2015高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教a版.pdf

【创 新 设 计】2014高 考 数 学 一 轮 复 习 第 三 章 任 意 角 和 弧 度 制 及 任 意 角 的 三 角 函 数 训 练 理 新 人 教 A版 第 一 节 任 意 角 和 弧 度 制 及 任 意 角 的 三 角 函 数 备 考 方 向 要 明 了 考 什 么 怎 么 考 1.了 解 任 意 角 的 概 念.2.了 解 弧 度 制 的 概 念，能 进 行 弧 度 与 角 度 的 互 化.3.理 解 任 意 角 三 角 函 数（正 弦、余 弦、正 切）的 定 义.1.考 查 形 式 为 选 择 题 或 填 空 题.2.三 角 函 数 的 定 义 与 三 角 恒 等 变 换 等 相 结 合，考 查 三 角 函 数 求 值 问 题，如 2011年 新 课 标 全 国 T5等.3.三 角 函 数 的 定 义 与 向 量 等 知 识 相 结 合，考 查 三 角 函 数 定 义 的 应 用,如 2012年 山 东 T16等.国 图 青 团 第 面 穹 咖 归 纳 知 识 整 合 1.角 的 有 关 概 念 角 的 特 点 角 的 分 类 从 运 动 的 角 度 看 角 可 分 为 正 曲、负 角 和 零 角 从 终 边 位 置 来 看 可 分 为 象 限 角 和 轴 线 角 a 与 B 角 的 终 边 相 同=。+公 360(AGZ)(或=。+4 2，AeZ)探 究 1.终 边 相 同 的 角 相 等 吗？它 们 的 大 小 有 什 么 关 系？提 示：终 边 相 同 的 角 不 一 定 相 等，它 们 相 差 360。的 整 数 倍，相 等 的 角 终 边 一 定 相 同.2.锐 角 是 第 一 象 限 角，第 一 象 限 角 是 锐 角 吗？小 于 90的 角 是 锐 角 吗？提 示：锐 角 是 大 于 0且 小 于 90的 角，第 一 象 限 角 不 一 定 是 锐 角，如 390,-300都 是 第 一 象 限 角.小 于 90的 角 不 一 定 是 锐 角，如 0,-30都 不 是 锐 角.2.弧 度 的 概 念 与 公 式 在 半 径 为 r 的 圆 中 分 类 定 义（公 式）1弧 度 的 角 把 长 度 等 于 主 饯 长 的 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 1弧 度 的 角，用 符 号 rad表 示 角。的 弧 度 数 公 式。=（弧 长 用/表 示）角 度 与 弧 度 的 换 算 X c 冗 人(180、1=7萍 1(2)1 rad=P弧 长 公 式 弧 长 1=or扇 形 的 面 积 公 式 1 7 1.2S=-Ir=-Q r3.任 意 角 的 三 角 函 数 三 角 函 数 正 弦 余 弦 正 切 定 义 设。是 一 个 任 意 角，它 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 尸（X,力，那 么 匕 叫 做 Q 的 正 弦，记 作 sin a王 叫 做 Q 的 余 弦,记 作 cos a;叫 做。的 正 切，记 作 tan a各 象 限 符 号 I正 正 正 II正 鱼 鱼 III鱼 鱼 正 IV负 正 鱼 口 诀 一 全 正，二 正 弦，三 正 切，四 余 弦 三 角 函 数 线 有 向 线 段 丝 为 正 弦 线 有 向 线 段 四 为 余 弦 线/Jr 小*a，。）有 向 线 段 必 为 正 切 线 探 究 3.三 角 函 数 线 的 长 度 及 方 向 各 有 什 么 意 义？提 示：三 角 函 数 线 的 长 度 表 示 三 角 函 数 值 的 绝 对 值，方 向 衰 示 三 角 函 数 值 的 正 负.自 测 牛 刀 小 试 9 JI1.（教 材 习 题 改 编）下 列 与 苗 的 终 边 相 同 的 角 的 表 达 式 中 正 确 的 是（）9A.2A-H+45（AeZ）B.k-360+-Jt（A6Z）5 nC.k 360-315（A-eZ）D.+（A-eZ）9 9解 析：选 C V-Jt=-X180=360+45=720-315,二 与 日”终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 360-315（AeZ）.2.（教 材 习 题 改 编）若 角。