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三角形面积（讲义）一、知识点睛1.三角形相关概念：（1）在三角形中，连 接 一 个 顶 点 与 它 对 边 中 点 的，叫做这个三角形的中 线，三 角 形 的 三 条 中 线 交 于 一 点，这 点 称 为 三 角 形 的（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之 间 的 叫 做 三 角 形 的 角 平 分 线，三 角 形 的 三 条 角 平 分 线交于一点，这点称为三角形的（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的叫 做 三 角 形 的 高 线（简 称 三 角 形 的 高），三 角 形 的 三 条 高交于一点，这 点 称 为 三 角 形 的;锐角三角形三条高线及垂心都在其,直 角 三 角 形 的 垂 心 是，钝角三角形的垂心和两条高线在其.在 A 8 C 中，作出A C 边上的高线.即为所求.（4）三角形的相关定理：边：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;三角形的内角和是1 8 0。；角 直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.2.面 积 问 题：（1）处理面积问题的思路：；;（2）处理面积问题方法举例:利用平行转移面积：如图，满足SAA8P=5M8C的点P 都在直线/1，匕 上.利用等分点转移面积：两个三角形底相等时，面积比等于 之比，高相等时，面积比等于之比.二、精讲精练1.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（）A.5 B.6 C.7 D.103.八 BC的三边分别为4,9,X.（1）求x 的取值范围；（2）求A8C的周长的取值范围；（3）当x 为偶数时，求X；（4）当aA B C的周长为偶数时，求X；（5）若ABC为等腰三角形，求X.第 2 题图4.如图，A8C的角平分线A D,中线8E交于点。，则结论：八。是48E的角平分线；8。是A8C的中线.其中()A.，都正确 B.，都不正确C.正确，不正确 D.不正确，正确5.如图所示，在A8C中，8 c边 上 的 高 是,A 8边 上 的 高 是；在BCE中，8E边上的高是,EC边上的高是；在ACD中，AC边上的高是,CD边上的高是.6.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.都有可能7.如图，在正方形ABCD中，B C=2,NDCE是正方形ABC。的外角，P 是N D C E的角平分线CF上任意一点，则P8D的面积等于.第7题图 第8题图8.如图，在梯形48CD中，A B/C D,延长0C至U E,使CE=A8,连接8D,B E,若梯形4 8 c o的面积为25cm2,则BOE的面积是.9.正方形/W C D,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形8EFG的边长为4,则 /贝U SAAOE=.B D C第1 5题图16.如图，设E,F分别是 ABC的边AC,A 8上的点，线段8E,CF交于点D.若BDF,ABCD,CDE的面积分别是3,7,7,则4 E O F的面积是,AEF的 面 积 是.17.如图，梯形A8CD被对角线分为4个小三角形，已知 498和 80C的面积分别为25cm2和35cm2,那么梯形的面积是.18.如图，在长方形A8CD中，A8P的面积为20cm2,CDQ的面积为35cm2,则阴影四边形EPFQ的面积是.19.如图，若梯形A8CD面积为6,E,F为A 8的三等分点，M,N为。C的三等分点，则四边形EFNM的面积是.三、回顾与思考【参 考答案】【知识点睛】1.(1)线段，在三角形内部，重心；(2)线段，在三角形内部，内心；(3)线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部;作图略2.(1)公式法；割补法；转移法；(2)对应高，对应底【精讲精练】1.B 2.C3.(1)5x13(2)18x 下，所以 8 C=因此BE=.1 3 .如图，A E=B F,A D/B C,A D=B C,则A DF/,理由是,因 止 匕DF=.1 4.