2024年高考数学专项练习高中数学微专题含答案.pdf

目 录1.函数的单调性与导数之间的关系 0 32.也谈指数找基友、对数单身狗 0 53.“指数找基友”和“对数单身狗”的几种类型 0 74.从穿针引线法谈极值点的那些事儿 125.导数中常见不等式之间的关系 166.由切线不等式衍生的一系列不等式 217.揭秘导数压轴题的命制策略 248.零点问题之命题转化 279.找点速成“2+3找点秘籍”2910.极值点方程代换（隐零点代换）的几种情况 3311.恒成立问题中参数的最大（小）整数解问题 4112.导数压轴题中 x1+x2 2x0型不等式的证明 4713.对数平均不等式及其应用 5614.函数不等式证明之隐零点显化策略 6215.导数放缩入门不得不知的几点 6716.三次函数的几种解析式及其应用 7117.对互化及其应用 7518.一道导数题的命制与解 7919.例谈解决导数压轴题的若干重要意识 8120.对一道函数不等式的探索 872024年高考数学专项练习高中数学微专题0 1 函数的单调性与导数之间的关系在初学导数时，我们就知道这么一个事实：【结论 1】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.若在区间 D上有 fx 0，则区间 D是函数 f x 的一个增区间.这是最原始的关系，想必大家都不陌生，后面的讨论都是建立在这个基础上的.首先来看一组简单问题：求函数 f x=1x的单调减区间.求函数 g x=-x3的单调减区间.根据结论 1，我们分别令 fx=1x=-1x2 0和 gx=-3x2 0，都是解得 x 0，所以这两个函数在-,0 和 0,+上都是单调递减的.但是这两个函数有着明显的区别，f x=1x在 x=0处无定义，g x=-x3在 x=0处有定义且连续，因此这个问题的答案就是：f x=1x的减区间是-,0 和 0,+，g x=-x3的减区间是(-,+).我们可以看到，导函数为负的时候，原函数一定递减，但是反过来，原函数递减，不见得导函数要恒小于 0，因为一个大的单调减区间可以由若干个小的单调减区间首尾相连得到的.由此，我们可以得到下面这个引申结论：【结论 2】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.若在区间 D上有 fx 0，且 fx=0的根是离散的（即在 D的任意子区间上 fx 不恒等于 0），则区间 D是函数 f x 的一个减区间；若在区间 D上有 fx 0，且 fx=0的根是离散的（即在 D的任意子区间上 fx 不恒等于 0），则区间 D是函数f x 的一个增区间.再来看一组问题：若函数 f x=x3+a x是增函数，求实数 a的取值范围.若函数 f x=a x是增函数，求实数 a的取值范围.第题，由 fx=3 x2+a 0 恒成立可知 a 0，经过检验发现并没有问题.第题，由 fx=a 0恒成立可知 a 0，经检验发现 a=0不符合题意.两者的区别又体现出来了，出现这种差别的原因在于条件转化的“不等价”.事实上，根据前面的结论 1和结论 2，我们知道 fx 0是 f x 单调递增的充分条件，但不是必要条件.通过这组题，我们又发现 fx 0恒成立是 f x 单调递增的必要条件，而非充分条件.综合考虑，可得到如下终极结论：【结论 3】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.f x 在区间 D上单调递减 fx 0在区间 D上恒成立，且 fx=0无实根，或它的实根是离散的（即在 D的任意子区间上 fx 不恒等于 0）.f x 在区间 D上单调递增 fx 0在区间 D上恒成立，且 fx=0无实根，或它的实根是离散的（即在 D的任意子区间上 fx 不恒等于 0）.再来看一道题：若函数 f x=l n x-12a x2-2x存在单调减区间，求实数 a的取值范围.存在减区间是什么意思呢？我们在求减区间时，是令 fx 0，然后解不等式，这里也是如此.令fx=1x-a x-2=-a x2-2x+1x 0，所以减区间实际上就是-a x2-2 x+1 0的解集.对于抛物线（以及其他任何连续曲线）来说，只要有一个点在 x轴下方，帅琪的数学笔记 就必然会有一段曲线在 x轴下方，所以只要保证-a x2-2x+1 0有正实数解即可.