2015届高考数学第一轮复习 第八篇 解析几何细致讲解练 理 新人教a版.pdf

第八篇解析几何第 1 讲 直 线 与 方 程 最新考纲1 .在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2 .理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3 .掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.诊 断 基 础 知 识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理知 识 梳 理1 .直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：当 直 线/与 X 轴相交时，我们取X 轴作为基准，X 轴正向与直线1 向上方向之间所成 的 角。叫做直线/的倾斜角；规定：当 直 线/与 X 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。；范围：直线的倾斜角。的取值范围是 o,n）.（2）直线的斜率定义：当 直 线/的 倾 斜 角 时，其倾斜角。的正切值t a n。叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母女表示，即 左=皿，；斜率公式:经过两点8（无,力），8（如%）（小工加的直线的斜率公式为A=匕二匕X2Xi2 .直线方程的五种形式3.线段的中点坐标公式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y=kx+b与 X 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y yb=k(xxo)两点式过两点y-y x-x y-i-y xz-x与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距-+=1a b不过原点且与两坐标轴均不垂直的一般式Ax+By+C=0(#+/W 0)所有直线若点 凡R的坐标分别为（小，W，（般,，线 段 8月 的 中 点 的 坐 标 为（x,y）,则X l+-x=2 ，此公式为线段产出的中点坐标公式.y-v yi辨 析 感 悟1 .对直线的倾斜角与斜率的理解（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.（x）（2）过点材（a,份，Mb,a）（a#6）的直线的倾斜角是4 5 .（X）（3）（教材习题改编）若三点4（2,3）,庾a,l）,以0,2）共线，则 a的值为-2.（J）2 .对直线的方程的认识（4）经过点P（加，的 直 线 都 可 以 用 方 程 表 示.（X）（5）经过任意两个不同的点4（小，%）,月（闻的直线都可以用方程（y-W（X 2 小）=（x一生）（姓一勿）表 示.（J）（6）直 线/过 点 X I,2）且在两坐标轴上的截距相等，则直线，的 方 程 为 y-3=0.（X）感 悟 提升1 .直线的倾斜角与斜率的关系 斜率4 是一个实数，当倾斜角。不9 0 时，A=t a n a.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为9 0。的直线无斜率，如（1）.2 .三个防范一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如（2）；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论，如（6）.突 破高频考点以 例 求 法 举 反 三考点一直线的倾斜角和斜率【例 1】（1）直线xs i n a+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）.（2）若直线/与直线y=l,x=7 分别交于点尺Q,且线段阁的中点坐标为（1,-1）,则直线1的斜率为（）.1 1 3 2A.-B.C.-D.-O O L t O解 析（1）设直线的倾斜角为,则有t a n g=s i n a,其中sin1,1 ,又。0,兀)，所以0W 夕 或 当。n .故选B.依题意，设点3),则 乳fa+7=.2,2,解 得 L5,I，从而可知一R 1 1直 线 的 斜 率 为 中=.答 案(1)B (2)B规律方法直线倾斜角的范围是1 0,打)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要 分 0,3与 仔，口)两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当a e 0,3 时，斜率4e 0,+o o).