同 时 满 足 sin&0 且 tan 0,则 角，的 终 边 一 定 落 在（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 解 析：选 D 山 sin 0,5.,1 x 25 解 之 得 X=.+36=丽.,5答 案：29 n5.若 点 P 在 角 F-的 终 边 上，且 I阳=2,则 点 的 坐 标 是2解 析：角 鼻 五 的 终 边 落 在 第 二 象 限,，可 设 P(x,y),其 中 xVO,y0,(x 25=cos-n,由 题 意 得 y.2o=sin-Ji,小).答 案：(-1,小).a l 象 限 角 及 终 边 相 同 的 角 例 1(1)写 出 终 边 在 直 线 了=/x 上 的 角 的 集 合；(2)若 角。的 终 边 与 牛 角 的 终 边 相 同，求 在 0,2n)内 终 边 与 卷 角 的 终 边 相 同 的 角;(3)已 知 角。为 第 三 象 限 角，试 确 定 2 a 的 终 边 所 在 的 象 限.自 主 解 答.在(0,贝)内 终 边 在 直 线 尸#X 上 的 角 是?，O，终 边 在 直 线 y=/x 上 的 角 的 集 合 为 a I a=：+An,6 n(2)V 0=+2kn UeZ),6 2 J t 2k 页.,.O I J依 题 意 0 w W+2 V 2 冗 分 一.W A v j,kEL.=0,1,2,即 在 0,2 n)内 终 边 与 相 同 的 角 为 筌，弓 F，笠 由。是 第 三 象 限 角，得 n+2 4”等+2 4”(4eZ),，2 n+4 兀 2 2 3 n+4 4 五(AGZ).角 2。的 终 边 在 第 一、二 象 限 及 y 轴 的 非 负 半 轴.a在(3)的 条 件 下，判 断 了 为 第 几 象 限 角？解：:n+2衣 冗 a+2 A J i(4WZ),n a 3 n z.+k-+k(AZ).当*=2(eZ)时，y+2/7Ji y|n+2/7Jt,3 a 7当 4=2刀+1(Z)时，-n+2)n-n+2 兀,a万 为 第 二 或 第 四 象 限 角.-方 法 规 律-1.由。所 在 的 象 限，确 定 5 所 在 象 限 的 方 法 a(1)由 角。的 范 围，求 出 了 所 在 的 范 围；a(2)通 过 分 类 讨 论 把 角 写 成，+4-360。赞 CZ)的 形 式，然 后 判 断 一 所 在 象 限.n2.已 知 三 角 函 数 式 的 符 号 判 断 角 所 在 的 象 限 可 先 根 据 三 角 函 数 式 的 符 号 确 定 三 角 函 数 值 的 符 号，再 判 断 角 所 在 的 象 限.I l f f i A U H 练 1.已 知 角 0=2 一 三(代 Z),若 角。与 角 的 终 边 相 同,sin 8I sin 0I cos 8cos 0tantan0万 y的 值 为(则 y)A.1C.3 已 知 点(tan a,A.第 一 象 限 C.第 三 象 限 B.D.c o s。)在 第 三 象 限,B.D.-1-3则 角。的 终 边 在()第 二 象 限 第 四 象 限 解 析：选 B 由。=2而 一 卷(K Z)及 终 边 相 同 角 的 概 念 知，。的 终 边 在 第 四 象 限,又 与。的 终 边 相 同，所 以 角，是 第 四 象 限 角，所 以 sin 00,tan 0 0.因 此，y=-1+1 1=1.选 B.点 P（tan a,c o s。）在 第 三 象 限,，a 是 第 二 象 限 角.tan a 0,cos a 0 时，即 x0 时，r=5f,4Xco sr5 23-5s1nZ.54-45 54r3-y-4 4ta nco s3-55f-2s1n rtany 31 3a-=x 4-4,综 上 可 知，当 角。的 终 边 在 直 线 3x+4尸 0 的 x0部 分 时,3-44-53-51ntaco s当 角。的 终 边 在 直 线 3x+4尸 0 的 x0部 分 时,sin3a=f cos a=54-53t a n a4-弧 度 制 下 扇 形 弧 长 与 面 积 公 式 的 应 用 例 3 已 知 扇 形 的 圆 心 角 是 a,半 径 为 此 弧 长 为/.(1)若 a=60,A=10 cm,求 扇 形 的 弧 长，(2)若 扇 形 的 周 长 为 20 cm,当 扇 形 的 圆 心 角。为 多 少 弧 度 时，这 个 扇 形 的 面 积 最 大?n(3)若。=丁，4 2 cm,求 扇 形 的 弧 所 在 的 弓 形 的 面 积.On 自 主 解 答(1);。=60=，/?=10 cm,On 10 n/.l=Rci=10X=cm.