值得警惕的是，有些人会把条件“存在减区间”转化为“fx 0有解”，这是不对的，这样算出来会包含 a=-1，但是 a=-1的时候只存在一个导数等于 0的点，虽然也使得该不等式有解，但其他点处的导数值都大于 0，因此函数是单调递增的，没有减区间.其他的反例也有很多，比如 f x=1和 f x=x3都满足“fx 0有解”，但是它们都没有减区间.于是，我们得到第四个结论：【结论 4】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.f x 在 D存在减区间 f x 0 在区间 D上有解.0 2 也谈指数找基友、对数单身狗根据指数函数和对数函数的导数、以及导数的运算法则，不难知道：f x ex=0 fx+f x ex=0 fx+f x=0f x e-x=0 fx-f x e-x=0 fx-f x=0l n x-f x=0 1x-fx=0从这两个式子，我们大致可以得到如下两条经验：指数找基友：如果我们要证明 ex大于（或小于）一个非超越式 f x，可以考虑采用作商法，这是因为作商构造出的新函数 f x e-x极值点一般可求，即方程 fx-f x=0可解，可避免多次求导.此所谓“指数找基友”给 ex找基友 f x.对数单身狗：如果我们要证明 l n x小于（或大于）一个非超越式 f x，可以直接作差，构造函数 l n x1x-f x，这也是因为其极值点可求，即方程-f x=0 可解，可避免多次求导.如果待证的不等式形式较为复杂，可以将 ln x分离出来，使其系数为常数，次数为 1，此所谓“对数单身狗”.下面以一道例题进行说明：（2018全国二理数 21（1）已知函数 f x=ex-a x2.若 a=1，证明：当 x 0时，f x 1.【方法一】指数找基友当 a=1时，f x=ex-x2，不等式 f x 1等价于 x2+1 ex.构造函数 g x=x2+1ex，求导可得 gx=2x-x2+1 ex=-x-1 2ex 0，其中等号只在 x=1时取得，所以 g x 在 0,+上单调递减，所以当 x 0时，g x g 0=1，又因为 ex 0，所以 x2+1 ex.故原命题得证.【方法二】对数单身狗当 a=1时，f x=ex-x2，令 ex=t t 1，则不等式 f x 1等价于 l n t t-1 t 1.构造函数 g t=l n t-t-1，则 gt=1t-12 t-1=2 t-1-t2t t-1=-t-1-1 22t t-1 0，所以 g t 是 1,+上的减函数，所以 g t g 1=0，即 l n t t-1，故原不等式得证.【方法三】戴上面具的对数单身狗当 a=1时，f x=ex-x2，不等式 f x 1 x 0 等价于 x ex-1 x 0.构造函数 g x=x-ex-1，gx=1-ex2 ex-1=-ex-1-1 22 ex-1 0，所以 g x 在 0,+上单调递减，故 g x g 0=0，即 x ex-1 x 0，原不等式得证.仔细观察，不难发现后两种方法是完全对应的.事实上，换元大部分时候是为了将某些关系变得更加“显化”，方便我们观察，并不能“无中生有”地创造出一些本不存在的关系.附三个练习题.请用“找基友”或“单身狗”证明下述不等式：【题 1】求证：当 x 0时，有 ex 1+x+x22+x36.【题 2】求证：当 x 1时，有 x x-1l n x x+12.【题 3】求证：当 x 0时，有 ex-e-x-2x 0.0 3“指数找基友”和“对数单身狗”的几种类型前文已经说过“指数找基友”和“对数单身狗”的原理，这里分享一些它的典型应用.“指数找基友”的几种类型类型一：直接找基友【题 1】求证：当 x 0时，有 ex 1+x+x22+x36.证明：构造函数 f x=1+x+x22+x36 e-x，则 fx=1+x+x22-1+x+x22+x36 e-x=-x36e-x，当 x 0 时，f x 0，所以 f x 在 0,+上单调递减，所以当 x 0时，有 f x f 0=1，即 1+x+x22+x36 e-x 1，故 ex 1+x+x22+x36.【题 2】求证：当 x 0时，有 ex ex+x-1 2.证明：构造函数 f x=ex+x-1 2 e-x，则 fx=e+2 x-1-ex-x-1 2 e-x=x-1 3-e-x e-x，当 0 x 3-e时，fx 1时，fx 0，f x 递减，此时 f x 1时，fx 0，f x 单调递减，所以方程 x l n x+xe+1 e-x=a在 1,+上最多只有一个实数解，即方程 aex-x l n x-xe-1=0在 1,+上最多只有一个实数解.