当 时，斜率不存在；当。6 管，J 时，斜率Ae(8,o).【训 练 1】经过户(0,-1)作 直 线 若 直 线/与 连 接 1(1,-2),8(2,1)的线段总有公共点，求直线/的倾斜角。的范围.解 法 一 如 图 所 示，-2-1k p?=7=-1,1 U1-13一 r B -j由图可观察出：直 线/倾 斜 角a的 范 围 是 丁，J t I d 0,Y法二 由题意知，直线/存在斜率.设直线1的斜率为k,则直线1的方程为y+l=4x,即k xy1=0.6 两点在直线的两侧或其中一点在直线/上./.(A+2 1)(2k 1 -1)W 0,即 2 (A+1)(1)W0.-1 W AW L.直线/的倾斜角。的范围是 牛，Ju 0,y.考 点 二 求直线的方程【例 2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A 3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点点一1,-3),斜率是直线y=3 x 的斜率的一.(3)过点1(1,-1)与已知直线。2 x+y-6=0 相交于5点,且|4剧=5.解(D 法-设 直 线/在 x,y轴上的截距均为多 若 a=0,即/过 点(0,0)和(3,2),21的方程为尸p,即 2x3y=0.x v若 a W O,则设/的方程为一+=1,a a3 9；1 过点 2),，一十-=1,a a,.d=5,/的方程为x+y-5=0,综上可知，直线/的方程为2x3六=0 或 x+y 5=0.法二 由题意，所求直线的斜率A存在且左2 0,设直线方程为y2=A(x3),2令 y=0，得 x=3一%,令 x=0,得 尸 23A,2由已知37=2 3kK2解得4=1 或k=1,O2 直 线1的方程为y2=一(X一3)或 y2=可(才-3),o即%+y5=0 或 2x3y=0.(2)设所求直线的斜率为4,依题意又直线经过点4(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=7(*+l),即 3x+4y+15 =0.过 点 加 1,-1)与 y 轴平行的直线为x=l.解方程组，x=l,2x+y6=0,求得8 点坐标为(1,4),此 时|初=5,即 x=l 为所求.设过加1,-1)且与y 轴不平行的直线为y+l=A(xD,解方程组，2 x+y-6=0,y+l=A x1得两直线交点为k+7X k+24 一 2尸 衣+2,JW 2,否则与已知直线平行)则 8 点坐标为鼎(左+7，市4k2、!.由一知H _ l J+(4+2+1)=5 ,3 3解 得 仁 一j,；.y+l=；(x1),即 3 x+4y+l=0.综上可知，所求直线的方程为x=l 或 3 x+4y+l=0.规律方法在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时.，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论,判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.【训练2】胞的三个顶点为力(-3,0),8(2,1),0,bc 0,Z?c 0C.ab Q D.a 沃0,bcS解 析 由 题 意，令 x=0,y=-0；令 尸 0,x=：0.即 Z?c 0,ac 0.答 案 A5.（2 0 1 4 郑州模拟）直 线/经 过 点 4（1,2）,在 x轴上的截距的取值范围是（一3,3）,则其斜率的取值范围是（）.A-rb iB.-8,新(1,+)C.(0 ,1)U&+D.(-8,1)U l 2，+解析 设直线的斜率为k,如图，过定点A的直线经过点6时，直 线/在 x 轴上的截距为3,此时A=-1；过定点1的直线经过点C 时，直 线/在 x 轴的截距为一3,此时4=3,满足条件的直线/的斜率范围是（-8,-l）U（j,+8）答 案 D二、填空题6.（2 0 1 4 长春模拟）若点4（4,3）,6（5,a）,以6,5）三点共线，则 a 的值为.5 -3 a3解析 0,f a+1=0,或a2W0 a2W0.a 1.综上可知a的取值范围是(-8,-1.1 0.已知直线/过点历(2,1),且分别与x 轴、y轴的正半轴交于4 E两点，。为原点，是否 存 在 使 面 积 最 小 的 直 线/?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理山.解 存 在.理 由 如 下：设直线/的方程为了-1=瓜了-2)(A 2+2 6=2(8 由于 0 W 6 W 1,故当。=3 时，助取得最大值;.答 案 I三、解答题4.如 图,射 线 物,如 分 别 与 x 轴正半轴成4 5 和 30 角,过 点 P(1,0)作直线四分别交，阳 于 4,6两点，当 4?