已知：如图，点。在A 8上，点E在A C上，A B=A C,Z B=Z C.求证：A DC乌Z X A EB.1 5.已知：如图，A B=C D,A BZ)C.试猜想AO和 相 等 吗？并说明理由.1 6.已知：如图，在 RtaABC 中，Z C=9 0,平分N3AC 交 3C 于。，D E于 E.求证：C D=D E.三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形 可 用 符 号 表 示.2.三角形有关定理.：三角形两边之和大王第三边，两边之差小于第三边.3.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,全等用符号“鉴”表示.全等三角形的对应边相等,对应角相等.4.全等三角形的判定定理：SSS,SAS,ASA,AAS.二、精讲精练1.略 2.AC=DF,BC=EF,Z A=Z D,ZACB=ZF3.AO=BO,CO=CO,Z A=Z B,ZACO=ZBCO4.AB=DE,AC=DC,BC=EC,ZA=Z D,N B=/E,NACB=NDCE5.ADC,/CBA,SSS,/ADC,/CBA,AAS6./AOB,OOC,SAS7.AC=BC,SSS（其它答案合理也可以）8.BE=CE,SAS（其它答案合理也可以）9.AO=OC,ASA（其它答案合理也可以）10.C 11.AC=AE,ZB=Z D,ZC=ZE12.Z A=Z D,EF,CF 13.A BCE,SAS,CE1 4.证明：在ADC和AE8中NA=ZA（公共角）AC=A8（已知）NC=NB（已知）/.AADCAAEB（ASA）1 5.解：AD=BC,理由如下:,JAB/DC：.ZABD=ZCDB在48。和CDS中AB=CZX 已知）NA8O=NCO3（已证）公共边）A/IBDACDB（SAS）：.AD=CB（全等三角形对应边相等）1 6.解：.ND 平分N8AC：.ZCAD=ZEAD：DELAB：.ZDEA=90V Z C=90：.ZDEA=ZC在CAD和 E4D中2 C =NDEA（已证）NCAD=NE4ZX 已证）AD=AZX公共边）：./C A D/E A D(AAS)：.CD=ED(全等三角形对应边相等)全等三角形性质及判定(每日一题)姓名1.已知：如图，D F=C E,A D=B C,Z D=Z C.求证：2.已知：如图，在等边三角形ABC中，ZC=ZA B D=6 0 ,AB=BC=AC,点D,E 分别为B C,AC边上一点且AE=CD,连接A。，BE相交于点E 求证：A B D 出 A B C E.A3.已知：如图，A B=C D,A C=B D.求证：Z1=Z2.4.如图，在正方形 ABC。，D E F G 中，A D=C D,D E=D G,Z E D G=ZA D C=,连接CG交AD于点N,连接AE交 CG于点M.(1)求证：A E=C G；(2)观察图形，猜想AE与 CG之间的位置关系，并证明你的猜想.C考答案】1.证明：如图，,:DF=CE：.DF-EF=CE-EFEP DE=CF在AEO和8FC 中AO=5 C（已知）ND=NC（已知）。七=。/（已证）/.AED ABFC（SAS）2.证明：如图，：AC=BCAE=CD：.AC-AE=BC-CD即 CE=BD在ABO和BCE中AB=BC（已知）NA3O=NC（已知）8O=CE（已证）:.ABDmXBCE（SAS）3.证明：如图，在ABC和0CB中A8=CZX 已知）AC=3ZX 已知）BC=BC（公共边）:.ABCQADCB（SSS）:.NABC=/DCB,NACB=/DBC*：/l=/ABC-N D BCZ2=ZDCB-ZACB/.Z 1=Z24.证明：如图，(1)：ZEDG=ZADC：.ZEDG+ZADG=ZADC+ZADG即 NAOE=NCOG在AOE和CDG中AD=CZX 已知）NADE=NCDG（已证）OE=OG（已知）/.AADEACDG（SAS）：.AE=CG（2）AELCG,：ZADC=90，/GCD+/CND=90?AADE 注 ACDG：./EAD=NGCD/ANG=ZCND：.ZEAD+ZANG=90：.ZAMC=90即：AECG全等三角形性质及判定（随堂测试）1.已知：如图，/ABC DEF,对应边 AB=DE,对应角 N ABC=Z DEF,第1题图 第2题图2.如图，ZBAD=ZCAE,A B=A D,若加上一个条件,则理由是.3.已知：如图，A,F,C,。