【题 4】求证：当 x 0时，有 2-x ex x+2.证明：当 x 2时，由 2-x ex 0 x+2知不等式成立.构造函数 f x=2+x2-x e-x0 x 2，则 fx=42-x 2-2+x2-x e-x=x22-x 2 e-x 0恒成立，所以 f x 在 0,2 上单调递增，f x=2+x2-x e-x f 0=1，所以当 0 x 0时，有 2l n2x+l n x+2x 1.证明：构造函数 f x=2l n2x+l n x-1x，则 fx=4l n x+1-2l n2x+l n x-1 x2=2-l n x 1+2l n x x2，当 0 x 1e 时，fx f1e=-e；当1e x e2时，fx 0，f x 递增，此时 f x f1e=-e；当 x e2时，l n x 2，f x=2l n2x+l n x-1x 0.综上可知 f x-e-2，即2l n2x+l n x-1x-2，所以 2l n2x+l n x+2x 1.正如在上一篇的末尾提到的那样，“换元”只是能把一些关系显化而已，并不能“无中生有”，只要知道 l n x和 x在一起的时候，x=el n x是“指数”，与 l n x有关的代数式（本题中的 2 l n2x+l n x-1）是“基友”即可，并不需要在答题纸上把换元过程写出来.类型三：“放缩”后找基友【题 6】求证：当 x 0时，有 ex x l n x+32x+1.证明：易证 l n x x-1（证明过程略），所以只需证当 x 0时，ex x x-1+32x+1=x2+12x+1.构造函数 f x=x2+12x+1 e-x，则 fx=-x2+32x-12 e-x=1-x x-12 e-x，当 0 x 12时，fx 0，f x 递减，此时 f x f 0=1；当12 x 1时，fx 0，f x 递增，此时 f x f 1=2.5e 1时，fx 0，f x 递减，此时 f x f 1=2.5e 0时，x2+12x+1 e-x x2+12x+1.故证.对于这道题，如果直接把 x l n x+32x+1作为“基友”，令 x l n x+32x+1 e-x的导函数为 0，得到方程 x-1 l n x+32=0，恰好可以因式分解，也能得到函数的单调区间，但是函数 f x=ex-x l n x-32x-1在 0,e-32 上递减，必须要考虑函数在 0处的单侧极限值，而通过放缩则可避免这一点.除此之外，若 x l n x+32x+1中的常数项不为 1，帅琪的数学笔记 则导函数不可以因式分解，则将其作为“基友”就不恰当了，不如事先放缩，把一个二次多项式作为“基友”，保证导函数的零点可解.类型四：待定系数加强命题【题 7】求证：当 x 0时，有 ex x2+x+12.证明：构造函数 f x=x2+x+59 e-x，则 fx=-x2+x+49 e-x=-x+13 x-43 e-x，当 0 x 0，f x 递增；当 x 43时，fx 0，f x 递减.所以当 x 0时，f x f43=1 13e43=1 1327 e4 131 13 3427 84 1383进行估值），故 ex x2+x+59 x2+x+12，证毕.如果不对命题进行加强，直接把“x2+x+12”作为“基友”，算出来的极大值点是3+12，其极大值并不好估算，考虑到它约等于 1.37，所以利用待定系数法使得函数的极大值点为43，以便对极大值进行估计.“对数单身狗”的几种类型类型一：天生“单身狗”【题 1】求证：当 x 1时，有 x x-1l n x x+12.证明：构造函数 f x=l n x-2 x-1 x+1，则 fx=1x-4x+1 2=x-1 2x x+1 2 0，所以 f x 是单调递增函数.当 x 1时，f x f 1=0，即 l n x 2 x-1 x+1，又因为 l n x 0,x+1 0，所以x-1l n x x+12；当 0 x 1时，f x f 1=0，即 l n x 2 x-1 x+1，又因为 l n x 0，所以x-1l n x x+12.综上，当 x 1时，总有x-1l n x 1时，g x g 1=0，即 l n x 0,x 0，所以 x x-1l n x；当 0 x g 1=0，即 l n x x-1x，又因为 l n x 0，所以 x x-1l n x.综上，当 x 1时，帅琪的数学笔记 总有 x x-1l n x.故当 x 1时，有 x x-1l n x 2.