扇 形 的 周 长 20,.24+1=20,即 2什/?。=20,Z.a=3-202而=一 川+10=-(7?-5)2+25,.当 4 5 时 一，扇 形 的 面 积 最 大，此 时。=2,5即。=2 弧 度 时，这 个 扇 形 的 面 积 最 大.(3)S弓 形=)1.n1 n 1 击=2X 4 X-2X 4 22 n木,即 弓 形 的 面 积 为 W 小 cm.若 将 本 例 中 的“Q i o cm”改 为“扇 形 的 弦 48=10蚯 cm”求 扇 形 的 弧 长/.解：由 题 意 得 平=sin 30,即 Q l M，故 弧 长 1=7?。”乎-cm.O O-方 法.规 律-弧 度 制 的 应 用(1)在 弧 度 制 下，计 算 扇 形 的 面 积 和 弧 长 比 在 角 度 制 下 更 方 便、简 捷.(2)从 扇 形 面 积 出 发，在 弧 度 制 下 使 问 题 转 化 为 关 于。的 不 等 式 或 利 用 二 次 函 数 求 最 值 的 方 法 确 定 相 应 最 值.记 住 下 列 公 式：/=aR；5=夕 尼 S=；其 中 A 是 扇 形 的 半 径，/是 弧 长，a(0为 圆 心 角，S 是 扇 形 面 积.II曜 区 训 练 3.已 知 在 半 径 为 10的 圆。中，弦 协 的 长 为 10,(1)求 弦 4?所 对 的 圆 心 角。的 大 小；(2)求。所 在 的 扇 形 弧 长/及 弧 所 在 的 弓 形 的 面 积 S解：如 图 所 示，过。作 纥 146于 点 G 则 4C=5,在 中,AC 5 1Si n Z=-=-=-,二/松=30,:.a=2NAOC=60.(2)V6O0=?,O:1=Ia r10兀 V八 1,1 10 n5=-7r=-X3八 50 nX 1 0=-y又 5k4 加=J x 10X lOsin?=2 5 镉，乙 o 通 法 归 纳 领 悟 1条 规 律 三 角 函 数 值 的 符 号 规 律 三 角 函 数 值 在 各 象 限 的 符 号 规 律 概 括 为：一 全 正、二 正 弦、三 正 切、四 余 弦.2 个 技 巧 三 角 函 数 的 定 义 及 单 位 圆 的 应 用 技 巧(1)在 利 用 三 角 函 数 定 义 时，点 P 可 取 终 边 上 异 于 原 点 的 任 一 点，如 有 可 能 则 取 终 边 与 单 位 圆 的 交 点，|。回=尸 定 是 正 值.(2)在 解 简 单 的 三 角 不 等 式 时，利 用 单 位 圆 及 三 角 函 数 线 是 一 个 小 技 巧.4 个 注 意 点 理 解 角 的 概 念、弧 度 制 及 三 角 函 数 线 应 注 意 的 问 题(1)第 一 象 限 角、锐 角、小 于 9 0 的 角 是 概 念 不 同 的 三 类 角，第 一 类 是 象 限 角，第 二 类、第 三 类 是 区 间 角.(2)角 度 制 与 弧 度 制 可 利 用 180=r a d进 行 互 化，在 同 一 个 式 子 中，采 用 的 度 量 制 度 必 须 一 致，不 可 混 用.(3)要 熟 记 0 3 6 0 间 特 殊 角 的 弧 度 表 示.(4)要 注 意 三 角 函 数 线 是 有 向 线 段.国 颤 殉 脚 飒 懒 提 侬 睡 翻 百 用 雕 创 新 交 汇 三 角 函 数 的 定 义 与 向 量 的 交 汇 问 题 三 角 函 数 的 概 念 是 考 查 三 角 函 数 的 重 要 工 具，在 高 考 命 题 中 很 少 单 独 考 查，常 结 合 三 角 函 数 的 基 础 知 识、三 角 恒 等 变 换 和 向 量 等 知 识 综 合 考 查，涉 及 的 知 识 点 较 多，但 难 度 不 大.典 例(2012 山 东 高 考)如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 x a 中，-单 位 圆 的 圆 心 的 初 始 位 置 在(0,1),此 时 圆 上 一 点 尸 的 位 置 在(0,0),圆 在 x 轴 上 沿 正 向 滚 动.当 圆 滚 动 到 圆 心 位 于(2,1)时，丽 的 坐 标 为.解 析 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2,所 以 劣 弧 P A=2,即/%!=2,J I则/户 CS=2万，所 以 阳=s in(2一 5)=-cos 2,CBcos(2 j=sin 2,所 以 寿=2 0=2 sin 2,%=1+如=1 cos 2,所 以。尸=(2sin 2,1cos 2).