在一直线上，AF=CD,A B/D E,且 A8=DE.求证：EC=BF.【参考答案】1.AC=DF BC=EF NA=ND 4C=/F2.AE=AC SAS 或者 N 8=N/W E ASA或者 NC=NE AAS3.证明略全等三角形性质及判定（作业）1 .作出下图三角形的高线.2.如图，八 8 c 四A EF,有以下结论：A C=A E；N E48=N 0 8；EF=8 C；ZE A B=ZF A C.其中正确的个数是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3 .如图，/A B C/D E F,对应边八8=DE,对应角 N 8=N DEF,4.如图，点B,C,F,E 在同一直线上，Z 1=Z 2,B C=E F,若加上一个条件,贝义DEF,理由是.C2D5.如图，A B=A D,Z B A E=Z D A C,若加上一个条件,则A D E,理由是.6.7.8.9.A第5题图 第6题图如图，将两根钢条9，8夕的中点。连在一起，使加一 88可以绕着点。自由旋转，就做成了一个测量工件，则夕的长等于内槽宽A 8,那么判定。4 8 g 2。4 8 的理由是（）A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS已知：如图，A C,8 0相交于点。，A 0=C 0,B 0=D 0.求证：X A B O空 3 0.第7题图己知：如图，M是八8的中点，Z 1=Z 2,N C=/D,和M。相等吗？说明理由.己知：如图，A D L B C,B D=C D.求证：A B=A C.【参考答案】1.略 2.B3.BC=EF,AC=DF,NC=NF,/8 A C=/04.AC=DF,SAS 5.AC=AE,SAS 6.A7.证明：在AB。和COO中AO=CO（已知）NA08=NC0ZX对顶角相等）BO=DO（已知）/.AABOACDO（SAS）8.解：M C=M D,理由如下：.M是A B中点：.MA=MB在AC/W和 BO M中Z1=N2（已知）NC=N 0（已知）=已知）A/ACM/BDM（AAS）：.MC=MD（全等三角形对应边相等）9.证明：ADBC：.ZADB=ZADC=90在 AD8和中AD=AZX公共边）=CZX 已知）.人。8丝ADC（SAS）：.BD=CD（全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（讲义）一、知识点睛直角三角形全等的判定定理：,二、精讲精练1 .如图，A C=A D,Z C,ND是直角，将上述条件标注在图中，则g,从而B C B D.第1题图 第2题图2.如图，D E 1A B,D F 1A C,垂足分别为 E,F,A E=A F,则0,从而D E=_.3 .如图，Z D L B E于C,A B=D E,A C=D C,则8 c与C E的数量关系是第3题图 第4题图4 .已知：如图，Z B=Z D=9 0 ,如果要使A 8 C 4 A D C,那么还需要一个条件,这个条件可以是，理由是;这个条件也可以是，理由是;这 个 条 件 也 可 以 是,理由是;这个条件还可以是,理由是5.如图，在ABC 中，NC=90。，平分NC4B 交 8C 于点。，于 E,A C=3,则 AE=.第5题图第6题图6.如图，直线/过正方形A8CO的顶点8,点A,。到直线/的距离分别是1和2,则E F的长为.7.如图，A B=A E,Z B A C=Z D A E,要使AAB尸名AE”，还需添加的条件是 或或.请选择你添加的一个条件给出一组证明.8.已知：如图，B,E,C,F在一条直线上，ACDF月.4C=DF,B E=C F.求证：BC/A D E F.第8题图9.已知：如图，ZA C B=9 0,A C=B C,D为A B 上一点、,连接C D,AE_LCD于E,8F_LDC交 8 的延长线于F.求证：B C F/A C A E.10.已 矢 口：如图，A B=C D,A B/C D,D E A C,B F A C,垂足分别是 E,F.求证:A E=C F.A第10题图C11.已知：如图，B,E,C,F在一条直线上，A B/D E,N A=N D,8E=CF.请你判断AC和DF有怎样的位置关系，并说明理由.第11题图12.已知：如图，B,E,F,C 在同一直线上，ZA F B=9 0 ,A B=D C,A B/C D,8E=CF.试判断DE和8 c有怎样的位置关系，并说明理由.13.