高中数学5-5-1第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式（学案）.pdf

5.5.1三 角 恒 等 变 换 第 2 课 时 两 角 和 与 差 的 正 弦、余 弦、正 切 公 式【学 习 目 标】【自 主 学 习】两 角 和 的 余 弦 公 式 及 两 角 和 与 差 的 正 弦、正 切 公 式 课 程 标 准 学 科 素 养 1.能 根 据 两 角 差 的 余 弦 公 式 推 导 出 两 角 和 与 差 的 正 弦、正 切 公 式 和 两 角 和 的 余 弦 公 式.2.熟 练 掌 握 两 角 和 与 差 的 正 弦、余 弦、正 切 公 式 的 特 征.3.能 灵 活 运 用 公 式 进 行 化 简 和 求 值.1.逻 辑 推 理 2.数 学 运 算 名 称 公 式 简 记 符 号 条 件 两 角 和 的 余 弦 cos(a+4)=_ C9+m a,夕 GR两 角 和 的 正 弦 sin(a+y?)=_ S(a+.)a,夕 GR两 角 差 的 正 弦 sin(a一 4)=_ S(a-/)两 角 和 的 正 切 tan(a+4)=_T（a+夕）a,0,a土 阱 兀/GZ)两 角 差 的 正 切 tan(g一 4)=_T(a-)注 意：在 应 用 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 时，只 要 tana,tan/?,tan（a+夕）（或 tan（a）中 任 一 个 的 值 不 存 在，就 不 能 使 用 两 角 和（或 差）的 正 切 公 式 解 决 问 题，应 改 用 诱 导 公 式 或 其 他 方 法 解 题.总 结：公 式 的 结 构 特 征 和 符 号 规 律 对 于 公 式 C（a f），C（a+/?），可 记 为“余 余 正 正，符 号 异 对 于 公 式 S（a-6），S（a+0）,可 记 为“正 余 余 正，符 号 同 对 于 公 式 T（a_0），%+B），可 记 为“分 子 同,分 母 异【小 试 牛 刀】1.思 考 辨 析（正 确 的 画 y”，错 误 的 画”）（1）把 公 式 cos（a/0=cosacosW+sinasin中 的 夕 用 一 夕 代 替，可 以 得 到 cos（a+）.（）两 角 和 与 差 的 正 弦、余 弦 公 式 中 的 角 a,夕 是 任 意 的.（）（3）对 任 意 的 a,4 角，都 有 tan（a/O=；：田:吗.（）厂 r 1+tan atan p（4）tan七+目 能 根 据 公 式 tan（a+份 直 接 展 开.（）（5）tana-tan夕，tana+tanQ,tan（a+夕）三 者 知 二 可 表 示 或 求 出 第 三 个.（）2.cos 75cos 15 sin 75sin 15的 值 等 于()A.1 B.C.0 D.143.若 tana=3,t a n 则 tan(a一 夕)等 于()A.1 B.1 C.3 D.34.sin 45cos 15cos 45sin 1 5 0=.【经 典 例 题】题 型 一 给 角 求 值 点 拨：给 角 求 值 问 题 涉 及 两 角 和 与 差 公 式 的 正 用 和 逆 用，sin(a+p)=sin acos+cos as in p为 正 用，sin acos 0+cos asm(a+p)即 为 逆 用。公 式 的 逆 用 是 三 角 式 变 形 的 重 要 手 段,有 时 还 需 把 三 角 函 数 式 的 系 数 0,坐，坐 等 均 可 视 为 某 个 特 殊 角 的 三 角 函 数 值，从 而 将 常 3 兀 兀 7 1数 换 为 三 角 函 数 使 用.例 如：5cosa一 手 sini=sin4cosa-cossina=sin(ga).注 意：在 利 用 两 角 和 差 的 正 切 公 式 时 要 注 意 常 值 代 换：如 ta4=1,1谈=坐，1吟=小 等.还 要 注 意 tan(j+j=1+tana(T I；-7,tan 7-a1tana 14,1 tan。