答 案(2-sin 2,1-cos 2)名 师 点 评 1.本 题 具 有 以 下 创 新 点(1)本 题 考 查 三 角 函 数 与 向 量 的 知 识，表 面 看 似 向 量 问 题，其 实 质 是 考 查 三 角 函 数 的 概 念 问 题.(2)通 过 静 止 问 题 解 决 动 态 问 题，考 查 了 考 生 处 理 变 与 不 变 的 能 力、运 算 求 解 能 力、应 用 能 力 和 创 新 能 力.2.解 决 本 题 的 关 键 有 以 下 几 点(1)正 确 理 解 圆 的 滚 动 过 程，确 定 圆 心。的 坐 标；正 确 作 出 辅 助 线，并 求 得 BP与%的 长 度；(3)正 确 应 用 向 量 的 坐 标 运 算 求 出 0 P 的 坐 标.变 式 训 练 1.(2012 安 徽 高 考)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点。(0,0),狄 6,8),将 向 量 而 绕 点。按 逆 时 针 方 向 旋 转 号 后 得 向 量。，则 点 0 的 坐 标 是()A.(7,2,啦)B.(一 7镜，镉)C.(4/6,2)D.(4乖，2)解 析：选 A 设 从 x 轴 正 方 向 逆 时 针 到 向 量 方 的 角 为%则 从 x 轴 的 正 方 向 逆 时 针 到 _ _ 3 3 4向 量。的 夹 角 为。+彳 n，这 里 cos a s i n。=三 设 0 坐 标 为(x,y),根 据 三 角 函 数 的 定 义 x=10cos(a+,口)=10*(1+9义(一=7*,y=10sin(+,)=/,即 0(-7啦，一 木).2.如 图，设 点 4 是 单 位 圆 上 的 一 定 点，动 点 夕 从 力 出 发 在 圆 上 按 逆 时 针 方 向 转 一 周，点 所 旋 转 过 的 弧 4 尸 的 长 为/,弦 4。的 长 为 4 则 函 数/=/u)的 图 象 大 致 为()y yc D解 析：选 c如 图 取 的 中 点 为 D.设/2=0,贝 l j d=2sin 0,1=2。,故 d=2sin:知:能 震 测 Z H IN E N Q J IA N C E缁 国 加=为 夺 岗 缁 宏 国 总 值 演 同 璐 图 一、选 择 题(本 大 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 30分)1.若 ak 180+45(ASZ),则。在()A.第 一 或 第 三 象 限 B.在 第 或 第 二 象 限 C.第 二 或 第 四 象 限 I).在 第 三 或 第 四 象 限 解 析：选 A 当 衣 为 偶 数 时，。的 终 边 与 45。角 的 终 边 相 同，是 第 一 象 限 角 平 分 线;当“为 奇 数 时，a 的 终 边 与 45角 的 终 边 在 同 一 条 直 线 上，是 第 三 象 限 角 平 分 线.2.点/(sin 2 013,cos 2 013)在 直 角 坐 标 平 面 上 位 于()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 解 析：选 C 由 2 013=360 X5+(180+33)可 知，2 013角 的 终 边 在 第 三 象 限，所 以 sin 2 013 0,cos 2 013 0,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是()A.(-2,3 B.(-2,3)C.-2,3)1).-2,3解 析：选 A 由 cos a W0,sin a 0 可 知，角。的 终 边 落 在 第 二 象 限 内 或 p 轴 的 正 半 轴 上，所 以 有 3a-9W0,a+20,即 一 2aW3.4.若。是 第 三 象 限 角,.asin 2acos 2.asin 一 2acos 2则 尸+的 值 为()A.0 B.2C.-2 I).2 或 一 2解 析：选 A 由 于。是 第 三 象 限 角，所 以 最 是 第 二 或 第 四 象 限 角,a当 了 是 第 二 象 限 角 时,a asin cos尸 7sin万 acos-1-1=0；a当 了 是 第 四 象 限 角 时,a a sin-cosy=-+-=1+1=0.a asin-cos-9 j i5.点 尸 从（1,0）出 发,沿 单 位 圆 逆 时 针 方 向 运 动 亍 弧 长 到 达 0点，则 0点 的 坐 标 为（）B._ 亚-12 2 4 1)2 JI 1 2 n解 析：选 A 由 三 角 函 数 定 义 可 知 0 点 的 坐 标（x,y）满 足 x=cos y=sinO Lt O2.6.