已知：如图，在 RtAC。中，NADC=90,于 E,AF平分NCA。，线段F8和FC相等吗？请说明理由.交C D于点F.若第13题图三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛直角三角形全等的判定定理：HL,SSS,SAS,ASA,AAS.二、精讲精练1.M/CAB,RtADZlB,=；2.RtZAE。，RtZAF。，DF；3.BC=CE4.AB=AD,HL,BC=DC,HL,NBAC=NDAC,AAS,ZBCA=ZDCA,AAS5.3 6.37.AF=AH,NB=NE,NAFB=N AHE,证明过程略8.解:：AC/DF：.ZACB=ZDFE：BE=CF：.BE+EC=CF+EC即 BC=EFSA AB C 和ADEF 中AC=OF（已知）-NACB=N。在（已证）BC=E/（己证）A/A B C/D E F（SAS）9.解：AECF,BFLCF：.ZF=ZAEC=90ZECA+ZCAE=90NAC8=90，ZECA+ZBCF=90：.NBCF=NCAE在ABCF和中N F =N A E C（已证）Z B C F =Z C A E（Bi i E）B C =C A（已知）：./B C F/C A E（A A S）1 0 .解：V DE1AC,BFAC，/D E C=N BE A =9 0 ：AB/CD：.A C=Z A在口（：和 8 0中N O E C =N 8 E 4（已证）=A 8（已知）:.ADEC迫ABFA（A A S）：.AF=CE（全等三角形对应边相等）：.AF-EF=CE-EF即 AE=CF1 1 .解：A C/D F,理由如下:A B/D E:.NB=NDEF；BE=CF：.BE+EC=CF+EC即 BC=EF./A B C A D E F 中 N A =N Z X 已知）七/（已证）8C=ER：已证）A/A B C/D E F（A A S）.N 4 C B=N F （全等三角形对应角相等）J.AC/DF12.解：D E _ L 8 C,理由如下：AB/C D：.Z B=Z CBE=CFBE+EF=CF+EF即 BF=CE在旗 和OCE中A3=OC（已知）N8=NC（已证）8F=CE（已证）:.丛ABF%丛DCE（SAS）：.ZDEC=ZAFB=90（全等三角形对应角相等）ZAFB=90：.ZDEC=B0：.DEBC1 3.解：FB=FC,理由如下：,/ZADC=90：.ZC+ZCAB=90a：BE LAC.N8+NCA8=90/.ZS=ZC,AF 平分 NC4?：.ZBAF=ZCAF在48F和中NB=NC（已证）NBAE=NCA/（已证）AF=AF（公共边）/XABFACF（AAS）：.FB=FC（全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练(每日一题)姓名5.已知：如图，在 A BC 中，ZACB=90,AC=BC,A E 是 边 上 的 中 线，过。作C F L A E,垂足为F,过 B 作交C T 的延长线于D(1)求证：AE=CD；(2)若 A C=1 2 c m,求 8。的长.6,已知：如图，在 A BC 中，AB=AC,E/7是过点A的直线，B E L E F于E,CF_ L E F 于 R AE=CF.求证：BA1AC.7.已知：如图，在 A BC 中，Z C=9 0,AB=2AC,M是A 3 的中点，过点M作M N上A B交B C于点、N.求证：A N 平分N 8 4 C.8.已知：如图，点 E在 A BC 的外部，点。在8 C 边上，D E交A C于F,1=Z 2=Z 3,AC=AE,求证：ABCADE.若/【参考答案】1.证 明：如图，（1）V CFLAE：.ZAFC=90ZACF+ZFAC=90：ZACB=ZACF+ZBCD=90：.ZFAC=ZBCD:BDtBC：.ZDBC=90:.NACB=/DBC在EC4和OBC中NE4C=NBCZX 已证）,NAQ5 =NDBC（已证）AC=3C（已知）/.ECAADBC（AAS）：.AE=CD（2）VAG4ADBC：.AC=BC,CE=BD是BC边上的中线：.C E=-BC2：.BD=-AC2Vz4C=12cmBD=6cm即 BD的长为6cm.2.证明：如图，：BEEF,CF1EF：.ZBEA=ZAFC=9Q在 RtABEA 和 RtAAFC 中AB=AC（已知）AE=CE（已知）:.BEAQiWFC（HL），ZEAB=ZFCA：ZAFC=90ZMC+ZFG4=90/.ZFAC+ZEAB=90：.ZBAC=90 B J BA LAC3.