证明：原不等式等价于 x-3l n x+l n 2-2x2 0.构造函数 f x=x-3l n x+l n 2-2x2，则 fx=1-3x+4x3=x+1 x-2 2x3 0，所以 f x 是 2,+上的减函数，所以 f x f 2=32-2l n 2 0，其中32-2l n 2 0 l n 2 1 6 83 3 1 6 32 27，显然成立.故证.类型二：“换元”后单身【题 4】求证：当 x 0时，有 ex x ex2+1.证明：构造函数 f x=ex2-e-x2-x，则 fx=12ex2+12e-x2-1=12ex4-e-x4 2 0，所以 f x 在 0,+上单调递增，故当 x 0时，f x f 0=0，即 ex2 e-x2+x，两边同时乘以 ex2，得 ex x ex2+1，证毕.正如在前两篇提到的那样，“换元”只是能把一些关系显化而已，帅琪的数学笔记 并不能“无中生有”，只要知道 ex和 x在一起的时候，x=l n ex是“对数”，将其分离出来让其“单身”即可，并不需要在答题纸上把换元过程写出来.类型三：“放缩”后单身【题 5】求证：当 l n 3 x ex-3.证明：易证 ex ex（证明过程略），所以ex-3ex+1 ex-3ex+1，所以只需证当 l n 3 x ex-3ex+1.构造函数 f x=l n x-ex-3ex+1，则 fx=1x-4eex+1 2=-ex-1 2ex+1 0，所以 f x 递减，所以当 l n 3 x f1e=0，即 l n x ex-3ex+1.故证.类型四：待定系数法加强命题【题 6】求证：当 x 0时，有 ex x2+x+12.证明：构造函数 f x=x2+x+59 e-x，则 fx=-x2+x+49 e-x=-x+13 x-43 e-x，当 0 x 0，f x 递增；当 x 43时，fx 0，f x 递减.所以当 x 0时，f x f43=1 13e43=1 1327 e4 131 13 3427 84 1383进行估值），故 ex x2+x+59 x2+x+12，证毕.如果不对命题进行加强 帅琪的数学笔记，直接把“x2+x+12”作为“基友”，算出来的极大值点是3+12，其极大值并不好估算，考虑到它约等于 1.37，所以利用待定系数法使得函数的极大值点为43，以便对极大值进行估计.0 4 从穿针引线法谈极值点的那些事儿在高一学不等式的时候，想必大家都学过用“穿针引线法”（也有点地方叫“序轴标根法”）解高次不等式.我们先来解这样一个不等式：x-1 x-2 2x-3 3 0，画出如下图形（操作不再赘述，不清楚的可以问度娘）.这个图像体现了代数式 x-1 x-2 2x-3 3在 x变化时的符号变化情况：当 x充分大时代数式一定为正；当 x逐渐缩小并跨过 3时，代数式由正变为负；当 x再逐渐缩小并跨过 2时，代数式符号不变；当 x再逐渐缩小并跨过 1时，代数式由负变为正.因此，不等式 x-1 x-2 2x-3 3 0的解集为 1，2 2，3.在高一刚学习解高次不等式时，函数的意识尚不够强烈，帅琪的数学笔记 对上述图形能理解到这个层次就算是掌握这个方法了.但是在学了函数，研究了大量的函数图像之后，我们也应该能意识到上述图形其实在一定程度上可以视为函数 f x=x-1 x-2 2x-3 3的草图当然，这个草图只体现了函数值的符号，没有体现函数值的大小.我们借助画图软件，可以画出它的标准图像，如下图所示：既然意识到了“穿针引线法”的图形可以视为函数草图，那么我们在学习了导数的有关知识之后，是不是又可以借助这个草图快速判断函数的极值点呢？在某种程度上，答案是肯定的.比如，对于函数 f x=x-1 x-2 2x-3 3，由图 1可知，在 x=2附近，会有 f x 0=f 2，因此，x=2是函数 f x=x-1 x-2 2x-3 3的极大值点.实际上，我们也不必画出草图，就可以快速判断极值点.比如，对于函数 f x=x-1 x-2 2x-3 3，在 x=2 附近，会有 x-1 x-3 3 0，因此有f(x)=(ex-1)(x-1)2 0=f 1，显然，f(x)=(ex-1)(x-1)2在 x=1处取得极小值，帅琪的数学笔记 故本题选 C.【题 2】（节选自某年浙江卷的高考题）已知 a为给定的正实数，设函数 f(x)=x-a 2x+b，x=a是函数 f x 的极大值点，求 b的取值范围.【分析】注意到 f a=0，要使得 x=a是极大值点，则在 x=a附近，需要满足 f x 0，因此需要有 x+b 0，即只需满足 a+b 0，故 b的取值范围是-,-a.