高考数学二轮复习：限时集训-数列求和与综合问题.pdf

专 题 限 时 集 训（六）数 列 求 和 与 综 合 问 题 4 组 基 础 中 考 查 学 科 功 底 1.等 差 数 列 5 中，%=9,%=15,则 数 列（1），的 前 20项 和 等 于（）A.-10 B.-20C.10 D.20D 设 等 差 数 列%的 公 差 为 d,由%=9,%=15,得+34=9,%+64二 15,解 得=3,4=2,则 4=3+2（-1）=2+1,数 列（-1），q 的 前 20 项 和 为-3+5-7+9-11+13-39+41=2+2+2=2X10=20.故 选 D.2.（2021 衡 水 中 学 模 拟）为 了 弘 扬“扶 贫 济 困，人 心 向 善”的 传 统 美 德，某 校 发 动 师 生 开 展 了 为 山 区 贫 困 学 生 捐 款 献 爱 心 的 活 动.已 知 第 一 天 募 捐 到 1 000元，第 二 天 募 捐 到 1 500元，第 三 天 募 捐 到 2000元，照 此 规 律 下 去，该 学 校 要 完 成 募 捐 20 000元 的 目 标 至 少 需 要 的 天 数 为）A.6 B.7 C.8 D.9C 设 第 天 募 捐 到。“元，则 数 列 为 是 以 1 000为 首 项，500为 公 差 的 等 差 数 列，所 以 其 前 n项 和 5=250（+3）.因 为 17 500凤=22 000，所 以 至 少 需 要 8天 可 完 成 募 捐 目 标.故 选 C.3.已 知 数 列 a“满 足 a“+=a-（”22,WN*）,a=,%=2，S“为 数 列 册 的 前 项 和，则 S2020等 于（）A.3 B.2 C.1 D.0A U+i=%-%（22，eN*），4=l，4=2,./I，%=T，=-2,纥=-1,%=1，4=2，故 数 歹 也。“是 周 期 为 6 的 周 期 数 列，且 每 连 续 6 项 的 和 为 0,故 2（）20=336X 0+%（“7+出（）18+%oi9+%020=%+%+%+笃=3.故 选 A.4.已 知 为 数 歹 空 斗 的 前 项 和，若 加 7；o+l 013恒 成 立，则 整 数 相 1/10的 最 小 值 为（）A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 0232+1 iC 因 为+夕 所 以=+1-犷 则 几+1 0 1 3=1 1 4+1。13=1 024 4,又 加 To+1 013,所 以 整 数 机 的 最 小 值 为 1024.5.已 知 数 列 a“满 足 叫 用 一 a”=2，nGN*,则 2.1,=()r=2 Ui 11 1 八 nA.B.-n-1 n nC.n(n1)D.士 B 依 题 意，由 a“+1-a“=2，eN*，可 得 当 22 时，4-a=2Xl,4-4=2X2,an-an=2X(n-1),各 式 相 加，可 得 a“-%=2X1+2X2+2X(-1)(n-1)/?=2Xl+2+-+(n-1)=2 X _ _ _二(-1)，2/10i n-1=1n=故 选 民 6.记 数 列 a 的 前 项 和 为 S.已 知=1,(S-S)a=2(?GN*),则 H n i n*i n nS2 022()A.3(21 on 1)B.(2i on-1)C.3(22 022 1)D.|(22 022 1)A 根 据 题 意,数 列%中，(S,+-S)a“=2(WN*),则 有 a.+a”=2，进 而 可 得 a,a 二 2-1.n n-I；可 得 上 二 2.an-1当=1 时，=2,又 由%=1,贝！J 4=2,则 当 n 为 奇 数 时，a=32-1，当 为 偶 数 时,a“二 用 i,贝 U 2022=%+4+%+a2 022=(4+%+2021)+5 2+%+“2022)_1X(1-2 1 0 1 1)2X(1-21011)_=-+-=3(2)on-1),故 选 A.|1-2 1-27.（多 选）意 大 利 著 名 数 学 家 斐 波 那 契 在 研 究 兔 子 繁 殖 问 题 时，发 现 有 这 样 一 列 数：1,1 2 3,5,，其 中 从 第 三 项 起，每 个 数 等 于 它 前 面 两 个 数 的 和，后 来 人 们 把 这 样 的 一 列 数 组 成 的 数 列 4 称 为“斐 波 那 契 数 列，记 S”为 数 列%的 前 项 和，则 下 列 结 论 中 正 确 的 有（）A.aO=2B.67=32C.