证明：如图，是AB的中点：.AB=2AMAB=2AC：.AM=ACJM NLAB：.ZAMN=90在 RtAAM N 和 Rt/XACN 中AM=4C（已证）AN=AN（公共边）:.LA M N咨AACN（HL）:./M A N=/C A N即AN平分NA4c4.证明：如图，VZ1=Z2.*.Z1+ZDAC=Z2+ZDAC即 N B-D 4 E又.N2=NB+NCN3=NB+NE且 N2=N3.N O N E在ABC和AOE中N3AC=NOAE（已证）AC=AE（已知）NC=NE（已证）A AAfiCAADE（ASA）全等三角形证明过程训练（随堂测试）1.已知：如图，在八8 c中，于点。，E为八。上一点，BE=AC,如果要使BOE且 八D C,那么还需要一个条件，这个条件可以是，理由是这个条件也可以是，理由是这个条件也可以是，理由是这个条件还可以是,理由是2.己知：如图，在正方形八8 8中，AD=AB,ZDAE=ZB=90,AB,8c 上，M AE=BF.求证：DEAF.【参考答案】1.DE=DC,HL；/EBD=/D AC,A AS；2.证明略BD=AD,HL；NBED=NC,AAS.全等三角形证明过程训练（作业）1 4 .如图，P D L 4 8,PE L A C,垂足分别为D,E,且PD=PE,将上述条件标注在图中，则 出,从而AD=.第1题图 第2题图1 5 .已知：如图，A B 1B D,C D L B D,如果要使A 8）g Z C D 8,那么还需要一个条件，这个条件可以是，理由是；这个条件也可以是，理由是；这个条件也可以是，理由是；这个条件还可以是，理由是.1 6 .已知：如图，点C为8。上一点，A C C E,A C=C E,ZA B C=ZC D E=9 0,A B=4,D E=2,则 8。的长为.第3题图 第4题图1 7.已知：如图，A,E,F,8在同一直线上，C E L A B,D F A B,垂足分别为E,F,B C=A D,A E=B F,问C E 8之。吗？说明理由.18.已知：如图，A,B,C,。在同一直线上，AC=DB,BE/CF,A E/D F.求证:ABEgADCF.C D第5题图19.已知：如图，在A B C中，AD1BC,C E 1 A B,垂足分别为D,E,A D与CE 卜交于点 H,AE=CE,求证：AH=BC.D C第6题图【参考答案】1.RtZAPD,RtZXAPE,AE2.AD=CB,HL；ZA=ZC,A AS；ZADB=ZCBD,ASA；AB=CD,SAS3.64 .解：ACEB之以，理由如下:：CEAB,DFAB,：.ZCEB=ZDFA=90：AE=BF：.AE+EF=BF+EF即 BE=AF在 RtACFB 和 M/XDFA 中AF（已证）BC=A/X 已知）：./C E B/D F A （HL）5.证明：BE/CF：.ZEBC=ZFCB：.ZEBA=ZFCD：AE/DF:.NA=ND；AC=DB：.AC-BC=DB-BC即 AB=DC在ABE和OCF中ZA=ZZX 已证）AB=DC（已证）N E B A uN/C D（已证）/.AABE/XDCF（ASA）6.证明:：CE1AB：.ZAEH=ZCEBOZB+ZBCE=90：ADBC：.ZB+ZBAD=90：.ZBCE=ZBAD在 E H和CE8中，ZEAH=NECB（已证）AE=C（已知）NAE”=NCE8（已证）A/A EH/C EB（ASA）：.AH=BC（全等三角形对应边相等）二次全等（讲义）1 .已知:如图，点C为线段A 8上一点,A C M,C BN是等边三角形,A M=A C=C M,B C=C N=B N,N A C M=N B C N=6 0,连接AN交CM于点E,连接8例交C N于点F.求证：C A N 9C/W 8；A C E N公/XC F B.2 .已知：如图，在正方形4 8 C D中，A D=A B,ZD=ZD A B=ZA B C=9 0 ,E,F 分别为 D C,8 c 边上的点，且N E A F=4 5。，延长C B到点G,使8 G=0 E,连接E F,A G.求证：A O E四 A 8 G；%下丝4 A F G.3 .已知：如图，N A=N D=9 0。，B E=E C.求证：八8 c四D C 8.4.