高考数学复习08数列与不等式（解析版）-2021年高考数学专练(新高考).pdf

热 点 08 数 列 与 不 等 式【命 题 趋 势】在 新 高 考 卷 的 考 点 中，数 列 主 要 以 两 小 和 一 大 为 主 的 考 查 形 式，在 小 题 中 主 要 以 等 差 数 列 和 等 比 数 列 为 主，大 题 中 新 高 考 比 以 往 的 考 察 有 了 很 大 的 改 变，以 前 是 三 角 和 数 列 在 17题 交 替 考 查，现 在 作 为 主 干 知 识 必 考 内 容，考 察 位 置 是 17或 18题，题 型 可 以 是 多 条 件 选 择 的 开 放 式 的 题 型。由 于 三 角 函 数 与 数 列 均 属 于 解 答 题 第 一 题 或 第 二 题 的 位 置，考 查 的 内 容 相 对 比 较 简 单，这 一 部 分 属 于 必 得 分，对 于 小 题 部 分，一 般 分 布 为 一 题 简 单 题 一 道 中 等 难 度 题 目。对 于 不 等 式 内 容 新 教 材 删 除 了 线 性 规 划 和 不 等 式 选 讲，新 高 考 主 要 考 察 不 等 式 性 质 和 基 本 不 等 式。基 本 不 等 式 考 察 往 往 都 是 己 基 本 不 等 式 作 为 切 入 点 形 式 出 现，题 目 难 度 中 等。专 题 针 对 高 考 中 数 列、不 等 式 等 高 频 知 识 点，预 测 并 改 编 一 些 题 型，通 过 本 专 题 的 学 习，能 够 彻 底 掌 握 数 列，不 等 式。请 学 生 务 必 注 意 题 目 答 案 后 面 的 名 师 点 睛 部 分，这 是 对 于 本 类 题 目 的 一 个 总 结。【满 分 技 巧】1、等 差、等 比 数 列 如 果 记 住 基 本 的 通 项 公 式 以 及 求 和 公 式 和 性 质，基 本 上 所 有 的 等 差、等 比 数 列 问 题 都 可 以 解 决。2、数 列 求 通 项 主 要 方 法 有：公 式 法、利 用 前 n 项 和 求 通 项、累 加、累 乘、构 造 等 方 法；这 里 要 注 意 各 个 方 法 中 递 推 关 系 的 模 型 结 构 特 点。3、数 列 求 和 问 题 主 要 包 含 裂 项 求 和，分 组 求 和，绝 对 值 求 和，错 位 相 减 求 和，掌 握 固 定 的 求 和 方 式 即 可 快 速 得 到 答 案；这 里 要 注 意 各 个 方 法 中 数 列 通 项 的 结 构 模 型；本 专 题 有 相 应 的 题 目 供 参 考。4、对 于 基 本 不 等 式 类 的 题 目 应 注 意 等 号 成 立 地 条 件 和 基 本 不 等 式 的 模 型 结 构，对“1”的 活 用。【考 查 题 型】选 择 题、填 空、解 答 题【常 考 知 识】数 列 的 概 念、等 差 等 比 数 列 的 概 念 和 公 式 和 性 质、数 列 求 通 项 的 方 法、数 列 求 和 的 方 法、不 等 式 的 性 质、基 本 不 等 式【限 时 检 测】（建 议 用 时：9 0分 钟）一、单 选 题 1.（2020 云 南 省 个 1 日 市 第 一 高 级 中 学 高 三 其 他 模 拟（理）设 等 差 数 列 的 前 项 和 为 8,且 S“=44,则%+%+%的 值 为（）A.11 B.12 C.13 D.14【答 案】B【分 析】先 由 I=44 得,=4,进 而 利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 即 可 求 得 答 案.【详 解】S=IK%+J _ 44解：由 2,可 得 6+%=2。6=8,故，=4,设 等 差 数 列 的 公 差 为“,贝 严+%+%=（。6-31）+（&+1）+（%+2）=3Q=12故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 等 差 数 列 前 项 和，等 差 数 列 通 项 公 式，考 查 运 算 能 力，是 基 础 题.2.（2020年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（文 科）（新 课 标 I）设 是 等 比 数 列，且+/+%=1,a2+。3+4=2,则+%+=（）A.12 B.24 C.30 D.32【答 案】D【分 析】根 据 已 知 条 件 求 得 夕 的 值,再 由。6+%+%=夕 5（%+%+%）可 求 得 结 果【详 解】设 等 比 数 列 也 的 公 比 为 9,贝 产+。