已 知 扇 形 的 周 长 是 4 c m,则 扇 形 面 积 最 大 时，扇 形 的 中 心 角 的 弧 度 数 是（）A.21C，2B.1D.3解 析：选 A 设 此 扇 形 的 半 径 为 八 弧 长 为/,则 2r+/=4,面 积 S=gr/=gr(42r)=产+2 r=(L 1 V+1,故 当 r=l 时 S 最 大，这 时/=4一 2二=2.1 2从 而。=-=;=2.r 1二、填 空 题（本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 5 分，共 15分）V7.若 点。（x,月 是 300角 终 边 上 异 于 原 点 的 一 点，贝 吐 的 值 为 解 析：夕 tan 3。=t a n（36。6。）=T a n 6。f答 案：一 十 8.（2013 辽 源 模 拟）若 三 角 形 的 两 个 内 角 a,尸 满 足 sin acos 0,则 此 三 角 形为.解 析：:sin acos 0,cos V O,，为 钝 角.故 三 角 形 为 钝 角 三 角 形.答 案：钝 角 三 角 形 49.已 知 角 a 的 终 边 过 点 P(8R,6sin 30)，且 cos。=一 三，则 卬 的 值 为 5解 析：矛=64,+9,cos8zzz 4”就 荷+厂?/.册 0,.4 耘 1_._ 64序+9=酝，:七 方 加 0,1/.m=答 案：2三、解 答 题(本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 12分，共 36分)10.已 知 角。的 终 边 过 点 户(一 3cos 0,4cos 0),其 中。6 偿，”)，求。的 三 角 函 数 值.解：夕 e 仔，JT),.-Kcos，0),角 尸 终 边 上 的 点。与 力 关 于直 线 尸 x对 称，求 sin a cos a+sin P cos+tan a tan 的 值.解：由 题 意 得，点 的 坐 标 为(a,2 a),点。的 坐 标 为(2a,a).故 有 sin a cos o+sin cos+tan a tan-2 1,1 2,/、1飞 飞+而 语+(L T教 师 备 选 题 供 款 箱 各 镇 透 用 1.(1)把 一 1 480 写 成 a+2A n(AGZ)的 形 式，其 中 0 W a V 2 n；(2)在 0 720。的 范 围 内，找 出 与 誓 终 边 相 同 的 角.5入/、3 1 74 n解：（1）：一 1 480=1 480 X ra d=rad,iou y74 n又 10万 16几 V5X2 J i 416兀 丁 故 一 1480=与 4+(5)X2 n.y(2).江=沃 180=72.终 边 与 与 相 同 的 角 为 9=12+A-360(A e Z).当 5 5 5=0 时，0=72；当 4=1时，。=432,.在 0 7 2 0 的 范 围 内，与 与 终 边 相 同 的 5角 为 72,432.2.(1)如 果 点 夕(sin 9cos e,2 c o s，)位 于 第 三 象 限，试 判 断 角 所 在 的 象 限.c1n req 0(2)若，是 第 二 象 限 角，试 判 断-9 T 的 符 号 是 什 么?cos sin 2 8解：(1)因 为 点 尸(sin Ocos 0,2cos J)位 于 第 三 象 限,sin 0 0,所 以 sin Jcos 0,2cos 0 V 0,即 彳 cos。0,所 以 0 为 第 二 象 限 角.2 4兀+5 V+n(AEZ),A-K c o s 0,4An+n 2 V 4A n+2 n(A eZ),-l s i n 2 8 0,.s in(cos 0)0.sin cos 8cos sin 2 0 0),当。为 多 少 弧 度 时，该 扇 形 有 最 大 面 积？解：扇 形 周 长 C=2R+1=2R+aR,C2+a1 o 1(C.3=1=5 a 后 7)C 1 d I=a-7=-W,2 4+4。+/2.4 164+a+当 且 仅 当 d=4,即。=2 时，扇 形 面 积 有 最 大 值 04.设。是 第 二 象 限 角，试 比 较 s i n 5,解：3 是 第 二 象 限 角，n+2A n 0 n+2 兀，kG Z,it 0 n+A n+A n,kG Z,0 万 是 第 一 或 第 三 象 限 的 角.