已知：如图，点A,E,F,C在同一直线上，A E=C F,过E,F分别作D E L 4 C,B F 1A C,连接 A B,C D,B D,B D 交 A C 于点 G.若 A B=C D,求证：O E G gD第4题图5.6.已知：如图，AB,8相交于点。，AO=BO,CO=DO,过点。作点E,交8。于点F.求证：OE=OF.己知：如图，AB=AC,BD=DC,AD与8 c交于点O.求证：AD1BC.F B第5题图7.已知：如图，在 A 8 C中，点。是B C的中点，DFAB,D E A C,垂足分别是F,E,DF=DE,试猜想48和A C的数量关系，并证明你的猜想.AB D C第7题图8 .已知：如图，AB=AE,BC=ED,NB=NE,F 是 C D 中点，A求证：AFCD./1 C F D第8题图三、回顾与思考【参考答案】1.证明：（1）V ZACM=ZBCN=60：.ZMCN=60：.NACN=NMCB=120在 CAN和CA48中AC=M C（已知）NACN=NMCB（已证）CN=CB（已知）：./CANACMB（SAS）/.ZCNA=ZCBM（全等三角形对应角相等）.NECA/=60,ZFCB=60：.ZECN=ZFCB在ACEN和 CF8中NECN=NFCB（已证）CN=CB（已知）/硒。=/尸8。（已证）.CEN四CF8（ASA）2.证明：在/W E和 48G中AO=A3（已知）E=8G（已知）.40E且48G（SAS）：.AE=AG（全等三角形对应边相等）ZEAD=ZGAB（全等三角形对应角相等）ZEAF=45,ZBAD=90第2题图：.ZBAF+ZEAD=45,N8AF+NGA8=45即 NGAF=NEAF=45在 4FE和 A FG中AE=AG（已证）N E A R n N G A f（已证）AP=AP（公共边）/./A F E/A F G（SAS）3.证明：在A8E和OCE中NA=N O（已知）NAEB=NOEC（对顶角相等）BE=CE（已知）.A8E-OCE（AAS）：.A B=D C（全等三角形对应边相等）在 Rt/XA B C 和 RtADCB 中已证）BC=CB（公共边）.ABC丝DCB（HL）4.证明：A E=C F：.A E+F E=C F+F E即 A F=C E：D E A C,B F A C：.ZA F B=ZC E D=9 0 在 RtA/ABF 和 RtACDE 中 A F =C E（已证）AB=CZX 已知）:/A B F出A C D E（HL）：.B F=D E（全等三角形对应边相等）在 RtADFG 和 RtAfiFG 中N D E G=N B F G（已证）N E GD =ZF GB C对顶角相等）D E =BF（已证）：./D E G/B F G（AAS）5.证明：在DOB和COA中D O =C（X 已知）NOOB=NCQ4（对顶角相等）BO=AO（已知）/.DOBACOA（SAS）A ZB=ZA（全等三角形对应角相等）第4题图第5题图在BF。和ZE。中ZB=NA（已证）3 0 =4 9 （已知）N F 0 B =N E 0 A（对顶角相等）.BF0之八E。（ASA）：.0 E=0 F（全等三角形对应边相等）6.证明：在A8D和ACD中A8=AC（已知）8 0 =8（已知）AO=AZX公共边）.,.ABD四AC。（SSS）：.ZB A D=ZC A D（全等三角形对应角相等）在8A 0和 6。中A3=A。（已知）=CZX 已证）ARtAfiFDRtACED（HL）：.B F=C E（全等三角形对应边相等）：.A F+B F=A E+C E BP A B=A C8.证明：如图，连接AC,A D.A第6题图A第7题图A第8题图在A8C和AEO中AB=AEC 已知）（已知）/./XABCXAED（SAS）：.AC=AD（全等三角形对应边相等）,：F是CD中点：.CF=DF在ACF和ADF中AC=AD（已证）AF=A/（公共边）CF=DF（已证）A/XACFAADF（SSS）:./C FA=/D FA（全等三角形对应角相等）ZCFA+ZDFA=180：.ZCFA=90：.AFCD二次全等（每日一题）姓名1.已知：如图，AC平分NBA。，CELABrE,C F L A D F,B C=D C.试猜想BE与。F 有怎样的数量关系？并说明理由.B2.已知：如图，。是线段AC,FE的中点，0ELA8于E,OFJ_C。于 F,DF=BE.求证：AD=BC.3.已知：如图，点E在直线AC上，EOLCO于。，E3LC8于8,K CD=CB.求证：AD=AB.4.