3=%（1+夕+夕 2）=1,2+4=。闻+。闻 2+aAq=qq Q+q+q2）=1=2因 此+%+%=*+%、+q/=*+g+/）=/=3 2故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 基 本 量 的 计 算，属 于 基 础 题.3.（2018 陆 川 中 学 高 三 其 他 模 拟（理）等 差 数 列 的 前 项 和 为 5，且%$5。=0 设 4=4+4+2（e N）则 当 数 列 也,的 前 项 和?;取 得 最 大 值 时，的 值 为（）A.23 B.25 C.23 或 24 D.23 或 25【答 案】【）【分 析】先 依 据 条 件 知 等 差 数 列 的 前 25项 为 正 数，从 第 26项 起 各 项 都 为 负 数，所 以 可 以 判 断 a 的 前 23项 为 正 数，4 4 为 负 数，45为 正 数，从 第 27项 起 各 项 都 为 负 数，而 44+625=,故 也”的 前 项 和 1 取 得 最 大 值 时，的 值 为 23或 25.【详 解】v a 0,S50=0二 等 差 数 列”的 公 差 1 0,_50（+6750）_、50 一%25（。25+。26）一。且 2则 425 0，426 0,J 1a251=|a2fi|；由=（+）,知 也 的 前 23项 为 正 数，比 4为 负 数,%为 正 数，从 第 27项 起 各 项 都 为 负 数，而 打 4 与 25是 绝 对 值 相 等，符 号 相 反，相 加 为 零，T=T25,之 后 越 来 越 小，所 以 数 列 的 前 项 和 0 取 得 最 大 值 时，的 值 为 23,25,故 选 D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 性 质 以 及 求 数 列 前 项 和 取 最 值 的 判 断 方 法._二 z a.4.（2020 广 西 高 三-模（理）已 知 数 列 5 2,%=2,则 嚏 2（%+1）=（）iA（631og2 3-31 D.口 311og23-15 r 631og.2-31 Un 311og32-15【答 案】B【分 析】b=log（a+1）卜,+地 2才 令 82 1a十 i人 推 导 出 数 列 2J为 等 比 数 列，确 定 该 数 列 的 首 项 和 公 比，进 而 可 求 得 噫（%+1）的 值.【详 解】3 2 o 1 1 3/1、2+3-1+-。,+1=;（%一|+1）由 2 2 可 得 2：%=2 0,根 据 递 推 公 式 可 得 出 4%,，进 而 可 知，对 任 意 的%,%+1=(%+1丫 log2(+l)=log2-(-1+1)2=21og2(a.,+l)+log2-在 等 式 2 两 边 取 对 数 可 得 L2 23 乙，3，3、b=log,(a+1)b 0 b=2 b-+l o g2？4+lg 2 5=2”_|+log25令 员 则”,u,可 得 2,则 2(2),3 3 3 9 b“+l o g,4+lo g,-=log,(q+1)+log,-=log,-所 以，数 列 2 J是 等 比 数 列，且 首 项 为-2-2 一 2,公 比 为 2,3 Qb5+log2=24 log2=16(2 log2 3-1)=32log2 3-16/、3 I 噫 Q+1)=32log23-1 6-lo g2-=311og23-15故 选:B.【点 睛】刑 如=P+q”这 种 形 式 通 常 转 化 为%+=0(%+),由 待 定 系 数 法 求 出 4,再 化 为 等 比 数 列.以 415.（2020年 浙 江 省 高 考 数 学 试 卷）已 知 等 差 数 列 为 的 前 项 和 名，公 差 挣 0,d.记 力=,b”=S2n包-，e N*,下 列 等 式 不 可 能 成 立 的 是（）A.2al=a2+%B.2=灰+a c.D.她（【答 案】D【分 析】根 据 题 意 可 得，b=S2n+2-S2 n=a2l+a2 n+2)而 4=62=%+外,即 可 表 示 出 题 中 62，“，4 也，再 结 合 等 差 数 列 的 性 质 即 可 判 断 各 等 式 是 否 成 立.【详 解】对 于 A,因 为 数 列 为 等 差 数 列，所 以 根 据 等 差 数 列 的 下 标 和 性 质，由 4+4=2+6 可 得，2a4+4,A 正 确：对 于 B,由 题 意 可 知，+1=S2n+2-S2ll=a2n+l+a2n+2,b.=S2=at+a2.4=%+%,4=%+4,4=|+2,仇=5+。