高考复习9-4单调性的分类讨论（精讲）（基础版）（解析版）.pdf

9.4单 调 性 的 分 类 讨 论（精 讲）（基 础 版）二 次 项 系 数 讨 论；导 函 数 有 无 零 点 的 讨 论（或 零 点 有 无 意 义）-、。导 函 数 的 零 点 在 不 在 定 义 域 内 的 讨 论 分 类 讨 论 _ 导 函 数 多 个 零 点 时 大 小 的 讨 论 点 槌 Q）讨 论 分“依 据”四 个 方 面（2）讨 论 时 要 根 据 上 面 四 种 情 况，找 准 参 数 讨 论 的 分 类 解 题 过（3）讨 论 完 毕 须 写 综 述.程 概 述 单 调 性 中 分 类 讨 论 第 一 步：求 定 义 域（给 定 区 间 比 步 电 略）第 二 步：第 导 f（x）第 三 步：令 导 的 数 f（X）=O,求 根 第 门 方：根 据 根 的 个 数.有 无 意 义 改 在 不 在 区 同.大 小 分 类 x e R 根 有&重 也 t.一 根 两 根 无 意 义 有 意 义 x rR 根 公 不 公 定 义 城（区 同）内,X G R 板 有 无*/4 多 无 意 义 有 意 义 不 在 不 在 在 根 有 盒 文 财 比 做 大 小 X|=X、1冯 Xix2X G总 体 思 路隽 点 呈 秘 例 题 剖 析 考 点 根 型【例 1】(2022.河 北 邯 郸.高 三 开 学 考 试)已 知 函 数/(x)=x-Hnx(aN0),讨 论 函 数 x)的 单 调 性;【答 案】答 案 见 解 析【解 析】由 题 意 得 函 数 f(x)的 定 义 域 为(0,+8),广(力=1-5=?，当 0时，令。(力 0,得 x r,所 以 x)在(a,物)上 单 调 递 增；令/(力 0,得 0 x 0恒 成 立,所 以/i(X)在(0,+。)上 单 调 递 增;【一 隅 三 反】1.(2022 福 建 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/(x)=aeT+x-2,讨 论 x)的 单 调 性；【答 案】答 案 见 解 析【解 析】因 为/(x)=ae-*+x-2=/+x-2,所 以/若 a4 0,则/(x)0恒 成 立；若 a 0,则 当 xe(Y,lna)时，/,(x)0.故 当 aVO时，“X)的 单 调 递 增 区 间 为(尔,口)，无 单 调 递 减 区 间；当 a 0 时，/(X)的 单 调 递 增 区 间 为(Ina,+00),单 调 递 减 区 间 为(Y O,Ina).2.（2022河 南）己 知 函 数/（x）=alnxor（axO）,讨 论/（x）的 单 调 性；【答 案】答 案 见 解 析【解 析】）的 定 义 域 为（。,48），r（力=色 一 4=生 立.X X当 0 时，令 r a）o,得 o x i,令 r（x）i,所 以 f（x）在（0,1）上 单 调 递 增，在（1,内）上 单 调 递 减；当 o,得 x i,令 r（x）o,得，ox 0 时，“X）在（0,1）上 单 调 递 增，在 上 单 调 递 减；当 o,则 函 数 x）在（-1,内）上 单 调 递 增；1（1 1当。0 时，令 r w=o,解 得 不=f=2 1；a a当 时，r（x）0,则 函 数/（X）在,上 单 调 递 增；当 x e（：T,+）时，fM 0 时，函 数/（x）在（1-1）上 单 调 递 增，在 上 单 调 递 减.考 点 二 两 根 型【例 2-1】（2022辽 宁 沈 阳 市 第 四 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 函 数/（x）=gx2-2or-3/lnx,讨 论 函 数 f（x）的 单 调 性；【答 案】答 案 见 解 析【解 析】/（x）的 定 义 域 为（0,+），f（x）=x-2 a-=U-3 a）（%+a）.X X当 a0时,/（x）在 区 间（0,-。）J 何）0J（x）递 增.当 a=0时,f(x)=xOJ(x)在(0,+向 上 递 增.当。0时,一 在 区 间(O,3a)J(x)0J(x)递 增.