(如 图 阴 影 部 分)，结 合 单 位 圆 上 的 三 角 函 数 线 可 得:_ 0 当 了 是 第 一 象 限 角 时，0 0 0sin万=力。cos-=0 A,tan=CTf从 而 得，cos s in ta n；_ 0 当 万 是 第 三 象 限 角 时，0 0 0sin=7*c o s-=O E,tan万=67,z0 0 0得 s i n-c o s-tan.0 0 0 0综 上 所 得，当 了 在 第 象 限 时，cos sin tan；9，0 0 0当 了 在 第 三 象 限 时，sin-cos tan第 二 节 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 与 诱 导 公 式 备 考 方 向 要 明 了 考 什 么 怎 么 考 1.能 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 推 导 出 了 土。，V.+a的 正 弦、余 弦、正 切 的 诱 导 公 式.2.理 解 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式：sin x+co sx=l,sin xtan x.CO S X1.以 选 择 题 或 填 空 题 的 形 式 考 查 利 用 诱 导 公 式 及 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 解 决 条 件 求 值 问 题，主 要 包 括 知 角 求 值、知 值 求 角 和 知 值 求 值,如 2012年 辽 宁 T7等.2.作 为 一 种 运 用 与 三 角 恒 等 变 换 相 结 合 出 现 在 解 答 题 中，主 要 起 到 化 简 三 角 函 数 关 系 式 的 作 用.生 罕 短 版 归 纳 知 识 整 合 1.同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系(1)平 方 关 系：s in。+cos2 a=1；(2)商 数 关 系：tan.cos a 探 究 L 如 何 理 解 基 本 关 系 中“同 角”的 含 义？提 示：只 要 是 同 一 个 角，基 本 关 系 就 成 立，不 拘 泥 于 角 的 形 式，如 sinq+cos29=l,O Osin 4 Qtan 4。=嘉 7 1 等 都 是 成 立 的，而 sin+cod 0=1就 不 成 立.2.诱 导 公 式 组 数 二 三 四 五 六 角 24n+t(AeZ)五+。a J I 6 7n aJ T万 正 弦 sin a sin c isis Qsin a cos a cos a余 弦 cos_ cos a COS_ 4 cos a sin_ 4sin a正 切 tan a tan atan Q一 tan Qz7口 诀 函 数 名 不 变 符 号 看 象 限 函 数 名 改 变 符 号 看 象 限 即 a+k-2 n(AeZ),一。，n+a 的 三 角 函 数 值，等 于 a 的 同 名 函 数 值，前 面 加 上 一 个 把 a 看 成 锐 兔 时 原 函 数 值 的 符 号;方 土 a 的 正 弦(余 弦)函 数 值，分 别 等 于 a 的 余 弦(正 弦)函 数 值，前 面 加 上 一 个 把。看 成 锐 角 时 原 函 数 值 的 符 号.探 究 2.有 人 说 sin(左 J i。)=sin(一 a)=sin a(4C Z),你 认 为 正 确 吗？提 示：不 正 确.当 仁 2(Z?GZ)时，sin(An a)=sin(2 n a)=sin(a)=sina；当 4=2+l(GZ)时，sin(An a)=sin(2+l)n a=sin(2 n+n a)=sin(JI-a)=sin a.3.诱 导 公 式 的 口 诀“奇 变 偶 不 变，符 号 看 象 限”中 的“符 号”是 否 与。的 大 小 有 关？提 示：无 关，只 是 把。从 形 式 上 看 作 锐 角，从 而 24+a(AGZ),J i+a,-a,J tn JI a,a,万+。分 别 是 第 一，三，四，二，二 象 限 角.自 测 牛 刀 小 试 1.(教 材 习 题 改 编)已 知 cos(n+a)=；,则 s i n。的 值 为()A.21B.-cos(n+a)=cos*解 析：选 D2.tan 690 的 值 为()A.-半 B.平 O 0C.y fi D.yfi解 析：选 A tan 690=ta n(-3 0+2X360)=ta n(30)=tan 30=7-.Q i n（7 p n c（J3.