|6-2b4=2(a7+a8),b2+b6=a3+a4+an+a12.根 据 等 差 数 列 的 下 标 和 性 质，由 3+11=7+7,4+12=8+8可 得 4+4=%+4+即+如=2(%+%)=2”,B 正 确；对(a2a8=(q+3)_(a+d)(47,+7t/)=2d-2 a,=2d(d-当=时，d=g%,c正 确；行-I)及=(%+%I=(2%+13d)=4a；+52qd+169/6 2 a=(%+4)(。15+%6)=(2。1+54)(26+29d)=4a；+68qd+145/b：-b2b=24d2-164d=8 J(3d-2q)当 0 时，.3。-2q=+2(d-aj o即 她 0：当 d0 时,%Nd,3d-2q=+2(-q)0,所 以 反-她 0,口 不 正 确.故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 性 质 应 用，属 于 基 础 题.6.(2020 江 苏 宝 应 中 学 高 二 期 中)若 a,6为 正 实 数，且 3。b，则%+b 的 最 小 值 为()3A.2 B.2 C.3 D.4【答 案】A【分 析】1 公 1 n3Q+6=(3Q+6)-1 由 于 2 a b),故 展 开 利 用 基 本 不 等 式 求 解 即 可 得 答 案.【详 解】解：因 为 a,6为 正 实 数，八 1/Q/1 0所 以 2 13a b)日(2+2)=23a _ h了 F，1 1 _-1=2当 且 仅 当 13a b 时,10=h-1即 时，=”成 立.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值，考 查 运 算 能 力，是 基 础 题.7.(2020 云 南 省 个 旧 市 第 一 高 级 中 学 高 三 其 他 模 拟(理)已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 5,且 S=%+-2,n e N*,=2,则 包)的 通 项 公 式 为()A.a，=2 J B.c.【答 案】C【分 析】根 据 题 中 递 推 关 系，先 得 到 S，i=a+-3(2 2),得 出=2 M-1(2 2),根 据 题 中 条 件，得 出 1 是 以 外 1=2 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列，求 出 通 项 公 式，再 验 证=1 也 满 足 即 可.【详 解】由 S“=a“+i+-2 得 S,I=a“+-3(*2)，一 可 得：%=2%-1(2 2),所 以/T=2&T)(N 2),因 此%一 1 是 以%-1=2 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列,所 以%T=2：即%=1+2（之 2）,当=1时 也 满 足 该 式，所 以 a=+1故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 由 递 推 关 系 求 通 项 公 式，考 查 等 比 数 列 的 定 义，属 于 常 考 题 型.C:；r=l（a 0,0）8.（2020 贵 州 高 三 其 他 模 拟（理）已 知 C是 双 曲 线 a-h-的 半 焦 距，值 是（）也 也 A.3 B.2 C,2 D.百【答 案】C【分 析】根 据 题 中 条 件，得 至 i J c M,再 由 基 本 不 等 式，即 可 求 出 结 果【详 解】2 2C：U l（a0,60）因 为 c是 双 曲 线/b2 的 半 焦 距，所 以 c=J/+,a+b _ a+b _ la2+b2+2ab _ _ 2ab L a2+b2 rr则 c yla2+b2 V a2+b2 V+a2+b2-V+a2+b2,当 且 仅 当 a=6 时，等 号 成 立.故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 由 基 本 不 等 式 求 最 值，考 查 双 曲 线 的 性 质，属 于 基 础 题 型.9.（2020 四 川 遂 宁 高 三 零 模（理）已 知 正 项 等 比 数 列 包 满 足%2,%4=%+2,4 的 前 项 和，则 S 5=（）31 11 31a+bc 的 最 大 又 S”为 数 列 A.2 或 2B.2C.15 D.6【答 案】B【分 析】由 等 比 中 项 的 性 质 可 求 出 生，即 可 求 出 公 比，代 入 等 比 数 列 求 和 公 式 即 可 求 解.