这些分析其实是基于对“极值点是局部最值点”的理解，基于此，我们还可以进行一些奇妙的转化.比如，我们利用这个常见不等式：x-1-l n x 0，可以快速得到如下结论：x=1是函数 f x=x-1-l n xx 的极小值点；x=1是函数 f x=x-1-l n xx2-4 的极大值点；x=1是函数 f x=x-1-l n x ex-1 的极小值点；x=1是函数 f x=x-1-l n x a x2-a x-1 的极大值点.在 201 8年全国三卷的导数压轴题中，对这种转化的利用堪称经典.【题 3】（节选）已知函数 f x=2+x+a x2 l n 1+x-2x,若 x=0是 f x 的极大值点，求 a.解析：（i）若 a 0，由（）知，当 x 0时，f x 2+x l n 1+x-2x 0=f 0，这与 x=0是 f x 的极大值点矛盾.（i i）若 a 0，设函数 h x=f x 2+x+a x2=l n 1+x-2x2+x+a x2，由于当 x 1，且 x 0，故 h x 与 f x 符号相同.又 h 0=f 0=0，故 x=0是 f x 的极大值点当且仅当 x=0是 h x 的极大值点.求导可得 hx=11+x-2 2+x+a x2-2x 1+2a x 2+x+a x2 2=x2a2x2+4a x+6a+1 x+1 a x2+x+2 2.如果 6 a+1 0，则当 0 x-6a+14a，且 x 1，x 0，故 x=0不是 h x 的极大值点.如果 6 a+1 0，则 a2x2+4 a x+6 a+1=0存在根 x1 0，故当 x x1,0，且 x 1，x 1a时，hx 0；当 x 0,1 时，hx 0，故 a的取值范围是12，+.当然，在正式解题时，求导之后的部分需要分类讨论进行说理.从上题来看，我们可以通过变形，把一些普通的函数的极值点问题，实现“对数单身狗”与“指数找基友”的转化.大家在平时的练习中可以适当运用这种转化，说不定会让一些难题变得非常简单哦0 5 导数中常见不等式之间的关系从 l n x x-1 谈起l n x x-1是一个常见的函数不等式，取等条件为 x=1.它刻画了曲线 y=l n x位于它在 x=1处的切线的下方（除切点外），由它可以引申出许许多多的结论，下面且听小编一一道来.第一组：关于 l n x的不等式【结论 0】l n x x-1.【结论 1】l n x 1-1x.在 l n x x-1中，进行 x 1x的代换，即证.【结论 2】x l n x x-1.在结论 1中，两边同乘 x.【结论 3】l n x xe.在 l n x x-1中，进行 x xe的代换，即证.【结论 4】l n x ex-2.在 l n x x-1中，进行 x ex的代换，即证.【结论 5】l n x x2-x.由 l n x x-1及 x-1 x2-x即得.【结论 6】l n xx x-1.在结论 5中，两边同除以 x.【结论 7】l n x 12x-1x,0 x 1l n x 12x-1x,x 1.对 l n x x-1两边进行积分，可以得到 x l n x-x 12x2-x，配一个常数，使得 x=1恰为函数的零点，帅琪的数学笔记 得到单调递减且零点为 x=1的函数 f x=x l n x-x-12x2-x-12=x l n x-12x2-1，进而得到结论 7.【结论 8】l n x 2 x-1 x+1,0 x 1l n x 2 x-1 x+1,x 1.对 l n x 1-1x两边进行积分，可以得到 x l n x-x x-l n x，配一个常数，使得 x=1恰为函数的零点，得到单调递增且零点为 x=1的函数 g x=x l n x-x-x-l n x-2=x+1 l n x-2 x-1，进而得到结论 8.【结论 9】l n x 12xp-px+l n p,0 x pl n x 12xp-px,x p.在结论 7中，进行 x xp的代换，即证.【结论 1 0】l n x 2 x-p x+p+l n p,0 x x-1x,0 x 1l n x x-1x,x 1.在结论 7中，进行 x x 的代换，即证.【结论 1 2】l n x 4 x-1 x+1,0 x 1l n x 4 x-1 x+1,x 1.在结论 8中，进行 x x 的代换，即证.【结论 1 3】l n x 0.在 l n x 1-p xp p 0.其中结论 1 3和结论 1 4通常用来放缩“找点”.