%+%+%+-+%/=%组+有+田 0 2 1D.a2 021a2 022ACD 由 题 意 斐 波 那 契 数 列 前 面 8 项 依 次 为 1,1,2,3,5,8,13,21,3/100o=2 1,5/=1+1+2+3+5+8+13=3 3,A 正 确,B 错 误；%-1+%-3+%+%，（：正 确；-1=%-1（%-1+%-2）=+a2n-a2n-2=缘 _1+a2n-2（。2-2+42n-3）=-J+%2+-2%-3=%-1+/2+弓+。3。2=强”+强“_2+%+/+4，=1 1 1时，得“=.+.+%,D 正 确.2 0 2 2 c i2 0 2 1故 选 A C D.8.（多 选）（2021.广 东 广 州 一 模）在 数 学 课 堂 上，教 师 引 导 学 生 构 造 新 数 列：在 数 列 的 每 相 邻 两 项 之 间 插 入 此 两 项 的 和，形 成 新 的 数 列，再 把 所 得 数 列 按 照 同 样 的 方 法 不 断 构 造 出 新 的 数 列.将 数 列 1,2进 行 构 造，第 1次 得 到 数 列 1,3,2；第 2 次 得 到 数 列 1,4,3,5,2；第（GN*）次 得 到 数 列 1,不，租 xk,2；记%n=1+%1I+%21-Fx+2,数 列%的 前 项 和 为 则（）K n/-A.左+1=2”B,a+l=3a-3C.a“=亍（“2+3”）D.S“=水 3+i+2-3）ABD 由 题 意 可 知，第 1次 得 到 数 列 1,3,2,此 时 攵=1；第 2次 得 到 数 列 1,43,5,2,此 时 k=3；第 3次 得 到 数 列 1,547,3,8,5,7,2,此 时 k=l；第 4 次 彳 导 至！数 歹 1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此 时 左=15；第 n次 得 到 数 列 1,X1,j,2 此 时 k=2n 1 I所 以 k+1=2”，故 A项 正 确；4/104=3+3%=3+3+9结 合 A 项 中 列 出 的 数 列 可 得：2%=3+3+9+27%=3+3+9+27+81=a,=3+31+32+-+3(rt c N*).用 等 比 数 列 求 和 可 得。=3+二 2则%3(3+|-1)3+2-3 3”+2 3=3+-2-=3+-2-=-2-+2,又%-3=3 1+吧 2-3=9+翠-卜 3=竿+1 所 以=3。n 2 2 2 2 2+I J-3,故 B 项 正 确；由 B 项 分 析 可 知。“=3+-=|(3”+1)，即。产 蓊 2+3n),故 C 项 错 误.%=%+%+%+4 3+i+_+3 _+卧=32(1-3)1-3 3 3+2_+4=_+2 J2 2 4寺=京 3+1+2-3),故 D 项 正 确.故 选 A B D.9.数 列”“满 足;%+!4+3%-。=2+1，则 数 列。“的 通 项 公 式 为.6，几=1 1 1 1 1an=2 n+,心 2 因 为 科+到 2+到 3+W“=2+l,所 以|+基+嬴+a.=2(n-1)+1；2-i 5/10两 式 相 减 得=2,即 a=2+1，2.2,n n n又%i=3,所 以=6,不 符 合 上 式.因 此 6,=1,U=2+1,三 2.10.(2021.广 东 梅 州 二 模)已 知 数 列 叫 的 前 项 和 为 S”，且 满 足%+S,=1,则 1+邑+*=a.aQ-I Z o502 由 数 列%的 前 项 和 S“满 足 a“+S“=1知，当 心 2 时，a+s.=1,两 式 标 成，可 得 a-a,+(S-S,)=2a-a,=0,n n-1 n-lz n n-1 即，=”2 2),a t 2令=1,可 得%+S=2%=1,解 得%=；，所 爆 列“表 示 首 项 为:，公 比 为 期 等 比 数 列，所 以=七 所 以 1+邑+邑+*=(2+22+,+2s)-(1+1+.+1)=-8=a.v 7 i _ ol Z.j O A29-10=502.11.如 图，九 连 环 是 我 国 从 古 至 今 广 泛 流 传 的 一 种 益 智 游 戏.在 某 种 玩 法 中,6/10用。表 示 解 下（9,金 N*）个 圆 环 所 需 移 动 的 最 少 次 数，%满 足 力=1,且 2a 1 1（为 偶 数）,=n 大 将 则 解 下 5 个 圆 环 需 最 少 移 动 _次.n 2%+2（为 奇 数），16 因 为 a.=2%+2=2(2%-1)+2=4%,所 以 4=4%=4(2%+2)=8a,+8=8(2%-1)+8=164=16,所 以 解 下 5 个 圆 环 需 最 少 移 动 的 次 数 为 16.12.