,0),C(0,6),D (-6,6).以点B 为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90 .(1)画出旋转后的小旗A C D B；(2)写出点A ,C ,D的坐标；（3）求出线段BA 旋 转 到 二 A，时所扫过的扇形的面积.【答案】见解析。【解析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键.(1)根据平面直角坐标系找出A、C、D、B 的位置，然后顺次连接即可；小旗A C D B 如图所示。(2)根据旋转的性质分别写出点A ,C ,D的坐标即可：点 A (6,0),C (0,-6),D (0,0)(3)先求出A B的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解.V A (-6,12),B(-6,0),/.A B=12,2 线段BA 旋转至l B Az时所扫过的扇形的面积=90,12=3 6 叽36025.(12分)(2019广西贵港)已知：/回是等腰直角三角形，N物C=90,将/回绕 点。顺时针方向旋 转 得 到B C,记旋转角为d,当 90 d 1 8 0 时，作 D L A C,垂足为 A D 与 B C交于点E.(1)如 图 1,当4=1 5 时，作a?的平分线所交比于点尸.写出旋转角6的度数；求证：E A +E C=E F；(2)如图2,在(1)的条件下，设尸是直线小。上的一个动点，连接处，P F,若 AB=,求线段力+依的最小值.(结果保留根号)【答案】见解析。【解析】(1)解直角三角形求出N 4 即可解决问题.连接/F,设好 交。T 于 点 0.在 时截取连接。/.首先证明0 W 是等边三角形，再证明小侬/C E (SA S),即可解决问题.(2)如图2 中，连接4 F,P B ,A B,作夕交力C的延长线于M 证明/价必/E B,推出 三 胡 ，推出6 ,/关 于/对称，推 出 =阳 ，推 出 为+所=必+阳 N A B,求出4?即可解决问题.【解答】(1)解：旋转角为105.理由：如 图 1 中,B图1：A DLAC,Z?r=90,VZC4,g l 5 ,切=75,ACA=105,.旋转角为105.证明：连接A F,设 即 交 C A 于 点 0.在 时 截 取 E 4 E C,连 接 C M.：4CED=4W CE+ZCA Q 4 5 +15=60,：.ACEA=120,.必1 平 分/的，：.ZCEF=ZFEA=60,：AFCO=-45-75=60,:.乙FCO=乙A EO,:NFOC=4A OE,:.IXFQCs及 OE,.OF _QCA/0 OE.OF-Ay 0-，0C 0E,：ACOE=ZFOA,:Z O E sM F O N ,：.AFA O=NOEC=60,:z 尸是等边三角形，.g a =/F,:E k EC,N CEAH60,浙是等边三角形,/反游=60,Cbf=CE,：AFCA=乙 峻=60,:./FCM=ZA CE,:.MFC恒 *CE(SAS),:.E H E,：.CE+A E=E处FM=EF.(2)解：如图2中，连接4 F,PB,A B,作6 ML47交1的延长线于M.图2由可知1,ZEA F=EA B=75,A E=A E,A F=A B,EF/XA E B,:.EF=EB,：.B,尸 关 于 对称，：.PF=PB,:.P A+P F=P A+P B，在 麻 材中，CB=BC=&AB=2,NMCB=30,：.B M=CB=1,a/=yj,：-A B，=VAM2+BZ M2=7(V 2+V 3)2+12=6+2A-.PA+PF的最小值为届6+2加.2 6.(14 分)(2 0 2 0 年浙江绍兴)如图 1,矩形分。中，7=2,DE=3,R t 月 6 c中，N/龙=9 0 ,C A=C B=2,FG,优的延长线相交于点。，且我G JL S C,OG=2,O C=.将49 C 绕点逆时针旋转a(0 Wa 18 0 )得到/B C .(1)当 a=3 0 时，求点C 到直线如的距离.(2)在 图 1 中，取 H B的 中 点 只 连 结 C P,如图2.当 C 尸与矩形Z%的一条边平行时，求点广到直线必的距离.当线段4。与矩形外汽G 的边有且只有一个交点时,求该交点到直线发的距离的取值范围.图1图2【答案】见解析。【分析】(1)如 图 1 中，过 点C作。尸于解直角三角形求出即可.(2)分两种情形：如图2中，当广 广0 时，过 点。作 C 用 于 如 图 3中，当 C 尸加时,过 点 C 作 C A U 届 于 此 分 别 求 出 C M,C N即可.设 为所求的距离.第一种情形：如图4 中，当点小落在必,上时，连 接。T ,延 长 切 交 比 于 机 如图 5中，当点尸落在龙上时，连 接 过 点。作B 于。.结合图象可得结论.第二种情形：当 4户与房相交，不与所相交时，当点4在 上 时，A1 6=2 遥-2,即 d=2 或-2,如图6中，当点P 落在梦上时，设 俳 交 小B 于 0,过点作/T L 8 C于 7,过点、P 作 P R OQ受 OB 于R,连 接OP.求 出 可得结论.第三种情形：当 4户经过点尸时，如图7中，显 然 d=3.综上所述可得结论.【解答】解：(1)如 图 1 中,过点 C 作 C H，OF千 H.,：4 HC g a=3 0 ,：.C H=C 0 co s3 O。=2,.点 到 直 线。的距离为2 T.(2)如图2中，当 C所时，过 点 C 作 C ,见 L 加于收：C P/OF,，N g l 8 0 -A O C-45 ,二宓 是等腰直角三角形,：OC=4,=2&,.点C到直线庞的距离为2 圾.如图3中，当C。时，过 点C作C M L用 于N.图3同法可证 S N是等腰直角三角形,，4=2圾，:,点C到直线庞的距离为2 d分2.设d为所求的距离.第一种情形：如图4中，当 点 小 落 在 死 上 时，连接如，延长 9交优于机图4：0A =2旄，0M=2,N OMA =9 0 ,L/=VA/O2-O M2=7(2 7 5)2-22=4)：.A。=2,即 4 2,如图5中，当点尸落在瓦上时，连接 神，过点一作B于0.图5:P Q=,00=3,.*.=52 +12 =7 2 6)二*、2 6-4=亚,加=亚2,二=收-2,；.2 虑 低-2.第二种情形：当 不 与 相 交，不与价相交时，当 点 不 在bG上时，A (7=2 7 5-2,即d=2粕-2,如图6中，当点落在出1上时，设办,交4 B1于。,过 点2作ZT L C于7,过点。作 制 交 仍 于R,连 接0P.图6v 0 P=4 ,0F=3,:F 4 o p 2 _0月 2.-4 2 6-2 5=1,：OF=OT,P F=P T,F=/P T0=9Q ,:.RtAOP乂RtdOPT(/)，；.2F0P=Z TOP,-：PQ/OQ,：.AOPR=APOF,：.40PR=4P0R,：.OR=PR,:P+T=PK：.12+(5-PR P货,：.PR=2.6,RT=2A,:丛 B PRs 於 B QO,Bz R-P R B7 0 QO.3.4=2.6OQ-：.O Q=-,17，QG=OQ-0G=姓,即 /=丝17 17，2遥-2 d 普第三种情形：当4,尸经过点尸时，如图7中，显 然d=3.图7综上所述，2WdW质-2或d=3.