【例 2-2】(2022黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/(x)=or2+2(l_a)x21nx(aeR).当 a=0时，求 曲 线 y=/(x)在 点(ej(e)的 切 线 方 程;(2)讨 论 函 数 y=/(x)的 单 调 性.【答 案】y=(2-|卜 答 案 见 解 析【解 析】(1)由 4=0,则 f(x)=2x-21nx,/(e)=2e-2,/(力=2-：，r(e)=2-|,切 线 方 程：y-(2e-2)=(2贝 Uy=(2-|卜(2)2由/(x)=or2+2(1 21nx,求 导 得/(力=2奴+2()子(1)(+2),Or?当 a=o 时，/，(x)0,解 得 xe(l,+o),则/(x)：单 减 区 间：(0,1),单 增 区 间：(1,内)；当 a 0 时，令/(x)=o,解 得=1或 1=一 工(舍 去)当 xe(0,l)时，/,(x)0,则/(%)：单 减 区 间：(0,1),单 增 区 间：(1,一)；当 T 时，令 r(x)=0,解 得 x=l或 X=L当(1,+8)时，/(x)0,则“X)：单 减 区 间：(0,-)和 单 增 区 间：,J，”：当=一 1时，7(司=_2_1)一,则 y(x)：单 减 区 间：(0,+8);当-1 4 0 时，令/(x)=0,解 得 X=1或 X=-J当 xe(O,l)(-g，+8)时，/(x)0,则/(x)：单 减 区 间：(0,1)和(-J+8),单 增 区 间：卜，一|：综 上，当“2 0 时，单 减 区 间：(0,1),单 增 区 间：(1,一)当 a-l时，单 减 区 间：(0,-()和(1,内)，单 增 区 间：(-：/)当=一 1时-，单 减 区 间：(0,+8)(oi)h,-当 一 1。时，单 减 区 间：和 I a),单 增 区 间：I a)【一 隅 三 反】1.(2022辽 宁 锦 州)已 知 函 数 力=一/+加 4,其 中。为 实 常 数.当=3时，求 曲 线 y=/(x)在 点 处 的 切 线 方 程;讨 论“X)的 单 调 性；【答 案】(1)N=3X-5(2)答 案 详 见 解 析【解 析】(D/(x)=-？+3X2-4,/(x)=-3x2+6x,所 以 1)=2 J=3,所 以 切 线 方 程 为 y-(-2)=3(x-l),y=3x-5.(2)/(x)的 定 义 域 为 R J(力=-3x2+2or=-3x(x-g 4),当 0 时，/(力 在 区 间-8,|，(0,+8),/(力 0,“x)递 增.当 a=0时，/(x)0 时，f(x)在 区 间(-8,0)，。,+8),/(力 0，x)递 增.2.(2022 全 国 高 二 课 时 练 习)求 函 数/(力=；/-办 2+2(。町 的 单 调 区 间【答 案】见 解 析【解 析】因 为/(耳=；*3一 办 2+2,所 以 司=/一 2依.由/(*)=了 2-2m:=0,解 得 x=0 或 x=2a.当。=0 时，fx)=x2 0,所 以/(x)在 R 上 严 格 增，单 调 增 区 间 为(75,”)；当。0时,当 xw(-oo,0)(2a,4oo)时,r(x)0：当 xe(0,2a)时，f(x)0,所 以 7(x)的 单 调 增 区 间 为 J。)及(2a,小)，单 调 减 区 间 为(0,2a)；当“0；当 x e(%,0)时，fx)0,所 以/(x)的 单 调 增 区 间 为(f,2a)及(0,+8),单 调 减 区 间 为(2,0).3.(2022湖 北 襄 阳 五 中 高 三 开 学 考 试)3 知 函 数 f(x)=2a(x-1)1-f(其 中 awR,e为 自 然 对 数 的 底 数).讨 论 Ax)的 单 调 性；【答 案】见 解 析 解 析 由/(%)=2a(x-l)e-x2 可 得 f x)=2x(-1),当 w,。时，aex-1 0,当 x 0,当 x 0 时，fkx)0 时，由/(x)=0得，*=0,x,=In,a 若|J=O,即=1时，恒 成 立，故/(x)在 R 上 单 调 递 增：a 若 ln1 时，由/(x)0 可 得，x0.a a令 _f(x)0 可 得 ln L x 0,即 0。