的中点C恰 好 落 在 直 线 上 时，求直线4?的方程.解 由题意可得 A i=ta n 4 5 =1,A =ta n(18 0 30 )=一 半，所以直线/期：y=x,l os：尸 一 半 x,设 n i),3(一木/?,n),所以四的中点竺乎，皇)由点C 在 尸 步 上，且 4 P,夕三点共线得m+n 1 z y 2=2 2小 一。刀 一 0、为 一 1解 得 片 小,所以力(水，木).又尸(1,0),所 以 上,=然=-一=安 区y/3-l 2所以乙：尸 女 乎(xl),即直线46的方程为(3+，5)x2y3/5 0.第2讲 两条直线的位置关系 最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.诊断基 础 知 识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理1.两直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线4,1 2,其斜率分别为无，左，则有乙乙0&三&.特别地，当直线h,A的斜率都不存在时，人与A的关系为平行.(2)两条直线垂直如 果 两 条 直 线A的斜率存在，设为左,左，则hLho k k?=l,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时，两条宜线垂直.2.两直线的交点直 线/：4 x+5 y+G =0和72：4 x+氏y+C =0的 公 共 点 的 坐 标 与 方 程 组4x+5 y+G=0,A i x G=0的解一-对 应.相交o方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解；平行o方程组无解；重合O方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P(小，/),月(及，间的距离公式为由用=d xi x一1 yi-y一:，.特别地，原点(0,0)与任一点尸(x,y)的距离18 1=4 7不7.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点耳(施，到 直 线7：/x+C=0(4,6不 同 时 为0)的 距 离 为d=14旅+砌)+C|可以验证，当4=0或6=0时，上式仍成立.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线7 i：4 x+做+G=0,；2：+取+G=0(其 中A,6不同时为0,且辨 析 感 悟1 .对两条直线平行与垂直的理解(D 当直线Z和 6的斜率都存在时，一定有人=左今工 A.(X)(2)如果两条直线力与乙垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(X)(3)(2 0 1 3 天津卷改编)已知过点尸(2,2)斜率为弓的直线且与直线a x y+l=0 垂直,则a=2.(V)2 .对距离公式的理解(4)点夕(施，)到直线y=k x+b的 距 离 为 匕.V1+A-(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(J)(6)(教材习题改编)两平行直线2%-y+l =0,4%-2 y+l=0 间的距离是0.(X)感 悟 提升三个防范一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.如(2)中忽视了斜率不存在的情况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为般式，且*,y 的系数对应相同，如(6).突 破高频考点以 例 求 法 举 反 三考点一两条直线平行与垂直【例 1】已知直线 J i：a x+2 p+6=0 和直线 A：x+(a l)y+c?21=0.试 判 断 与 乙 是 否 平 行；时，求 a的值.解 法 一 当 4=1 时，7 1：x+2 y+6=0,7 z：才=0,为不平行于4当 a=0 时，7 1：尸 一3,1 1-,x y1 =0,/i 不平行于心；当 a W l 且 a W O 时，两直线可化为a=-1,故当己=一1时，h h,否 则。与4不平行.法 一 当3=1时，71：x+2y+6=0,72：x=0,1与心不垂直，故3=1不成立;当 a=0 时，71：尸 一3,72：xy1=0,4 不垂直于 4当且dWO时，Q71：尸 一j x-3,lix yTx（5+1）,9法二 由44+5氏=0得a+2（a 1）=0 0己=1.规 律 方 法（1）当直线的方程中存在字母参数时.，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意X,y的系数不能同时为零这一隐含条件.