【详 解】正 项 等 比 数 列%中，,/a 2 a 4=%+2a32=%+2解 得 4=2 或=T（舍 去）1又 2,/=1=4解 得 q=2,“5-（1-32）21,_ q（iq）_ 2 _3ii-q-1 2,故 选：B10.（2020 河 南 焦 作 高 三 一 模（理）在 等 比 数 列 中，=1,4=2 7,则 2%+%=（）A.45 B.54 C.99 D.81【答 案】C【分 析】利 用 等 比 数 列 的 通 项 与 基 本 性 质，列 方 程 求 解 即 可【详 解】设 数 列%的 公 比 为%因 为%=%小,所 以 夕=3,所 以 2%+%=2/+/=9 9故 选 C11.（2020年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标 n）数 列 缶 中，q=2,am+n=aman 若 ak+ak+2 1 4+10=2卜 一 2，则 k=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】C【分 析】取 机=1,可 得 出 数 列 J 是 等 比 数 列，求 得 数 列%的 通 项 公 式，利 用 等 比 数 列 求 和 公 式 可 得 出 关 于 女 的 等 式，由 后 e N”可 求 得 上 的 值.【详 解】在 等 式 am+n=aman 中,令 加=1,可 得。”+1=%=51tL=2%所 以，数 列 是 以 2 为 首 项，以 2 为 公 比 的 等 比 数 列，则 a“=2x2T=2 4+1+4+2+%+io=gt+,-(l-210)2-(1-210)1-2 1-22*+(210-1)=25(210-1)2*+,=25,则 k+1=5,解 得 左=4.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 利 用 等 比 数 列 求 和 求 参 数 的 值，解 答 的 关 键 就 是 求 出 数 列 的 通 项 公 式，考 查 计 算 能 力，属 于 中 等 题.12.（2020 江 西 高 三 二 模（理）已 知 等 比 数 列 的 首 项 6 公 比 为 9,前 项 和 为 则“q 1”是“S3+S5 2s4”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【分 析】由 S3+S5XS4,可 得 a s m,且 2 0,得 4 分 q l 或 夕 2S，可 得 a5a”，由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 得 闻,旦 a】0,所 以（q 1）0,1 或 夕 l”是 S3+S52SJ 的 充 分 不 必 要 条 件.故 选 A.【点 睛】本 题 考 查 了 等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 其 性 质、不 等 式 的 解 法，属 于 基 础 题.13.（2020 浙 江 省 东 阳 中 学 高 三 其 他 模 拟）已 知 数 列 的 前 项 和=1,则（）2 2 1 1A.（+1）B.（I）?C.仃 D,2 1【答 案】A【分 析】%=根 据 邑 与 的 关 系 可 得 明+2,再 利 用 累 乘 法 即 可 求 解.【详 解】1-3-以 所%2-S班 2-当 4 X2J+=2 4tz42=十 22s2=且 两 式 作 差 得 S+1 _,=（+1）an+l-n an）即。用=（+l）2an+1-,即（+2）an+l=nan,乌 _=1（2 2）所 以%+2,即%+1=a 2.i._=T 2-3 2=2则 凡,T 4 2+-1 4 2（+2）故 选：A.【点 睛】方 法 点 睛：求 数 列 的 通 项 公 式 的 常 用 方 法.（1）由 S”与%的 关 系 求 解.（2）累 加 法.（3）累 乘 法.（4）构 造 法.二、多 选 题 14.（2020年 新 高 考 全 国 卷 I 数 学 高 考 试 题（山 东）己 知 力 0,b 0,且 广 炉 1,则（)A.a2+b2-2B.2a-h-2C.log2 a+log,b-2 D 4 a+4 b 2-1=对 于 B,a-b 2 a-,所 以 2,故 B正 确;2log2 a+log2 b=log2 ab log2对 于 C,a+b,1 c=log2-=-22a=h=-当 且 仅 当 2 时，等 号 成 立，故 C 不 正 确;对 于 D,因 为(G+3=1+2而+。