（教 材 习 题 改 编）若 ta=2,则 s-“的 值 为（）解 析：选 csin a-c o s。tan a-1 21 1sin o+cos a tan。+1 2+1 334.(教 材 习 题 改 编)已 知 tan a=3,n a-n,则 cos a sin a=r-3 4解 析：Ytan a=3,it a-n,/.a=-n,乙 o.4.4.cos sin a=cos sin-no Jn 1.7 1 1,#V s1=cos y+s i n=5+勺=-.答 案：咛 113 n+tan解 析：原 式=sin 25.计 算 sin等 19 ntanl 4 冗+一 呼+1=-sin+/2cos/3答 案：一 乎+1g m 逾 膻 国 氯 型 援 渡 健 豳 眠 酶 建 同 角 三 角 函 数 关 系 式 的 应 用 例 1 已 知。是 三 角 形 的 内 角，且 sin a+c o s。求 tan a 的 值；(2)把 一；,1.：,用 t a n。表 示 出 来，并 求 其 值.cos o-sin a 自 主 解 答(1)法 一：联 立 方 程 sin a+cos a二 sin2 a+cos2。=1,由 得 cos a=7 sin a,将 其 代 入，整 理 得 25sinJ a 5sin。12=0.是 三 角 形 内 角,.4sin a54，tanq=一 1cos367=法 二：Vsin o+cos1=工/.(sin o+cos Q)=即 l+2sin q cos1a=.2524.*.2sin a cos a=/.(sin a-cos o、)2=1-2八 sin a cos a=1+,24=49N 3 C t 0*/sin12a cos a=0 且 0。0,cos 40.Asin7a-cos a=5sin a+cos由 1=于 sinsin ci-cos7得 5cos4tan a=-淅 1 sin2 a+cos2 a40=甲 3sin a+cosJ a2 八 COS o 2 2.2-2.2 sin a cos a sin a cos Q-sin Qtan2 o+11 tan2 a4COS a保 持 本 例 条 件 不 变，求:/、sin a 4cos a 7-5-s-i-n-。-+-2-c-o-s-a sin2 a+2sin 4cos a 的 值.解:由 例 题 可 知 tan4a=3,sin。一 4cos a5sin a+2cos atan a 44一 一 435tan。+25X4+2_8=7/c、.2,o.sin2 a+2sin acos a(2)sin a+2sm acos Q=-;-sin。十 cos a16_8t a n%+2 t a n。9 3 81+tan2 G.16 25,1+T-方 法 规 律-同 角 三 角 函 数 关 系 式 及 变 形 公 式 的 应 用(1)利 用 s i/a+c o T a n l 可 以 实 现 角。的 正 弦、余 弦 的 互 化，利 用 且 L g=t a n acos a可 以 实 现 角。的 弦 切 互 化.(2)应 用 公 式 时 注 意 方 程 思 想 的 应 用：对 于 sin o+cos a,sin acos a,sin a 一 c o s。这 三 个 式 子，利 用(sin a cos)2=l2sin acos a,可 以 知 一 求 二.(3)注 意 公 式 逆 用 及 变 形 应 用：l=sin 4+cos o,sin G=1 COSJ O,cos2。=1.2sm a,i m 训 练 1.已 知 sin a=2sin B,tan a=3tan,求 cos a.解：Vsin o=2sin B,tan a=3tan 8,sin。=4sin2,tan2 o=9tar?仇 由 4 得：9cos2 a=4cos2 s.由+得 sin2 a+9cos2 a=4.又 sin2 a+cos2。=1,._诱 导 公 式 的 应 用 例 2(1)已 知 COS仔+)=半，求 Cs(一 的 值;35J(2)已 知 J i a 2 n,cos(cr-7 JI)=求 sin(3 n+6z)tanf 0 一 11)的 值 自 主 解 答：偿+。)+(胃-a)4，5 n=L 信3（2）V cos（a 7 n）=cos（7 兀 a）=cos（五 a）=cos a=二,5a3/.cos5,工 sin（3 冗+a）tanl a-n=sin（冗+a）一 tan&n Q-方 法,规 例-利 用 诱 导 公 式 化 简 三 角 函 数 的 思 路 和 要 求(1)思 路 方 法：分 析 结 构 特 点，选 择 恰 当 公 式；利 用 公 式 化 成 单 角 三 角 函 数；整 理 得 最 简 形 式.2 化 简 要 求：化 简 过 程 是 恒 等 变 形；结 果 要 求 项 数 尽 可 能 少，次 数 尽 可 能 低，结 构 尽 可 能 简 单，能 求 值 的 要 求 出 值.