（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训 练1】（2014 长沙模拟）已知过点4（2,加和点6（加,4）的 直 线 为 直 线2x+y1=0为乙 直 线*+叩+1=0为儿若匕4 小则实数叶的值为（）.A.-10 B.-2 C.0 D.8解析 V 2 1 /ht kn io 2,ffl+2解得必=-8,又.心,乙，二（一：）又（-2）=-1,解得/?=2,-10.答 案A考 点 二 两条直线的交点问题【例2】求 经 过 直 线 人3 x+2yT=0和A：5 x+2y+l=0的交点，且垂直于直线4：3x5 y+6=0的直线/的方程.解 法一先解方程组3x+2 y1 =0,5 x+2 y+l =0,得义,心的交点坐标为(一 1,2),再 由4的斜率 求出/的斜率为一事5 3于是由直线的点斜式方程求出h5y-2 =-(%+l),即 5 x+3y-l =0.法二 由于/_ L 4,故/是直线系5 x+3y+C=0中的一条，而/过 心 的 交 点(-1,2),故5 X (l)+3X 2+C=0,由此求出仁一 1,故，的方程为5 x+3y-l=0.法三 由 于/过 乙 的 交 点，故/是直线系3叶2/-1+4(5什2什1)=0中的一条，将其整理，得(3+5才)叶(2+2/)/+(1+A )=0.其 斜 率 一|=_*解 得A代入直线系方程即得1的方程为5%+3.K-1=0.规律方法运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线4 r+5 y+C=0平行的直线系方程是A x+By V m=0 0 ：与 直 线4 x+处+0=0垂直的直线系方程是B x-A y+m=0；(3)过直线Z：4 x+A y+G=0与；2：4X+&K+C=0的交点的直线系方程为4 x+5 y+G+4 (4 x+5 y+G)=0(其 中A G R,此直线系不包括；2).【训练2】直 线,被 两 条 直 线 九4 x+y+3=0和A：3-5/-5=0截得的线段的中点为P(1,2),求直线，的方程.解 法 一 设 直 线1与4的交点为/(X。，H)，由已知条件，得直线/与乙的交点为6(-2一为4-，并且满足4 刘+/+3=0,3 2 xo 5 4%-5 =0,4般+%+3=0,xo-2,即 解得.3刘一5%+31=0,外=5,因此直线1的方程为m=*二一:即 3x+y+l=0.法二 设直线1的方程为y2=A(x+l),即 取 一 什 什2=0.由攵xy+4+2=0,4x+y+3=0,得x=-k-5k+4 由k x y+2=0,3%5 y5=0,-5 5得 a 5 4-3.则.k5 ,5 415A+45 32,解得 k=-3.因此直线/的方程为y2=-3(x+l),即3x+y+l=0.考点三距离公式的应用【例 3】已知三条直线：7i：2ry+a=0(a0)；72：4x+2y+1=0；4：x+y1=0,且4与4间的距离是嗜.(1)求a的值；(2)能否找到一点只 使一同时满足下列三个条件：点尸在第一象限；点尸到4的距离是点尸到B的距离的看点到人的距离与点夕到A的距离之比是也：乖.若能，求点夕的坐标；若不能，说明(2)假设存在点只设点尸(施，),若一点满足条件，则尸点在与九乙平行的直线/：_ c+l2xy+c=0 上，且 即 c=号或号，勺5 2班 2 613 11所以2施一%+口=0或2xoyo+=0；/o若尸点满足条件，由点到直线的距离公式，2 照4+3 /|施+%-1|有一乐一=乖 乖 即|2 A b一为+3 1 =|施+乂)11,所以刘一2%+4=0或3岗+2=0；由于P在第一象限，所 以3刘+2=0不可能.13联 立 方 程2刘一汽+方=0和 照-2为+4=0,xo2),解得，7b=|；舍去乙联 立 方 程2 8一%+兴=0和 加-2%+4=0,O解得1照=,37所以存在1 379,18同时满足三个条件.规 律 方 法(1)在 应 用 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离公式时.要注意两直线方程中X,y的系数必须对应相同.(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略.【训 练3】已 知 直 线/过 点 尸(3,4)且 与 点 加 一2,2),8(4,-2)等距离，则 直 线/的 方程 为().A.2x+3y18=0B.2 x-y-2 =0C.3x2y+18=0 或 x+2y+2=0D.2x+3y18=0 或 2xy2=0(2)已知两条平行直线，7,：勿x+8y+=0与A：2x+必 产-1 =0间 的 距 离 为 乖，则 直 线4的方程为_ _ _ _ _ _ _ _.解析(1)由题意可知所求直线斜率存在，故 设 所 求 直 线 方 程 为y4=4(矛-3),即k x-y+4-3 4=0,由已知，得I-2 A-2+4-3 A I必4A+2+4 3用2:k=2或 一可.O 所求直线/的方程为2%y2=0或2x+3y18=0.