0 可 得，xln-,a a令 r(x)0可 得 0 x l n La此 时 F(X)的 单 调 递 增 区 间 为(7,0)和(in：,单 调 递 减 区 间 为(o,ln)；综 上 所 述，当 4,0时，f(x)的 单 调 递 增 区 间 为(Y O,0),单 调 递 减 区 间 为。”)；当。=1时，/(X)在 R 上 单 调 递 增；当”1时，Ax)的 单 调 递 增 区 间 为 卜 o,In J 和(0,+00),单 调 递 减 区 间 为(in；0)：当 0 a 1时，f(x)的 单 调 递 增 区 间 为(f,0)和 1 n+8),单 调 递 减 区 间 为(0,In力；考 点 三 判 别 式 型【例 31(2022福 建 泉 州 模 拟 预 测)已 知 函 数/(何=叫 了 2_(“+2卜+4+3讨 论 制 的 单 调 性；【答 案】(1)当-2 4 a 4 2 时,x)在 R 匕 单 调 递 增：当 a 2时，在 匕 号 三，仁 用 I 上 单 调 递 减，/“X)在 f W 和 a+J j F+oo上 单 调 递 增.I 2 J k 2,【解 析】由 f(x)=e2x2-(a+2)x+a+3,(xeR),求 导 得 J(x)=e，f(a+2)x+a+3+2x(a+2)_依+),易 知 e 0恒 成 立，故 看/一 依+1的 正 负，即 由 判 别 式 A=2 4进 行 判 断，当 时，即 2。4 2,尸(力 之 0,则 力 在 R 上 单 调 递 增；当=2一 4 0 时，即 42,令 r(x)=o时，解 得 4 三 或 尸 史 咚 三，当 a-f x a+呼 工 时,力 0,则/(x)在(纥 咚 三,史 咚 三 上 单 调 递 减；/当 天 竺 4 三,f(x)0,则/(X)在-00,“-。；W 和“+；4,+00上 单 调 递 增；/综 上 所 述，当 一 2 4。4 2 时，/(x)在 R 上 单 调 递 增；当。2时-，x)在。一 亨 7,”用 斗 上 单 调 递 减,x)在-，半 a 和+甲，+81上 单 调 递 增.【一 隅 三 反】1.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 x)=；x2+or-(ar+l)lnx(aeR),记 f(x)的 导 函 数 为 g(x),讨 论 g(x)的 单 调 性；【答 案】见 解 析【解 析】由 已 知 可 得 g(x)=x-L-H n r,故 可 得 g，)=l+4-0=匕 苧 乂.X X X X当 aw(-oo,2 时,g(x)N0,故 g(x)在(0,+巧 单 调 递 增；当 ae(2,m)时，由 g(x)=0,解 得 产 空 2号 三，或 空 1 半 三，记*“-#心,星=+，；-4，则 可 知 当 x 变 化 时，g(x),g(x)的 变 化 情 况 如 下 表：X(og)4(。心)$低，+8)g(x)+00+g(x)Z极 大 值、极 小 值 Z所 以，函 数 g(x)在 区 间 0,纥 咚 三 单 调 递 增，在 区 间 伫 烂 工 孚 三)单 调 递 减，在 区 间“+年 三 苫 单 调 递 增，/2.(2022山 西)若 函 数/(x)=alnx+gx 2-2办，a 0,。为 常 数，求 函 数/(x)的 单 调 区 间；【答 案】见 解 析【解 析】“X)的 定 义 域 为(0,+。)，/(力 J 2+.X 当 0aWl,=4/_ 4 a W 0,所 以/。)=二*0,x)的 单 调 增 区 间 为(0,+),无 单 调 减 区 间；当 al时，=4/-4 0，解/r(x)=2a x+=0 得%=a-a2-a 0，x2=a yja2 a 玉 0，a+la2-o当“40时，g(x)0 时，g(x)-2 x 2+1,()=片 一 8 0 时,J42 _8即 a 2及 时,g(x)0的 解 集 是-g(x)()的 解 集 是 0,函 数 的 单 调 递 减 区 间 是(ii)当 A=a2_8o时，即 0。42也 时，函 数 g(x)0恒 成 立，即 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是(0,+巧,无 单 调 递 增 区 间;综 上 可 知，当 时，函 数 的 单 调 递 减 区 间 是(0,+)，无 单 调 递 增 区 间；当。2正 时，函 数 的 单 调