训 练 2.(1)已 知 s i n。是 方 程 5f7x6=0 的 根，且。是 第 三 象 限 角，则 C.3130-4/、r/、2sin 设 H。)=兀+0 cos n-a-cos 五+a1+sin2 o+cos3nasin W 则23 n3解 析：选 B；方 程 5人 7广 6=。的 根 为 为=2,片 蓝,3由 题 知 sin=一 口 A coso4 3a=-tan a=-?.5 4e ix cos a-s i n a 原 11=sin ocos a2tan atar？a=2162sin a cos a+c o s al+s i n%+s in a cos2 a.(a y答 案：小 诱 导 公 式 在 三 角 形 中 的 应 用 例 3 在 中，若 s i n(2 n-/1)=一/5储(灭 一 夕，/c o s 力=一 啦 cos(兀 一，求/比 1的 三 个 内 角.自 主 解 答 山 已 知 得 彳 sin A=yl2sin B cos 4=*c o s B 2+2得 2cos24=1即 cos 4=平 或 cos A=一 乎(1)V 当 cos COS 4=-又 4、8 是 三 角 形 的 内 角,JT JI,7 n C=n(A+&=(2)当 cos A=cos B=2 又 力、方 是 三 角 形 的 内 角，8=看 不 合 题 意.3,冗 B 7 n综 上 知，力=7，6=万，=2,-方 法,规 的-1.三 角 形 中 的 诱 导 公 式 在 三 角 形 4?，中 常 用 到 以 下 结 论：s i n(4+=s in(n。=s in C,cosGl+百=c o s(n。cos C,tanQ l+而=ta n(n 0=tan C,2.求 角 的 一 般 步 骤 求 角 时，般 先 求 出 该 角 的 某 一 三 角 函 数 值，再 确 定 该 角 的 范 围，最 后 求 角.IIIH 训 练 3.在 力 比 中，sin J+c o s A=y 2,小 cos A=y/2cos(n&,求/成 的 三 个 内 角.解：V sin J+c o s A=乖,/.l+2 s in Acos 4=2,A s in 2 J=l.力 为 的 内 角，J T5cos 4=-y f c o s(J i 一 而,os B,A cos B=2 n7 JI*：A+B+C=n,C=.通 法 归 纳 领 悟 1个 口 诀 诱 导 公 式 的 记 忆 口 诀奇 变 偶 不 变，符 号 看 象 限.1个 原 则 诱 导 公 式 的 应 用 原 则 负 化 正、大 化 小、化 到 锐 角 为 终 了.3 种 方 法 三 角 函 数 求 值 与 化 简 的 常 用 方 法(1)弦 切 互 化 法：主 要 利 用 公 式 t a n。=型 化 成 正、余 弦.cos a(2)和 积 转 换 法：利 用(sin 0+cos)=l2sin cos，的 关 系 进 行 变 形、转 化.(3)巧 用 1的 变 换：s i n2 9+cos2 cos:0(1+tan2 0)=tan3 个 防 范 应 用 同 角 三 角 函 数 关 系 式 与 诱 导 公 式 应 注 意 的 问 题(1)利 用 诱 导 公 式 进 行 化 筒 求 值 时，先 利 用 公 式 化 任 意 角 的 三 角 函 数 为 锐 角 三 角 函 数，其 步 骤：去 负 一 脱 周 一 化 锐.特 别 注 意 函 数 名 称 和 符 号 的 确 定.(2)在 利 用 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 时，若 开 方，要 特 别 注 意 判 断 符 号.(3)注 意 求 值 与 化 简 后 的 结 果 般 要 尽 可 能 有 理 化、整 式 化.画 题 拔 汨 解 得 坳 姻 增 最 能 阑 养 眉 医 阖 因 易 误 警 示 应 用 同 角 三 角 函 数 平 方 关 系 的 误 区 典 例(2011 重 庆 高 考)若 cos。=一|，且。(五 3 哈 则 tan a=,-4 解 析 依 题 意 得 sin a=-1 cos2 a=z,答 案 I4 易 误 辨 析 1.解 答 本 题 时，常 会 出 现 以 下 两 种 失 误(1)忽 视 题 目 中 已 知 条 件