第二组：关于 ex的不等式【结论 1 5】ex x+1.在 l n x x-1中，进行 x ex的代换，即证.【结论 1 6】ex ex.在 l n x x-1中，帅琪的数学笔记 进行 x ex的代换，即证.【结论 1 7】ex-1 x.由 l n x x-1可得 el n x ex-1，即证.【结论 1 8】ex e x+12.在 ex x+1中，进行 x x-12的代换，即证.【结论 1 9】ex2+x2-x.在 l n x 2 x-1 x+1 x 1 中，进行 x ex的代换，即证.【结论 20】ex-e-x-2x 0 x 0.在 l n x 12x-1x x 1 中，进行 x ex的代换，即证.【结论 21】e2x-ex-x 0，ex x e-x+1.在 l n x x2-x中，进行 x ex的代换，即证.【结论 22】ex 1+x+12x2x 0.对 ex两边进行积分，帅琪的数学笔记 可以得到 ex 12x2+x，配一个常数，使得 x=0恰为函数的零点，得到单调递增且零点为 x=0的函数 h x=ex-12x2+x+1，进而得到结论 22.【结论 23】ex 1+x+12x2+16x3x 0.【结论 24】ex 1+x+12x2+16x3+1n!xnx 0.重复上述积分的操作即可.【结论 25】ex ex+x-1 2x 0.在 ex 1+x+12x2中，进行 x x-1的代换，即证 x 1的部分，0 x x2x 0.在 ex ex中，进行 x x2的代换，再两边平方.【结论 27】exen nxnn 0,x 0.在 ex ex中，进行 x xn的代换，再两边取 n次方.其中结论 24和结论 25通常用来放缩“找点”.第三组：关于 l n x+1 的不等式【结论 28】l n x+1 x.在 l n x x-1中，进行 x x+1的代换，即证.【结论 29】l n x+1 xx+1.在 l n x x-1中，进行 x 1x+1 的代换，即证.【结论 30】l n x+1 x2+x.由 l n 1+x x x2+x得，或在 l n x x2-x中，进行 x x+1的代换.【结论 31】l n x+1 x2+2x2 x+1,-1 x 0l n x+1 x2+2x2 x+1,x 0.在结论 7中，进行 x x+1的代换，即证.【结论 32】l n x+1 2xx+2,-1 x 2.由 ex x+1，l n x x-1即证.【结论 34】ex-l n x+1 1.由 ex x+1，l n x+1 x即证.【结论 35】l n xx l n x x-1 x l n x x2-x ex-e-1 x-1.【结论 36】x ex x+l n x+1，ex 1+l n x+1x 在 ex x+1中，进行 x x+l n x的代换，即证.【结论 37】ex-1 l n x+1 x2x 0.由 f x=l n x+1 x 的单调性及 ex-1 x可得.第五组：常见函数最值【结论 38】x-l n x 1，l n x-x-1，l n x+1x 1，x l n x-x-1，l n x+1x 1，l n xx 1e.【结论 39】l n xxp 1p ep 0.由l n xx 1e，得l n xxp=1pl n xpxp 1p e.【结论 40】l n x+px ep-1.由l n xx 1e，得l n x+px=epl n epx epx ep-1.【结论 41】x l n x 1e.由l n xx 1e，得 x l n x=-l n1x1x-1e.【结论 42】x l n x-2e，x2l n x-12e，xpl n x-1p ep 0.由 x l n x-1e，得 xpl n x=1pxpl n xp-1p e.【结论 43】exx e x 0，ex-ex 0，xex-1 1，x e-x1e.【结论 44】e2xx 2e x 0，e3xx 3e x 0，epxx p e p 0,x 0.由exx e x 0，得epxx=pepxp x p e.【结论 45】exx2e24，exx3e327x 0，exxnennnn 0,x 0.由exx e x 0，得exxn=1nnexnxnnennn.【结论 46】x ex-1e.在 x l n x-1e，进行代换 x ex，即得.第六组：数列不等式【结论 47】1n+1 l n 1+1n 1n.在 l n 1+x x中，分别进行 x 1n和 x-1n+1 的代换，即证.