(2)V 1/k.8，u2/n-1加=4,#一2或4n#2.当/=4 H寸，直 线7i的 方 程 为4x+8y+=0,把 心 的 方 程 写 成4x+8y2=0,温Tm解 得 片 一22或18.故所求直线的方程为2 x+4 y-l l=0 或 2x+4 y+9=0.当必=4时，直 线 Z的方程为4 x8y =0,的方程为4 x8p 2=0,.I-/?+2|*1 6+6 4乖,解 得 =-18或 22.故所求直线的方程为2%一。+9=0 或 2x-4 y-l l=0.答案 D (2)2x4 y+9=0 或 2x4 y 11=0|课堂小结I两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线人12,120k=k/lY.lik,k2 .若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意培 养解题能力教你解题提升能力思想方法10对称变换思想的应用【典例】已知直线，：2x3y+l =0,点 4(1,2).求:(1)点 A 关于直线1 的对称点A 的坐标;(2)直 线 股 3x2y 6=0 关于直线，的对称直线加，的方程;(3)直线/关于点4(-1,一2)对称的直线 的方程.+2 2,叶 1 3解(1)设 4(x,y)x1 y2.2 X 3 X y +1=0.,再由已知4解得33*=一逐4IF：.A3313,司(2)在直线上取一点，如 M(2,0),贝 欣 2,0)关于直线，的对称点必在上.设必与/的交点为N,则由，2*3y+l=0,3%2y 6=0,得 M 4,3).又。m 经过点A(4,3),由两点式得直线方程为9%-4 6 y+102=0.(3)设尸(x,力 为1 上任意一点，则 f(x,。关于点力(-1,-2)的对称点为P(2x,4 y),:P在直线/上，.2(-2-x)-3(-4-y)+l=0,即 2x3y 9=0.反思感悟(1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点必与点4关于直线/对称，则线段 V 的中点在直线1上，直 线1与直线，网垂直.(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若 直 线 九 4关于直线/对称，则有如下性质：若直线1 与 4相交，则交点在直线,上；若点6 在直线Z上，则其关于直线1的对称点B 在直线人上.【自主体验】(2013 湖南卷)在等腰直角三角形4 8C 中，4 4 4 c=4,点尸是边AB上异于力，8 的一点.光线从点夕出发，经BC,CA反 射 后 又 回 到 点 尸(如 图).若 光 线 薪 经 过 的 重 心，则 心等于().A.2 B.1八8 4C.-I).-o J解析 以 1反4。所在直线分别为X 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则/(0,0),以4,0),。(0,4),得的重心噂，0，设加三人 从而尸(x,0),xd(0,4),由光的几何性质可知点。关4/4 4、3于直线6 G 1的对称点A (4,4 x),月(一x,0)与的重心/(于 5 I 共线，所以:j-=大RA4 _3-4 x4 一434,求得x=.答 案 D课 时题组训练输悌训练练出高分基础巩固题组（建议用时：4 0分钟）一、选择题1.直 线/过 点（一 1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，则/的方程是（）.A.3x+2y-l=0 B.3x+2y+7=0C.2x3y+5=0 D.2x3y+8=0解析 由题意知，直线/的斜率是一亍 因此直线/的方程为y 2=5（x+l）,即3 x+2y-1=0.答 案A2.（20 1 4 济南模拟）已 知 两 条 直 线 乙（a l）x+2y+l=0,72：x+a y+3=0平行，则a=（）.A.-1 B.2C.0 或一2 D.-1 或 2解 析 若a=0,两直线方程分别为一x+2y+l=0和x=-3,此时两直线相交，不平行，z.一 o 1所 以a W O；当a#0时，两直线若平行，则有一7一=一#可，解 得a=-1或2.1 a 3答 案D3.已知直线人的方程为3 x+4 y-7=0,直 线4的方程为6 x+8 y+l=0,则直线人与4的距离为（）.8 3A.B.C.4 D.8 z解 析 直线人的方程为3 x+4 y-7=0,直线心的方程为6 x+8 y+l=0,即3 x+4 y+=0,1+7 3直线上与人的距离为上=正7 3一+4-2答 案B4.（20 1 4 金华调研）当0尾 时，直 线71：k x一 尸k 1与 直 线72：Q一 户2 4的交点在（）.A.第 一 象 限B.