已知：如图，在四边形A8CO中，AD=BC,AB=DC,E,尸分别为A。，CB延 长 线 上 一 点 且 试 说 明 N E=N EABF【参考答案】1.解：BE=DF,理由如下：.AC 平分 NB4。AZ1=Z2 :CE上AB,CFLAD：.Z F=ZAEC=Z CEB=90 在A Cf和ACE中Z1=Z2（已证）NR=NAEC（已证）AC=AC（公共边）/.AACFAACE（AAS）:.CF=CE在 RtA CBE 和 RtA CDF 中CE=CF（已证）BC=0C（已知）:.ACBEQACDF（HL），BE=DF2.证明：如图，：OEAB,OF VCD：.ZAEO=ZCFO=90是线段AC，FE 的中点：.A0=C0,0E=0F在 Rt/XAEO 和 RtACFO 中AO=C0（己证）。后=。F（已证）.AE性 CTO（HL）：.AE=CF,N0AE=N0CF：DF=BE：.DF+CF=BE+AE即 CD=AB在AOC和C3A中CD=ABC 已证）N0Cf=NQAE（已证）AC=AC（公共边）.AOC丝 ZSCBA（SAS）：.AD=BC3.证明：如图，：ED CD,EBLCB：.ZEDC=ZEBC=90在 RtAEDC 和 Rt/EBC 中CD=CB（已知）EC=EC（公共边）:A E D g A E B C （HL）:.ED=EB,ZDEC=ZBEC：.ZAED=ZAEB在AEO和AEB中ZO=EB（已证）ZAED=NAEB（已证）AE=AE（公共边）.AEO丝AEB（SAS）：.AD=AB4.证明：如图，连接DB在AOB和CBO中AD=BC（已知）a 已知）BD=BD（公共边）：.AADBACBD（SSS）:.NADB=NDBC:.NEDB=NDBF在AEDB和尸3。中DE=BF（已知）C（已知）NO8E=NDCG（已证）BE=CG（已知）.OBE义DCG（SAS）：.DE=DG（全等三角形对应边相等）ZBDE=ZCDG（全等三角形对应角相等）（2）VZBDC=120,NEDF=60:.NBDE+NFDC=60:.NCDG+NFDC=60：.ZEDF=ZGDF=60在EFD和aG F。中力E=OG（已证）N EO buN G O R （已证）。尸=。尸（公共边）.EFD且GFD（SAS）2.证明：在A8。和47。中AB=AC（已知）DB=DC（已知）AO=AZX公共边）/.AABD AACD（SSS）：.ZBAD=ZCAD（全等三角形对应角相等）在 48F和 4CF中AB=AC（已知）N8AO=NCAZX 已证）A f =A77（公共边）A AABF AACF（SAS）第1题图第2题图3.证明：ZDAB=ZEACZDAB+Z BAC=ZEAC+Z BACZDAC=ZEAB在OAC和EA8中，.AC=ABC 已知）ND4C=NE48（已证）AD=AE（已知）：.DAC/EAB（SAS）/.Z D=Z f （全等三角形对应角相等）在AD M和AEN中NDAB=NEAC（已知）/8（已证）NC4E=NO3F（已证）AC=8。（己证）CDA E第4题图:.ACEABDF（AAS），CE=DF5.证明:如图，V BD=EC：.BD+DC=EC+DC即 BC=ED在 RtAZBC 和 RtAFED 中A8=FE（已知）BC=EZX 已证）A RtAZiBCRtAFED（HL）；.N B=N E在A8D和AFEC中=（已知）NB=NE（已证）8。=EC（已知）/.丛 ABDQ 丛 FEC：.CF=AD第5题图全等三角形常见题型训练（讲义）1 .已知：如图，在 夕88中A C与8。相交于点。，过。作E F交 于 点E,交8 c于点F,则图中全等的三角形的对数是（A.5 B.6 C.7第1题图 第2题图2 .如图，点C为线段4 8上一点，M A C和 N 8 C均是等边三角形，连接4/V交CM于点E,连接BM交C N于点F.有如下结论：A C E g/X/W C F；C E=C F；N A M 8=N 4 N 8；E N=F B.其中正确的结论序号有.3 .如图，在R t A E B和R t Z X A F C中，8 E与A C相交于点M,与C F相交于点D,A B 与 C F 相交于点 N,N E=N F=9 0,N E A C=/F A B,A E=A F.给出下列结论：N 8=/C；C D=D N；8 E=C F；A C/V之 A 8/V L其中正确的结论序号有4 .已知：如图，在四边形4 8 C。中，A B/C D,A D/B C.求证：A 8=C D 且 A D=BC.