【结论 48】12+13+1n+1 l n n+1 1+12+1n，12+13+1n l n n 1+12+1n-1 n 2.由结论 46可得1n+1 l n n+1-l n n 1n，累加即得.【结论 49】22n+1 l n 1+1n 1n n+1.在 l n x+1 x中，进行 x 1n的代换，得左边；在 l n x x-1x 中，进行 x n+1n 的代换，得右边；【结论 50】23+25+22n+1 l n n+1 12+16+1n n+1，23+25+22n-1 l n n 12+16+1n n-1 n 2 由结论 48累加即得.代换、平移、变形、组合，生生不息，无穷尽也.0 6 由切线不等式衍生的一系列不等式l n x x-1是一个常见的函数不等式，取等条件为 x=1.它刻画了曲线 y=l n x位于它在 x=1处的切线的下方（除切点外），经过代换等操作，可以引申出许许多多的结论，这在上篇文章中已经详细介绍.今天我们将从从中拿出一些不等式 帅琪的数学笔记（在同一处取等的不等式）进行精度上的比较，得出一些好玩的结论.第一组：关于 l n x x-1和 x l n x x-1l n x x-1和 x l n x x-1这两个不等式都在 x=1处取等，l n x比 x-1小，而 x l n x比 x-1大，那么到底相对于x-1而言，l n x小的幅度与x l n x大的幅度相比，谁小谁大？我们可以通过判断 l n x,x l n x的算术平均值x+12 l n x、几何平均值 x l n x与 x-1的大小，来判断 x-1到底更偏向于l n x,x l n x两个中的哪个.【题 1】设 f x=x+12 l n x，g x=x l n x，h x=x-1，判断 f x,g x,h x 与大小关系.提示：为了判断x+12 l n x和 x-1的大小关系，可构造函数 F x=l n x-2 x-1 x+1，易得l n x 2 x-1 x+1,x 1l n x 2 x-1 x+1,0 x x-1,x 1x+12 l n x x-1,0 x 1.为了判断 x l n x和 x-1的大小关系，可构造函数 G x=l n x-x-1x，易得l n x 1l n x x-1x,0 x 1，即x l n x 1x l n x x-1,0 x 1时，x l n x x-1 x+12 l n x；当 0 x 1时，x+12 l n x x-1 1时，l n x x-1x 12x-1x；当 0 x x-1x 12x-1x.这两组得到的不等式实际上就是对数平均不等式及其各种变形.第三组：关于 ex x+1和 e-x-x+1我们先将这两个不等式写作 ex-1 x,1-e-x x，然后通过判断 ex-1,1-e-x的算术平均值ex-e-x2、几何平均值ex2-e-x2与x的大小，来判断x到底更偏向于ex-1,1-e-x两个中的哪个.易得如下结论：【结论 3】当 x 0时，ex-e-x2 ex2-e-x2 x；当 x 0时，ex-e-x2 ex2-e-x2 x.我们也可以先将这两个不等式写作 ex x+1,ex11-x x 1，然后通过判断 x+1,11-x 的算术平均值2-x22 1-x、几何平均值1+x1-x 与ex的大小，来判断 ex到底更偏向于 x+1,11-x 两个中的哪个.易得如下结论：【结论 4】当 0 x 1+x1-x ex；当-1 x 0时，2-x22 1-x 1+x1-x ex.经过简单变形或代换，可得如下结论：【结论 5】当 0 x 1时，1-x ex 1-x22；当 0 x 2时，ex-1时，ex-1 l n x+1 x2；当 x 0时，ex+l n x+1 2x+1；当-1 x 0时，ex+l n x+1 2x+1.第五组：关于 ex-1 x和 l n x x-1我们先将这两个不等式写作 ex-1 x,l n x+1 x，然后通过判断 ex-1,1+l n x的算术平均值、几何平均值与x的大小，来判断x到底更偏向于ex-1,1+l n x两个中的哪个.易得如下结论：【结论 7】当 x 1时，ex-1l n x+1 x2；当 0 x 1时，ex-1l n x+1 1时，ex-1+l n x 2x-1；当 0 x 1时，ex-1+l n x 2x-1；第六组：关于 l n x+1 x和 sin x x t a n x 0 x 2 可试着证明如下结论：【结论 8】当-1 x 1时，l n x+1 sin x；当-1 x 1时，l n t a n x+1 x；当 0 x 2x；当 0 x x2；有兴趣的朋友可以自己写一些不等式玩玩，或者将上述不等式证明一遍.0 7 揭秘导数压轴题的命制策略我们在做导数题时，有时会遇到一个看似复杂的函数解析式，但实际上通过某种操作之后再求导，会发现导函数有一个非常漂亮的零点.