第二象限C.第 三 象 限D.第四象限 k x y=k ,（k 24 1、1解 析 解 方 程 组,得两直线的交点坐标为二工，丁 丁，因为0 内5,所 k y-x=2k-1 k-l）2k 2 k 1以L o,0,故交点在第二象限k 1 k 1答 案 B5 .若直线小 尸 A(x-4)与直线4关 于 点 1)对称，则直线4经 过 定 点().A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)解析 直 线/：尸 M x 4)经过定点(4,0),其关于点1)对称的点为(0,2),又 直 线 九y=晨工-4)与直线心关于点1)对称，故直线右经过定点(0,2).答 案 B二、填空题6 .若三条直线y=2x,*+y=3,wx+2y+5 =0 相交于同一点，则 0的值为.y2x,xl,解 析 由、得.矛+尸3 (,尸2.点(1,2)满 足方程磔+2 7+5=0,即 X 1 4-2X 2+5=0,.*./=9.答 案 一 97 .设 a、b、c 分 别 是 比 中 N/、4 B、/C 所对边的边长，则直线xsin /+a y+c=0 与/sin 5+sin 80的 位 置 关 系 是.a b解析 山-A=得 米徐 力一a sin B=0.sin A sin B 两直线垂直.答 案 垂 直8 .若直线勿被两平行线入：xy+l=0 与 A x-y+3=0 所截得的线段的长为2啦，贝 I 必的倾斜角可以是：1 5。；3 0。；4 5。；(4)6 0 ；7 5。.其 中 正 确 答 案 的 序 号 是.I 1 3 L解析 很明显直线4小，直线九，人 间 的 距 离 为 仁 一 一=豆，设直线卬与直线人h分别相交于点5,A,则|48=2*，过点4作 直 线/垂 直 于 直 线 垂 足 为 G则|/Cl=d=/,则在中，sin /小=节=黑=；,所以3 0 ,又直线人的倾斜角为4 5 ,所以直线卬的倾斜角为4 5 +3 0 =7 5 或 4 5 3 0 =1 5 .答 案 三、解答题9 .已知直线为：x+沙+6=0,72：Gz z 2)x+3 p+2/=0,求 /的值，使得：(1)上与 4相交；(2)7.1 7 2；(3)人 4(4)Z,乙重合.解 由 已 知 1 X 3 WR(W2),即 一2必 一3 W 0,解 得 心:1 且 启:3.故当得一 1 且 符 3时:7,与心相交.(2)当 1 (加 一 2)+勿 3=0,即勿=时，7 i h.当 1 X 3=R(L2)且 1 X 2/W 6 X Qw-2)或山义2/滓 3 X6,即加=一1 时，h/h.(4)当 1 X 3=Z(R2)且 1 X 2R=6 X Gw2),即勿=3 时，1与 A重合.1 0.求过直线/：x2 y+3=0 与直线入：2x+3 y 8=0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程.解由x2y+3=0,2x+3 j-8=0,解得x=,尸 2,/.7 1,心的交点为(1,2),设所求直线方程为y 2=Wx 1),即k x-y+2-k Q,;P S,4)到直线的距离为2,.?l-2-Al解得k=Q4%直线方程为尸2 或 4 x-3 y+2=0.能力提升题组(建议用时:25 分钟)又|3-引=1 1 _ 4 0 乎,1 ,从而 d aX=2一、选择题1 .设两条直线的方程分别为x+y+a=0 和 x+y+6=0,已知a,6 是关于x 的方程+c=0的两个实数根，且 0 W c W ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为O().A.坐|B.巾,乎 C.yj 2,1 D.乎,|I a b I解析 V d=(r,a+b=1,ab=c,*d i=1.答 案 D2.(2 0 1 4 武汉调研)已知4 6 两点分别在两条互相垂直的直线2 x 一尸 0与 x+a y=0 上，且力分线段的中点为0,以，则 线 段 协 的 长 为().A.1 1 B.1 0 C.9 D.8解析 由两直线垂直，得一,2=-1,解 得a=2.所以中点P的坐标为(0,5).则 阵5,a在 直 角 三 角 形 中 斜 边 的 长 度2 X 5=1 0,所以线段也的长为1 0.答 案B二、填空题3.已知0 么 4,直 线 人Ax-2 y-2 A+8=0和直线A：2 x+f 4如一4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的力值为解析 由题意知直线九，右恒过定点外2,4),直 线7 1的纵截距为4一k,直线乙的横截距为2 2+2,如图，所以四边形的面积S=2 X 2+(4 A+4)X 2 x g=4一衣+8,故面积最小时,8,答 案I三、解答题4 .(1)在直线/：3x y1=0上求一点。，使得一到4(4,1)和夙0,4)的距离之差最大；(2)在直线1-.3x-y-l=0上求一点Q,使 得。