1+tan*例 1 求 下 列 各 式 的 值：(1)sin 14cos 160+sin 76cos 74；(2)sin 古 一 小 cos 专;1+tan 751-tan 75,【跟 踪 训 练】1 求 下 列 各 式 的 值：(l)cos 105；(2)cos75sin 135+sin45cos 15；门、1-tan 27 tan 330I tan270+tan33sin47-sin 17cos30 cos 17题 型 二 给 值 求 值 点 拨：解 题 时 要 注 意 已 知 角 与 所 求 角 之 间 的 关 系，恰 当 地 运 用 拆 角、拼 角 技 巧，同 时 分 析 角 之 间 的 关 系，利 用 角 的 代 换 化 异 角 为 同 角，具 体 做 法 是：1.当 条 件 中 有 两 角 时，一 般 把“所 求 角”表 示 为 已 知 两 角 的 和 或 差.角 的 拆 分 方 式 如 下：a=（a+夕）一 夕=夕 一 0 a）,a=J+0=一，壮，2a=（a+夕）+（a一 夕）,2夕=（a+夕）一（a一 夕），仔+a）+（+.）=+（a+份,售+a+（g一 夕=+（a一 份 等.2.当 已 知 角 有 一 个 时，可 利 用 诱 导 公 式 把 所 求 角 转 化 为 已 知 角.例 2（1）已 知 cosa=；,a C（O,。sin4=一 1,夕 是 第 三 象 限 角.求 sin（a+/7）,sin（a夕）的 值；(2)已 知 sin(午+a)=卷，cos(?一 夕)=|,且 0a?等,求 cos(a+).【跟 踪 训 练】2 若 s i-二 cosa=3 tan（a-0=2,则 tan0-2a）=.已 知 cc（O,三），sin（a）=：,则 sina 的 值 为 _.2 6 3题 型 三 给 值 求 角 点 拨：给 值 求 角 的 方 法 一 般 先 求 出 该 角 的 某 个 三 角 函 数 值，再 确 定 该 角 的 取 值 范 围，最 后 得 出 该 角 的 大 小.至 于 求 该 角 的 哪 一 个 三 角 函 数 值，这 要 取 决 于 该 角 的 取 值 范 围，然 后 结 合 三 角 函 数 值 在 不 同 象 限 的 符 号 来 确 定，一 般 地，若 若 角 的 取 值 范 围 是（0,习，则 选 正 弦 函 数、余 弦 函 数 均 可；若 角 的 取 值 范 围 是（一,引，则 选 正 弦 函 数；若 角 的 取 值 范 围 是（0,兀），则 选 余 弦 函 数.例 3 已 知 sina=g sin0=，且 a,夕 G（0,小 求 角 a+4 的 大 小.（2）若 a,4 均 为 锐 角，且 tana=2,tan=3,则 a+尸 等 于（）7 T 3 7 T-5H 7 7 TA.4跟 踪 训 练】3 设 a,夕 为 钝 角，且 sina=亭，cosQ=噂，则 a+4 的 值 为（）3兀-5兀-7兀 _ 5兀 一 7兀 A彳 B彳 C彳 D彳 或 彳 题 型 四 正 切 公 式 的 变 形 应 用 点 拨：T（“坳 可 变 形 为 如 下 形 式:tanatany?=tan(ay?)(1+tanatan);l+tanatany?=tanatantan(a)例 4(1)求 值：tan 10+tan 5 0+S ta n 10tan 50.若 锐 角 a,4 满 足(1+小 ta n a)(l+/ta n)=4,求 a+4 的 值.A-3 BT【当 堂 达 标】1已 知 csa书 0?【跟 踪 训 练】4 在 ABC中，tanA+tanB+小=，5taiL4tanB,则 C 等 于()C.7 D.o 1则 sin 3+9=()4小 企 c.1012.sinl5。一 彳 0 1 5。的 值 为()A.乎 B.乎 C.13.在 ABC 中，A=g,COS8=*M 则 sinC 等 于()A挈 B.乎 C*D.邛 4.已 知 sin。-cos夕=3，c o s a-s in Q=g,贝 U s i n(a+)=.5.计 算(1)辞,。