+八 2a=b=L所 以 石+声 4 血，当 且 仅 当 2 时，等 号 成 立，故 D 正 确;故 选:ABD【点 睛】本 题 主 要 考 查 不 等 式 的 性 质，综 合 了 基 本 不 等 式，指 数 函 数 及 对 数 函 数 的 单 调 性，侧 重 考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养.15.（2020 广 东 湛 江 高 三 其 他 模 拟）已 知 数 列 4 满 足：0 苗 二 c.a%,利 用 单 调 性 判 断 的 侬%5,即 得 结 果.【详 解】（h4+%=比 G 一）得 4+尸 氏+历（4 一%）2 3 x x 3设 函 数/G）=X+/（4 _ X）（0 X 4）,由/3=1-二=三，可 得/（外 在（0,3）上 单 调 递 增，在（3,4）上 单 调 递 减.由/-（3）=3 可 得 a/1=,即%4,故 数 列 为 单 调 递 增 数 列.又 0 司/41,。3=。2+/（4 一。2）/4+/（4-/4）1+/?3 2a4=a3+例 4-。3)2+/(4-2)=2+/2：故 选：BCD.【点 睛】判 定 数 列 单 调 性 的 方 法：(1)定 义 法：对 任 意 eN*,则 也 是 递 增 数 列，4+1%,则 也 是 递 减 数 列；(2)借 助 函 数 单 调 性：利 用=/(),研 究 函 数 单 调 性，得 到 数 列 单 调 性.三、填 空 题 16.(2020年 浙 江 省 高 考 数 学 试 卷)我 国 古 代 数 学 家 杨 辉，朱 世 杰 等 研 究 过 高 阶 等 差 数 列 的 求 和 问 题，如 n n+1)1 n(n+1)1数 列 1 2 1就 是 二 阶 等 差 数 列，数 列 I 2 的 前 3 项 和 是【答 案】1 0【分 析】根 据 通 项 公 式 可 求 出 数 列 的 前：项，即 可 求 出.【详 解】a=(+1)因 为 2 所 以 q=1，4=3,%=6.|.|J 5*3=4+。2+。3=1+3+6=10故 答 案 为：1.【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 数 列 的 通 项 公 式 写 出 数 列 中 的 项 并 求 和，属 于 容 易 题.17.(2020 广 西 高 三 一 模(理)已 知 数 列“和 也 满 足=2,4=1,an+b=bn+lt瓦 0 2 1an+l+4+=4a“则 4 008=A,f c-r J-t 1014【答 案】2【分 析】求 出 a=3,推 导 出 数 列 勾+1-2 为 等 比 数 列，确 定 该 数 列 的 首 项 和 公 比，求 出“用 2=2 i,进 一 闺 步 推 导 出 数 列 12 2 J 为 等 差 数 列，确 定 该 等 差 数 列 的 首 项 和 公 差，可 求 得(4 的 通 项 公 式，进 一 步 求 出 am和 4。21,由 此 可 求 得 结 果.【详 解】.%+=+,a“+%|=4%,=2,4=1,则 仇=%+4=3,由 an-b n+b”可 得 J=.+2 _ 4+1,代 入 an+l+bn+i=4a“可 得 bn+2=4%-4b“,也+2-2%+i=2色+|-26“)日 白-24=1所 以，数 列 也+2”是 以 1为 首 项，以 2为 公 比 的 等 比 数 列，则%-2=lx 2 i=2,-b+b-1在 等 式 4 M 2b=2 两 边 同 时 除 以 2“T 可 得 2-2-2,朱=24=2所 以，数 列 12 J 为 等 差 数 列，且 首 项 为 2，公 差 为 1,所 以，3=2+(l)x l=+l+%008=狐 09 一%。8=1O1OX2007-1009X21006=(2020-1009)x 21006=101 lx 21006则，b202=2022x2刘=1014n因 此，%0 08 i 1nUi 1i 1xX9Z1006故 答 案 为：210,4.【点 睛】数 列 的 递 推 关 系 是 给 出 数 列 的 一 种 方 法，根 据 给 出 的 初 始 值 和 递 推 关 系 可 以 依 次 写 出 这 个 数 列 的 各 项，由 递 推 关 系 求 数 列 的 通 项 公 式，常 用 的 方 法 有：求 出 数 列 的 前 几 项，再 归 纳 猜 想 出 数 列 的 一 个 通 项 公 式；将 已 知 递 推 关 系 式 整 理、变 形，变 成 等 差、等 比 数 列，或 用 累 加 法、累 乘 法、迭 代 法 求 通 项.1 4m 0,0,I 1)18.