已 知 数 列%是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列，对 任 意 大 于 2 的 正 整 数，记 集 合 xlx=%+%,iGN,六 N,lWzy/W 的 元 素 个 数 为 c“，把 c“的 各 项 摆 成 如 图 所 示 的 三 角 形 数 阵，则 数 阵 中 第 17行 由 左 向 右 数 第 10个 数 为.C3C4。5C6 C7 C8C9 CIO C11 C12293 设%=%+(-l)d(dWO),则 4+%=2%+八 2)4,由 题 意 知 iWi，当 i=1,/=2 时，i+/-2 取 最 小 值 1,当 i=-1,/=时，i+/-2 取 最 大 值 2n-3,易 知 i+j-2 可 取 遍 1,2,3,，2-3,即。“=2-3(23),数 阵 中 前 16行 共 有 1+2+3+16=136(个)数，所 以 第 17行 由 左 向 右 数 第 10个 数 为,48=2X 148-3=293.6 组 综 合 中 考 查 关 键 能 力 13.（2021.湖 北 华 中 师 大 一 附 中 模 拟）已 知 数 列 外 的 前 项 和 为 S“，S+l=4。“，且=4.（1）证 明：%+1一 2册 是 等 比 数 列，并 求 5 的 通 项 公 式；在 2=%+一 与；ba=log2+；图=卢 亍 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个 补 充 7/10在 下 面 横 线 上，并 加 以 解 答.已 知 数 列 仍“满 足，求 2 的 前 项 和 Tn.解 当 心 2 时，因 为 S+1=4,所 以 5“=4q一,两 式 相 减 得，,+1=4。n-4an 1.所 以 方+1 2”=2(4-2%).当=1时，因 为 S=4a,所 以 S=4a,又=4,故 电=12,于 是 内/?T 1 n 4 1 1 4 一-2%=4,所 以 q+1-2 5 是 以 4 为 首 项,2 为 公 比 的 等 比 数 列.所 以。-2a=2+i，两 边 除 以 得，2-*=1.+1 n 2+1 2又 守=2,所 以 掰 是 以 2 为 首 项，1为 公 差 的 等 差 数 列.所 以 金=+1,即 an=(n+1)2.(2)若 选：bn=an+l-an,即 bn=(n+2)2+1-(+l)-2=(n+3)-2,因 为 T=4 X 21+5 X 22+6 X 23+(+3)X2,n所 以 2T=4X22+5*23+6X24+(+3)X2+I.n两 式 相 减 得，-T=4X21+23+2)-(+3)X2+14X(2n-i-1)“=8+-(n+3)X 2n+12-1=-(+2)X 2+1+4.所 以 r=(+2)X2+i-4.若 选:b=log2 1即 8/10n+1+1bn=lo&g,2 n+lo2g,2“=lo2g,n+所 以 T=log2y+log21+-+log22il+(1+2+-+n)=,(2 3+1工(1+)log2亍 X 不 X X-2U 2 n J 2(1+ri)n=log2(/?+1)+一 一.若 选：0=A i r,n 八 八 L4(+2)2+i_|(+2)2-C 组 创 新 中 考 查 理 性 思 维 14.(2021.广 州 六 校 高 三 联 考)已 知 等 差 数 列%的 公 差 为-1,且 4+%+a|2=-6.(1)求 数 列”的 通 项 公 式 与 其 前 n 项 和 S“；(2)将 数 列 4 的 前 4 项 抽 去 其 中 一 项 后，剩 下 三 项 按 原 来 顺 序 恰 为 等 比 数 列/乙 的 前 3 项，记 与 的 前 项 和 为 7；,若 存 在 机 G N*,使 得 对 任 意 W N*,总 有 S“T,“+2 恒 成 立，求 实 数 人 的 取 值 范 围.解(1)由 4+%+。12=-6,得，=-2,.吗=4,.吗=5-，ii-r-c(9-)从 而 s“二-(nGN*).(2)由 题 意 知%=4,4=2,%=1,9/10设 等 比 数 列 仍“的 公 比 为 q,则 娱 铲;随?的 增 大 而 减 小，7J为 递 增 数 列，得 4T,8.n(9-n)_ i f/92 8f又 S“=F-孔-可 F 1故)m a x=$4=$5=1 0,若 存 在 m e N*,使 得 对 任 意 WN*,总 有 Sn Tm+故 实 数 2的 取 值 范 围 为(2,+8).2,则 102.10/10