；(2)tan230+tan37+V3tan23tan370.6,已 矢 学 a 尊 O v夕 4 cos住+a=一 sin年+H)=亮 求 sin(a+4)的 值.7.已 知：a(0,5 P(一 去 0),且 cos(a)=,sin=一 喟，求 角 a 的 大 小._ 1 兀 兀、8.己 知 tana=2,tan=y 其 中 0 a/,夕 兀.求:(l)tan(a一 夕)；(2)a+的 值.【参 考 答 案】【自 主 学 习】cosacossinasin夕 sinacosQ+cosasin/5 sinacos/?cosasin夕 tan a+t a n/tan a-tan 11 tan a tan 1+tan atan【小 试 牛 刀】l.(l)d(2)4(3)X(4)x(5)42.C 3.A 4.【经 典 例 题】例 1 解：(1)原 式=sin 14cos 16+sin(90 14)cos(90 16)=sin 14cos 1 6 0+cos 14sin 16=sin(14+16)=sin 30=2-(2)原 式=2 s i n 吉 一 坐 cosc.兀=2sin a=tan 4 5 0+tan 75 原 式=1-t a n 4 5 N 7 5。=tan(45+75)=tan 120=y3.【跟 踪 训 练】1 解：（1）原 式=co s（6（F+4 5。）=cos 60cos 45 sin 60sin 452 2-2X 2-2 X 24 原 式=sinl5cos450+sin45cosl5=sin(15+45)=sin600=w.原 式 tan270+tan3g；-tan(27+33)-ta n 60 一 Pl-tan27tan33h-sin(17+30)-sin 17cos300(4)原 式=-向 下-sin 17cos300+cos 17sin30 sin 17cos30cos17=sin 30。例 2 解：(l).co sa=g,a(0,今 J sin a=yj 1-cos2a=y/2.3 sin夕=一 小 用 是 第 三 象 限 角，I-4/.cos 6=yj 1 sin2=一 亍/.sin(a+)=sin acos 夕+cos asin 夕=|V2X(-1)+|XH)3+8地 sin(ot-Q)=sin acos 夕 一 cos asin p2 4 33-8小 15(2)V0aJy,3 IT 3 IT I IT IT n r+an，-一 0.4 4 2 4/又：sin(斗+a)=卷，cos(卜 夕)=：,/.cos(+a)=I I，s i n=.cos(a+/?)=sin 碎+(a+.)=sin 哼+a)-(：-0=sin(乎+a)cos(：一)cos(乎+a)sin 一 份 5=x133365【跟 踪 训 练】2(1)1 解 析:_s_in_a_+_c_o_s_a_ _ta_n_a_+_1_ sina-cosa tana 1/.tana=2.又 tan(a/?)=2,/.tanQ5-2a)=tan a)atan(a-/3)+atan(a)+tana 4 B 解 析：tan(a+/Q=tan a+tan p 2+31-ta n a ta n p 1-2 x 3=-l.因 为 a e(o,尸 e(o,小 则 a+夕 e(o,兀),故 a+K=【跟 踪 训 练】3 C 解 析：.6 为 钝 角，s i n a=9，25-5由 cos尸=一*俱，得 sin/3=q 1-cos2/，=-V5 V10_V25 X 10-2-1 tan(a)-tana 3*立 磐 解 析：由 题 意 可 知，因 为 a(0,勺，所 以 a 汨(一 g 56 2 6 6 3所 以 cos(夕 一 5)=J _ siM(a%)=手 贝 rn,1Ji s.i na=si.n(/a-T T+,-7 T)X=si.n(/a-7)1c、o s-IT+I co s(/a-7)TXs i.nn-=-1 x y/3+,22 x-1=V3+-2-V2.