(2020 山 东 济 宁 高 三 其 他 模 拟)已 知 m n，若 不 等 式 m+N-x-+4x+a 对 已 知 的 及 任 意 实 数 x恒 成 立，则 实 数 4 最 大 值 为.【答 案】5【分 析】先 利 用 基 本 不 等 式 求 得 机+的 最 小 值 是 9,然 后 将 不 等 式 帆+对 m，恒 成 立，转 化 为 x-4x+9=(x 2)+5 对 任 意 实 数 恒 成 立 求 解.【详 解】十=1-x2+4x+a 对 九 恒 成 立,所 以 _x2+4x+a 4 9 对 任 意 实 数 x 恒 成 立,即 4 x-4x+9=(x-2)+5对 任 意 实 数 x 恒 成 立,ZJ=(X-2)2+5522n+2-4【答 案】3【分 析】由 等 比 中 项 的 性 质、正 弦 定 理 列 出 方 程，即 可 求 出 sinB,由 内 角 的 范 围 和 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 求 出 8,a/3sin2 B 3sinB=2又&b,。成 等 比 数 列 知 不 是 最 大 边,n兀=2 cos-nB-2n cos 2 24(l-22)72n+2-45,=0+22+0+24+-+0+22 n=-.2.1-4 322,+2-4故 答 案 为：3【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 由 等 比 数 列 得 出=“c,再 由 正 弦 定 理 得 出 sin28=siMsinC,即 可 求 出 角 B,利 用 等 比 数 列 求 和 公 式 求 解，考 查 了 运 算 能 力，属 于 中 档 题.,/(x)=x+-(x 2)20.(2020 四 川 遂 宁 高 三 零 模(理)已 知 出。均 为 实 数，函 数 x-2 在 x 时 取 得 最 小 值，曲 线 歹=21n(x+l)在 点(0,0)处 的 切 线 与 直 线=区+及 平 行，则 a+A=【答 案】5【分 析】由 基 本 不 等 式 求 最 小 值 得。，由 导 数 的 几 何 意 义 求 切 线 斜 率 得 人,然 后 可 得 结 论.【详 解】；x2,;.x-20,/(x)=x+!=x-2+22 J(x-2)+2=4 x-2=!x-2 x-2 Y x-2,当 且 仅 当 x-2,即 x=3时 等 号 成 立，=3,，2y=-r由 V=21n(x+1)得 x+1,x=0 时，N=2,由 平 行 线 的 性 质 得 6=2,a+b=3+2=5故 答 案 为：5.【点 睛】易 错 点 睛：本 题 考 查 基 本 不 等 式 求 最 值，考 查 导 数 的 几 何 意 义.利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条 件：(1)“一 正 二 定 三 相 等”“一 正”就 是 各 项 必 须 为 正 数；(2)“二 定”就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值；(3)“三 相 等”是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方.四、解 答 题 21.(2020 福 建 莆 田 高 三 其 他 模 拟)在/+1=；为 等 差 数 列，其 中 J-,-L+l,-1-成 等 3 Q“+1 an a2 a3 a6比 数 列；,+-!-+,+-!-=即 3 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 到 下 面 的 问 题 中，然 后 解 答 补 6%2充 完 整 的 题 目.已 知 数 列%中，=1.(1)求 数 列 S 的 通 项 公 式；TT v 一 1 设=必 用，方 为 数 列 也 的 前 项 和，求 证：”3.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.1an=-【答 案】（1）3M-2.（2）证 明 见 解 析.【分 析】-=3（1）若 选 条 件，由 数 列 的 推 式 可 得，从 而 得 数 列 a 是 以 1为 首 项，3 为 公 芥 的 等 差 数 列，由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 求 得%的 通 项 公 式；-若 选 择，设 数 列%的 公 差 为，由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 等 比 数 列 的 性 质 可 得 方 程(2+2疗=(l+d)(l+5d),解 之 可 得 以 的 通 项 公 式；1 1 1 1 3/_+,+=若 选 择，由 q%2得，当 n 2 时，1 1 1 1 3(-1)2-(-1)1,-1-1-1-1-=-6%2,两 式 相 减 可 求 得 见.,_ 1 1_ 由 得 一 一 2)(3+】)313”2 3+J,【详 解】a 1.a+i=，3(1)若 选 条 件，3%+1%，又 勾 为 公 差 的 等 差 数 列，=1+3(1)=3 2,;.