到J(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.图1图1解 如 图1,设点8关于/的对称点夕的坐标为(a,，直线/的斜率为左，则 治%，a+36 1 2=0.又由于线段阴的中点坐标为修，号 且 在 直 线，上,3 X 1=0.即 3a-6-6=0.解得 a=3,Z =3,：.B(3,3).于 是 仍 的 方 程 为 即2 x+y-9=0.3 1 3 43%y1=0,解|2 x+y-9=0,才=2,y=5,得即/与 的 交 点 坐 标 为H 2,5).(2)如图2,设 关于/的对称点为C,求 出。的 坐 标 为 仔y)AC所 在 直 线 的 方 程 为19x+17y 93=0,AC和1交 点 坐 标 为,靠图2故。点坐标为第 3 讲 圆 的 方 程 最新考纲1 .掌握确定圆的儿何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2 .初步了解用代数方法处理几何问题.诊 断基 础 知 识 由 浅 入 深知 识 梳 理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x-a)2+(y 6)1=r (r 0)圆心C(a,6)半径为r.般x+y+D x+E y+F O充要条件：+2 4/0圆心坐标：半径r=2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系.(2)三种关系：圆的标准方程(*一力2+(7-2=落 点 软 的，.(施一a 尸+(%。尸=/台点在圆上；(施一a)：+(%一方”产点在圆外；(x o a)+(%点在圆内.辨 析 感 悟1 .对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(J)(2)方 程/+/=才 表 示 半 径 为 a的圆.(X)(3)方程f+/+4m x 2 y+5 卬=0表 示 圆.(X)(4)(2 0 1 3 江西卷改编)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)且与直线y=l 相切，则圆C 的方程是(x2)2+(y+|j=竿.(J)2.对点与圆的位置关系的认识(5)若点材(施，在 圆*2+/+r+)-0 夕 卜，则 +/+砺+无 0.(J)(6)已知圆的方程为f+72 尸 0,过点加1,2)作该圆的切线只有一条.(X)感 悟 提升1.一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2,b).2.三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，$1 1(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系.若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).突 破 高频考点 以 例 求 法 举 反 三考点一求圆的方程【例 1】根据下列条件，求圆的方程.(1)求过夕(4,-2),0(1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4#的圆的方程.(2)已知圆的半径为亚，圆心在直线尸2 x上，圆被直线了一尸0截得的弦长为解(1)设圆的方程为/+/+以+。+尸=0(/+/一 4/0).将 R Q 点的坐标分别代入得1 4-2+尸=-2 0,-3方一尸=1 0,令 x=0,山得y+E y+F=0,由已知|与一归=4#,其中必，乃是方程的两根，所以(y 一现产=(+度产-4.%=户-4夕=48.rD=-2,(D=-1 0f解、组成的方程组得 CO，或1 少=-8,A=-1 2 F=4.故所求圆的方程为x+y 2x1 2=0或 W+10 x 8y+4=0.(2)法一 设圆的方程为(x-a)+(y 6)2=1 0.由圆心在直线尸2 x上，得 6=2 a 由圆在直线X 一尸 0上截得的弦长为4 m,将 y=x 代入(xd)2+(y Z?)2=1 0,整理得2/2 3+6)X+才+斤i o=o.由弦长公式得 力 1 a+b-24 十斤一 0 -=4 4,化简得a。=2.解、得 3=2,8=4 或 a=2,b=-4.故所求圆的方程为(了-2)2+(y-4)2=1 0 或 5+2)2+(9+4)2=i o.法二根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形.如图，由勾股定理，可得弦心距d=y j)_(乎)=4 1 0 -8=近又弦心距等于圆心(a,6)到直线X 一尸 0的距离，所 以 =1全，即 号 菖=*.又已知6=2 a.(4)解、得 a=2,6=4 或 a=2,b4.