例 3 解：(l)sin a=g,sin4=察，且 a,夕 仁(0,/.cosa=V1-sin2*5 a=竺，cosQ=5/1 sin2 p=,/.cos(a+4)=cosacos/?sinasinQ25 3V10 V5 V io 5V50 5y/2 V25 10 5 10 50 10 2 又 由 已 知 可 得 a+S 6(0,又.a+Q=*7T E又 兀 仁+夕 2兀，.故 选 C.i/力,tan 100+tan 50例 4 解：(l)4tan 60o=tan(100+50)=_ ta n l(H an 5 0。tan 100+tan 50=tan 60(l-tan 10tan 50),J 原 式=tan 60(l-tan 10tan 50)+3tan 10tan 50=小 一 小 tan 10tan 50+小 tan 10tan 50=小.(2)V(1+V3tana)(l+小 ta 印)=1+6(tana+tan.)+3tanatan夕=4,tana+tan=/3(l tanatan?),tana+tan/5 r-tan(a+p)=7=v 3.1 1 tanatanp v又,：a,均 为 锐 角,/.0a+180,：.a+/i=60.【跟 踪 训 练】4 A 解 析：根 据 题 意 可 知，tanA+tanB=/3tanAtanB 3,所 b y以 tan(A,+B)=-tanA+tanB-7 3r1tanAtanB v因 为 C=TIA B,故 tan(A+B)=tanC,所 以 tanC=V3，7 T因 为 在 三 角 形 中 0C7t,故 C=,故 选 A.【当 堂 达 标】1.B解 析：由 cosa=-，0。一,得 sin a=|,5 2所 以 sin(a+=曰 s in a+jc o s a=j x|+y-x2.B 解 析：原 式=sin30-sin 15cos30-cos 15=(cos30-cos 15sin30-sin 15)=-cos(30+15)=cos45=一 多 3.A 解 析：VcosB=Vio1 0，3为 锐 角 sinB=yj 1-cos2B=.兀 7 1又 V sinC=sin兀(A+B)=sin(A+B)=sin4cosB+cos4sinB=啦 也 3 _8下 _2小-2 X 10+2 X 10-2 0-559 1.4.五 解 析：由 sinacos=5两 边 平 方 得 sin2a2sinacos+cos2/?=,由 cosasin=g两 边 平 方 得 cos2a2cosasin+sin2/?=,+得：(sin2a+cos2a)2(sinacos夕+cosasin)+(cos2/7+sir?,)=(+/.13 59:,1 2sin(a+.)+1=拓.:sin(cc+)=.S H-U tan60tanl505解：(D原 式=l+tan60tanl50=tan(60 15)=tan45=1.(2)Vtan(23+37)=tan230+tan371tan23tan37.tan23+tan37*，3=l-tan23tan37，小 一 小 tan23tan37=tan230+tan37,.,.tan230+tan37+小 tan23，an37。=小.6.解：方 寸+a 7t,/.sin俘+a.八 c 兀 3兀 3711c 不 7 彳+4 兀，:.sin(a+/?)=-sin(兀+s+3)=-sin 仔+a)+律+=-6365-7.解：因 为 a e（0,9,4（一 方，0），所 以 a一 4（0,兀）.由 cos(a一 夕)=知 sin(a)=7.由 sin=I。，知 cos/?=0.所 以 sina=sin(a份+川=sin(a 6)cos+cos(a 一 6)sin夕 告 暗+乳-部 当 又 a(0,g，所 以 a=g.8.解：(1)因 为 tana=2,tan尸=一,2+1广 广-tanatan 3所 以 tan(a-)=1+t a n 6(ta n=2=7.1 32_1E、I.tana+tan 3(2)因 为 t a n(a+)=-p=2=1,1+3又 因 为 0a5，/3n,所 以/a+A(岑，所 以。+4=牛.