第4题图5 .已知：如图，B,E,F,C在同一直线上，A B=D C,B E=C F,/8=NC.求证:O A=O D.6 .已知：如图，在 4 8 C中，A。平分N 8 A C交8 c于点D,B D=C D.求证：A B=A C.A7.已知：如图，在入8 c中，A D L B C,A D=B D,D E=D C,试猜想8 F和AC的位置关系，并证明你的猜想.8 .已知：如图，B D,C E是 A BC的高，点P在8 D的延长线上，B P=A C,点Q在C E上，C Q=A B.判断线段4 P和AQ的位置和数量关系，并证明.第8题图己知：如图，A C=B C,M,/V分别是AC,8 c的中点，连接AN,BM交于点D,连接CD.求证：CD平分N八CB.三、回顾与思考【参 考答 案】1.B 2.3.4.证明：如图：连接AC：AB/CD：.ZCAB=ZACDAD/BC：.NDAC=NBCA在ABC和CCW中NC48=NACZX 已证）AC=C4（公共边）ZDAC=ZBCA（已证）A/ABC/CDA（ASA）：.AB=CD,BC=AD5.证明：如图，过。作。G，EFBE=CF第4题图二 BE+EF=CF+EF即 BF=CE在AABF和中=（已知）NB=ZC（已知）BF=CE（已证）A AABF/XDCE（SAS）/.ZAFB=ZDEC（全等三角形对应角相等）AF=DE（全等三角形对应边相等）V0G1EF：.ZOGE=ZOGF=90在OEG和aOFG中NA/8=NOEC（已证）NOGE=NOGF（已证）OG=OG（公共边）：./OEG/OFG（AAS），OE=OF（全等三角形对应边相等）：.AF-OF=DE-OE即 OA=OD6.证明：过。作 于 E,DF.LAC F：.ZAFD=ZAED=90.ND 平分 N8ACZFAD=ZEAD在AFD和ZED中ZAFD=ZAEZX 已证）E（已证）0 c =OE（已知）A 4D C A eD E （SAS）/.ZDBE=ZDAC（全等三角形对应角相等）：ZC+ZDAC=90.,.Z C+Z D B f=90 即 N8FC=90BFAC8.解：AP=AQ K A P 1.A Q,理由如下：如图 V BD,CE是八8 c的高：.ZBDC=ZBEC=90V Z 1=Z 2，ZABP=ZQCA在4 8 P和QCA中，BP=CA（已知）NABP=NQC4（已证）AB=QC（已知）ABPAQCA（SAS）：.AP=AQ（全等三角形对应边相等）ZP=ZQAC（全等三角形对应角相等）：ZP+ZDAP=90：.ZQAC+ZDAP=90即 N%Q=90：.APAQ9.证明：.AC=8C,M,N分别是AC,8 c的中点：.CN=CM,AM=BN在4CN和BCM中，AC=8C（已知）ZACN=NBCM（公共角）OV=CM（已证）:.AACN/ABCM（SAS）/.Z A=Z B（全等三角形对应角相等）在AM D和8N D中ZA=ZB（已证）ZADM=NBDN（对顶角相等）AM=BN（已证）.,.AM DgABND（AAS）：.DM=DN（全等三角形对应边相等）在CM。和CM?中，CM=C N（已证）M=W（已证）：./C M D/C N D （SAS）：.ZMCD=ZNCD（全等三角形对应角相等）：.CD 平分 N4CB全等三角形常见题型训练（每日一题）姓名1.已知：如图，在正方形A3CO中，AB=AD,ZDAB=90,E 是AD中点，F是船延长线上一点且试猜想线段BE与。尸有怎样的数量和位置关系？并证明你的猜想.P2.已知：如图，AB=CD,Z A=Z D.求证：NB=/C.3.已知：如图，在NAOB的两边上截取0A=08,O C=O D于点P,连接0 P.求证：0 P 平分NA08.D CF A BADB C,连接AD,B C交AB4.已知：如图，ABC中，AB=AC,ZBAC=90,分别过B,C 向过A 的直线作垂线，垂足分别为E,F.(1)如图1,过A 的直线与斜边不相交时，求证：EF=BE+CF；(2)如图2,过A 的直线与斜边相交时，其他条件不变，若BE=10,CF=3,试求EF的长.【参考答案】1.解：BE=DF,BEVDF延长BE交DF于点GZDAB=90a：.ZFAD=90在 和 RtAADF 中AB=4 X 已知）AE=AF（已知）/.AABEAADF（HL）：.BE=DF,ZABE=ZADF/ZDAB=90：.ZABE+ZAEB=90：NAEB=NDEG：.ZADF+ZDEG=9QZDG=90J.BELDF2.证明：如图