故所求圆的方程是(x2)2+(y 4)2=1 0或 0+2)2+(y+4)2=1 0.规律方法求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.【训 练 1】(1)(2 0 1 4 济南模拟)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4 x3 y=。和 x 轴都相切，则 该 圆 的 标 准 方 程 是().A.(j r 2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)+(y+l)=lC.(A-+2)2+(7-1)2=1 D.(A 3)2+(y-l)2=l(2)已知圆C 经过4(5,1),夙1,3)两点，圆心在x 轴上，则。的方程为.解 析(1)由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1),又由圆与直线4 x3 y=0相切，得L u=1,解 得 a=2 或一“舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-l)2=l.故o Z选 A.依 题 意 设 所 求 圆 的 方 程 为(x 将 48 点坐标分别代入方程得5 a 2+l =r,a 2+9=r,y=2x3=2,解得.八 所以所求圆的方程为(x2)2+/=1 0.r =1 0.答 案(1)A (2)。-2/+/=1 0考点二与圆有关的最值问题【例 2】已知实数x,y 满足方程/+/4 x+l=0.(1)求上的最大值和最小值；X(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求/+/的最大值和最小值.解 原方程可化为(X-2)2+/=3,表示以(2,0)为圆心，/为半径的圆.(1/的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，X所以设即尸当直线y=心 与圆相切时，斜率在取最大值或最小值，此时|2 A-0+1=木,解 得 仁 士 m(如图 1）.所以!的最大值为十,最小值为一 i(2)y-x可看作是直线尸x+人在y 轴上的截距，当 直 线 尸 x+6 与圆相切时,2 0 +引纵截距。取得最大值或最小值，此时一=y ,解得 6=-（如图 2）.所以y-x 的最大值为一2+乖，最小值为一2 一(3)9+/表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为M 2 0 2+o o 三 2,所以/+/的最大值是(2+4)2=7+4/，产+了的最小值是(2 4)2=7-4#.规律方法与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形 如 =三形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形 如 t=a x+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(才一a)2+(y-6)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【训练2】(2 0 1 4 金华十校联考)已知 是直线/：3 x4 y+l l =0 上的动点，PA,如是圆步+了一2 X 2 9+1=0 的两条切线，。是圆心，那么四边形用S 面积的最小值是().A.m B.2 啦 C.小 D.2邓解析 圆的标准方程为(x1)2+5 1)2=1,圆心为以1,1),半径为r=l,根据对称性可知，四边形为应的面积为2&伊=2|闱-5,要使四边形为应的面积最小，则只需1%最小，最小时为圆心到直线/：3 y-4 y+U =0 得到圆一的方程.解(1)设尸(D，圆产的半径为工由题设/+2=f,f+3=/.从而/+2 =f+3.故尸点的轨迹方程为“一，=1.设 的 ，由已知得丁0为=坐.又一在双曲线/一步=1 上，从而得I A oJ b|=1就一3=1.A b -乂）=1 一 岔=1益=0,7 b=-1.由得此时，圆半径r=小.A b J b=L/一髭=1山+，KBC才 _ ，且 k A C,k s c 1 f所以一 7 士=-1，化简得 2 入-3=0.X I 1 A o因此，直角顶点C 的轨迹方程为f+7-2x-3=0（W 3且 在 一 1）.法二 设 4?中点为。，由中点坐标公式得（1,0）,由直角三角形的性质知，|勿|=今/必=2,由圆的定义知，动 点 C的轨迹是以（1,0）为圆心，2为半径长的圆（由于4 B,。三点不共线，所以应除去与“轴的交点）.所以直角顶点C 的轨迹方程为（“-1）2+/=4（a3且x W 1）.（2）设点加x,力，点 6 1（陶 ，因为以3,0）,材是