%=所 以 4 3/7-2：=1+6/,+1=2+2,若 选 择，设 数 列 4 的 公 差 为，则%为 4,从 而 求 得%的 通 项 公 式；运 用 裂 项 求 和 法 可 得 证.=1,所 以 数 列 是 以 1为 苜 项，3=l+5d因 为,+1,1的 牝 a 成 等 比 数 列，二（2+2）2=（l+d）（l+5）,解 得=3 或 d=_l；工=1+=0当 d=-1 时，a2 此 时%的%不 能 构 成 等 比 数 列，所 以=3,=1+3(/?-1)=3/?-2,.an=所 以 凡 3 一 21 1 1 1 3 2-1-1-F 4=-若 选 择，由 4 4 4%2 得，当 2 2 时,1,1,1,1 3(-1)2-(-1),1-1-1-H-=-a a2 4 a,i 21 32-M 3(M-1)2-(M-1)q _ 1=-Z-=3 2,%=-(n 2),两 式 相 减 得，a 2 2 所 以 377-2,当=时，一 也 1=适 合 上 式，所 以 3 2,b.=4%(2)由(1)得-1_=i u _ _ _ q(3-2)(3+l)3(3-2 3/7+l)T二（1-所 以 3|.1、/I 1、，-)+(-)+-+(-13 一 2-)=一(1)=-3+1 3 3+1-31 1-一 9+3 3故 得【点 睛】在 由 数 列 的 求 和 公 式 求 数 列 的 通 项 公 式 时，注 意 检 验=1 的 情 况 是 否 满 足 通 项 公 式。证 明 数 列 不 等 式 的 常 用 方 法 之 一：放 缩 法，即 是 从 不 等 式 的 一 边 着 手，用 不 等 式 的 传 递 性 等 性 质，舍 去（或 添 上）一 些 正 项 或 者 负 项，扩 大 或 缩 小 分 式 的 分 子、分 母，逐 渐 适 当 地 有 效 放 大 或 缩 小 到 所 要 求 的 目 标，注 意 放 缩 时 要 适 度，否 则 就 不 能 同 向 传 递.在 数 列 求 和 型 不 等 式 证 明 中，一 般 来 说 有 先 放 缩 再 求 和 或 先 求 和 再 放 缩 两种 形 式。若 数 列 易 于 求 和，则 选 择 先 求 和 后 再 放 缩；若 数 列 不 易 求 和，要 考 虑 先 放 缩 后 再 求 和.22.（2020 安 徽 高 三 其 他 模 拟（理）已 知 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 也）满 足 的+%=设，&=16,4=噫 4.（1）求 数 列 4、也 的 通 项 公 式；（2）若 数 列 出 力 的 前“项 和 为 S”，求 25“的 前 项 和。2+i【答 案】%=2,=；一+1 2【分 析】（1）设 等 比 数 列”的 公 比 为“，可 知 4 1,根 据 已 知 条 件 得 出 关 于 和 夕 的 方 程 组，解 出 这 两 个 量 的 值，由 此 可 求 得 数 列 和 4 的 通 项 公 式：_ 2+2（2）求 得 S，可 得 出+1,然 后 利 用 裂 项 相 消 法 可 求 得 看.【详 解】a2+Q3=+0 4=12 2（1）由 题 意 知，1%=调=16，所 以 夕=2 或 3.因 为,夕=2,可 得。1=2,.a”=qg=2,bn=log2 an-log2 2n=ns（2）数 列 也 的 前 项 和 为 2,+2向 _（+（2 2-22Sn（w+l）+M+1 n(22 2n2 1+7A N、了 一 万,+(2+|27 2+1 n,-2+1【点 睛】本 题 考 查 等 比 数 列 通 项 公 式 的 求 解，同 时 也 考 查 了 错 位 相 减 法，考 查 计 算 能 力，属 于 中 等 题.23.(2020天 津 高 考 数 学 卷)已 知/为 等 差 数 列，4 为 等 比 数 列,%=4=1,牝=5(%-%)也=4也-4)(I)求 和 也 的 通 项 公 式;(II)记 的 前 项 和 为 S”，求 证：S+2 S,+i M N)(3%-2)亿 c.=心“也，(III)对 任 意 的 正 整 数，设+1 为 奇 数,为 偶 数.z 1求 数 列 的 前 2 项 和.4 6+5 4【答 案】(I).