这种函数解析式的构造给人一种非常巧妙的感觉，小编今天就来揭秘命题人的命制方法.一.常见函数的极值点为了顺利命制新题或者识破命题人的套路，帅琪的数学笔记 我们首先要具备一点基本技能熟悉以下几类函数类型的极值点.（1）f x=ex-a x a 0 的极值点是 x=l n a，出现频率最高的是 f x=ex-ex，其极值点是 x=1；（2）f x=exxn的极值点是 x=n；（3）f x=a x-l n x a 0 的极值点是 x=1a；（4）f x=ax+l n x a 0 的极值点是 x=a；（5）f x=l n xx 的极值点是 x=e，f x=l n x+nx 的极值点是 x=e1-n；（6）f x=x ex的极值点是 x=-1，f x=x-a ex的极值点是 x=a-1；（7）f x=x e-x的极值点是 x=1，f x=x+a e-x的极值点是 x=a-1；（8）f x=x-a 2的极值点是 x=a；（9）f x=x+a2xa 0 的极值点是 x=a.二.构造函数的方法将两个具有相同极值点的函数简单的四则运算组合起来，再做一点小修饰（加参数、去分母等）.有时候会先构造出导函数的形式，再通过简单积分求出原函数.而识别命题人这种套路的方法，也就在于对上述几种基本类型的函数极值点具备一定的敏感度.三.具体实例下面举几个例子加以说明（原题第一问已略去）.【例 1】已知函数 f x=ex-x2+1-a x-1，若对任意的 x 0，都有 f x 0，求 a的取值范围.思路一：x=0时显然成立，当 x 0时，a-1 exx-x+1x.构造函数 F x=exx-x+1x，则 Fx=x-1 ex-x-1 x2，其中 ex x+1恒成立，所以 F x m in=F 1=e-2，所以 a e-1，故 a的取值范围是-,e-1.这道题乍一看，似乎是“端点效应”，由 f x 0=f 0 得 f0=2-a 0，解得 a 2，其实我们从上面的过程可以看出来，a 2仅是必要条件，并不充分.再一看，这道题好像又是“指数找基友”的类型，令 m=a-1，可以构造函数 F x=x2+mx+1 e-x-1来求解（当然，事实上确实也可以）.实际上，这道题是命题人把两个极值点为 x=1的函数 y=exx和 y=x+1x组合起来的，分离参数之后这样组合一下，求导之后的因式分解就会非常简单，如果一开始就做通分的操作，有可能对导函数进行因式分解会困难一些，甚至被卡住.若 帅琪的数学笔记 将原不等式变形，ex+1-a x x2+1，左边是 ex-a x的类型，右边是二次函数，很容易联想到 y=ex-ex和 y=x-1 2的极值点都是 x=1，基于此，又可以得到如下做法：思路二：由 f 1 0得 a e-1.当 a e-1时，构造 F x=x2+e-2 x+1 e-x-1，则 Fx=-x-1 x+e-3 e-x，所以 F x 在 0,3-e,3-e,1,1,+上依次递减、递增、递减，所以 F x m a x=m a x F 0,F 1=0，所以 x2+e-2 x+1 e-x-1 0，即 ex x2+e-2 x+1，故当 x 0时，有 f x ex-x2-e-2 x+1 0.故 a的取值范围是-,e-1.在方法二中，我们顺便证明了 ex ex+x-1 2，事实上，抛物线 y=ex+x-1 2是曲线 y=ex的一条非常重要的切曲线，切点为 1,e.仿照这道题的导函数 Fx=x-1 ex-x-1 x2，我们可以构造导函数Gx=x-1 ex-ex x2=x-1 exx2-e 1-1x，于是反求得 G x=exx-e x-l n x（又变成了指对互化的问题，意不意外？），可以函数 f x=ex-e x2-x l n x 为依托命制题目.将exx换成exx2，exx2的导函数为x-2 exx3，构造导函数Hx=x-2 ex-x x3=x-2 exx3-1x-2x2，积分，求得原函数是 H x=exx2-l n x+2x，于是可命制出如下例 2：【例 2】证明：当 x 0时，ex-2x x2l n x.分析：exx2 l n x+2x，左右两边的极值点都是 x=2.构造函数 F x=exx2-l n x+2x，则 Fx=x-2 exx3-1x-2x