=，=2；(H)证 明 见 解 析；(III)2/7+1 9x4 9.【分 析】(I)由 题 意 分 别 求 得 数 列 的 公 差、公 比，然 后 利 用 等 差、等 比 数 列 的 通 项 公 式 得 到 结 果;(11)利 用(I)的 结 论 首 先 求 得 数 列 前 项 和，然 后 利 用 作 差 法 证 明 即 可：(HI)分 类 讨 论 为 奇 数 和 偶 数 时 数 列 的 通 项 公 式，然 后 分 别 利 用 指 数 型 裂 项 求 和 和 错 位 相 减 求 和 计 算 C2k-工。2 y 和 y 的 值，据 此 进 一 步 计 算 数 列 1/的 前 2 项 和 即 可.【详 解】(I)设 等 差 数 列%的 公 差 为。，等 比 数 列 4 的 公 比 为 q.由 6=1,%=5（%一%），可 得 庐 i.从 而%的 通 项 公 式 为=.由 4=1,4=4（&-A）又 月 0,可 得 42-44+4=0,解 得 干 2,从 而 也”的 通 项 公 式 为“二 2 15.二”（+1）（H）证 明：由（I）可 得“2S凡 包=:(+1)(+2)(+3)S3=。(+以(+2)2故 4,4，91S,S.+2-珠=-7(+1)(+2)0从 而 2,所 以 S+2 S3._(34-2,(3n-2)2-2n+2(HD 当 为 奇 数 时，M+2(+2)+2 c=3=L 1n h 当 为 偶 数 时，%2，n n(n 2k 2 k-2、I S 1 3 5 2/2-3 2/-1由 得+不+m+2fi_ n4 4 J 1 2/7-1 _ 2 2 1 1 2n-l 1 _ 5 6/7+5,1 4 4n+,3 3X44-4 X4-T2-3X 4,+1由 于 Z _ 5 6%+5从 而 得：I 球 9x4抬 S 6 4 6+5 4Lc*=LC2*-1+Lc2t 7-T 7 T-因 此，A=I A-=I k=2+l 9x4 94-6/7+5 4所 以，数 列 g 的 前 2 项 和 为 2+l 9x4 9.【点 睛】本 题 主 要 考 查 数 列 通 项 公 式 的 求 解，分 组 求 和 法，指 数 型 裂 项 求 和，错 位 相 减 求 和 等，属 于 中 等 题.24.(2020年 浙 江 省 高 考 数 学 试 卷)已 知 数 列&,勿,0 中，4=4=C|=l，c“=%-q,c,+|=I c“(e N*)b.2.(1)若 数 列(勿 为 等 比 数 列，且 公 比 4,且 4+&=64,求 g与 为 的 通 项 公 式：,1(II)若 数 列 e 为 等 差 数 列，且 公 差 d,证 明：d.(wN)1 4,-1+2q=_,Q=-【答 案】(1)2 3.(I D 证 明 见 解 析.【分 析】(I)根 据 乙+4=6”,求 得 q,进 而 求 得 数 列 k J 的 通 项 公 式，利 用 累 加 法 求 得 数 列 匕 的 通 项 公 式.（I I）利 用 累 乘 法 求 得 数 列 上”的 表 达 式，结 合 裂 项 求 和 法 证 得 不 等 式 成 立.【详 解】（I）依 题 意 4=112,而 4+4=6 4,即 l+g=6 g 1 由 于 q 0,所 以 解 得 4 2,所 以 u _ _L_+2 r+所 以 2,故,所 以 数 列%是 首 项 为 1,公 比 为 4 的 等 比 数 列，所 以 所 以%+i-4=&=4 1(2 2,e N*)4T 4-2an=q+l+4+4=-所 以 34-+2故 3.c,m 二 b,）依 题 意 设“T+（T）=办+,由 于，一 心,c b(n 2.n e N)所 以 J%、)、一 3 b?C j故 Cn-Cn-2 C2 C 4+】hn_ 4bb?_ l+d-I=1-I-bnbn+d 3,bn+)I d)bn bn+l J1 V 1 1 d+d d+114-X 又/=1,而 I d八 a b2)d 她 dc=(i+l H j)(a)故 V d Jb“bll+.j nir i i w i i所 以 1 3 J 也 4=i+-V i-1 人 b.+J.由 于 d0,4=l,所 以 心 0,所 以 I d),1ct+c2+.+cn 1+.g|J d,n w N.【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 累 加 法、累 乘 法 求 数 列 的 通 项 公 式，25.(2018 陆 川 中 学 高 三 其 他 模 拟(理)已 知 数 列 d)+L(i i Y+-)b“+J_1 1?1+i J